Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Существует три признака равенства для двух треугольников. В этой статье мы рассмотрим их в виде теорем, а также приведем их доказательства. Для этого вспомним, что фигуры будут равны в том случае, когда они будут целиком накладываться друг на друга.

Первый признак

Теорема 1

Два треугольника будут равными, если две стороны и угол между ними одного из треугольников будут равняться двум сторонам и углу, лежащему между ними в другом.

Доказательство.

Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A"B"C"$, в которых $AB=A"B"$,$AC=A"C"$ и $∠A=∠A"$ (рис. 1).

Совместим высоты $A$ и $A"$ этих треугольников. Так как углы при этих вершинах равны между собой, то стороны $AB$ и $AC$ наложатся, соответственно, на лучи $A"B"$ и $A"C"$. Так как эти стороны попарно равны, то стороны $AB$ и $AC$, соответственно, совпадут со сторонами $A"B"$ и $A"C"$, а следовательно и вершины $B$ и $B"$, $C$ и $C"$ будут совпадать.

Следовательно, сторона BC полностью совпадет со стороной $B"C"$. Значит, и треугольники будут целиком накладываться друг на друга, что и означает их равенства.

Теорема доказана.

Второй признак

Теорема 2

Два треугольника будут равными, если два угла и их общая сторона одного из треугольников будут равняться двум углам и их общей стороны в другом.

Доказательство.

Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A"B"C"$, в которых $AC=A"C"$ и $∠A=∠A"$, $∠C=∠C"$ (рис. 2).

Совместим стороны $AC$ и $A"C"$ этих треугольников, так что высоты $B$ и $B"$ будут лежать по одну сторону от нее. Так как углы при этих сторонах попарно равны между собой, то стороны $AB$ и $BC$ наложатся, соответственно, на лучи $A"B"$ и $B"C"$. Следовательно, и точка $B$ и точка $B"$ будет точками пересечения совмещенных лучей (то есть, к примеру, лучей $AB$ и $BC$). Так как лучи могут иметь только одну точку пересечения, то точка $B$ совпадет с точкой $B"$. Значит, и треугольники будут целиком накладываться друг на друга, что и означает их равенства.

Теорема доказана.

Третий признак

Теорема 3

Два треугольника будут равными, если три стороны одного из треугольников будут равняться трем сторонам в другом.

Доказательство.

Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A"B"C"$, в которых $AC=A"C"$, $AB=A"B"$ и $BC=B"C"$ (рис. 3).

Доказательство.

Совместим стороны $AC$ и $A"C"$ этих треугольников, так что высоты $B$ и $B"$ будут лежать по разную сторону от нее. Далее будем рассматривать три различных случая полученного после этого расположения этих вершин. Будем их рассматривать на рисунках.

Первый случай:

Так как $AB=A"B"$, то будет верно равенство $∠ABB"=∠AB"B$. Аналогично, $∠BB"C=∠B"BC$. Тогда, как сумму, получим $∠B=∠B"$

Второй случай:

Так как $AB=A"B"$, то будет верно равенство $∠ABB"=∠AB"B$. Аналогично, $∠BB"C=∠B"BC$. Тогда, как разность, получим $∠B=∠B"$

Следовательно, по теореме 1, эти треугольники равны.

Третий случай:

Так как $BC=B"C"$, то будет верно равенство $∠ABC=∠AB"C$

Следовательно, по теореме 1, эти треугольники равны.

Теорема доказана.

Пример задач

Пример 1

Докажите равенство треугольников на рисунке ниже

Третий признак равенства треугольников по трем сторонам формулируется в виде теоремы.

Теорема : Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. рассмотримΔABC и ΔA 1 B 1 C 1 у которых AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , ВС=В 1 С 1 . Докажем, что ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Пусть ABC и A 1 B 1 C 1 – треугольники, у которых AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . Наложим ∆ABC на ∆A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина A совместиласьA 1 , а вершины B и B 1 , а вершины С и С 1 оказались по разные стороны от прямой A 1 В 1 . Возможны три случая: 1) луч С 1 С проходит внутри угла А 1 С 1 В 1 (рис. а)); 2)луч С 1 С совпадает с одной из сторон этого угла (рис. б)); луч С 1 С проходит вне угла А 1 С 1 В 1 (рис. в)). Рассмотрим первый случай. Так как по условию теоремы стороны АС и A 1 C 1 , ВС и В 1 С 1 равны, то треугольники А 1 С 1 С и В 1 С 1 С - равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4, поэтому ÐA 1 CB 1 = =ÐA 1 С 1 B 1 . Итак, AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ÐС = ÐС 1 . Следовательно, треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 равны по первому признаку равенства треугольников.

Запись на доске:

Дано: ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1 , AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , ВС=В 1 С 1

Доказать: ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Доказательство. Наложим ∆ABC на ∆A 1 B 1 C 1 так, чтобы A →A 1 , а B → B 1 , а С и С 1 оказались по разные стороны от прямой A 1 В 1 . Рассмотрим случай. луч С 1 С проходит внутри ÐА 1 С 1 В 1 (рис. а)).

АС=A 1 C 1 , ВС=В 1 С 1 ═> ΔА 1 С 1 С и ΔВ 1 С 1 С - равноб. ═> Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4 (по св-ву углов равноб. Δ), ═> ÐA 1 CB 1 =ÐA 1 С 1 B 1 ═> AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ÐС = ÐС 1 ═>

ΔABC=ΔА 1 В 1 С 1 по первому признаку равенства треугольников.

