Как найти предел функции. Как считать пределы

Неопределённость вида и вида - самые распространённые неопределённости, которые требуется раскрывать при решении пределов.

Большая часть задач на пределы, попадающихся студентам, как раз несут в себе такие неопределённости. Для их раскрытия или, точнее, ухода от неопределённостей существует несколько искусственных приёмов преобразования вида выражения под знаком предела. Эти приёмы следующие: почленное деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной, домножение на сопряжённое выражение и разложение на множители для последующего сокращения с использованием решений квадратных уравнений и формул сокращённого умножения.

Неопределённость вида

Пример 1.

n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на :

Комментарий к правой части выражения. Стрелками и цифрами обозначено, к чему стремятся дроби после подстановки вместо n значения бесконечность. Здесь, как и в примере 2, степень n в знаменателя больше, чем в числителе, в результате чего вся дробь стремится к бесконечно малой величине или "супермалому числу".

Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен .

Пример 2. .

Решение. Здесь старшая степень переменной x равна 1. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на x :

Комментарий к ходу решения. В числителе загоняем "икс" под корень третьей степени, а чтобы его первоначальная степень (1) оставалась неизменной, присваиваем ему ту же степень, что и у корня, то есть 3. Стрелок и дополнительных чисел в этой записи уже нет, так что попробуйте мысленно, но по аналогии с предыдущим примером определить, к чему стремятся выражения в числителе и знаменателе после подстановки бесконечности вместо "икса".

Получили ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен нулю.

Неопределённость вида

Пример 3. Раскрыть неопределённость и найти предел .

Решение. В числителе - разность кубов. Разложим её на множители, применяя формулу сокращённого умножения из курса школьной математики:

В знаменателе - квадратный трёхчлен, который разложим на множители, решив квадратное уравнение (ещё раз ссылка на решение квадратных уравнений):

Запишем выражение, полученное в результате преобразований и найдём предел функции:

Пример 4. Раскрыть неопределённость и найти предел

Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку

Поэтому тождественно преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и сократим на x +1. Согласно следствию из теоремы 1, получим выражение, решая которое, находим искомый предел:

Пример 5. Раскрыть неопределённость и найти предел

Решение. Непосредственная подстановка значения x = 0 в заданную функцию приводит к неопределённости вида 0/0. Чтобы раскрыть её, выполним тождественные преобразования и получим в итоге искомый предел:

Пример 6. Вычислить

Решение: воспользуемся теоремами о пределах

Ответ: 11

Пример 7. Вычислить

Решение: в этом примере пределы числителя и знаменателя при равны 0:

; . Получили , следовательно, теорему о пределе частного применять нельзя.

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю, и, следовательно, сделать возможным применение теоремы 3.

Квадратный трехчлен в числителе разложим по формуле , где x 1 и х 2 – корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим дробь на (x-2), затем применим теорему 3.

Ответ:

Пример 8. Вычислить

Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, поэтому при непосредственном применении теоремы 3 получаем выражение , которое представляет собой неопределенность. Для избавления от неопределенности такого вида следует разделить числитель и знаменатель на старшую степень аргумента. В данном примере нужно разделить на х :

Ответ:

Пример 9. Вычислить

Решение: х 3 :

Ответ: 2

Пример 10. Вычислить

Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. х 5 :

числитель дроби стремится к 1, знаменатель к 0, поэтому дробь стремится к бесконечности.

Ответ:

Пример 11. Вычислить

Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. х 7 :

Ответ: 0

Производная.

Производной функции y = f(x) по аргументу x называется предел отношения ее приращения y к приращению x аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю: . Если этот предел конечен, то функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке х. Если же этот предел есть , то говорят, что функция y = f(x) имеет в точке х бесконечную производную.

Производные основных элементарных функций:

1. (const)=0 9.

3. 11.

4. 12.

Правила дифференцирования:

Пример 1. Найти производную функции

Решение: Если производную от второго слагаемого находим по правилу дифференцирования дроби, то первое слагаемое представляет собой сложную функцию, производная которой находится по формуле:

Где , тогда

При решении были использованы формулы: 1,2,10,а,в,г.

Ответ:

Пример 21. Найти производную функции

Решение: оба слагаемых – сложные функции, где для первого , , а для второго , , тогда

Ответ:

Приложения производной.

1. Скорость и ускорение

Пусть функция s(t) описывает положение объекта в некоторой системе координат в момент времени t. Тогда первая производная функции s(t) является мгновенной скоростью объекта:
v=s′=f′(t)
Вторая производная функции s(t) представляет собой мгновенное ускорение объекта:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Уравнение касательной
y−y0=f′(x0)(x−x0),
где (x0,y0) − координаты точки касания, f′(x0) − значение производной функции f(x) в точке касания.

3. Уравнение нормали
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

где (x0,y0) − координаты точки, в которой проведена нормаль, f′(x0) − значение производной функции f(x) в данной точке.

4. Возрастание и убывание функции
Если f′(x0)>0, то функция возрастает в точке x0. На рисунке ниже функция является возрастающей при xx2.
Если f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1 Если f′(x0)=0 или производная не существует, то данный признак не позволяет определить характер монотонности функции в точке x0.

5. Локальные экстремумы функции
Функция f(x) имеет локальный максимум в точке x1, если существует такая окрестность точки x1, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x1)≥f(x).
Аналогично, функция f(x) имеет локальный минимум в точке x2, если существует такая окрестность точки x2, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x2)≤f(x).

6. Критические точки
Точка x0 является критической точкой функции f(x), если производная f′(x0) в ней равна нулю или не существует.

