Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Уметь решать системы линейных уравнений это очень хорошо, но само по себе решение систем уравнение - это лишь метод для более сложных задач. С помощью систем уравнений можно решать различные задачи, которые встречаются нам в жизни.

Алгебра - это наука о решении уравнений и систем уравнений. Именно таким определением пользовались ученые к концу 20 века. Известный ученый Рене Декарт известен одним из своих трудов, который называют «Метод Декарта». Декарт положил, что любую задачу можно свести к математической, любую математическую задачу можно свести к алгебраической системе уравнений. А любую систему можно свести к решению одного уравнения.

К сожалению, Декарт не успел полностью закончить свой метод, написал не все его пункты, но идея очень хорошая.

И теперь и мы, подобно Декарту, будем решать задачи с помощью систем уравнений, конечно, не любые, а только те, которые можно свести к решению систем линейных уравнений.

Общая схема решения задачи с помощью систем уравнений

Опишем общую схему решения задач с помощью систем уравнений:

• 1. Для неизвестных величин вводим определенные обозначения и составляем систему линейных уравнений.
• 2. Решаем полученную систему линейных уравнений.
• 3. Использую введенные обозначения, записываем ответ.

Попробуем применить данную схему на конкретной задаче.

Известно что, два карандаша и три тетради стоят 35 рублей, а две тетради и три карандаша стоят 40 рублей. Необходимо выяснить, сколько стоят пять карандашей и шесть тетрадей.

Решение:

Нам необходимо найти, сколько стоит по отдельности один карандаш и одна тетрадь. Если такие данные у нас будут, то решить, сколько стоят пять карандашей и шесть тетрадей, не составит труда.

Обозначим за х цену одного карандаша в рублях. А у - цена одной тетради в рублях. Теперь внимательно читаем условие и составляем уравнение.

«два карандаша и три тетради стоят 35 рублей» значит

• 2*x+3*y = 35;

«две тетради и три карандаша стоят 40 рублей» следовательно

• 3*x+2*y = 40;

Получаем систему уравнений:

{2*x+3*y = 35;
{3*x+2*y = 40;

С первым пунктом покончено. Теперь необходимо решить полученную систему уравнений любым из известных способов.

Решив, получаем х=10, а y=5.

Вернувшись к исходным обозначениям имеем, цена одного карандаша 10 рублей, а цена одной тетрадки 5 рублей.

Против течения

По течению

№ 1193. Математика 5 класс. Н.Я.Виленкин

? км/ч

? км/ч

№ 14.1

Расстояние между двумя пунктами по реке равно 80 км. Это расстояние лодка проплывает по течению реки за 4 часа, а против течения – за 5 часов. Найдите скорость катера по течению и против течения.

По течению

4(х+у)

5(х-у)

Ответ:

№ 14.4

Катер за 4 часа по течению реки проплывает на 10 км меньше, чем за 6 часов против течения. Найдите собственную скорость катера, если плот по этой же реке за 15 ч проплывает за 15 часов такое же расстояние, что и катер за 2 часа по озеру.

Против теч.

По течению

4(х+у)

на 10

6(х-у)

4(х+у) +10 =6(х-у)

4х+4у+10=6х-6у

4х-6х+4у+6у=-10

Ответ:

№ 14.10

Кол-во га

за 1 день

Кол-во

дней

Всего га

1 тракторист

2 тракторист

№ 14.10

• Два тракториста вспахали вместе 678 га. Первый тракторист работал 8 дней, а второй – 11 дней. Сколько га вспахивал за день каждый тракторист, если первый тракторист за каждые 3 дня вспахивал на 22 га меньше, чем второй за 4 дня?

Кол-во га

за 1 день

Кол-во

дней

Всего га

1 тракторист

на 22 га

меньше

2 тракторист

Ответ:

№ 14.5

Теплоход 120 км проходит за 5 часов против течения реки и 180 км за 6 часов по течению. Найдите скорость течения реки и собственную скорость теплохода.

По течению

6(х+у)

5(х-у)

Ответ:

№ 14.11

Кол-во ц

за 1 час

Кол-во

часов

Всего

бригада

бригада

№ 14.11

• Две бригады работали на уборке картофеля. В первый день одна бригада работала 2 часа, а вторая – 3 часа, причем ими было собрано 23 ц картофеля. Во второй день первая бригада за 3 часа работы собрала на 2 ц больше, чем вторая за 2 часа. Сколько центнеров картофеля собирала каждая бригада за 1 час работы?

Кол-во ц

за 1 час

Кол-во

часов

Всего

бригада

на 2 ц

больше

бригада

Ответ:

№ 14.7

х-1 число

у-2 число

3(х-у)=(х+у)+6

2(х-у)=(х+у)+9

Ответ:

№ 14.12

Кол-во т

за 1 рейс

Кол-во

рейсов

Всего

тонн

машина

машина

№ 14.12

• В первый день было вывезено 27 тонн зерна, причем одна машина сделала 4 рейса, а другая – 3 рейса. На следующий день вторая машина за 4 рейса перевезла на 11 тонн больше, чем первая машина за 3 рейса. Сколько тонн зерна перевозили на каждой машине за один рейс?

