Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Представлен способ вывода формул для обратных тригонометрических функций. Получены формулы для отрицательных аргументов, выражения, связывающие арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Указан способ вывода формул суммы арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов.

Основные формулы

Вывод формул для обратных тригонометрических функций прост, но требует контроля за значениями аргументов прямых функций. Это связано с тем, что тригонометрические функции периодичны и, поэтому, обратные к ним функции многозначны. Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями подразумевают их главные значения. Для определения главного значения, область определения тригонометрической функции сужают до интервала, на котором она монотонна и непрерывна. Вывод формул для обратных тригонометрических функций основывается на формулах тригонометрических функций и свойствах обратных функций как таковых. Свойства обратных функций можно разбить на две группы.

В первую группу входят формулы, справедливые на всей области определения обратных функций:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x
tg(arctg x) = x (-∞ < x < +∞ )
ctg(arcctg x) = x (-∞ < x < +∞ )

Во вторую группу входят формулы, справедливые только на множестве значений обратных функций.
arcsin(sin x) = x при
arccos(cos x) = x при
arctg(tg x) = x при
arcctg(ctg x) = x при

Если переменная x не попадает в указанный выше интервал, то ее следует привести к нему, применяя формулы тригонометрических функций (далее n - целое):
sin x = sin(- x-π) ; sin x = sin(π-x) ; sin x = sin(x+2 πn) ;
cos x = cos(-x) ; cos x = cos(2 π-x) ; cos x = cos(x+2 πn) ;
tg x = tg(x+πn) ; ctg x = ctg(x+πn)

Например, если известно, что то
arcsin(sin x) = arcsin(sin( π - x )) = π - x .

Легко убедиться, что при π - x попадает в нужный интервал. Для этого умножим на -1 : и прибавим π : или Все правильно.

Обратные функции отрицательного аргумента

Применяя указанные выше формулы и свойства тригонометрических функций, получаем формулы обратных функций отрицательного аргумента.

arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Поскольку то умножив на -1 , имеем: или
Аргумент синуса попадает в допустимый интервал области значений арксинуса. Поэтому формула верна.

Аналогично для остальных функций.
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x

arctg(- x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arctg x

arcctg(- x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x

Выражение арксинуса через арккосинус и арктангенса через арккотангенс

Выразим арксинус через арккосинус.

Формула справедлива при Эти неравенства выполняются, поскольку

Чтобы убедиться в этом, умножим неравенства на -1 : и прибавим π/2 : или Все правильно.

Аналогично выражаем арктангенс через арккотангенс.

Выражение арксинуса через арктангенс, арккосинуса через арккотангенс и наоборот

Поступаем аналогичным способом.

Формулы суммы и разности

Аналогичным способом, получим формулу суммы арксинусов.

Установим пределы применимости формулы. Чтобы не иметь дела с громоздкими выражениями, введем обозначения: X = arcsin x , Y = arcsin y . Формула применима при
. Далее замечаем, что, поскольку arcsin(- x) = - arcsin x, arcsin(- y) = - arcsin y, то при разных знаках у x и y , X и Y также разного знака и поэтому неравенства выполняются. Условие различных знаков у x и y можно написать одним неравенством: . То есть при формула справедлива.

Теперь рассмотрим случай x > 0 и y > 0 , или X > 0 и Y > 0 . Тогда условие применимости формулы заключается в выполнении неравенства: . Поскольку косинус монотонно убывает при значениях аргумента в интервале от 0 , до π , то возьмем косинус от левой и правой части этого неравенства и преобразуем выражение:
;
;
;
.
Поскольку и ; то входящие сюда косинусы не отрицательные. Обе части неравенства положительные. Возводим их в квадрат и преобразуем косинусы через синусы:
;
.
Подставляем sin X = sin arcsin x = x :
;
;
;
.

Итак, полученная формула справедлива при или .

Теперь рассмотрим случай x > 0, y > 0 и x 2 + y 2 > 1 . Здесь аргумент синуса принимает значения: . Его нужно привести к интервалу области значения арксинуса :

Итак,

при и.

Заменив x и y на - x и - y , имеем

при и.
Выполняем преобразования:

при и.
Или

при и.

Итак, мы получили следующие выражения для суммы арксинусов:

при или ;

при и ;

при и .