2.Ромб. Определение, свойства, признаки.

Ромб является разновидностью четырехугольника.

Определение : Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

На рисунке изображён параллелограмм ABCD у которого AB=BC=CD=DA. По определению этот параллелограмм – ромб. АС и ВD – диагонали ромба. Поскольку ромб – параллелограмм, для него справедливы все свойства и признаки параллелограмма.

Свойства :

1) В ромбе противоположные углы равны (ÐA=ÐC, ÐB=ÐD)

2) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. (BО=ОD, AО=ОC)

3) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся его углы пополам. (АС DВ, ‌‌ÐАBО=ÐОВС, ÐADО=ÐОDC, ‌‌ÐBСО=ÐDСО, ÐDАО=ÐВАО) (особое свойство)

4) Сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180 0 (ÐA+ÐВ= ÐС+ÐD=ÐВ+ÐC=ÐА+ÐD=180 0)

признаками ромба:

1) Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб

2) Если диагональ параллелограмма делит его углы пополам, то этот параллелограмм ромб.

3) если в параллелограмме все стороны равны, то он является ромбом.

Запись на доске.

Свойства :

1) ÐA=ÐC, ÐB=ÐD2) BО=ОD, AО=ОC

3) АС DВ, ‌‌ÐАBО=ÐОВС, ÐADО=ÐОDC, ‌‌ÐBСО=ÐDСО, ÐDАО=ÐВАО

4) ÐA+ÐВ= ÐС+ÐD=ÐВ+ÐC=ÐА+ÐD=180 0

Обратные утверждения являются признаками ромба:

1 ) Если ABСD – парал-м, и АС DВ, то – ABСD - ромб.

2) Если ABСD – парал-м, и АС и DВ - биссектрисы, то – ABСD - ромб.

3) Если ABСD – парал-м, и АС=DВ и BC=AD, то – ABСD - ромб.

Задача.

1) по двум сторонам и углу между ними

Доказательство:

Пусть у треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 угол A равен углу А 1 , АВ равно А 1 В 1, АС равно А 1 С 1 . Докажем, что треугольники равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A 1 B 1 C 1 так, чтобы угол A совместился с углом A 1 . Так как АВ=А 1 В 1 , а АС=А 1 С 1 , то B совпадёт с В 1 , а C совпадёт с С 1. Значит, треугольник А 1 В 1 С 1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Теорема доказана.

2) по стороне и прилежащим к ней углам

Доказательство:

ПустьАВС и А 1 В 1 С 1 - два треугольника, у которых АВ равно А 1 В 1, угол А равен углу А 1 , и угол В равен углу В 1 . Докажем, что они равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A 1 B 1 C 1 так, чтобы AB совпало с A 1 B 1. Так как ∠ВАС =∠В 1 А 1 С 1 и ∠АВС=∠А 1 В 1 С 1 , то луч АС совпадёт с А 1 С 1 , а ВС совпадёт с В 1 С 1 . Отсюда следует, что вершина C совпадёт с С 1. Значит, треугольник А 1 В 1 С 1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Теорема доказана.

3) по трём сторонам

Доказательство :

Рассмотрим треугольники ABC и A l B l C 1, у которых АВ=А 1 В 1 , BC = B l C 1 СА=С 1 А 1. Докажем, что ΔАВС =ΔA 1 B 1 C 1 .

Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A 1 , вершина В — с вершиной В 1 , а вершины С и С 1 , оказались по разные стороны от прямой А 1 В 1 . Рассмотрим 3 случая:

1) Луч С 1 С про-ходит внутри угла А 1 С 1 В 1 . Так как по условию теоремы стороны АС и A 1 C 1 , ВС и В 1 С 1 равны, то треугольники A 1 C 1 C и В 1 С 1 С — равнобедренные . По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .

2) Луч С 1 С совпадает с одной из сторон этого угла. A лежит на CC 1 . AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , C 1 BC - равнобедренный , ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .

3) Луч C 1 C проходит вне угла А 1 С 1 В 1 . AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , значит, ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .

Итак, AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ∠C=∠C 1 . Следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по
первому признаку равенства треугольников.

Теорема доказана.

2. Деление отрезка на n равных частей.

Провести луч через A, отложить на нём n равных отрезков. Через B и A n провести прямую и к ней параллельные через точки A 1 - A n -1. Отметим их точки пересечения с AB. Получим n отрезков, которые равны по теореме Фалеса.

Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Доказательство. AB=CD

1. Проведём через точки A и C прямые, параллельные другой стороне угла. Получим два параллелограмма AB 2 B 1 A 1 и CD 2 D 1 C 1 . Согласно свойству параллелограмма : AB 2 = A 1 B 1 и CD 2 = C 1 D 1 .

2. ΔABB 2 =ΔCDD 2 ABB 2 CDD 2 BAB 2 DCD 2 и равны на основании второго признака равенства треугольников:
AB = CD согласно условию теоремы,
как соответственные, образовавшиеся при пересечении параллельных BB 1 и DD 1 прямой BD.

3. Аналогично каждый из углов и оказывается равным углу с вершиной в точке пересечения секущих. AB 2 = CD 2 как соответственные элементы в равных треугольниках.

4. A 1 B 1 = AB 2 = CD 2 = C 1 D 1