Кол-во т

за 1 рейс

Кол-во

рейсов

Всего

тонн

машина

на 11т

больше

машина

Ответ:

№ 14.14

Кол-во кг

в 1 ящике

Кол-во

ящиков

Всего

черешня

на 3 ящика

меньше

вишня

№ 14.14

• На рынке было закуплено 84 кг черешни и вишни, причем черешни куплено на 3 ящика меньше, чем вишни. Сколько ящиков черешни и вишни закуплено по отдельности, если в 1 ящике черешни 8 кг, а вишни 10 кг?

Кол-во кг

в 1 ящике

Кол-во

ящиков

Всего

черешня

вишня

Ответ:

№ 14.8

№ 14.25

№ 14.31

10 А +В- формула двузначного числа

А- число десятков, В - число единиц

Решая задачи при помощи уравнений, мы искали, как правило, одно неизвестное. Но встречаются и задачи, где есть несколько неизвестных. Такие задачи принято решать посредством составления систем уравнений.

Навстречу друг другу из одного города в другой, расстояние между которыми составляет 30 км, едут два велосипедиста. Предположим, что если велосипедист 1 выедет на 2 ч раньше своего товарища, то они встретятся через 2,5 часа после отъезда велосипедиста 2; если же велосипедист 2 выедет 2мя часами ранее велосипедсита 1, то встреча произойдет через 3 часа после отъезда первого. С какой скоростью движется каждый велосипедист?

Решение.

1. Определим скорость велосипедиста 1 как х км/ч, а скорость велосипедиста 2 как у км/ч.

2. Если первый велосипедист выедет на 2 ч раньше второго, то, согласно условию, он будет ехать до встречи 4,5 ч, тогда как второй 2,5 часа. За 4,5 ч первый проедет путь 4,5х км, а за 2,5 ч второй проедет путь 2,5у км.

3. Встреча двух велосипедистов означает, что суммарно они проехали путь 30 км, т.е. 4,5х + 2,5 у = 30. Это и есть наше первое уравнение.

4. Если второй выедет на 2 ч раньше первого, то, согласно условию, он будет ехать до встречи 5 ч, тогда как первый – 3 ч. Используя рассуждения, аналогичные изложенным выше рассуждениям, приходим к уравнению:

5. Итак, мы получили систему уравнений

{4,5х + 2,5 у = 30,
{3х + 5у = 30.

6. Решив полученную систему уравнений, мы найдем корни: х = 5, у = 3.

Т.о., первый велосипедист едет со скоростью 5 км/ч, а второй – 3 км/ч.

Ответ: 5 км/ч, 3 км/ч.

Вкладчику на его сбережения через год было начислено 6 $ процентных денег. Добавив 44 $, вкладчик оставил деньги еще на год. По истечении года вновь было произведено начисление процентов, и теперь вклад вместе с процентами составил 257,5 $. Какая сумма составляла вклад первоначально и сколько процентов начисляет банк?

Решение.

1. Пусть х ($) – первоначальный вклад, а у (%) – это проценты, которые начисляются ежегодно.

2. Тогда к концу года к первоначальному вкладу добавится (у/100) ∙ х $.
Из условия получаем уравнение (ух/100) = 6.

3. По условию известно, что в конце года вкладчик внес еще 44 $, так что вклад в начале второго года составил х + 6 + 44, т.е. (х + 50) $. Таким образом, сумма, полученная к концу второго года с учетом начисления, равнялась (х + 50 + (у/100)(х + 50)) $. По условию эта сумма равна 275,5 $. Это позволило нам составить второе уравнение:

х + 50 + (у/100)(х + 50) = 257,5

4. Итак, мы получили систему уравнений:

{(ух/100) = 6,
{х + 50 + (у/100)(х + 50) = 257,5

После преобразования системы уравнений мы получим:

{ху = 600,
{100х + 50у + ху = 20750.

Решив систему уравнений, мы нашли два корня: 200 и 1,5. Только первое значение удовлетворяет нашему условию.

Подставим значение х в уравнение и найдем значение у:
если х = 200, то у = 3.

Таким образом, первоначальный вклад составлял 200 $, а банк в год производит начисление а размере 3 %.

Ответ: 200 $; 3 %.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Маслова С. В.