Урок и презентация на тему: "Арктангенс. Арккотангенс. Таблицы арктангенса и арккотангенса"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" от компании 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве

Что будем изучать:
1. Что такое арктангенс?
2. Определение арктангенса.
3. Что такое арккотангенс?
4. Определение арккотангенса.
5. Таблицы значений.
6. Примеры.

Что такое арктангенс?

Ребята, мы с вами уже научились решать уравнения для косинуса и синуса. Теперь давайте научимся решать подобные уравнения для тангенса и котангенса. Рассмотрим уравнение tg(x)= 1. Для решения этого уравнение построим два графика: y= 1 и y= tg(x). Графики наших функций имеют бесконечное множество точек пересечения. Абсциссы этих точек имеют вид: x= x1 + πk, x1 – абсцисса точки пересечения прямой y= 1 и главной ветки функции y= tg(x), (-π/2 <x1> π/2). Для числа x1 было введено обозначение, как арктангенс. Тогда решение нашего уравнения запишется: x= arctg(1) + πk.

Определение арктангенса

arctg(a) – это такое число из отрезка [-π/2; π/2], тангенс которого равен а.

Уравнение tg(x)= a имеет решение: x= arctg(a) + πk, где k - целое число.

Также заметим: arctg(-a)= -arctg(a).

Что такое арккотангенс?

Давайте решим уравнение сtg(x)= 1. Для этого построим два графика: y= 1 и y=сtg(x). Графики наших функций имеют бесконечное множество точек пересечения. Абсциссы этих точек имеют вид: x= x1 + πk. x1 – абсцисса точки пересечения прямой y= 1 и главной ветки функции y= сtg(x), (0 <x1> π).
Для числа x1 было введено обозначение, как арккотангенс. Тогда решение нашего уравнения запишется: x= arcсtg(1) + πk.

Определение арккотангенса

arсctg(a) – это такое число из отрезка , котангенс которого равен а.

Уравнение ctg(x)= a имеет решение: x= arcctg(a) + πk, где k - целое число.

Также заметим: arcctg(-a)= π - arcctg(a).

Таблицы значений арктангенса и арккотангенса

Таблица значений тангенса и котангенса

Таблица значений арктангенса и арккотангенса

Примеры

1. Вычислить: arctg(-√3/3).
Решение: Пусть arctg(-√3/3)= x, тогда tg(x)= -√3/3. По определению –π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения тангенса в таблице: x= -π/6, т.к. tg(-π/6)= -√3/3 и – π/2 ≤ -π/6 ≤ π/2.
Ответ: arctg(-√3/3)= -π/6.

2. Вычислить: arctg(1).
Решение: Пусть arctg(1)= x, тогда tg(x)= 1. По определению –π/2 ≤ x ≤ π/2. Посмотрим значения тангенса в таблице: x= π/4, т.к. tg(π/4)= 1 и – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2.
Ответ: arctg(1)= π/4.

3. Вычислить: arcctg(√3/3).
Решение: Пусть arcctg(√3/3)= x, тогда ctg(x)= √3/3. По определению 0 ≤ x ≤ π. Посмотрим значения котангенса в таблице: x= π/3, т.к. ctg(π/3)= √3/3 и 0 ≤ π/3 ≤ π.
Ответ: arcctg(√3/3) = π/3.

4. Вычислить: arcctg(0).
Решение: Пусть arcctg(0)= x, тогда ctg(x) = 0. По определению 0 ≤ x ≤ π. Посмотрим значения котангенса в таблице: x= π/2, т.к. ctg(π/2)= 0 и 0 ≤ π/2 ≤ π.
Ответ: arcctg(0) = π/2.

5. Решить уравнение: tg(x)= -√3/3.
Решение: Воспользуемся определением и получим: x= arctg(-√3/3) + πk. Воспользуемся формулой arctg(-a)= -arctg(a): arctg(-√3/3)= – arctg(√3/3)= – π/6; тогда x= – π/6 + πk.
Ответ: x= =– π/6 + πk.

6. Решить уравнение: tg(x)= 0.
Решение: Воспользуемся определением и получим: x= arctg(0) + πk. arctg(0)= 0, подставим в формулу решение: x= 0 + πk.
Ответ: x= πk.

7. Решить уравнение: tg(x) = 1.5.
Решение: Воспользуемся определением и получим: x= arctg(1.5) + πk. Значения арктангенса для данного значения в таблице нет, тогда оставим ответ в таком виде.
Ответ: x= arctg(1.5) + πk.