7. Первый достаточный признак существования экстремума
Если функция f(x) возрастает (f′(x)>0) для всех x в некотором интервале (a,x1] и убывает (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) для всех x из интервала 1 5 ^ lim → !1 5 # 1 0 1 Ну как вам? Вывод: когда у нас дробь, то мы выносим → сокращаем →пишем ответ. P.S. В квадратных скобках я не буду теперь писать слово определенность☺ №2. Посчитать предел: lim → 2 lim → 4 4 lim → ] 1 4 4 ^ lim → ! 1 4 4 # 0 0 0 0 Круто? Да! Значит, давайте сделаем и еще одно наблюдение: в таких случаях выносим ту же степень, что и в знаменателе. Хотя, если самая высокая степень стоит в числителе, то лучше вынести именно ее. В общем, как вам удобнее. Можно делать и так, и так. №3. Посчитать предел: lim → 4 2 ∞∞ неопределенность lim → 8 16 4 4 lim → ] 8 16 ^ ]1 4 4 ^ lim → 8 1 4 4 lim → ]1 8 ^ ] 1 1 ^ lim → 1 8 1 7 10 8 ∞ №4. Посчитать предел: lim → " 0 4.Предел функции при (→ ∞ Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 18 lim → 3 4 1 2 5 2 lim → ]3 4 1 ^ ] 2 5 2^ lim → 3 4 1 2 5 2 7 3 0 0 0 0 2 8 32 №5. Посчитать предел: lim → 2 5 1 6 1 lim → ]2 1 5 1 ^ ]6 1 1 ^ lim → 2 1 5 1 6 1 1 lim → 2 1 6 ∞ №6. Посчитать предел: lim → 1 2 4 4 lim → ] 1 2 4 ^ ] 4 1^ lim → 1 2 4 4 1 7 0 0 0 0 1 8 0 Еще раз повторяю, когда дробь – тогда выносим! Настало время поведать вам и вторую тайну. Если нам дано выражение вида _ `_ , не поленитесь его помножить на. Привожу пример: lim → ∞∞неопределенность lim → ∙ lim → 2 lim → 2 1 ]1 1 ^ lim → 2 1 1 1 lim → ]1 2 1 ^ ] 1 1 ^ 7 10 8 ∞ Несомненно, в будущем вы так не будете все подробно расписывать. Вам будет достаточно нескольких действий, так что не волнуйтесь. P.S. Как только встречаете №1. Посчитать предел: lim → b 8 3 b Сложно? Нет! На какой вид похоже? На _ `_ . Делаем сопряженное. & & С О П Р Я Ж Е Н Н О Е Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 19 lim → b +8 +3 − b + = lim → P√ +8 +3 − √ + QP√ +8 +3 + √ + Q √ +8 +3 − √ + = lim → +8 +3 − − √ +8 +3 − √ + = lim → 7 +3 c 1 + 8 + 3 + c 1 + 1 = lim → ]7 + 3 ^ d c 1 + 8 + 3 + c 1 + 1 e = lim → 7 + 3 c 1 + 8 + 3 + c 1 + 1 Вот то, что я вам говорил. Вы ВСЕ должны в конечном итоге получать дроби вида с, потому что все они стремятся к 0!!! Продолжаем: lim → 7 + 3 c 1 + 8 + 3 + c 1 + 1 = 7 7 +0 √ 1 +0 +0 + √ 1 +0 8 = 72 Страшно? Ну нет же☺. Медленно, не спеша, решайте пределы и вы достигните многого! №2. Посчитать предел: lim → c + b + √ √ +1 Страшно☺? Не волнуйтесь, все то же самое. Надо что-то сократить. Что и как? √ −это надо вынести и сократить. Если попытаемся вынести, то мы с вами просто запутаемся, а ответ от этого не изменится. Разве что может быть неопределенность. То есть выносим x с самой старшей степенью в знаменателе. lim → c + b + √ √ +1 = lim → √ ∙ f 1 + g 1 + c 1 √ ∙ c 1 + 1 = lim → f 1 + g 1 + c 1 c 1 + 1 = h i i i i i i j f 1 + g 10 + c 1 0 c 1 + 10 k l l l l l l m = 1 Трудность может состоять здесь лишь в одном: как вынести √ ? Надеюсь, что это вы делать умеете. №3. Посчитать предел: lim → P −√ −1 Q + P +√ −1 Q Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 20 Кем бы ни был наш чужак, мы все равно его решим. Для начала давайте, используя теорему 2, разобьем наш предел на два предела. Его так будет намного легче решать, в том смысле, что можно меньше запутаться. Если боитесь разбивать, то сами мучайтесь. ☺ lim → P −√ −1 Q + P +√ −1 Q = lim → P −√ −1 Q + lim → P +√ −1 Q = lim → d −√ −1 e + lim → d +√ −1 e Мы просто все упростили для дальнейшей работы с пределами, используя сложение дробей и свойство степени. Теперь у нас два предела. Видим дробь. Как я вас учил? Правильно, видим дробь – умножаем на сопряженное. Так давайте сделаем это вместе. lim → d −√ −1 e + lim → d +√ −1 e = lim → d P −√ −1 QP +√ −1 Q ∙ P +√ −1 Q e + lim → d P +√ −1 QP −√ −1 Q ∙ P −√ −1 Q e Вот, что у нас получилось. Заметьте, делаем то же самое, что и раньше. Отличие лишь в одном – размеры. Теперь надо упростить каждый предел. В числителе у нас разность квадратов. Упростим первый предел: lim → d P −√ −1 QP +√ −1 Q ∙ P +√ −1 Q e = lim → n − P √ −1 Q ∙ P +√ −1 Q o = lim → d − +1 ∙ P +√ −1 Q e = lim → d 1 ∙ P +√ −1 Q e Первый упростили. Теперь перейдем ко второму: lim → d P +√ −1 QP −√ −1 Q ∙ P −√ −1 Q e = lim → d 1 ∙ P −√ −1 Q e Вот, что у нас получилось: lim → P −√ −1 Q + P +√ −1 Q = lim → d 1 ∙ P +√ −1 Q e + lim → d 1 ∙ P −√ −1 Q e Видим дробь. Что надо делать? ВЫНОСИТЬ! Первый предел: Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 21 lim → d 1 ∙ P +√ −1 Q e = lim → ! 1 + ∙ √ −1 # = lim → p q r ∙ 1 d 1 + c 1 − 1 e s t u = 7 02 8 = 0 Второй предел: lim → d 1 ∙ P −√ −1 Q e = lim → ! 1 − ∙ √ −1 # = lim → p q r ∙ 1 d 1 − c 1 − 1 e s t u = 7 00 −неопределенность! 8 Друзья, вот с таким вот вы будете сталкиваться часто, особенно на больших примерах. Что делать? Ответ прост: вернуться и сделать по-другому. Хорошо, что хотя бы первый предел у нас посчитался. Что же, возвращаемся до разбиения лимитов. Вот что у нас было: lim → d +√ −1 e Как решать, если наш способ не подошел? Что делать, если “метод сопряженных” не работает. А давайте сразу попробуем вынести? Выносим со старшей степенью в знаменателе, следовательно это просто. lim → d +√ −1 e = lim → p q r d 1 + c 1 − 1 e s t u = lim → n1 + g 1 − 1 o = V 1 + √ 1 −0 W = 2 Получается, на самом деле, все было несколько проще. Итого: lim → P −√ −1 Q + P +√ −1 Q = lim → d −√ −1 e + lim → d +√ −1 e = 0 +2 Все! Ответ: 2 Сложно? Я думаю, не очень. Здесь главное аккуратность и настойчивость. Если сразу не получилось, не надо все бросать. №4. Посчитать предел: Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 22 lim → √ 4 − − √ 4 + 3 Здесь у нас не стремится к бесконечности, но я хочу тем показать, что метод сопряженного действует и здесь. lim → √ 4 − − √ 4 + 3 = lim → P √ 4 − − √ 4 + QP √ 4 − + √ 4 + Q 3 P √ 4 − + √ 4 + Q = lim → 4 − −4 − 3 P √ 4 − + √ 4 + Q = lim → −2 3 P √ 4 − + √ 4 + Q = − 23 lim → 1 √ 4 − + √ 4 + = − 16 №5. Посчитать предел: lim → √ +1 −1 √ +2 − √ 2 Здесь сделаем еще круче – умножим числитель и знаменатель на выражения сопряженные числителю и знаменателю. lim → √ +1 −1 √ +2 − √ 2 = lim → P√ +1 −1 QP√ +1 +1 QP√ +2 + √ 2 Q P√ +2 − √ 2 QP√ +1 +1 QP√ +2 + √ 2 Q = lim → (+1 −1) P√ +2 + √ 2 Q (+2 −2) P√ +1 +1 Q = lim → P√ +2 + √ 2 Q P√ +1 +1 Q = lim → √ +2 + √ 2 √ +1 +1 = √ 2 №6. Посчитать предел: lim → b 1 +tg − b 1 −tg sin2 = lim → P b 1 +tg − b 1 −tg QP b 1 +tg + b 1 −tg Q sin2 P b 1 +tg + b 1 −tg Q = lim → 2tg sin2 P b 1 +tg + b 1 −tg Q = lim → 1 cos P b 1 +tg + b 1 −tg Q = 12 Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 23 Итак, какой вывод мы можем сделать из всего предыдущего? Ну, во-первых, если вас просят посчитать предел, то уж наверняка, там – неопределенность. Таблички снизу рекомендую вам заучить!!! Пример: lim → lim → lim → 2 lim → ]1 2 1 ^ ] 1 1 ^ lim → 1 2 1 1 1 7 1 0 0 0 0 8 ∞ & & , Р А С К Р Ы Т И Е Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н О С Т И 2) Если у нас есть выражение типа, и в итоге получается неопределенность, то нам нужно провести вот такую операцию: а потом вынести и сократить так, что бы во всех случаях был в знаменателе. , Р А С К Р Ы Т И Е Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н О С Т И 1) Если у нас есть выражение типа, и в итоге получается неопределенность, то нам нужно провести вот такую операцию: а потом вынести и сократить так, что бы во всех случаях был в знаменателе. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 24 Пример: lim → lim → lim → lim → ]1 1 ^ ] 1 1 ^ lim → 1 1 1 1 7 1 0 0 0 8 ∞ Как видите, мы один и тот же предел посчитали разными способами. Такое получается не всегда! Все таблицы Вы должны запомнить, как таблицу умножения. Наверное, у многих может возникнуть вопрос: а когда что использовать? Практика, друзья. Другого выхода у Вас нет, и не может быть. Только на собственном опыте Вы можете достигнуть каких-то результатов. Как всегда, переходим к формальностям (профессорской теории):) * "*+ , Р А С К Р Ы Т И Е Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н О С Т И 3) Если у нас есть выражение типа То вам нужно либо сразу выносить и сокращать так, что бы во всех случаях был в знаменателе, либо помножать на сопряженное числителя или знаменателя. В зависимости от ситуации. Все три выше приведенные пункты вы должны использовать при раскрытии неопределенности, когда → ∞ . Если стремится к какому-то другому значению, и у нас неопределенность, то используют просто упрощения (сопряженное или сокращения) Пусть функция определена на прямой " , & ∞ . Число называется пределом функции при → & ∞ lim → , если ∀ 0 ∃ , 0 - " такое, что ∀ , выполняется неравенство | | . Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 25 Пусть функция определена на прямой " , & ∞ . Число называется пределом функции при → & ∞ , если для любой бесконечно большое последовательности! " соответствующая последовательность значений функции! сходится к. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 26 То же самое и для бесконечно малых функций. На мой взгляд, определение нам нужно либо для доказательств, либо… для других целей. По крайней мере, оно мне ни разу не понадобилось. Итак, мы с вами уже встречали ранее примеры, когда предел был равен ∞. Как видите, они считаются точно также, как и все другие. Ключевую роль здесь играет вот такая конструкция: V 1 0 v W . Запомните, эта конструкция ВСЕГДА равна ∞! | | . . Функция называется бесконечно большой в точке a справа, если ∀ . 0 ∃ 0 такое, что ∀ , удовлетворяющего условию, &, выполняется неравенство Обозначение: lim → ∞ Функция называется бесконечно большой при → & ∞ , если ∀ . 0 ∃ , - " такое, что ∀ , | | . . Обозначение: lim → ∞ 5.Бесконечно большие функции 0 1 0 1 2 ∞ Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 27 Да, именно это нам сейчас и предстоит. Они нам ОЧЕНЬ понадобятся в будущем. Поэтому, важно их сейчас же закрепить, а заодно и посчитать пределы. Я согласен, это нудно и неинтересно. Если Вы что-то знаете, пропускайте и идите дальше, я разрешаю☺. Итак, это наша первая и самая важная функция. Ранее мы уже успели ее рассмотреть, но давайте повторим то, что уже сделали. lim → w ∞ lim → w 0 lim → w ∞ lim → w 0 Если хотите, можете запомнить все это, но вообще, я рекомендую вам запомнить сам график. По- моему все довольно ясно. Ну, эту функцию вы просто обязаны знать, но, на всякий случай я ее напомню. Знаете ли, разные случаи бывают☺. lim → ∞ lim → ∞ 6.Графики элементарных функций 3 1 & & " Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 28 Функция носит свое название – показательная функция. Здесь важно не забывать об одной вещи: при 1 функция возрастает; при 0,1 функция убывает. Здесь давайте рассмотрим примеры: №1. Посчитать предел 1 lim → 2 2 ∞ lim → 2 2 0 ЗАЗУБРИТЬ! Вот это вы просто обязаны заучить, потому что графики часто путают между собой. №2. Посчитать предел 0,1 lim → ! 12 # lim → 1 2 7 1 2 1 ∞ 8 0 lim → ! 