МГПИ им. М. Е. Евсевьева, каф. методики начального образования

Решение задач с помощью систем уравнений

В настоящее время изучение системы уравнений и решение задач с их помощью является прерогативой курса алгебры старших классов. В основном система уравнений рассматривается как два или несколько уравнений, в которых одни и те же буквы обозначают одни и те же числа. Приведем примеры некоторых видов задач, решаемых с помощью системы уравнений в курсе алгебры. В итоге решение системы уравнений сводится к решению одного квадратного уравнения. Особо обратим внимание на способ составления самой системы.

1. Задача с геометрическим содержанием : «Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а его площадь 30 см 2 . Найти катеты».

Решение: Пусть катеты равны х и у сантиметрам. Используя теорему Пифагора и формулу площади прямоугольного треугольника, условие задачи запишем так:

Прибавляя к первому уравнению системы второе, умноженное на 4, получаем: откуда или Так как х и у – положительные числа, то Из этого уравнения выразим у через х и подставим в одно из уравнений системы, например во второе: Решим полученное уравнение:

Подставляя эти значения в формулу находим В обоих случаях один из катетов равен 5 см,другой 12 см.

Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см.

2. Задача с нумерационным содержанием : «При делении двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 6, а в остатке 4. При делении этого же числа на произведение его цифр в частном получается 2, а в остатке 16. Найти это число».

Решение: Пусть двузначное число будет записано как 10х+у. Используя правило о взаимодействии компонентов при делении с остатком, условие задачи запишем так:

Раскрыв скобки в первом уравнении, выразим из него значение у : Подставив значение у в первое уравнение системы, получим квадратное уравнение: - не удовлетворяет условию задачи.

Подставляя полученное значение в формулу находим

Ответ: двузначное число 64.

3. Задача на нахождение площади : «Участок прямоугольной формы нужно огородить забором длиной 1 км. Каковы должны быть длина и ширина участка, если его площадь равна 6 га?»

Решение: Пусть длина и ширина участка прямоугольной формы равны х и у метрам. Используя формулы нахождения периметра и площади прямоугольника, а также соотношения 1 км=1000 м и 1 га=10000 м, условие задачи запишем так:

Выразим из второго уравнения значение у : Подставив значение у в первое уравнение системы, получим квадратное уравнение:

Подставляя полученные значения в формулу

Ответ: длина и ширина участка 300 м и 200 м.

Если старшеклассники по условию задачи составляют систему уравнений, в процессе решения которой не фигурирует квадратное уравнение, то сама задача может быть решена и учащимися младших классов. Единственная программа, взявшая на себя смелость использовать системы уравнений в начальном курсе математики, это система развивающего обучения Л. В. Занкова. Рассмотрим некоторые примеры решения задач с помощью составления системы уравнений из начального курса математики.

1. Задача на движение : «Расстояние между городами 564 км. Навстречу друг другу из городов одновременно вышли поезда и встретились через 6 часов. Скорость одного поезда на 10 км больше скорости другого. Чему равна скорость каждого поезда?»

Решение: Пусть х км/ч - скорость первого поезда, а у км /ч – скорость второго поезда. По условию задачи поезда встретились через 6 часов. Тогда, 6х км - пройдёт до встречи первый поезд, 6у км - пройдёт до встречи второй поезд. Их встреча означает, что суммарно они прошли до встречи путь в 564 км, то есть 6х+6у=564 – первое уравнение.

Скорость первого поезда на 10 км/ч больше скорости второго, то есть, разность между скоростями равняется 10. Получим второе уравнение: х-у=10

Ответ: 52 км/ч, 42 км/ч.

2. Задача на уравнивание двух совокупностей : «На двух полках 84 книги. Если с одной полки снять 12 книг, то на обоих полках книг станет поровну. Сколько книг станет на каждой полке? А сколько было сначала?»

Решение: Пусть х книг – на первой полке, а у книг - на второй полке. По условию задачи на двух полках суммарно составляют 84 книги, то есть х+у=84 – первое уравнение.

Если с первой полки снять 12 книг, то количество книг на обоих полках будет поровну. Получим второе уравнение: х-12=у.

В итоге получим систему уравнений:

(книг) - было на первой полке.

84-48=36 (к.) - было на второй полке.

48-12=36 (к.) - станет на каждой полке.

Ответ: по 36 книг, 48 книг и 36 книг.

3. Задача на предположение : «У мальчика в коллекции есть жуки и пауки – всего 8 штук. Если пересчитать все ноги в коллекции. То их окажется 54. Сколько в коллекции жуков и сколько пауков?»

Решение: Пусть х – количество жуков, а у - количество пауков. Суммарно составляют 8 штук. Получим первое уравнение – х+у=8.

А так как у жука 6 ног, то ног всего будет 6х. У паука 8 ног, то 8у – это всего ног у паука. Суммарно составляют 54.Тогда приходим ко второму уравнению: 6х+8у=54.

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.

Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

1. Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
2. Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
3. Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. n*m имеет n - строк и m - столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

В примере a nm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор x n - переменные, а b n - свободные члены.

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x n .

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.