8. Решить уравнение: ctg(x)= -√3/3.
Решение: Воспользуемся формулой: ctg(x)= 1/tg(x); ctg(x)= -√3/3 =1/tg(x) => tg(x)= -√3. Воспользуемся определением и получим: x= arctg (-√3) + πk. arctg(-√3)= –arctg(√3)= –π/3, тогда x= -π/3 + πk.
Ответ: x= – π/3 + πk.

9. Решить уравнение: ctg(x)= 0.
Решение: Воспользуемся формулой: ctg(x)= cos(x)/sin(x). Тогда нам надо найти значения x, при которых cos(x)= 0, получаем, что х= π/2+ πk.
Ответ: х= π/2 + πk.

10. Решить уравнение: ctg(x)= 2.
Решение: Воспользуемся определением и получим: x= arcсtg(2) + πk. Значения арккотангенса для данного значения в таблице нет, тогда оставим ответ в таком виде. Ответ: x= arctg(2) + πk.

Задачи для самостоятельного решения

1) Вычислить: а) arctg(√3), б) arctg(-1), в) arcctg(-√3), г) arcctg(-1).
2) Решить уравнение: а) tg(x)= -√3, б) tg(x)= 1, в) tg(x)= 2.5, г) ctg(x)= √3, д) ctg(x)= 1.85.

Даны все свойства арктангенса и арккотангенса, их графики, формулы, таблица арктангенсов и арккотангенсов. Выражения через комплексные числа, гиперболические функции. Производные, интегралы, разложения в степенные ряды.

Арктангенс, arctg

Арктангенс (y = arctg x ) - это функция, обратная к тангенсу (x = tg y
tg(arctg x) = x
arctg(tg x) = x

Арктангенс обозначается так:
.

График функции арктангенс

График функции y = arctg x

График арктангенса получается из графика тангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, множество значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арктангенса.

Арккотангенс, arcctg

Арккотангенс (y = arcctg x ) - это функция, обратная к котангенсу (x = ctg y ). Он имеет область определения и множество значений .
ctg(arcctg x) = x
arcctg(ctg x) = x

Арккотангенс обозначается так:
.

График функции арккотангенс

График функции y = arcctg x

График арккотангенса получается из графика котангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккотангенса.

Четность

Функция арктангенс является нечетной:
arctg(- x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arctg x

Функция арккотангенс не является четной или нечетной:
arcctg(- x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x ≠ ± arcctg x .

Свойства - экстремумы, возрастание, убывание

Функции арктангенс и арккотангенс непрерывны на своей области определения, то есть для всех x . (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.

	y = arctg x	y = arcctg x
Область определения и непрерывность	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Множество значений
Возрастание, убывание	монотонно возрастает	монотонно убывает
Максимумы, минимумы	нет	нет
Нули, y = 0	x = 0	нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	y = π/2
	-	π
		0

Таблица арктангенсов и арккотангенсов

В данной таблице представлены значения арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

x	arctg x		arcctg x
	град.	рад.	град.	рад.
- ∞	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
- 1	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
1	45°		45°
	60°		30°
+ ∞	90°		0°	0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

Формулы

Формулы суммы и разности

при

при

при

при

при

при

Выражения через логарифм, комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

Производные

См. Вывод производных арктангенса и арккотангенса > > >

Производные высших порядков :
Пусть . Тогда производную n-го порядка арктангенса можно представить одним из следующих способов:
;
.
Символ означает мнимую часть стоящего следом выражения.

См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса > > >
Там же даны формулы производных первых пяти порядков.

Аналогично для арккотангенса. Пусть . Тогда
;
.

Интегралы

Делаем подстановку x = tg t и интегрируем по частям:
;
;
;

Выразим арккотангенс через арктангенс:
.

Разложение в степенной ряд

При |x| ≤ 1 имеет место следующее разложение:
;
.

Обратные функции

Обратными к арктангенсу и арккотангенсу являются тангенс и котангенс , соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
tg(arctg x) = x
ctg(arcctg x) = x .

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арктангенса и арккотангенса:
arctg(tg x) = x при
arcctg(ctg x) = x при .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Урок и презентация на темы: "Арксинус. Таблица арксинусов. Формула y=arcsin(x)"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве

Что будем изучать:
1. Что такое арксинус?
2. Обозначение арксинуса.
3. Немного истории.
4. Определение.

6. Примеры.

Что такое арксинус?