12 # lim → 1 2 7 1 2 10 8 ∞ Как видите, последние два предела мы просто вывели из предыдущих двух. ЗАЗУБРИТЬ! Функция носит свое название – логарифмическая функция. Здесь есть тоже два подвоха: при 1 функция возрастает; при 0,1 функция убывает. №1. Посчитать пределы 1 lim → log 0 lim → log ∞ lim → log ∄ lim → log ∄ №2. Посчитать пределы 0,1 log Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 29 lim → log 0 lim → log ∞ lim → log ∄ lim → log ∄ Уверен, столько всего вы не запомните, так что лучше выучить график. Ok! Идем дальше… Функция носит свое название – синусоида. №1. Посчитать предел lim → sin. Что делать? На графике явно видно, что функция “прыгает” от одного значения до другого. Вывод: не существует такого предела. Давайте просто рассмотрим примеры, где функция стремится к разным значениям: lim → sin { | } | ~ lim → sin1 lim → sin 0 lim → sin 1 ; Проделам то же самое для косинусоиды. №1. Посчитать предел: lim → cos. Все те же размышления. Предела не существует! Вот, что у нас получается: lim → cos { | } | ~ lim → cos0 lim → cos 1 lim → cos 1 ; sin "67 Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 30 На рисунке представлены две функции: O и EO. Как видите, они очень похожи, поэтому очень важно, запомните Вы их или нет. Давайте проведем небольшой опыт. Попробуйте запомнить два графика. Как только будете уверены в том, что все выучили, прорешайте все пределы ниже, а потом проверьте себя по графикам. №1. Посчитать пределы: lim → tg lim → tg lim → tg lim → tg lim → tg lim → tg lim → ctg lim → ctg lim → ctg lim → ctg lim → ctg lim → ctg arcsin – обратная функция к функции sin. arccos – обратная функция к функции cos. №1. Посчитать предел: lim → arcsin. Давайте посмотрим на график arcsin. Что мы видим? При → 0 функция принимает бесконечно много значений. Например, lim → arcsin0 и lim → arcsin и т.д. Делаем вывод: у нашего графика есть период. lim → arcsinw,w целоечисло,лежащеевпромежутке∞,∞ 89 "89 arcsin arccos Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 31 То же самое с arccos. arctg – обратная функция к функции tg. arcctg – обратная функция к функции ctg. №1. Посчитать предел: lim → arctgw ∙ 2 w целое число, имеющее шаг 2. Т.е. lim → arctg ⋯. Можно записать вот так: lim → arctg 2 2 2 w Заметим, что это произвольное целое число, которое мы задаем сами. На этом, мы заканчиваем наш раздел – графики элементарных функций. От автора: Поздравляю! Вы смогли завершить первую главу “Предел функции” первой части “Предел и непрерывность функции”. Конечно, это не все. Я рассказал Вам лишь элементарные вещи. Далее нас будут ждать первый замечательный и второй замечательный приделы и другие методы взятия пределов. Если Вы поняли все, что я здесь написал, то дальше будет только интересно! Ничего сверхсложного вас не ожидает… arctg arcctg Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 32 Глава 2. Непрерывность функции в точке. Запомните это определение раз и навсегда! Если вы его не знаете, вы – ничто и никто в математике. Давайте рассмотрим простой пример: 1 Задание: проверить функцию на непрерывность в точках 1;0. 1. 1. Используя определение 1, получаем: lim → 1 1 ↭ 1 11 1 Выполняется определение 1? Да! lim → 1 1 1 Вывод: функция непрерывна в точке 1. 2. 0. Используя определение 1, получаем: lim → 1 ∞↭ 0 10 →∄ Выполняется определение 1? Нет! lim → 1 0 lim → Функция называется непрерывной в точке a, если 1.Непрерывность функции в точке. Содержание: 1) Непрерывность функции в точке 2) Непрерывность сложной функции 3) Классификация точек разрыва 4) Непрерывность элементарных функций 5) Первый замечательный предел 6) Второй замечательный предел 7) Кратко о Maple Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 33 Вывод: функция не существует в точке 0. Здесь то же самое. Пожалуйста, рассмотрите сами такие функции как ln, и другие. Хотя, думаю, что все предельно ясно. Для того чтобы функция была непрерывна в, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна в этой точке справа и слева. Если функции и O непрерывны в точке, то функции O, O, O, /O также непрерывны в точке (частное – при условии O 0). Пример №1. Исследовать на непрерывность функцию. Для начала распишем область определения D∞,0 ∪0,∞, т.к. знаменатель не может равняться 0. Теперь просто используем теорему 6: lim → , где 0. Следовательно, по теореме 6, функция непрерывна в любой точке, кроме 0. lim → > соответственно lim → E . Пусть функция определена в правой (левой) полу окрестности точки a, т.е. на некотором полуинтервале, & (соответственно,). Функция называется непрерывной справа (соответственно слева) в точке a, если Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 34 Впрочем, пока что вам это не сильно понадобиться. Привожу примеры сложных функций: b | sin | ,cos 1 ,log 1 . Почему они сложные? Давайте рассмотрим цепочку последовательных преобразований для первой из них: sin | | √ . Вот и все! Теперь перейдем ко второй функции: 1 cos . И так далее. Не хочется уделять этому много времени. Надеюсь, вы и так все поняли. Ну что же, перейдем к теореме. Пусть функция непрерывна в точке, а функция непрерывна в точке. Тогда сложная функция P Q непрерывна в точке. Давайте рассмотрим пример на доказательства. Здесь как раз и нужно рассматривать сложную функцию. Пример №1 Доказать, что: lim → 1 ln, 0, 1. Рассмотрим функцию 1. Она непрерывна в точке 0 и 0 0. При этом Пусть функция F определена на множестве, а G множество значений этой функции. Пусть, далее, на множестве G определена функция H . Тогда говорят, что на множестве определена сложная функция, и пишут H , где F , или H F . 2.Непрерывность сложной функции. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 35 log 1 , 1 log 1 . Вычислим lim → : lim → log 1 lim → ln ln 1 Этот шаг может быть непонятен, поэтому я должен напомнить вам формулу преобразования к логарифму с другим основанием: Запомните ее и больше не возвращайтесь к этому. В данном случае новое основание. Давайте напишем формулу именно для нашего случая: log 1 log 1 log ln1 ln . Итак, продолжаем: lim → log 1 lim → ln ln 1 ln 1 lim → ln1 . Верно? ln это число, поэтому мы его и вынесли. Теперь нужно посчитать предел lim → . Представим функцию в виде ln 1 ln (тоже свойство логарифма!), где 1 . Так как lim → 1 (Это второй замечательный предел. Пока что мы его не прошли, но, поверьте, равенство верно), а функция ln непрерывна в точке, то lim → ln 1 ln1. Возвращаемся к нашему примеру. И вот, что у нас получается: log log log ∙ log log Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 36 lim → log (1 +) = lim → ln ln 1 + = ln 1 lim → ln(1 +) = ln 1 = ln. Рассмотрим теперь функцию (), непрерывную в точке = 0: = log (1 +) при ≠ 0 lnпри = 0 Согласно теореме 8 сложная функция P Q = −1 при ≠ 0 lnпри = 0 Является непрерывной в точке = 0. Поэтому lim → −1 = ln. Сложно? Может быть, но вы должны в этом разобраться, потому что это очень важно для понимания этой темы. Тем более, здесь требуется внимательность, ну и “немножко подумать”. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 37 Для начала, давайте поймем, что вообще означает “точка разрыва”. Все предельно просто! Прежде чем начинать рассматривать классификацию точек разрыва, вы должны всегда проверять условие: должна быть определена в некоторой окрестности точки, за исключением, быть может, самой точки. Если условие выполняется, то можно рассматривать классификацию точек разрыва. Пример №1. sin Прежде всего, напишем область определения: D ∞;0 ∪0;∞. Отсюда сразу видно, что 0 необычная точка. В ней функция не определена, но определена в ее окрестности. lim → sin 1 0 sin . Отсюда следует, что 0 устранимая точка разрыва. Точка называется точкой разрыва функции, если в этой точке не является непрерывной. lim → # Точка – устранимая точка разрыва, если 3.Классификация точек разрыва. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 38 Пример №1. sgn Функция sgn уже должна быть ранее вам известна, но я вам ее напомню. sgn 1,0, 1, 0 0 ,0 , lim → sgn 1, lim → sgn 1, 0 0. Отсюда следует, что lim → sgn lim → sgn sgn точка 0 точка разрыва первого рода. Пример №1. tg Прежде всего, напишем область определения D \ 2 w ,w0. lim → tg∞ ∃ lim → # lim → # Точка – точка разрыва первого рода, если Точка – точка разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. f(x) = sgn(x) Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 39 lim → tg∞ Т.к. хотя бы один из пределов равен бесконечности, то w точка разрыва второго рода. Пример №2. ln Прежде всего, напишем область определения D 0;∞. limln → 0 limln → ∄ Т.к. хотя бы один из пределов не существует, то 0 точка разрыва второго рода. Итак, мы теперь знаем классификацию точек разрыва. Мы рассмотрели примеры к каждому случаю. Они достаточно легкие, поэтому давайте еще попрактикуемся. Во всех следующих номерах определить точки разрыва. P.S. Для начала попробуйте сделать это сами, ну а потом проверьте себя. Удачи ☺! №1. 2 , ln, (1 1 lim → lim → ln0, lim → lim → 1. lim → lim → В т. 1 функция имеет разрыв первого рода. №2. Прежде всего, напишем: D ∞,0 ∪0,∞. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 40 lim → lim → 7 0 8 0, lim → lim → ∄. 0 предельная точка второго рода. №3. 1 2 3 Прежде всего, напишем: 4 0 D ∞,4 ∪4,∞. lim → 1 2 3 lim → 1 2 3 7 1 2 0 8 12 , lim → 1 2 3 lim → 1 2 3 7 1 ∞ 8 0. 4 точка разрыва первого рода. №4. | 1 | Прежде всего, напишем. Критические точки определяем вот так: 0 1 0. Критические точки: 0 и 1. Теперь напишем область определения D ∞,0 ∪ 0,1 ∪1,∞. lim → | 1 | 7 10 8 ∞ 0 точка разрыва второго рода. lim → | 1 | lim → 1 lim → 1 1 lim → 1 1 Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 41 lim → | 1 | lim → 1 lim → 1 1 lim → 1 1 1 точка разрыва первого рода. 0 точка разрыва второго рода, 1 точка разрыва первого рода. №5. 1 1 Прежде всего, напишем: D ∞,1 ∪1,∞. lim → 1 1 lim → 1 1 1 lim → 1 1 13 Точка разрыва устранимая: F 1 1 , 1 13 ,1 Она непрерывна в точке разрыва и на D. №6. 1 1 1 1 1 1 Что бы найти критические точки, нужно упростить функцию. 1 1 1 1 1 1 1 1 Точки: 0;1;1. lim → 1 устранимыйразрыв. lim → ∞разрыввторогорода. lim → 0 устранимыйразрыв. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 42 №7. cos cos 1 и получаем: 2 2w 1 устранимыеточкиразрыва. 0 точкаразрывавторогорода. Думаю, примеров достаточно. Если вы сами все это про решаете, то тему вы знать будете на 100%. Ну что же, надеюсь, это было не слишком скучно. По крайней мере, столько разобранных примеров вы не найдете нигде. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 43 Мы с вами эту тему уже разобрали в 1 главе, 6 пункте. Там мы рассматривали графики элементарных функций и считали пределы. Сейчас перейдем к формальностям и “профессорской теории”. Как вы заметили, в моей книге присутствует эта “теория”. Зачем? Все просто, - хочется, что бы вы не только принимали разжеванное, но и сами пытались разжевать. Если я уберу эту “теорию”, то мои труды пойдут насмарку. Конечно, вы будете уметь что-то решать, но вы не будете понимать, что да как. Поэтому прошу вас учить теорию! Она обязательно понадобиться вам в ближайшем будущем. Ну что же, это было лирическое отступление ☺. Перейдем к небольшой теории. Любая элементарная функция, определенная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке. На этом “профессорская теория” заканчивается, и мы переходим к замечательным пределам. Функции I "6J78 , log 0 , # 1 , sin , cos , tg , ctg , arcsin , arccos , arctg , arcctg называются простейшими (или основными) элементарными функциями. Совокупность всех элементарных функций называется классом элементарных функций. Функция называется элементарной, если она может быть получена с помощью конечного числа арифметических операций и суперпозиций над простейшими элементарными функциями. 4.Непрерывность элементарных функций Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 44 Очень важная тема! В ней мы будем учиться искать пределы. Вы должны набить руку на этом, и у меня к вам просьба: перед тем, как смотреть решение, попытайтесь сами чего-то добиться. Зазубрите это раз и навсегда! И никогда не забывайте эту формулу! Доказывать я ее не собираюсь, если хотите, поищите в интернете, там она точно есть. Ну что же, переходим к примерам. №1. lim → sin . Решение: sin 1 sin , Ура! Внизу появился замечательный предел. lim → sin lim → 1 sin 7 11 8 1. Легко? Безусловно… №2. lim → arcsin . Решение: Сделаем замену переменной: пусть arcsin. Тогда sin и база →0 переходит в базу →0 (просто подставьте →0 под arcsin). На самом деле это проще записывать вот так: lim → arcsin 7 arcsin ↭sin → 0 ↭ →0 8 lim → sin 7 11 8 1. 5.Первый замечательный предел lim → sin 1 Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 45 Запомните этот способ замены переменной. Он может сильно пригодиться вам в будущем. №3. lim → arcsin . Решение: lim → arcsin lim → 1 arcsin 7 arcsin ↭sin →0 ↭ →0 8 1 lim → sin 7 11 8 1. №4. lim → sin2 sin3 . Решение: Преобразуем функцию следующим образом: lim → sin2 sin3 lim → ! sin2 2 ∙ 3 sin3 ∙ 23 #. Вынесем постоянный множитель за знак придела и применим теорему о пределе произведений: lim → sin2 sin3 lim → ! sin2 2 ∙ 3 sin3 ∙ 23 # 23 ∙ lim → sin2 2 ∙ lim → 3 sin3 Делаем замену, как и в предыдущем примере: lim → sin2 sin3 lim → ! sin2 2 ∙ 3 sin3 ∙ 23 # 23 ∙ lim → sin2 2 ∙ lim → 3 sin3 ! 2 ↭sin2sin →0 ↭ →0 4 3 ↭sin3sin →0 ↭ → 0 # 23 ∙ lim !→ sin ∙ lim "→ 1 sin 23 ∙ 1 ∙ 1 23 . №5. lim → sin 4 . Умножим и разделим знаменатель на 4 и подведем выражение под знаком предела к первому замечательному пределу. lim → sin 4 lim → sin 4 4 ∙ 4 14 ∙ lim → sin 4 4 d 4 ↭4 →0 ↭ →0 e 14 ∙ lim !→ sin 14 . Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 46 №6. lim → 2tg 2 . Представим тангенс через синус и косинус и воспользуемся теоремами о пределах. lim → 2tg 2 lim → 2 ∙ sin 2 cos 2 lim → 2sin 2 cos 2 2 lim → sin 2 4] 2 ^ ∙ lim → 1 cos 2 d 2 ↭2 → 0 ↭ → 0 e 12 lim → sin ∙ lim → 1 cos 2 7 12 ∙ 1 ∙ 11 8 1. Видите, здесь немного посложнее, но в принципе, все одно и тоже. Если вы выучили элементарные функции, то это вам не должно показаться сложным. №7. lim → 1 cos 2 tg . По формулам двойных углов имеем: lim → 1 cos 2 tg lim → 1 cos sin tg lim → cos sin cos sin tg lim → cos sin cos sin tg lim → 2sin tg lim → 2sin cos sin cos 2 lim → sin lim → cos 2 ∙ 1 ∙ 1 2. Господа, учим тригонометрические формулы! Они вам все равно понадобятся. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 47 Формул много, но желательно их все выучить. №8. lim → 8sin 4 . Умножим и разделим числитель на 4 в кубе: sin K *L sinKcos L *cosKsinL cos K *L cos Kcos L ∓sinKsinL t9 K *L t9K *t9L 1 ∓t9Kt9L ct 9 K * L ct 9 K" t 9L ∓ 1 ct 9L * ct 9 K sin K &cos K 1 tg K &1 1 cos K ctg K &1 1 sin K sin2K 2sinKcos K cos 2K cos K sin K 2cos K 1 1 2sin K tg 2K 2tgK 1 tg K ctg2K ctg K 1 2ctgK sinK *sinL 2sin K *L 2 cos K ∓L 2 cos K &cosL 2cos K &L 2 cos K L 2 cos K cos L 2 sin K & L 2 sin K L 2 Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 48 lim → 8sin 4 lim → 4 ] 4 ^ 8sin 4 8 lim → ] 4 ^ sin 4 d 4 ↭4 →0 ↭ →0 e 8lim !→ sin 8 ∙ 18. №9. lim → sin 2 4 1 . В знаменателе мы можем сделать квадрат разности, а потом, как всегда, перейти к новой переменной. Тогда предел будет стремится к 0, и, следовательно, мы можем применить первый замечательный предел. lim → sin 2 4 1 lim → sin 2 2 ] 2 ↭ 2 →2 ↭ →2 20 ^lim !→ sin 1 1. №10. lim → sin3 sin4 6 . На основании одной из теорем о пределах, мы можем данный предел разделить на два предела: lim → sin3 sin4 6 lim → sin3 6 lim → sin4 6 12 lim → sin3 3 23 lim → sin4 4 3 ↭ 3 →0 ↭ →0 4 ↭ 4 → 0 ↭ →0 ¡ 12 lim → sin 23 lim → sin 76 . №11. lim → cos cos 3 . Преобразуем числитель с помощью формул разности косинусов двух углов и синуса двойного угла: cos cos32sin2 sin4sin cos , тогда lim → cos cos3 4lim → sin cos 4lim → cos4. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 49 Вторым замечательным пределом называется предел вида Доказывать это мы с вами тоже не собираемся. Быть может, когда-нибудь я напишу отдельно книгу про все доказательства, но пока что не будем тратить на это время и сразу перейдем к примерам. Как только вы видите скобку в степени, значит прежде всего пробуйте ее свести ко второму пределу. Первые номера рассмотрим крайне подробно. №1. Посчитать предел: lim → ! 4 # Видим скобку в степени 5, следовательно пробуем свести к второму замечательному пределу. Сначала сведем то, что внутри к форме 1: lim → ! 4 # lim → !1 4 # Теперь нужно “поиграть” со степенью. Т.е. нам нужен вид типа /4. Почему? Формулу lim → !1 1 # можно было бы представить в виде lim → !1 1 # . В данном случае у нас вместо единицы – четверка. Значит, вот, что у нас получается: lim → ! 4 # lim → !1 4 # lim → ¢ !1 4 # £ . Что бы уж полностью свести к нашей формуле данный придел, мы обозначим 4. Тогда получаем: lim → 1 1 lim → 1 6.Второй замечательный предел Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 50 lim → ! +4 # = lim → !1 + 4 # = lim → ¢ !1 + 4 # £ = ¤ = 4 ↭ = 4 →∞↭ → ∞ ¥ = lim !→ ¦!1 + 1 # ! § = . Как видите, ничего сложного здесь нет. Алгоритм работы весьма просто: приведение дроби к виду 1 + # приведение степени к виду # ∙ ¨ замена переменной а далее просто считаем по формуле. Если запутались, не волнуйтесь. Мы еще успеем разобрать массу примеров ☺. №2. Найти предел: lim → ! +2 +1 # Действуем так же, как и в прошлый раз: lim → ! +2 +1 # = lim → ! +1 +1 +1 # = lim → !1 + 1 +1 # Здесь мы степень выделять будем после замены переменной. В данном случае, это проще, чем попытаться свести к второму пределу до замены. На результат это никак не повлияет. lim → ! +2 +1 # = lim → ! +1 +1 +1 # = lim → !1 + 1 +1 # = 2 = −1 ↭ = +1 →∞↭ →∞ = lim !→ !1 + 1 # ! = lim !→ ¦!1 + 1 # ! § lim !→ !1 + 1 # = ∙ 1 = . Как видите, ничего сверхъестественного здесь нет. Отсюда можно написать алгоритм решения, подобный прошлому. Приведение дроби к виду 1 + # замена переменной приведение степени к виду # ∙ ¨ а далее просто считаем по формуле. №3. Найти предел: lim → d +5 +2 e Выделим целую часть в скобках: lim → d +5 +2 e = lim → d +2 +3 +2 e = lim → !1 + 3 +2 # = +2 = 3 ↭ = +2 3 →∞↭ →∞ = lim !→ !1 + 1 # ! = lim !→ ¦!1 + 1 # ! § lim !→ !1 + 1 # = ∙ 7 1 + 10 8 = . Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 51 Пример полностью аналогичен предыдущему. Если вы поняли, как “это работает”, то вы молодцы и можете смело идти дальше. Большой плюс здесь заключается в том, что достаточно знать лишь несколько методов, что бы решить тот или иной предел. №4. Посчитать предел: lim → ! 1 2 # Выделим целую часть в скобках: lim → ! 1 2 # lim → 7 !1 1 # 12 8 lim → !1 1 # lim → ! 12 # 1 ↭ 1 → ∞↭ →0 lim !→ 7 1 ! 8 lim → 2 2 lim → 2 8 ∞ Далее не хочется так подробно рассматривать каждый пример, иначе каждое решение будет занимать более половины страницы. Главное, чтобы вы поняли общую идею, и стремились к идеальному решению, т.е. короткому. Дам еще один совет, попробуйте для начала сами что-то решить, а потом уже проверяйте, верно ли вы сделал ли или нет. №5. Посчитать предел: lim → !1 1 # Решение: lim → !1 1 # 1 ª« ªª lim → !1 1 # ∙!1 1 # ∙ lim → !1 1 # ∙ 1 №6. Посчитать предел: lim → 1 Решение: lim → 1 1 ª« ªª lim → ! 1 # №7. Посчитать предел: lim → !1 2 # Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 52 Решение: lim → !1 2 # 1 ª« ªª lim → n!1 2 # o №8. Посчитать предел: lim → !1 4 # Решение: lim → !1 4 # 1 ª« ªª lim → n!1 4 # o №9. Посчитать предел: lim → ! 3 1 # Решение: lim → ! 3 1 # 1 ª« ªª lim → ! 1 4 1 # lim → !1 4 1 # ∙ lim → №10. Посчитать предел: lim → 4 ln 2 3 ln5 3 Решение: lim → 4 ln 2 3 ln5 3 lim → 4 ln 2 3 5 3 lim → ln! 2 3 5 3 # lim → ln!1 3 5 3 # % lim → ln1. №11. Посчитать пределы: Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 53 lim → d +1 +3 e Должен сказать, пример этот уже чуть интереснее предыдущих. Решение: lim → d +1 +3 e = lim → d 1 + +1 +3 −1 e = lim → d 1 + +1 − −3 +3 e = lim → !1 + −2 +3 # = lim → !1 + −2 +3 # ∙ ∙ = lim → ¢ !1 + −2 +3 # £ = &" → = = 1 На этом я предлагаю закончить второй замечательный предел. Далее, в конце книги вы сможете найти массу заданий на эту тему. Разумеется, ответы будут прилагаться. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 54 Так же хотелось бы сделать заметку по поводу электронного вычисления пределов. Есть такая программа – Maple, и там пределы считаются просто на «ура». Как видите, слева, в окошке есть шаблоны формул. Просто на них нажимаете и заполняете данными. Нажимаете на Enter и получаете ответ. На скриншоте для примера посчитан наш последний предел. Зачем нужна вам эта программа? Для проверок. Посчитали предел на бумаге, получили ответ. Вбили формулу в программе и проверили. На самом деле очень удобная штука. От автора: Поздравляю! Вы смогли завершить вторую главу “Непрерывность функции в точке” первой части “Предел и непрерывность функции”. Впереди вас ждет сравнение бесконечно малых функций, символ “Ο малое” и его свойства, вычисление пределов функций с помощью асимптотических формул и вычисление пределов показательно-степенных функций. Темы будут весьма важны, поэтому будут рассматриваться не только “технические” примеры, но так же примеры и на доказательства. На этой ноте я хочу вам пожелать успехов! До скорой встречи! Искренне Ваш, Виосагмир И.А. 7.Кратко о Maple Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 55 Глава 3. Бесконечно малые функции. Функция - называется бесконечно малой при → (в точке), если lim → -0. Пусть - и ® две бесконечно малые функции при →. Функции - и® называются: a. Бесконечно малыми одного порядка при → (в точке), если lim → - ® E 0; b. Эквивалентными бесконечно малыми при → (в точке), если lim → - ® 1 обозначение:-~®при → . Если lim → () 0, то говорят, что - является бесконечной малой более высокого порядка при → (в точке), чем ®, и пишут -²® при → (- равно “² малое” от ® при →). Например, ² при →0. Аналогичные определения имеют место для случаев → 0, → 0, → ∞. Следует иметь в виду, что равенства, содержащие символ “² малое”, являются условными. Например, равенство ² при →0 верно, но ² неверно, поскольку символ ² обозначает не какую-то конкретную функцию, а любую функцию, являющуюся при →0 бесконечно малой более высокого порядка, чем. Таких функций бесконечно много, в частности, любая функция * (где ³ 1) есть ² при →0. Таким образом, равенство ² при →0 означает, что функция принадлежит множеству бесконечно малых функций более высокого порядка при →0, чем. Поэтому “в обратную сторону” это равенство ² неверно: все множество функций ² не сводится к одной функции. Ничего не понятно ☺? Не волнуйтесь, далее мы все рассмотрим на примерах. Но теория в любом случае нужна, иначе моя книга перестает быть математической, и становится непонятно чем. 1.Сравнение бесконечно малых функций. Функция K называется бесконечно малой при → (в точке), если lim → K 0 . Содержание: 1) Сравнение бесконечно малых функций 2) Свойства символа “o малое” 3) Сравнение бесконечно малых функций Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 56 Рассмотрим несколько примеров, соответствующих данной теме. №1. Верно ли равенство 2 ² при →0? Решение: 2 ² – верно, так как lim → 2 0. Как видите, решение в одну строчку. Давайте его разберем более подробно ☺. Вспомним наше определение! Если lim → () 0, то говорят, что - является бесконечной малой более высокого порядка при → (в точке), чем ®, и пишут -²® при → (- равно “² малое” от ® при →). В нашем случае, мы обозначаем за - 2 . Далее нам нужно от куда-то “выкопать” ®. Посмотрим в определении на слова пишут -²® . Отсюда следует, то, что ® , судя по нашему примеру 2 ². Далее следуем просто определению, т.