Ребята, мы с вами уже научились решать уравнения для косинуса, давайте теперь научимся решать подобные уравнения и для синуса. Рассмотрим sin(x)= √3/2. Для решения этого уравнения требуется построить прямую y= √3/2 и посмотреть: в каких точках она пересекает числовую окружность. Видно, что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и будут решением нашего уравнения. Переобозначим F как x1, а G как x2. Решение этого уравнения мы уже находили и получили: x1= π/3 + 2πk,
а x2= 2π/3 + 2πk.

Решить данное уравнение довольно просто, но как решить, например, уравнение
sin(x)= 5/6. Очевидно, что это уравнение будет иметь также два корня, но какие значения будут соответствовать решению на числовой окружности? Давайте внимательно посмотрим на наше уравнение sin(x)= 5/6.
Решением нашего уравнения будут две точки: F= x1 + 2πk и G= x2 + 2πk,
где x1 – длина дуги AF, x2 – длина дуги AG.
Заметим: x2= π - x1, т.к. AF= AC - FC, но FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Но, что это за точки?

Столкнувшись с подобной ситуацией, математики придумали новый символ – arcsin(x). Читается, как арксинус.

Тогда решение нашего уравнения запишется так: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

И решение в общем виде: x= arcsin(5/6) + 2πk и x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Арксинус - это угол (длина дуги AF, AG) синус, которого равен 5/6.

Немного истории арксинуса

История происхождения нашего символа совершенно такая же, как и у arccos. Впервые символ arcsin появляется в работах математика Шерфера и известного французского ученого Ж.Л. Лагранжа. Несколько ранее понятие арксинус рассматривал Д. Бернули, правда записывал его другими символами.

Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка "arc" происходит от латинского "arcus" (лук, дуга). Это вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x - это угол (а можно сказать и дуга), синус которого равен x.

Определение арксинуса

Если |а|≤ 1, то arcsin(a) – это такое число из отрезка [- π/2; π/2], синус которого равен а.

Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x)= a имеет решение: x= arcsin(a) + 2πk и
x= π - arcsin(a) + 2πk

Перепишем:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Ребята, посмотрите внимательно на два наших решения. Как думаете: можно ли их записать общей формулой? Заметим, что если перед арксинусом стоит знак "плюс", то π умножается на четное число 2πk, а если знак "минус", то множитель - нечетный 2k+1.
С учётом этого, запишем общую формула решения для уравнения sin(x)=a:

Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:

sin(x)=0, то x= πk,

sin(x)=1, то x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, то x= -π/2 + 2πk.

Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арксинуса.

Примеры

1. Вычислить: arcsin(√3/2).
Решение: Пусть arcsin(√3/2)= x, тогда sin(x)= √3/2. По определению: - π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= π/3, т.к. sin(π/3)= √3/2 и –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Вычислить: arcsin(-1/2).
Решение: Пусть arcsin(-1/2)= x, тогда sin(x)= -1/2. По определению: - π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= -π/6, т.к. sin(-π/6)= -1/2 и -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Ответ: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Вычислить: arcsin(0).
Решение: Пусть arcsin(0)= x, тогда sin(x)= 0. По определению: - π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: значит x= 0, т.к. sin(0)= 0 и - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Ответ: arcsin(0)=0.

4. Решить уравнение: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk и x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Посмотрим в таблице значение: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Ответ: x= -π/4 + 2πk и x= 5π/4 + 2πk.

5. Решить уравнение: sin(x) = 0.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(0) + 2πk и x= π - arcsin(0) + 2πk. Посмотрим в таблице значение: arcsin(0)= 0.
Ответ: x= 2πk и x= π + 2πk

6. Решить уравнение: sin(x) = 3/5.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(3/5) + 2πk и x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Ответ: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Решить неравенство sin(x) Решение: Синус - это ордината точки числовой окружности. Значит: нам надо найти такие точки, ордината которых меньше 0.7. Нарисуем прямую y=0.7. Она пересекает числовую окружность в двух точках. Неравенству y Тогда решением неравенства будет: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Задачи на арксинус для самостоятельного решения

1) Вычислить: а) arcsin(√2/2), б) arcsin(1/2), в) arcsin(1), г) arcsin(-0.8).
2) Решить уравнение: а) sin(x) = 1/2, б) sin(x) = 1, в) sin(x) = √3/2, г) sin(x) = 0.25,
д) sin(x) = -1.2.
3) Решить неравенство: а) sin (x)> 0.6, б) sin (x)≤ 1/2.