е. выписываем предел и проверяем, равен ли он нулю или нет. lim → - ® lim → 2 lim → 20 Предел равен нулю, следовательно - 2 является бесконечной малой более высокого порядка при →0 (в точке 0), чем ® , и пишут 2 ²® при →. Так же построим для наглядности наши графики функции. Красный график – это наша «главная» функция - 2 , а зеленый график – это функция ® . По картинке видно, что ближе к нулю функция - 2 стремится к нему быстрее, чем ® . Все! Мы с вами разобрали очень подробно этот пример. Далее все примеры будут идентичными, поэтому так подробно я решение писать не буду. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 57 Во всех остальных случаях красный график – это функция- , а зеленый - ® . №2. Верно ли равенство 3² при → 0? Решение: Для начала выпишем функции - и ® . Вот, что у нас получится: - 3,® Теперь смотрим предел: lim → - ® lim → 3 3 0 Предел не равен нулю, следовательно равенство 3² неверно. Но! Так как предел равен константе, то функции 3 и бесконечно малые одного порядка в точке 0. №3. Верно ли равенство b | | ² при →0? Решение: Для начала выпишем функции - и ® . Вот, что у нас получится: - b | | ,® Теперь смотрим предел: lim → - ® lim → b | | lim → b | | b | | ∙ b | | 7 10 8 ∞ 0 Предел не равен нулю, следовательно равенство b | | ² неверно. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 58 №4. Верно ли равенство | | ² при →0? Решение: Для начала выпишем функции - и ® . Вот, что у нас получится: - ln | | ,® Теперь смотрим предел: lim → - ® lim → n ln | | olim → 1 ln | | 0 Предел равен нулю, следовательно равенство | | ² верно. №5. Верно ли равенство 1 cos ² при →0? Решение: Для начала выпишем функции - и ® . Вот, что у нас получится: - 1 cos ,® Теперь смотрим предел: lim → - ® lim → 1 cos lim → 2sin ] 2 ^ lim → n sin] 2 ^ 2 o 2 1 ∙ 0 0 Предел равен нулю, следовательно равенство 1 cos² верно. P.S. Решение таких пределов у вас уже Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 59 не должно вызывать сложностей. Если чувствуете, что не справляетесь, лучше вернуться в главу 1 и 2 и все повторить. Все пределы таких типов у нас уже были. Это, как говорится, база, без которой никуда. Так как примеры все идентичны между собой, сначала решайте их сами, а потом смотрите на решение. Если так делать не будете, то ничему не научитесь!!! №6. Верно ли равенство sin ² при →0? Решение: Для начала выпишем функции - и ® . Вот, что у нас получится: - sin ,® Теперь смотрим предел: lim → - ® lim → sin lim → ! sin # 1 1 Предел не равен нулю, следовательно равенство sin ² неверно. Но! Так как предел равен единицы, то функции sin и эквивалентные бесконечно малые в точке 0. №7. Верно ли равенство ² при →0? Решение: Для начала выпишем функции - и ® . Вот, что у нас получится: - ,® Теперь смотрим предел: lim → - ® lim → 0 Предел равен нулю, следовательно равенство ² верно. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 60 №8. Верно ли равенство 1 cos ² при →0? Решение: Для начала выпишем функции - и ® . Вот, что у нас получится: - 1 cos,® Теперь смотрим предел: lim → - ® lim → 1 cos 12 Предел не равен нулю, следовательно равенство 1 cos² неверно. Но! Так как предел равен константе, то функции 1 cos и бесконечно малые одного порядка в точке 0. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 61 Пусть - и - две произвольные бесконечно малые при → функции такие, что - ²® и - ²®. Тогда - - ²® при →. Эту теорему можно записать так: ² ® ² ® ² ® . Сформулируем наряду с указанным еще ряд свойств символа “² малое” (всюду имеется ввиду, что - →0 и ® →0 при →). 1. ² ® ² ® ² ® 2. ² ® ² ® ² ® 3. ² E® ² ® ∀E 0 4. E² ® ² ® ∀E 0 5. ² ® ² P ® Q , ´ 2 ∈ µ ,w1,2,…, 1 6. P ² ® Q ² ® ∀ ∈ µ 7. ® ² ® ² ® ∀ ∈ µ 8. +)) ² ® , ´ 2 ∈ µ Обозначим любую бесконечно малую при → функцию символом ² 1 . Тогда свойство 8 будет справедливо также при 1: +)) ²1. 9. o P ∑ c , β , Q o β ,гдеc , числа 10. ² P ² ® Q ² ® 11. ² P ® ² ® Q ² ® 12. -®² - ,-®² ® 13. Если ~®, то - ®²- и - ®²® На сей ноте теория заканчивается и начинается практика. Рекомендую все свойства выучить. В дальнейшем они нам сильно пригодятся. Первая задача будет очень подробно разобрана. Следующие задачи вы должны будете сделать сами, что бы “вникнуть” в эту тему. №1. Используя предел lim -→ .&- - 1 представить функцию sinx в виде ¹ ² P Q при →0,гдеw1илиw2; и некоторыечисла. 2.Свойства символа “ O малое”. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 62 Решение: Докажем сначала, что если - и ® бесконечно малые одного порядка при →, т.е. lim → () E 0, то - с® ²® при →. В самом деле, так как lim → - ® E → lim → d - ® E e 0 → lim → - E® ® 0, То по определению символа ²® имеем - E® ²®, или - E® ² ® при →. Пользуясь данным равенством, получаем sinx ² при → 0, Последняя формула называется асимптотической формулой функции sin при →0. Последнее слагаемое в правой части этой формулы ² называется остаточным членом асимптотической формулы. Далее, в последующих примерах, мы не будем доказывать одно и тоже и будем исходить из уже доказанного, т.е. - E® ² ® при →. Поэтому рекомендую прочесть доказательство еще раз, и самое главное, понять его. №2. Используя предел lim -→ /. - представить функцию sinx в виде ¹ ² P Q при →0,гдеw1илиw2; и некоторыечисла. Решение: Используем формулу - E® ² ® при → и получаем: cos 1 12 ² при →0. Последняя формула называется асимптотической формулой функции cos при → 0. Последнее слагаемое в правой части этой формулы ² называется остаточным членом асимптотической формулы. №3. Используя предел lim -→ - 1 представить функцию sinx в виде ¹ ² P Q при →0,гдеw1илиw2; и некоторыечисла. Решение: Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 63 Используем формулу - E® ² ® при → и получаем: ln1 ² при → 0. Последняя формула называется асимптотической формулой функции ln1 при →0. Последнее слагаемое в правой части этой формулы ² называется остаточным членом асимптотической формулы. №4. Используя предел lim -→ √ - представить функцию sinx в виде ¹ ² P Q при →0,гдеw1илиw2; и некоторыечисла. Решение: Используем формулу - E® ² ® при → и получаем: √ 1 1 1 ² при →0. Последняя формула называется асимптотической формулой функции √ 1 при → 0. Последнее слагаемое в правой части этой формулы ² называется остаточным членом асимптотической формулы. Я думаю, для вас этого будет достаточно. В институте или колледже этому почти не уделяется времени. На сей раз я хотел, что бы вы поняли, откуда берется это “² малое”, и как выводятся асимптотические формулы. Как говорится, немножко теории вам не помешает и, конечно, желательно понимать, что от куда берется. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 64 Ранее были уже получены асимптотические формулы для простейших элементарных функций при →0. Запишем эти формулы в виде таблицы. Указанные формулы остаются справедливыми, если в них вместо аргумента подставить, где º » бесконечно малая последовательность, либо, где lim → 0. Например, справедливо представление, вытекающее из первой формулы: sin 1 1 ²! 1 #, где 2 ² ] ^ бесконечно малая последовательность более высокого порядка, чем 2 , т.е. lim → ²] 1 ^ 1 lim → ²! 1 #0. То есть этим мы хотим сказать, что если 2 sin →0, то мы можем применить к синусу асимптотическую формулу. Например, функция 1 является бесконечно малой при → 1, поэтому из третьей формулы получаем равенство ln P 1 Q ² при →1, или ln 1 1 1² при → 1. Вот вам и еще один пример. Используя прошлое равенство и вторую формулу, запишем асимптотическое представление функции cos ln при →1. 1 sin & 6 2 cos 1 2 & 6 3ln 1 & &6 4 1 & ln & 6 0 5 S 1 & & 6 6 1 & 1 & & 6 7 tg & 6 8sh &6 9 ch 1 & 2 & 6 10 th & 6 Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 65 Функция ln при →1 стремится к нулю, следовательно является бесконечно малой, следовательно можно применить асимптотическую формулу номер три: coslncos 1 ² 1. Функция cos 1 ² 1 при →1 стремится к нулю, следовательно является бесконечно малой, следовательно можно применить асимптотическую формулу номер два: cos lncos 1 ² 11 P 1 ² 1 Q 2 ² ] P 1 ² 1 Q ^. Вот теперь нам и пригодятся свойства “² малое”. Применяем их и получаем: P 1 ² 1 Q 2 1 2 1 ² 1 12 P ² 1 Q 1 2 ² 1 ² 1 1 2 ² 1 . Первое, что мы сделали, это раскрыли числитель – там квадрат суммы. Далее мы просто применяем свойства “² малое”. Если не учили их, посмотрите в таблице, которую я давал ранее. Аналогично, P 1 ² 1 Q 1 ² 1 . Применяем асимптотическое свойство номер 11. Получаем: ² ] P 1 ² 1 Q ^² 1 ² 1 ² 1 . Окончательно получаем cos ln1 1 2 ² 1 при → 1. Так же мы можем записать наше решение и так: lim → cos lnlim → d 1 1 2 ² 1 e . Теперь вы понимаете, зачем нам нужны эти асимптотические формулы! Как бы вы по другому искали этот предел? Запомните, если функция стремится к нулю, мы всегда ее можем заменить асимптотическими формулами. Если же она не стремится к нулю, а, например к какой-нибудь константе или бесконечности, мы не имеем права использовать асимптотические формулы!!! Асимптотические формулы применяются лишь в том случае, когда функция стремится к 0! Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 66 Давайте посчитаем наш предел: lim → cos lnlim → d 1 1 2 ² 1 e ¦1 1 1 2 §1. Сложно? Нет! Запутанно? Да! Но что же поделаешь, практика здесь определенно нужно. Думаю, через несколько минут вам будет уже все понятно. Переходим к примерам. Так же как и всегда, первый разобран подробно, остальные примеры решайте сначала сами, а потом смотрите решение. №1. Найти предел: lim → ln1 4 sin3 . Решение: Для начала смотрим, можно ли применить асимптотические формулы. Вспоминаем, когда их можно применять? Когда функция стремится к нулю. Проверяем: lim → ln1 4 ln1 0 lim → sin3 sin0 0 Все верно! Значит применяем формулы. В данном случае это ln1 ¼ ~¼,sin¼~¼. Так как пример очень простой, “² малое” мы здесь можем не писать. Если хотите, можете использовать его. Тогда lim → ln1 4 sin3 lim → 43 43 . Как видите, все очень просто. №2. Найти предел: lim → √ 1 1 . Решение: Так как ½ √ 1 1 ¾ →0 и º » →0 при →0, то можем применять асимптотические формулы. √ 1 ~1 3 ,. То есть, Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 67 lim → √ 1 1 lim → 1 3 1 lim → 3 13 . №3. Найти предел: lim !→ 1 cos1 cos sin . Решение: Так как º 1 cos1 cos » → 0 и º sin » →0 при →0, то можем применять асимптотические формулы. cos ~1 2 ,sin ~. То есть, lim !→ 1 cos1 cos sin lim !→ 1 cos!1 1 2 # sin lim !→ 1 cos 2 Пример упростился, но нам этого недостаточно. Поэтому, так как 2 1 cos ! → 0 и º » → 0 при →0, то можем применять асимптотические формулы. cos ~1 2 . lim !→ 1 cos1 cos sin lim !→ 1 cos!1 1 2 # sin lim !→ 1 cos 2 lim !→ 1 p r 1 ! 2 # 2 s u lim !→ 8 v 18 . №4. Найти предел: lim → √ 1 2 3 1 . Решение: Так как ½√ 1 2 3 1 ¾ → 0 при → 0, то можем применять асимптотические формулы. 1 ~1 . Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 68 В данном случае, 1/2. Поэтому вот что у нас получится: lim → √ 1 2 3 1 lim → 1 2 3 2 1 12 lim → 2 3 12 lim → 2 3 7 12 ∙ 2 8 1. №5. Найти предел: lim → lnln . Решение: Так как º lnln » →0 при →, то можем применять асимптотические формулы. ln 1 ¼ ~¼. Таким образом получаем: lim → lnln lim → lnln 1 1 lim → ln1 ln 1 lim → ln 1 lim → ln ln lim → ln lim → ln 1 ] 1^ 2 ln 1 ] 1^ →0при → lim → 1 lim → 1 lim → 1 . Скажу честно, что предел не из простейших. Запутаться здесь достаточно легко, поэтому, если вы, “чайник”, взяли этот предел, то вы уже далеко не тот, кем вы были до прочтения этой книги. Вы уже средний студент хорошего института! №6. Найти предел: lim → log 1 2 . Решение: Так как º log 1 » →0 при → 2, то можем применять асимптотические формулы. ln 1 ¼ ~¼. Получаем: lim → log 1 2 lim → log log 2 2 lim → log 2 2 lim → ln/2 ln2 2 1 ln2 lim → ln/2 2 1 ln2 lim → ln 1 ] 2 1^ 2 1 ln2 lim → 2 1 2 1 2 ∙ ln2 lim → 2 2 1 2 ∙ ln2 . №7. Найти предел: Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 69 lim → sin 1 1 . Решение: Так как º sin 1 » →0 при →1, то можем применять асимптотические формулы. Для синуса у нас есть вот такая формула: sin~. Следовательно, перейдем к новой переменной. Пусть 1. Тогда → 0 при →1. Предел становится равным ¿lim !→ sin 1 1 Далее используем алгебраическое тождество: 1 4 6 4 1 Таким образом находим предел: ¿lim !→ sin 1 1 sin~lim !→ 4 6 4 lim !→ 1 4 6 4 14 . №8. Найти предел: lim → lncos √ 1 1 . Решение: Так как º lncos » →0 и ½√ 1 1 ¾ →0 при →0, то можем применять асимптотические формулы. √ 1 ~1 w ,ln 1 ~. Тогда предел можно записать в виде ¿lim → lncos √ 1 1 lim → ln1 cos 1 !1 3 #1 lim → cos 1 /3 3 lim → 1 cos ¦1 cos ~ 2 §3 lim → 2 32 lim → 32 . №9. Найти предел: lim → sinsintg! 2 # lncos3 . Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 70 Решение: С виду жуткий примерчик, не правда ли? Не волнуйтесь ☺! Мы всегда все преодолеваем. Давайте так же в этом примере будем использовать “² малое”, для того, что бы наш ответ был уж точно правильным. Запишем асимптотическое разложение числителя, пользуясь асимптотическими формулами для синуса и тангенса и свойствами “² малое”: sinsintg d 2 e = sinsin 2 +² d 2 e ¡ = sin À 2 +² d 2 e +² 2 +² d 2 e ¡ Á = sin 2 +² +² ¡ = sin 2 +² ¡ = 2 +² . Здесь мы пользовались тем, что ² d +² ] ^ e = ²() и ² +² = ²(). Выведем теперь асимптотическое разложение знаменателя, используя асимптотические формулы для косинуса и логарифма: lncos3 = ln1 − 3 2 +² 3 ¡ = lnn1 +− 9 2 +² ¡o =− 9 2 +² ¡ +² − 9 2 +² ¡ = − 9 2 +² +² = − 9 2 +² . Здесь мы воспользовались тем, что ² 3 = ² ,² − 9 2 +² ¡ = ² ,² +² = ² . Таким образом данный предел равен lim → sinsintg! 2 # lncos 3 = lim → 2 +²() − 9 2 +²() = lim → 12 + ²() − 92 + ²() = 12 +lim → ²() − 92 + lim → ²() = − 19 . Здесь мы воспользовались тем, что, по определению символа “² малое” lim → ² = 0. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 71 От автора: Должен сказать, что если вы все-таки достигли этой страницы, то вы уже далеко не чайник! Вы уже вполне образованный человек, который хорошо разбирается в пределах функций. Я попытался объяснить вам данную тему как можно более понятно. Надеюсь, мне это удалось сделать. Далее вас будет ждать большая и очень важная тема. Это – производные и дифференциалы. Потом, в моих планах стоит тема «неопределенный интеграл», далее – «основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях». Но это все пока что в планах. Данную часть я написал и весьма доволен этим. Наверняка, в книге, присутствуют как грамматические ошибки, так и математические (потеря знака). Прошу об этом писать мне на почту… А сейчас можете смело переходить к дополнительным главам ☺. Удачи! С Уважением, Ваш Виосагмир И.А. [email protected] Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 72 Глава 4. Дополнительные методы. Давайте рассмотрим дополнительные методы, при помощи которых мы можем считать наши пределы. В некоторых случаях данными методами намного проще воспользоваться, чем теми, что мы с вами уже прошли. Но должен предупредить, что здесь вы должны знать как можно и нужно дифференцировать функцию. Сейчас я на этом останавливаться не буду, так как данная тема подробно рассматривается в моей второй книге. Итак, чем же этот метод Лопиталя такой особенный? А особенный он тем, что может раскрывать неопределенности вида V 0 0 v W и ∞ ∞ ⁄ . Если вспомнить, то мы уже много прошли способов для раскрытия различных неопределенностей, но бывают такие случаи, когда сложно ее раскрывать, ну, или по крайней мере неудобно. Но опять же, правило Лопиталя применимо не во всех случаях. Общая формулировка выглядит так: При некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных. Давайте рассмотрим эти условия ☺. 1. lim → lim → O0или∞ 2. и O дифференцируемы в проколотой окрестности 3. O 0 0 в проколотой окрестности 4. существует lim → ′ O′ Ã Тогда, если выполняются условия 1 2 3 4 → lim → O lim → ′ O′ . Заметьте, что →, а не к какой-то там бесконечности или вообще нулю. Нам важно то, что предел этих функций должен быть равен бесконечности или нулю! Многие по началу путаются с этим, поэтому не пропускайте это мимо ушей ☺. Содержание: 1) Правило Лопиталя 2) Разложение в ряд Тейлора. Часть 1 3) Разложение в ряд Тейлора. Часть 2 1.Правило Лопиталя Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 73 Думаю, больше теории здесь давать не нужно. Моя книга больше нацелена именно на практику, поэтому мы сейчас же к ней и переходим. №1. Найти предел lim → +5 3 . Решение: Для начала выпишем наши функции () и O() = +5,O = 3 Теперь проверяем наши условия 1. lim → () = lim → +5 = 0,lim → O() = lim → 3 = 0 →! 2. () и O() дифференцируемы в проколотой окрестности. Т.е. можно взять производную от этих функций в точке = 0 −! 3. O 0 = 3 ≠ 0 в проколотой окрестности 0 −! 4. существует lim → ′() O′() Ã = lim → 2 +5 3 v −! Когда привыкните, то не будете тратить на проверку свое драгоценное время. Я вам показал как это делать. Теперь, я буду проверять лишь первый пункт. Вам же напутствие – проверяйте каждый пункт! Потому что всякое может быть. lim → +5 3 = 7 00 − ÄÅ 8 = lim → +5 0 3 0 = lim → 2 +5 3 = 7 0 +5 3 − 8 = 53 Вот это лучшая запись решения данного примера! 1 − определяем на неопределенность; 2 − расписываем производные; 3 − считаем производные и одновременно смотрим, стремится ли () и O() к 0; 4 − определяем на неопределенность; 5 − пишем ответ. Легко? Да! Но нужна практика, чтобы не запутаться. №2. Найти предел lim → +4 +7 +3 Решение: = +4 +7 → ∞ при →∞ и O = +3 → ∞ при →∞. Следовательно, можем применить правило Лопиталя ☺. lim → +4 +7 +3 = ∞∞ = lim → +4 +7 0 +3 0 = lim → 3 +8 +7 3 +6 = ∞∞ = lim → 3 +8 +7 ′ 3 +6 ′ = lim → 6 +8 6 +6 = ∞∞ = lim → 6 +8 ′ 6 +6 ′ = lim → 66 = 7 66 8 = 1 Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 74 Здесь нам пришлось применять правило Лопиталя 3 раза, от того, что определенность никак не хотела уходить! Прежде чем начинать дифференцировать вы должны проверить условия на функции. Здесь вы проверяли условия 4 раза! Они обозначены красным цветом – шаги, на которых вы проверяете условия прежде чем перейти к следующему шагу. Должен сказать, что вы уже наверное поняли, что этот способ для данного примера явно не является оптимальным. Здесь лучше воспользоваться тем, чем мы занимались половину этой книги – вынести из числителя и знаменателя. lim → +4 +7 +3 = lim → ]1 + 4 + 7 ^ ]1 + 3 ^ = lim → 1 + 4 + 7 1 + 3 = 7 1 +0 +0 1 +0 8 = 1 А можно еще и так сделать: lim → +4 +7 +3 = ∞∞ = lim → +4 +7 0 +3 0 = lim → 3 +8 +7 3 +6 = lim → ]3 + 8 + 7 ^ ]3 + 6 ^ = lim → 3 + 8 + 7 3 + 6 = 7 1 +0 +0 3 +0 8 = 33 = 1 То есть, на первом шаге мы проверяем на неопределенность и применяем правило Лопиталя, но тут же догадываемся, что нужно будет так делать еще два раза. Что бы сэкономить наше время, мы выносим высшую степень в числитель, дабы у нас получились бесконечно малые функции. Почему я так трачу много времени на это? Я хочу что бы вы во всем разобрались и поняли, что различные способы можно смешивать между собой! При этом не надо забывать об условиях в каждом таком способе. №3. Найти предел lim → ln 1 +2lnsin Решение: Вот именно для таких случаев у нас и есть правило Лопиталя. А как решить по-другому? Ну, разве что какой-нибудь заменой. Так как все условия выполняются (проверьте их сами), то мы можем применить правило Лопиталя. lim → ln 1 +2lnsin = ∞∞ = lim → ln 0 1 +2lnsin 0 = lim → 1 2 ∙ cos sin = lim → sin 2 cos А не было ли у нас ранее подобного примера ☺? По-моему это налицо первый замечательный предел. Запишем его покрасивее: lim → sin 2 cos = 12 ∙ lim → 7 ! sin #∙ 1 cos 8 = 12 ∙ 1 ∙ lim → 1 cos = 12 Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 75 Поэтому, lim → ln 1 +2lnsin = 12 . Видите, правило Лопиталя помогает нам дойти до определенного места. А потом мы применяем то, что прошли с вами ранее ☺. Двигаемся дальше… №4. Найти предел lim → 1 −cos 4 Решение: Так как все условия выполняются (проверьте их сами), то мы можем применить правило Лопиталя. lim → 1 −cos 4 = 7 00 8 = lim → 1 −cos 4 0 0 = lim → 4sin4 2 = 7 00 8 = lim → (4sin4)′ (2)′ = lim → 16cos 4 2 = 8 Здесь мы применили правило Лопиталя два раза. Кстати, здесь можно было бы решить и при помощи первого замечательного предела, после первого применения правила Лопиталя. У нас было бы вот так lim → 4sin4 2 = lim → ! sin4 4 #∙ 8 = 8 №5. Найти предел lim → ln Решение: Дроби, как видите, у нас здесь нет. Поэтому мы не можем применять правило Лопиталя. Но ведь мы смекалистые, поэтому мы сейчас сами сделаем дробь ☺. ln = ln 1 v Теперь все верно! Проверьте сами условия и убедитесь в том, что мы имеем права применять правило Лопиталя. lim → ln = 0 ∙ ∞ = lim → ln 1 v = 7 00 8 = lim → ln ′ P 1 v Q ′ = lim → 1 − 1 = −lim → = 0 = 0 №6. Найти предел lim → ! 1 −1 − 1 ln # Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 76 Решение: Здесь так же как и в предыдущем примере нужно сделать дробь. Надеюсь, вы знаете, как складывать дроби с разными знаменателями ☺. 1 −1 − 1 ln = ln − +1 −1 ln Теперь все верно! Проверьте сами условия и убедитесь в том, что мы имеем права применять правило Лопиталя. lim → ! 1 −1 − 1 ln #= ∞−∞ = lim → ln − +1 −1 ln = 7 00 8 = lim → (ln − +1)′ (−1 ln)′ = lim → 1 −1 ln + −1 = lim → 1 − ln + −1 = 7 00 8 = lim → (1 −)′ (ln + −1)′ = lim → −1 1 +ln +1 = 7 − 12 8 = − 12 Здесь мы изначально перешли к дроби, потом применили правило Лопиталя два раза подряд. №7. Найти предел lim → 1 + Решение: Здесь можно попробовать перейти ко второму замечательному пределу. Мы же попробуем применить правило Тейлора. Для этого нужно сделать дробь. Сделаем достаточно хитро – обозначим 1 + за. То есть, 1 + = →ln = 1 ∙ ln 1 + = ln 1 + Теперь используем очень полезное в данный момент свойство: Так как Ä функция непрерывная, то lnlim → = lim → ln Готов поспорить, половина из вас ничего не поняла ☺. Короче, в данном примере мы переходим от одной функции к другой, не забыв при этом поменять пределы. º → 0при | →∞приln » Верно? Да! Вспомните график логарифма. Соответственно, поменяв пределы, мы начинаем искать предел, пользуясь правилом Лопиталя. lim → ln = lim → ln 1 + = ∞∞ = lim → ln 1 + ′ ′ = lim → 2 1 + = ∞∞ = lim → (2)′ 1 + ′ = lim → 2 2 = 0 Теперь не забываем перейти к обратным переделам! Т.е. у нас получается Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 77 lim → = илиlim → 1 + = 1 Интересный примерчик ☺? Самое главное, что бы вы поняли то, что в один и тот же пример можно решить различными способами, а не только одним. №8. Найти предел lim → −2arctg ln Решение: Мы не можем применять правило Лопиталя, так как нет дроби. Поэтому, мы ее делаем −2arctg ln = −2arctg 1 ln Вы проверяете 4 свойства и понимаете, что можно применить правило Лопиталя. lim → −2arctg ln = lim → −2arctg 1 ln = () 7 00 8 = lim → −2arctg ′ ] 1 ln ^ ′ = lim → − 2 1 + − 1 ln = lim → 2 ln 1 + = () ∞∞ = lim → (2 ln)′ (1 +)′ = lim → 2ln +4ln 2 = () ∞∞ = lim → (2ln +4ln)′ (2)′ = lim → 4 ∙ ln + 4 2 = 2 lim → ln +1 = () ∞∞ = lim → (ln +1)′ ′ = lim → 1 v 1 = lim → 1 = 0 Мы здесь использовали целых четыре правила Лопиталя! С виду решение, конечно, он красивое ☺. Хочу вам сказать, что такие примерчики далеко не в каждом вузе решают. Я же хочу, что бы вы такие решали! И не были, так сказать, “чайниками”. №9. Найти предел lim → arcsin 1 Решение: Здесь тоже немного хитро ☺. Нужно воспользоваться свойством логарифма arcsin 1 = 1∙23/.& = 23/.& /1 Как мы это сделали? Все просто. Есть такая формула: = Мы ей просто пользуемся и получаем Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 78 arcsin 1 = 4 23/.& 5 = 1∙23/.& = 23/.& /1 То есть, мы все можем записать так: lim → arcsin 1 = &" → 6 1∙23/.& 7 = &" → 9 23/.& /1: = ; < = &" → 9 23/.& 0 (/1)0: = &" → 9 .& √ ∙23/.& : = &" → 9 ∙ : = = 1 Вот этот пример уже не шутка. Это полноценный, выше среднего уровня, пример! №10. Найти предел lim → ctg Решение: Здесь делаем то же самое, что и в предыдущем примере. Таким образом у нас получается lim → ctg = &" → /1 = ; < = &" → /1 0 ()0 = &" → .& ∙/1 = &" → .&∙/. = = 1 №11. Найти предел lim → −sin +sin Решение: Здесь нельзя применять правило Лопиталя! Проверьте все условия и поймите, что я говорю все верно ☺! Здесь нужно вычислять предел вот так lim → −sin +sin = lim → ]1 − sin ^ ]1 + sin ^ = lim → 1 − sin 1 + sin = 1 №12. Найти предел lim → ! sin # Решение: lim → ! sin # = &" → = .& >∙ = &" → .& = ; < = &" → .& ()0 = &" → /. = ; < = &" → = Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 79 На этом мы заканчиваем правило Лопиталя. Запомните одну важную вещь! Не стоит применять это правило езде и вся. Сначала определите, а нужно ли вообще его здесь применять? Когда у вас логарифмы, синусы, корни, то оно может помочь. Но если у вас простые выражения, оно может только затруднить вашу работу. Так что никуда не спешите ☺. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 80 В данном разделе мы рассмотрим предел функции вида O ⁄ . Что такое разложение ряда Тейлора и все его подробности я рассказывать не буду, так как это все написано в моей второй книге. В данном разделе я на примерах объясню принцип данной работы. В таблице представлены основные разложения по формуле Тейлора при условии, что →0. Их можно не запоминать, просто распечатайте и пользуйтесь ими. А сейчас мы разберем метод Тейлора на конкретных примерах. Я называю данные примеры crash-примерами. Сейчас поймете, почему именно такое название ☺. №1. Найти предел lim → cos arctg ln 1 Решение: Так как в знаменателе одна функция, то представим ее формулой Маклорена до остаточного члена ² , то есть sin 6 & 120 & 6 cos 1 2 & 24 & 6 7 Y & 6 & 120 & 6 " Y 1 & 2 & 24 & 6 tg & 3 & 2 15 & 6 8 Y 3 & 2 15 & 6 arcsin & 6 & 3 40 & 6 arctg 3 & 5 & 6 ln 1 & 2 & 3 4 & 6 ln 1 2 3 4 & 6 ln > & Z 1 & E 6 & 3 40 & 6 1 1 & 1 & & & 6 1 1 1 & & & & & 6 √ 1 & 1 & 2 8 & 16 & 6 2.Разложение в ряд Тейлора. Часть 1 Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 81 O = − ∙ +² = − +²() Знаменатель дроби легко представить в виде ряда Маклорена. Нам все члены не нужны, поэтому мы берем самый первый, ненулевой. Теперь рассмотрим числитель. Так как знаменатель мы разложили до остаточного члена ² , то и числитель мы должны раскладывать точно до такого же остаточного члена. cos = 1 − 2 +² → ∙ cos = − 2 +² arctg = − 3 +² Как видите, мы раскладываем cos до остаточного члена ² , так как уже знаем, что cos мы помножим на, и он нам даст остаточный член ² . В итоге, вот наш разложенный числитель: = − 2 +² − − 3 +² ¡ = − 6 +² Тогда lim → () O() = lim → − 6 +² − +²() = 16 Вот мы с вами и посчитали первый предел ☺. Запутанно? Да. Но при помощи рядов Тейлора можно считать очень сложные и “непроходимые” пределы. Зная как это делать, вы потратите достаточно времени на поиск предела, но зато вы его в конечном счете посчитаете! Вы останетесь в выигрыше ☺. №2. Найти предел lim → sin] 1 − ^ +ln(1 −) − 2 tg(Åℎ) −arctg Решение: Для начала рассмотрим знаменатель и попробуем найти функцию O(). Для этого разложим наши функции tg(Åℎ) и arctg. Теперь возникает вопрос, а до какого остаточного члена нам раскладывать? Ну, для начала, давайте попробуем до ²(). Åℎ = +²() O = +² ,где = Åℎ Теперь подставим и найдем O(Åℎ) O Åℎ = +² +² P +² Q = +²() Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 82 Но давайте посмотрим на числитель. Там уже остаточный член при разложении будет больше чем ²(). Как я уже говорил, остаточный член везде должен быть одинаковым. Поэтому нам придется раскладывать до ² . Åℎ = + 3! +² O = + 3 +² ,где = Åℎ Теперь подставим и найдем O(Åℎ) O Åℎ = + 3 +² = + 3! +² ¡ + d + 3! +² e 3 +² + 3! +² ¡ Теперь обратим внимание на второе слагаемое, т.е. на d + 3! +² e 3 Если мы раскроем скобки в числителе, то получится + 2 + % 4 + 19 +² Но! Нам ² не нужно, нам нужно ² , как мы и договорились раньше. Поэтому мы можем избавиться от членов 2 + % 4 + 19 Потому что они дают нам ² . Повторяю еще раз, если мы решили что в нашем примере остаточный член будет представлен в виде ² , значит он должен быть в каждом слагаемом именно такой и не иначе! Соответственно, мы можем написать так: O Åℎ = + 3 +² = + 3! +² ¡ + P +² Q 3 +² = + 2 +² Разложим второе слагаемое в знаменателе. Оно у нас уже есть в таблице arctg = − 3 +² Таким образом, функция знаменателя O() раскладывается так O = + 2 +² ¡ − − 3 +² ¡ = 5 6 +² Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 83 Теперь перейдем к числителю. Для начала рассмотрим 1 − У нас есть формула для вида дроби 1 1 − Мы сделаем хитро. Разложим дробь до остаточного члена ² , так как при умножении потом на у нас получится оценка ² . А она как раз нам и нужна! 1 1 − = 1 + + +² Тогда, при умножении на у нас получится 1 − = P 1 + + +² Q = + + +² Разложим sin, где = 1 − v . Эта формула нам также известна (в таблице). sin = − 3! +² Здесь мы разложили так же до ² , так как никаких умножений на sin у нас нет. Теперь подставим все под и получим sin] 1 − ^ = P + + +² Q − P + + +² Q 3! +² ] P + + +² Q ^ Теперь рассмотрим нашу дробь P + + +² Q 3! Обратите внимание на числитель. Если мы раскроем скобки, то наша оценка значительно увеличится, а нам этого не нужна. Нам нужно, что бы оценка оставалась ² . Что делать? Избавляться от остальных членов! Таким образом дробь примет несколько другой вид P +² Q 3! Конечно, если хотите, то можете раскрыть все скобки P + + +² Q ,Э а потом выкинуть все, степень которых будет больше 3. Но вы замучаетесь это делать, поэтому выкидывайте их сразу! Итого, вот что у нас получится Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 84 sin] 1 − ^ = P + + +² Q − P +² Q 3! +² = + + +² − +² 3! = + + 5 6 +² Рассмотрим второе слагаемое в числителе, то есть ln(1 −) Слава богу, его разложение у нас уже есть в таблице ln(1 −) = − − 2 − 3 +² Итого, мы можем записать нашу () функцию = + + 5 6 +² ¡ +− − 2 − 3 +² ¡ − 2 = 2 +² Теперь у нас есть разложенные функции () и O(). Мы можем найти наш предел lim → () O() = lim → 2 +² 5 6 +² = 35 Мы нашли предел! Хочу сказать, что это высший уровень! Это не “чайник” и не “среднячок”. Это мега-студент, который может многое. Господа, повышайте свою самооценку и чувствуйте себя выше других, решая такие примеры ☺. Лично я искренне надеюсь, что вы все поймете (а может и уже поняли) все что я рассказываю вам. Ну, что!? Идем дальше покорять вершины математики ☺! №3. lim → O P Q − ln Eℎ arctg(cos) −tg Решение: Красота, не правда ли ☺? Ничего, справились с предыдущим, покорим и этот! Будем представлять до точности ² , как и в предыдущих номерах. Попробуем вывести функцию O(). Для этого рассмотрим cos (его разложение нам известно) cos = 1 − 2 +² Остаточный член представлен в виде ² , так как на cos мы умножаем, который нам дает нашу лучшую оценку ² . Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 85 cos = 1 − 2 +² ¡ = − 2 +² Теперь разложим arctg , где = cos (так же по таблице) EO = − 3 +² Тогда мы можем разложить arctg(cos) arctg(cos) = − 2 +² ¡ − d − 2 +² e 3 +² n − 2 +² ¡ o Если мы обратим внимание на числитель второй дроби, то есть на − 2 +² ¡ , то мы сразу же обратим внимание на то, что при раскрытии скобок мы никак не получим ² . Степень у будет значительно выше. Поэтому мы избавляемся от ненужных нам членов и получаем arctg(cos) = − 2 +² ¡ − +² 3 +² = − 5 6 +² Нам осталось разложить последнее слагаемое в знаменателе O = + 3 +² Таким образом мы собрали все нужные нам данные для того, чтобы найти функцию O(). O = arctg(cos) −tg = − 5 6 +² ¡ − + 3 +² ¡ = − 7 6 +²() Отлично! Мы смогли представить знаменатель с точностью до ² . Поэтому мы смело можем переходить к числителю. Нам нужно разложить O P Q − ln Eℎ Как вы вероятно уже поняли, мы начинаем с внутренних функций. Поэтому, для начала разложим! , где = − . ! = 1 + +²() Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 86 Как видите, мы раскладываем с точностью до ²(), так как даст нам точность ² , а − ² . = 1 − +² = P 1 − +² Q = − +² Теперь разложим O, где = . O = + 3 +² Подставим и получим O P Q = P − +² Q + P − +² Q 3 +² ] P − +² Q ^ Рассмотрим числитель второй дроби P − +² Q Если мы раскроем скобки, то у нас уже не будет точности ² , поэтому от других членов мы просто избавляемся. O P Q = P − +² Q + P +² Q 3 +² = − 2 3 +² Отлично! Одно слагаемое мы смогли представить. Теперь рассмотрим второе ln Eℎ Здесь есть тоже своя хитрость. Так как мы делим на, то числитель нам нужно представить с точностью до ² , что бы при делении точность всей дроби была ² . ln(Eℎ) = 2ln(Eℎ) Здесь мы применили просто свойство логарифма. Eℎ = 1 + 2 + 24 +² Теперь разложим ln(+1),где = Eℎ −1. Мы раскладываем ln(+1), так как у нас нет формул разложения для ln. = Eℎ −1 − этим мы компенсируем нашу единичку. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 87 ln(+1) = − 2 + 3 − 4 +² = 1 + 2 + 24 +² ¡ − d 1 + 2 + 24 +² e 2 + d 1 + 2 + 24 +² e 3 − d 1 + 2 + 24 +² e 4 +² n1 + 2 + 24 +² ¡ o Ну, что же. Здесь мы должны откинуть все члены, что бы оценка не увеличивалась, а так же и оставалась на уровне ² . Вот что у нас получается в конечном итоге ln(Eℎ) = 2ln(Eℎ) = 2ln1 + 2 + 24 +² ¡ = 2 p q q r 2 + 24 +² − d 2 +² e 2 +² s t t u = 2 2 + 24 +² − 8 +² ¡ = − 6 +² Таким образом, мы можем расписать нашу функцию () = − 2 3 +² ¡ − 1 − 6 +² ¡ = − 2 +² Отсюда можно найти предел lim → () O() = lim → − 2 +² − 7 6 +²() = 37 Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 88 В данной теме мы рассмотрим предел функции вида? . Так же как и в прошлом разделе, рассмотрим все на примерах. №1. Найти предел функции lim → d √1 cos e Решение: Распишем разложение функции. Это сделать легко, так как все разложения у нас есть в таблице. √1 cos 1 12 18 ² 1 12 1 24 ² d 1 12 18 ² eÆ 1 d 12 1 24 ² e 2 ² ¡ ² Ç 1 2 8 ² ¡1 2 5 24 ² ¡1 6 ² Отсюда легко найти и предел lim → ? lim → 1 6 ² ¡ / Как считать второй замечательный предел мы с вами уже проходили, поэтому я не буду тратить сейчас на это времени. 3.Разложение в ряд Тейлора. Часть 2

Основных элементарных функций разобрались.

При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями .

Перечислим все основные виды неопределенностей : ноль делить на ноль (0 на 0 ), бесконечность делить на бесконечность , ноль умножить на бесконечность , бесконечность минус бесконечность , единица в степени бесконечность , ноль в степени ноль , бесконечность в степени ноль .

ВСЕ ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ПРИНИМАЮТ ВПОЛНЕ КОНКРЕТНОЕ КОНЕЧНОЕ ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ.

Раскрывать неопределенности позволяет:

упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.);
использование замечательных пределов;
применение правила Лопиталя ;
использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным (использование таблицы эквивалентных бесконечно малых).

Сгруппируем неопределенности в таблицу неопределенностей . Каждому виду неопределенности поставим в соответствие метод ее раскрытия (метод нахождения предела).

Эта таблица вместе с таблицей пределов основных элементарных функций будут Вашими главными инструментами при нахождении любых пределов.

Приведем парочку примеров, когда все сразу получается после подстановки значения и неопределенности не возникают.

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение:

И сразу получили ответ.

Ответ:

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение х=0 в основание нашей показательно степенной функции:

То есть, предел можно переписать в виде

Теперь займемся показателем. Это есть степенная функция . Обратимся к таблице пределов для степенных функций с отрицательным показателем. Оттуда имеем и , следовательно, можно записать .

Исходя из этого, наш предел запишется в виде:

Вновь обращаемся к таблице пределов, но уже для показательных функций с основанием большим единицы, откуда имеем:

Ответ:

Разберем на примерах с подробными решениями раскрытие неопределенностей преобразованием выражений .

Очень часто выражение под знаком предела нужно немного преобразовать, чтобы избавиться от неопределенностей.

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения. Пробуем упростить выражение.

Ответ:

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности (0 на 0 ). Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Домножим и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю.

Для знаменателя сопряженным выражением будет

Знаменатель мы домножали для того, чтобы можно было применить формулу сокращенного умножения – разность квадратов и затем сократить полученное выражение.

После ряда преобразований неопределенность исчезла.

Ответ:

ЗАМЕЧАНИЕ: для пределов подобного вида способ домножения на сопряженные выражения является типичным, так что смело пользуйтесь.

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Так как и числитель и знаменатель обращаются в ноль при х=1 , то если эти выражения, можно будет сократить (х-1) и неопределенность исчезнет.

Разложим числитель на множители:

Разложим знаменатель на множители:

Наш предел примет вид:

После преобразования неопределенность раскрылась.

Ответ:

Рассмотрим пределы на бесконечности от степенных выражений. Если показатели степенного выражения положительны, то предел на бесконечности бесконечен. Причем основное значение имеет наибольшая степень, остальные можно отбрасывать.

Пример.

Если выражение под знаком предела представляет собой дробь, причем и числитель и знаменатель есть степенные выражения (m – степень числителя, а n – степень знаменателя), то при возникает неопределенность вида бесконечность на бесконечность , в этом случае неопределенность раскрывается делением и числитель и знаменатель на

Пример.

Вычислить предел

Существует в математике такое понятие, как предел функции. Чтобы понимать, как находить пределы, нужно помнить определение предела функции: функция f (x) имеет предел L в точке x = a, если для каждой последовательности значений х, сходящейся к точке a, последовательность значений у приближается к:

L lim f(x) = L

Понятие и свойства пределов

Что такое предел, можно понять из примера. Предположим, мы имеем функцию у=1/х. Если мы будем последовательно увеличивать значение х и смотреть, чему равен у, то получим всё уменьшающиеся значения: при х=10000 у=1/10000; при х=1000000 у=1/1000000. Т.е. чем больше х, тем меньше у. Если х=∞, у будет настолько мал, что его можно будет считать равным 0. Таким образом, предел функции у=1/х при х стремящемся к ∞ равен 0. Записывается это так: