Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

«Наука геометрия» - VI век до нашей эры. Геометрические фигуры вокруг нас. 4. Четыре страны имеют форму треугольников. Какие инструменты нам будут нужны на уроках? Изучает свойства фигур на плоскости. Что означает слово “геометрия”? Аукцион по продаже пятерок. Планиметрия. Картины Виктора Вазарели. Изучает свойства фигур в пространстве.

«Взаимное расположение прямых в пространстве» - a. ??? a ? b. Скрещивающиеся прямые. b. Ввести определение скрещивающихся прямых. ?. Ввести формулировки и доказать признак и свойство скрещивающихся прямых. Расположение прямых в пространстве: Лежат в одной плоскости! Почему? Дано: АВ?, СD ? ? = С, С АВ.

«Сравнение отрезков» - Сравнение отрезков и углов. ©Максимовская М.А., 2009 год. Сравнение отрезков. A. B. Определение. C.

«Многообразия» - В нем вводится естественная метрика Сасаки. . 21. 19. Рис.8. 7. Рис.9. Гипотеза Пуанкаре состоит в следующем. Поток Риччи. Рис. 14. Рис. 5. 25. 22. Рис. 18. 26. 24. Геометрическая гипотеза Терстона. Трехмерные многообразия. Рис. 19. Рис. 10. 15. 9. Однородные трехмерные геометрии. Рис. 6. Двумерные многообразия.

«Учебник по геометрии» - Многогранники, описанные около сферы 34. Средняя линия треугольника 33. 3. Включение в содержание исторического материала. Подобие фигур. Параллелограммы 30. Индивидуальные творческие задания. Использование рисунков художников: С. Дали, А. Дюрера, О. Рутерсварда, М. Эшера и др. Пособия для подготовки к ЕГЭ.

«Формула отрезков» - Задача 3. Результат: x

"Основные понятия и аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей"

Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» - объемный, пространственный и «μετρεο» - измерять.

Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.

Плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.
На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А ∈ β, B ∈ β,

Аксиомы стереометрии и их следствия

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Аксиома 2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).
Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
Аксиома 3. В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой. Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.

Некоторые следствия из аксиом

Теорема 1. Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

Параллельные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Теорема о трех прямых в пространстве. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (если a ∥c и b ∥c , то a ∥b ).

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Теорема. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Теорема. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Пересекающиеся прямые: лежат в одной плоскости, имеют одну общую точку.	Параллельные прямые: лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)	Скрещивающиеся прямые: не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)

Стереометрия

Стереометрия (от др.-греч. στερεός, «стереос» - «твёрдый, объёмный, пространственный» и μετρέω, «метрео» - «измеряю») - раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основными (простейшими) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путём рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

Не стоит путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (свойства плоских фигур), а в стереометрии - свойства фигур в пространстве (свойства пространственных фигур).

Аксиомы стереометрии

• На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки.
• В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
• Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
• Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
• Если две точки прямой лежат на одной плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости.
• Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
• Любая плоскость α разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что:
  1. любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены плоскостью α;
  2. любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью α.
• Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, содержащей эти точки.

Многогранник

Многогранник представляет собой тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми и невыпуклыми. Выпуклый многогранник расположен по одну сторону относительно плоскости, проходящей через любую его грань.

Литература

• В. В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. - М.: Наука, 1989.
• И. Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии (стереометрия). М.: Наука, 1984. - 160 с. (Библиотечка «Квант», Выпуск 31).

Разделы математики Анализ Классический анализ Теория функций Дифференциальные и
интегральные уравнения Геометрия и топология Геометрия Топология Дискретная математика

• Портал «Математика»
• Категория «Математика»

Какие основные понятия и аксиомы стереометрии

Грустный мир

А1. Через любые три точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и проитом тока одна.
А2 Если 2 точ прямой лежат в плоскости то все точ. этой прямой лежат в плоскости.
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общию прямую на которой лежать все общие точки.

Следствия:
1. Через прямую и нележащию на ней точку проходит одна плоскость.
2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом тока одна.

Юрий малихов

Тут нужно уточнить. Любое из этих трех высказываний можно взять исходно за аксиому. Тогда остальные два будут теоремами, доказываемыми на основе взятой аксиомы:
1. Через любые три точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и притом тока одна.
2. Через прямую и нележащию на ней точку проходит одна плоскость.
3. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом тока одна.

Алексей рябчиков

В планиметрии основными фигурами были точки и прямые. В стереометрии наряду с ними рассматривается еще одна основная фигура - плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.
Как и ранее, точки будем обозначать прописными латинскими буквами А, В, С и т. д., а прямые - строчными латинскими буквами а, Ь, с И т. д. или двумя прописными латинскими буквами АВ, CD и т. д. Плоскости будем обозначать греческими буквами а, Р, Y и т. д. На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области.
Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, большая часть которых нам знакома по курсу планиметрии. Мы сформулируем лишь три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве. Ниже они обозначены А:, А1, А2. A3.
А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Плоскость, проходящую через точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, иногда называют плоскостью ABC. Отметим, что если взять не три, а четыре произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость. Иначе говоря, четыре точки могут не лежать в одной плоскости. Каждый знаком с таким наглядным подтверждением этого факта: если ножки стула не одинаковые по длине, то стул стоит на трех ножках, т. е. опирается на три "точки", а конец четвертой ножки (четвертая "точка") не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
В таком случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.
Свойство, выраженное в аксиоме А2, используется для проверки "ровности" чертежной линейки. С этой целью линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный (прямолинейный), то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неровный, то в каких-то местах между ним и поверхностью стола образуется просвет."
Из аксиомы А2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой. Наглядной иллюстрацией аксиомы А3 является пересечение двух смежных стен, стены и потолка классной комнаты.

Цель: Добиться умения правильно, последовательно, рационально излагать свои мысли, расширить кругозор учащихся, повысить уровень их математической культуры, развивать логическое мышление, личностные качества учащихся, умение делать выводы и обобщения.

Оборудование:

• Компьютерная презентация Приложение 1 .
• Игровое поле (2 штуки)– раздаточный материал. Приложение 2 .

Эпиграф: “Математика – всего лишь игра, в которую играют согласно простым правилам и пользуются при этом ничего не значащими обозначениями”.. (Гильберт )

Ход мероприятия

1. Вступительная часть – 3 мин.

Ведущий I. “Математика – всего лишь игра, в которую играют согласно простым правилам и пользуются при этом ничего не значащими обозначениями”. Это слова великого немецкого математика Давида Гильберта… Сегодня мы играем в “морской бой!” (Далее следует представление команд, членов жюри, приветствие команд. )

2. Сообщение правил игры – 2 мин.

Ведущий ІІ. Послушайте правила игры. Главная цель – “потопить” корабли противника путём прямого попадания в цель и при этом заработать как можно больше очков. У каждой команды свое игровое поле. (Слайд) Координаты каждой клетки поля размечены цифрами и русскими буквами. Следует отметить, что такие же изображения двух полей находятся на столах у команд. Каждая из команд предварительно сама расположила свои корабли так, как ей захотелось, но расположение кораблей противников ей неизвестно. На каждом игровом поле размещены “корабли”: четырёхпалубный, трёхпалубный, двухпалубный и однопалубный. Команды по очереди называют координаты любой из клеточек таблицы. Если под ней окажется одна из палуб корабля, то команде предоставляется возможность ответить на вопрос, соответствующий этой клеточке и заработать одно очко.

Ведущий І. Ответив на вопрос, команда получает право на следующий выстрел. Если команда не попадает в цель или неправильно отвечает на вопрос, то право на следующий выстрел предоставляется другой команде. Если выстрел пришёлся в клетку, не занятую ни одним кораблём противника, то команда получает ответ “Мимо!” и, стрелявшие ставят на чужом квадрате в этом месте точку.

Ведущий ІІ. Игра считается оконченной, если на поле одной из команд не осталось нераскрытым ни одного корабля, т.е. будут подбиты все 10 палуб кораблей, при этом побеждает команда, набравшая больше очков.

Хотелось бы заметить, что различным кораблям соответствуют различные задания. Так, чтобы получить очки за 4-палубный корабль, нужно угадать правильный ответ, выбрав один вариант из четырех предложенных, трехпалубный корабль содержит вопросы, связанные с историей математики, двухпалубный корабль – задачи на логику, а решая пример, можно заработать очки за однопалубный корабль. (Приложение 3 )

3. Розыгрыш права первого выстрела – 5 мин.

Ведущий І. Прежде, чем приступить к игре, разыграем право первого выстрела. Каждая команда за 1 минуту должна дать наибольшее число верных ответов. За каждый верный ответ присуждается 1 балл. Та команда, которая получит больше баллов, получает возможность первой начать игру. Если на какой-то вопрос вы не знаете ответ, то отвечайте: “Дальше!”

Вопросы первой команде.

1. Как называют функцию, для которой справедливо равенство f(-х)= – f(х)? (Нечетная)
2. Это можно провести через две точки. Это – график линейной функции. (Прямая)
3. Кому принадлежат слова “Математика ум в порядок приводит”? (Ломоносов)
4. В каких четвертях cos ? положителен? (І, ІV)
5. Корень кубический из 64. (4)
6. Двое играли в шахматы 2 часа. Сколько времени играл каждый? (2 часа)
7. Как можно назвать треугольник со сторонами 3, 4, 5? (Египетский)
8. На какое число нужно разделить 2, чтобы получилось 4? (1/2)
9. Сотая часть числа. (%)
10. Какой угол опишет часовая стрелка за 2 часа? (60°)
11. Что означает “трапеция” по древнегречески? (Столик)
12. Наука, изучающая свойства фигур в пространстве. (Стереометрия)
13. Название первой координаты точки. (абсцисса)
14. Во сколько раз километр длиннее миллиметра? (1 млн.)
15. Дробь, меньшая единицы. (правильная)

Вопросы второй команде.

1. Как называют функцию, для которой справедливо равенство f(-х)= f(х)? (четная)
2. Кто из древних математиков был первым олимпийским чемпионом по кулачному бою? (Пифагор)
3. Как называется треугольник с двумя равными сторонами? (равнобедренный)
4. Петух, стоя на одной ноге весит 5 кг. Сколько он будет весить, на 2 ногах? (5 кг)
5. Являются ли диагонали прямоугольника взаимно перпендикулярными? (нет)
6. 2 в квадрате 4, 3 в квадрате 9. Чему равен угол в квадрате? (90°)
7. Наука, изучающая свойства фигур на плоскости. (планиметрия)
8. Утверждение, принимаемое без доказательства. (аксиома)
9. Сколько получится десятков при умножении 2-х десятков на 3 десятка? (60 десятков)
10. Что есть общего у равнобедренного треугольника и степени?. (основание)
11. Назовите число, которое делится без остатка на любое число. (0)
12. Отрезок, соединяющий 2 любые точки окружности. (хорда)
13. Что означает по древнегречески “гипотенуза”? (тетива)
14. График обратной пропорциональности. (гипербола)
15. Сколько нечетных чисел расположено между 16 и 28? (6)

4. Морской бой – 26–35 мин.

Команды поочередно стреляют, если попадают в одну из палуб корабля, то появляется слайд с соответствующим заданием. Ведущие дают необходимые комментарии.

Вопросы на угадывание правильного ответа: (8 шт.) (8 минут)

Ведущий І. Чтобы получить очки за четырехпалубный корабль, нужно ответить на 4 коварных вопроса, выбрав ответ из четырех предложенных. Ответить на них может только тот, кто хоть немного знаком с историей математики, или используя логику. На обдумывание ответа дается одна минута. (Слайды)

1. Этот математический термин в переводе с греческого означает “струна”.

А) Хорда.
В) Прямая.
С) Отрезок.
D) Луч.

2. Что означает слово “конус” в переводе с греческого?

А) Круглая пирамида.
В) Крыша.
С) Сосновая шишка.
D) Высокий колпак.

3. Где математик С.В. Ковалевская получила высшее образование?

А) В России.
В) В Швейцарии.
С) В Германии.
D) В Англии.

4. Десятина – это мера:

А) Веса.
В) Площади.
С) Длины.
D) Объема.

5. График прямой пропорциональности.

А) Парабола.
В) Гипербола.
С) Прямая.
D) Кривая.

6. Кто был создателем первой вычислительной машины?

А) Б. Паскаль.
В) Р. Декарт.
С) Пифагор.
D) К. Гаусс.

7. Французский ученый, который изобрел метод координат.

А) Р.Декарт.
В) Л. Эйлер.
С) Б. Паскаль.
D) Фалес.

8. Это название происходит от двух латинских слов “дважды” и “секу”. О чем идет речь?

А) О равнобедренном треугольнике.
В) О прямоугольнике.
С) О параллельных прямых.
D) О биссектрисе.

Вопросы по истории математики: (6 шт.) (6 минут)

Ведущий І. Для того, чтобы подбить трехпалубный корабль необходимо ответить на вопросы, связанные с историей математики.Математика – одна из древнейших наук. История ее богата именами, идеями и событиями, замечательными, а иногда и великими, открытиями. История математики помогает глубже понять идеи, заложенные в самой математике. Именно поэтому мы и решили в игре вспомнить тех, кто стоял у истоков математики. В этом конкурсе нужно по словесной характеристике назвать фамилию математика. (Слайды)

Вопрос 1: Он считается одним из первых геометров. Политик, физик, крупнейший астроном своего времени. Ему принадлежит открытие продолжительности года и разделение его на 365 дней. Он первым открыл Малую медведицу и Полярную звезду, по которой моряки ориентировались в море, доказал равенство вертикальных углов, второй признак равенства треугольников, теорему о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника. Кто этот математик?

Ответ : Это один из древнегреческих математиков VI–VII вв. до н. э. Фалес Милетский.

Вопрос 2. Однажды французам удалось перехватить приказы испанского правительства своих войск, написанные очень сложной тайнописью. Вызванный математик сумел найти ключ к этому шифру. С тех пор французы знали планы испанцев и с успехом предупреждали их наступление. Инквизиция обвинила математика в том, что он прибегнул к помощи дьявола, и приговорила к сожжению на костре. Он не был выдан инквизиции.

Ответ: Французский математик Франсуа Виет, XVI в.

Вопрос 3. У этого крупнейшего математика XIX века рано появились математические дарования. Рассказывают, что в 3-хлетнем возрасте он заметил ошибку в расчетах отца. В первом классе учитель математики предложил ученикам сложить числа от 1 до 100 включительно. Почти сразу этот математик нашел результат – число 5050. Число было вычислено путем короткого способа сложения, в то время, как остальные складывали числа подряд.

Ответ: К.Гаусс, немецкий математик.

Вопрос 4. В своих 13 книгах под названием “Начала” он систематизировал основные в то время геометрические знания. Когда царь Пталомей спросил его, нет ли более короткого пути для изучения геометрии, математик с гордостью ответил: “В геометрии нет царской дороги”.

Ответ: Евклид, древнегреч. геометр, III век до н. э.

Вопрос 5. В его школе утверждалось: “Числа правят миром. На них основана гармония Вселенной. Он составил подробный список табу для членов своего ордена. Вот некоторые из них:

• воздерживайся от употребления в пищу бобов;
• не поднимай то, что упало;
• не прикасайся к белому петуху;
• не откусывай от целой булки;
• не ходи по большой дороге и др.”.

Ответ: древнегреческий философ Пифагор, VI век – начало V в. до н.э.

Вопрос 6. Этот математик древности погиб от меча римского солдата, гордо воскликнув: “Отойди, не трогай моих чертежей!” Он впервые доказал формулу Герона.

Ответ : Древнегреческий ученый, математик Архимед.

Вопросы на математическую логику: (4 шт.) (8 мин.)

Ведущий ІІ. “Умение мыслить логически – одна из благороднейших способностей человека”. Это слова английского писателя-романиста Бернарда Шоу. Но приобрести это умение нелегко. Поэтому, подбить двухпалубный корабль, пожалуй, сложнее, чем любой другой. Поскольку для этого необходимо решать логические задачи. (Слайды)

Вопрос 1. Запишите пятью двойками число 28. (22 + 2 + 2 + 2 = 28)

Вопрос 2. Комната имеет форму квадрата. Вдоль стен нужно расставить 7 стульев так, чтобы количество стульев, стоящих вдоль каждой стены, было одинаковым. Нарисуйте, как это сделать. (Один стул должен находиться в углу)

Вопрос 3. Крестьянину нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. В лодке может поместиться человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой, без человека, то волк съест козу, если оставить козу и капусту, то коза съест капусту. В присутствии человека никто никого не съест. Как перевезти груз?

1) перевезти козу;
2) приехать обратно;
3) взять волка (капусту);
4) обратно перевезти козу;
5) перевезти капусту (волка);
6) приехать обратно;
7) перевезти козу.

Вопрос 4. У трех подружек – Дроздовой, Чижовой и Скворцовой – живут дрозд, чиж и скворец. При этом ни у одной из них не живет птица, соответствующая фамилии хозяйки. “Как хорошо поет твой дрозд!” – сказала Скворцова подруге. У какой из подружек, какая птица живет?

	Скворцова	Дроздова	Чижова
скворец	–	+	–
дрозд	–	–	+
чиж	+	–	–

Задания “Вычисли!” (2 шт.) (8 мин.)

Ведущий ІІ. Чтобы подбить 1-палубный корабль нужно выполнить нехитрые вычисления. Но предварительно необходимо записать пример в современном виде.

Вопрос 1. “Не все знают, что символ “”, который мы используем для извлечения корней, это видоизменение латинской буквы r , которая стоит в начале латинского слова radix, означающим корень. Было время (16 в.), когда знаком корня служила не строчная, а прописная буква R , а рядом с ней ставилась первая буква латинских слов “квадратный” (q ) или “кубический” (с ), чтобы указать, какой именно корень требуется извлечь”. Например, писали R.q.16 вместо . “Если прибавить к этому, что в ту эпоху еще не вошли в общее употребление нынешние знаки плюса и минуса, а вместо них писали буквы р. и m., и что наши скобки заменяли знаками , то станет ясно, какой необычный для современного глаза вид должны были бы иметь тогда алгебраические выражения”. Используя таблицу для перевода старинных символов в современные, а также свои знания по математике, вычислите пример, записанный на доске. (Слайд)

Ответ : = 5 (слайд)

Вопрос 2. “Современные меры длины – метр, сантиметр и другие – существовали не всегда. До введения в 1925 году метрической системы мер и международной системы единиц, в России действовали другие меры длины, которые постоянно встречаются в произведениях русской литературы. Например, мера вершка приблизительно равна 4,45 см.

Первые единицы длины, как в России, так и в других странах были связаны с размерами частей тела человека. Таковы “пядь”, “сажень” и “локоть”.

Пядь равнялась расстоянию между концами растянутых большого и указательного пальца. Пядь принималась за 4 вершка. Очень широко была распространена такая мера длины, как аршин, равный 16 вершкам или примерно 71см. Это слово пошло от восточных купцов и с татарского переводится как “локоть”. Сейчас ткань в магазинах измеряют метровой линейкой, а раньше измеряли линейкой длиной в аршин. Такая линейка тоже называлась аршином. Часто в литературе встречается слово “сажень”. Она равна 3 аршинам или приблизительно 2,13 м. Для измерения больших расстояний использовали версту – это самая крупная русская мера длины. Верста составляет 500 саженей или приблизительно 1.06 км”. (Слайд).

Вам сейчас предстоит решить задачу. В цитате литературного произведения с указанием старинных мер длины нужно выполнить перевод в современные единицы измерения и ответить на вопрос задачи.

Время выполнения задания – 2 мин. Ответ можно округлить с точностью до единиц. (Команде дается листочек с заданием .)

С каждой минутой вода подбиралась
К бедным зверькам: уж под ними осталось…
Меньше аршина земли в ширину,
Меньше сажени в длину.
(Некрасов, “Дедушка Мазай и зайцы”)

Вопрос: определите площадь и периметр островка, предварительно выразив величины в метрах.

Ответ: 0,71 х 2,1 м, т.е. S 1,5 м 2 , P 5,6 м.

5. Подведение итогов, награждение – 2 мин.

Для подведения итогов удобно использовать таблицы, которые в течение игры заполняются каждым из членов жюри. Приложение 4 .

Литература Власова Т.Г . Предметная неделя математики в школе: Кн. Для учителя, – Ростов н/Д.: Феникс, 2007.

Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки: Кн. для учителя, – М.: Просвещение, 1987.

Глейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей, – М.: “Просвещение”, 1982.

Перельман Я.И. Занимательная алгебра. АО “СТОЛЕТИЕ”,1994.

Приложение к газете 1 сентября “Математика”, 2005–2011.

Элементы треугольника Так же в треугольнике рассматривают другие отрезки: Медианы (отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противоположных сторон.) Биссектрисы (отрезки, заключенные внутри треугольника, которые делят пополам его углы) Высоты (перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону)

Теоремы равнобедренного треугольника В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Используемая литература: Учебник «Геометрия» 7-9 класс / Л.С.Атанасян-издательство «Просвещение», 2007год Учебник «Геометрия» 7-9 класс / Л.С.Атанасян-издательство «Просвещение», 2007год Энциклопедия для детей.Т.11.Математика / Глав.ред. М.Д.Аксёнова-М.: Аванта+,1998год. Энциклопедия для детей.Т.11.Математика / Глав.ред. М.Д.Аксёнова-М.: Аванта+,1998год.

ВВЕДЕНИЕ

1862-1943 ) в конце CIC века.

– – измерять.

Схема построения геометрии

Перечисляются основные неопределяемые понятия.

Формулируются свойства основных понятий - аксиомы.

Определяются другие геометрические понятия.

Формулируются и доказываются свойства геометрических понятий - теоремы.

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость, расстояние.

Определение : Аксиомой называется предложение, не требующее доказательства.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, известных нам по курсу планиметрии, и аксиом о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

I. Аксиомы принадлежности

I 1 . Существуют хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость. Каждая прямая и каждая плоскость есть не совпадающее с пространством непустое множество точек.

Обозначение :

А, В, С, D – точки;

а, b, с – прямые;

a , b , g – плоскости;

А Î а – точка А принадлежит прямой а, прямая а проходит через точку А;

Е Ï а – точка Е не принадлежит прямой а;

С Î a – точка С принадлежит плоскости a , плоскость a проходит через точку С;

Е Ï a – точка Е не принадлежит плоскости a .

Вывод : Существуют точки, принадлежащие прямой и не принадлежащие прямой, существуют точки, принадлежащие плоскости и не принадлежащие плоскости.

I 2 . Через две различные точки проходит одна и только одна прямая.

Обозначение :

а Ì a – плоскость a проходит через прямую а;

b Ë a – плоскость a не проходит через прямую b.

I 4 . Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

Обозначение : a = АВС

Вывод : Плоскости, имеющие три различные общие точки, совпадают.

I 5 . Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечением является прямая.

Обозначение : М Î a , М Î b , a ¹ b , a ìüb = l.

II. Аксиомы расстояния

II 1 . Для любых двух точек А и В имеется неотрицательная величина, называемая расстоянием от А до В . Расстояние АВ равно нулю тогда и только тогда, когда точки А и В совпадают.

Обозначение : АВ ³ 0.

II 2 . Расстояние от А до В равно расстоянию от В до А .

Обозначение : АВ = ВА.

II 3 . Для любых трех точек А , В , С расстояние от А до С не больше суммы расстояний от А до В и от В до С .

Обозначение : АС £ АВ + ВС.

III. Аксиомы порядка

III 1 . Любая точка О прямой р разбивает множество всех отличных от точки О точек прямой р на два непустых множества так, что для любых двух точек А и В , принадлежащим разным множествам, точка О лежит между точками А и В ; если точки А и В принадлежат одному и тому же множеству, то одна из них лежит между другой и точкой О .

III 3 . Если точка С лежит между точками А и В , то точки А , В , С принадлежат одной прямой.

III 4 . Любая прямая р , лежащая в плоскости a р р .

IV. Аксиома подвижности плоскости

Если точки А , В , А 1 , В 1 лежат в плоскости a , причем АВ > 0 и АВ = А 1 В 1 , то существует два и только два перемещения этой плоскости, каждое из которых отображает точку А на точку А 1 а точку В на точку В 1 .

V. Аксиома параллельных

Через точку А проходит не более одной прямой, параллельной данной прямой р .

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Следствие 1 : Через прямую и не принадлежащую ей точку можно провести одну и только одну плоскость.

Дано : М, а, М Ï а

Доказать :

2. .

Доказательство :

1. Выберем на прямой а точки А и В (аксиома I 1 ): А Î а, В Î а.

): a = МАВ.

Так как точки А, В принадлежат плоскости a , то прямая а принадлежит плоскости a (аксиома I 3 ): а Ì a .

Следовательно, существует плоскость a , проходящая через прямую а и не принадлежащую ей точку М: .

2. Плоскость a содержит прямую а и точку М, то есть проходит через точки М, А, В. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость (аксиома I 4 ).

Следствие 2 : Через две пересекающиеся прямые можно провести одну и только одну плоскость.

Дано : а, b, а ´ b

Доказать :

2. .

Доказательство :

1. Обозначим точку пересечения прямых а и b: .

Выберем на прямой а точку А, на прямой b точку В (аксиома I 1 ): А Î а, В Î b.

Через точки М, А, В проходит плоскость a (аксиома I 4 ): a = МАВ.

Так как точки А, М принадлежат плоскости a , то прямая а принадлежит плоскости a (аксиома I 3 ): АМ = а Ì a .

Так как точки В, М принадлежат плоскости a , то прямая b принадлежит плоскости a (аксиома I 3 ): ВМ = b Ì a .

Следовательно, существует плоскость a , проходящая через две пересекающиеся прямые а и b: .

2. Плоскость a содержит прямые а и b, то есть проходит через точки М, А, В. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость (аксиома I 4 ).

Определение : Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или совпадают.

Следствие 3 : Через две параллельные прямые можно провести одну и только одну плоскость.

Дано : а, b,

Доказать :

2. .

Доказательство :

1. Существование плоскости a , проходящей через две параллельные прямые а и b, следует из определения параллельных прямых.

2. Предположим, что существует другая плоскость, содержащая прямые а и b. Выберем на прямой а точку А, на прямой b точки В и М (аксиома I 1 ): А Îа, В Îb, М Îb. Получили, что через точки А, В, М проходят две плоскости, что противоречит аксиоме I 4 . Следовательно, предположение не верно, плоскость а – единственная.

Упражнения :

c) ;

2. По рисунку назвать:

a) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DВ, АВ, ЕС;

b) точки пересечения прямой DК с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АDВ;

c) точки, лежащие в плоскостях АDВ и DВС;

d) прямые, по которым пересекаются плоскости АВС и DСВ, АВD и СDА, РDС и АВС.

3. По рисунку назвать:

a) точки, лежащие в плоскостях DСС 1 и ВQС;

b) плоскости, в которых лежит прямая АА 1 ;

c) точки пересечения прямой МК с плоскостью АВD, прямых DК и ВР с плоскостью А 1 В 1 С 1 ;

d) прямые, по которым пересекаются плоскости АА 1 В 1 и АСD, РВ 1 С 1 и АВС;

e) точки пересечения прямых МК и DС, В 1 С 1 и ВР, С 1 М и DС.

3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ

ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

Определение : Плоскости параллельны, если они не имеют общих точек или совпадают.

ТЕТРАЭДР. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

В теме «Геометрические тела, их поверхности и объёмы» мы будем изучать многогранники – геометрические тела, поверхности которых составлены из многоугольников. Для иллюстрации понятий, связанных с взаимным расположением прямых и плоскостей в пространстве познакомимся с двумя многогранниками – тетраэдром и параллелепипедом.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединив точку D отрезками с вершинами треугольника АВС , получим треугольники DАВ , DВС , DСА .

Поверхность, составленная из четырёх треугольников АВС , DАВ , DВС , DСА , называется тетраэдром и обозначается DАВС .

Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями , их стороны – рёбрами , а вершины – вершинами тетраэдра . Тетраэдр имеет четыре грани, шесть рёбер и четыре вершины.

Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными . У тетраэдра DАВС противоположными являются рёбра АD и ВС , ВD и АС , СD и АВ . Часто одну из граней тетраэдра называют основанием , и три другие – боковыми гранями .

Рассмотрим два равных параллелограмма АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 , расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки АА 1 , ВВ 1 , СС 1 и DD 1 параллельны. Четырёхугольники АВВ 1 А 1 , ВСС 1 В 1 , СDD 1 С 1 , DАА 1 D 1 также являются параллелограммами, так как каждый из них имеет попарно параллельные противоположные стороны.

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 и четырёх параллелограммов АВВ 1 А 1 , ВСС 1 В 1 , СDD 1 С 1 , DА А 1 D 1 , называется параллелепипедом и обозначается АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 .

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями , их стороны – рёбрами , а вершины параллелограммов – вершинами параллелепипеда . Параллелепипед имеет шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин. Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными , а не имеющие общих рёбер – противоположными . Две вершины, не принадлежащие одной грани, называются противоположными . Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда . Каждый параллелепипед имеет четыре диагонали.

Диагоналями параллелепипеда АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 являются отрезки АС 1 , ВD 1 , СА 1 , DВ 1 .

Часто выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями , а остальные грани – боковыми гранями параллелепипеда . Рёбра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называются боковыми рёбрами .

Если в качестве оснований параллелепипеда АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 выбрать грани АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 , то боковыми гранями будут параллелограммы АВВ 1 А 1 , ВСС 1 В 1 , СDD 1 С 1 , DА А 1 D 1 , а боковыми рёбрами отрезки АА 1 , ВВ 1 , СС 1 и DD 1 .

Упражнения :

1. В тетраэдре DАВС точки М, N, Q, Р – середины отрезков ВD, DС, АС, АВ. Найти периметр четырехугольника МNQР, если АD = 12 см, ВС = 14 см.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Определение : Углом между непараллельными прямыми т и п называется меньший из смежных углов, образованных пересекающимися прямыми т" и п" , где т" || т , п" || п .

, , .

Замечание : Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

Определение : Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен .

Обозначение :

Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Задача : Дан куб АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 .

Найти: ; ; .

Решение:

По признаку параллельности двух прямых:

и , следовательно, . .

. , так как СDD 1 С 1 является квадратом.

По признаку скрещивающихся прямых:

, следовательно, · .

, следовательно, .

Вывод :

Из центра О круга радиуса 3 дм восстановлен перпендикуляр ОВ к его плоскости. К окружности проведена касательная в точке А и на этой касательной отложен от точки касания отрезок АС, равный 2 дм. Найти длину наклонной ВС, если длина перпендикуляра ОВ равна 6 дм.

5. Из вершины D прямоугольника АВСD, стороны которого АВ = 9 см и ВС = 8 см, восстановлен к плоскости прямоугольника перпендикуляр DF = 12 см. Найти расстояния от точки F до вершин прямоугольника.

8. ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. ЛИНЕЙНЫЙ УГОЛ ДВУГРАННОГО УГЛА

III 4 . Любая прямая р , лежащая в плоскости a , разбивает множество не принадлежащих ей точек этой плоскости на два непустых множества так, что любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены прямой р ; любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены прямой р .

Множества, на которые прямая р разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости a , называются открытыми полуплоскостями с границей р .

Сторона ВС прямоугольника АВСD служит стороной треугольника ВСF, причём вершина F проектируется на DС. Назвать линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями АВС и ВСF (Рис. 1.).

Рис. 1. Рис. 2.

Дано изображение равнобедренной трапеции АВСD и треугольника АВМ. Отрезок МС перпендикулярен плоскости АВС. Построить линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями АВС и ВСМ так, чтобы одна из его сторон проходила через точку М (Рис. 2.).

3. На грани двугранного угла, равного 45°, дана точка, удалённая от ребра на 4 см. Найти расстояние от этой точки, до другой грани.

Многоугольник разбивается диагоналями, проведёнными из одной вершины, на конечное число треугольников, для каждого из которых теорема верна. Поэтому теорема будет верна и для суммы площадей всех треугольников, плоскости которых образуют один и тот же угол с плоскостью проекции.

Замечание : Доказанная теорема справедлива для любой плоской фигуры, ограниченной замкнутой кривой.

Упражнения :

1. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция его – правильный треугольник со стороной а.

2. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция его – равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и основанием 12 см.

3. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция его – треугольник со сторонами 9, 10 и 17 см.

4. Вычислить площадь трапеции, плоскость которой наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция её – равнобедренная трапеция, большее основание которой 44 см, боковая сторона 17 см и диагональ 39 см.

5. Вычислить площадь проекции правильного шестиугольника со стороной 8 см, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом .

6. Ромб со стороной 12 см и острым углом образует с данной плоскостью угол . Вычислить площадь проекции ромба на эту плоскость.

7. Ромб со стороной 20 см и диагональю 32 см образует с данной плоскостью угол . Вычислить площадь проекции ромба на эту плоскость.

8. Проекция навеса на горизонтальную плоскость есть прямоугольник со сторонами и . Найти площадь навеса, если боковые грани – равные прямоугольники, наклонённые к горизонтальной плоскости под углом , а средняя часть навеса – квадрат, параллельный плоскости проекции.

11. Упражнения по теме «Прямые и плоскости в пространстве»:

Стороны треугольника равны 20 см, 65 см, 75 см. Из вершины большего угла треугольника проведён к его плоскости перпендикуляр, равный 60 см. Найти расстояние от концов перпендикуляра до большей стороны треугольника.

2. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии см, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы, равные , а между собой – прямой угол. Найти расстояние между точками пересечения наклонных с плоскостью.

3. Сторона правильного треугольника равна 12 см. Точка М выбрана так, что отрезки, соединяющие точку М со всеми вершинами треугольника, образуют с его плоскостью углы . Найти расстояние от точки М до вершин и сторон треугольника.

4. Через сторону квадрата проведена плоскость под углом к диагонали квадрата. Найти углы, под которыми наклонены к плоскости две стороны квадрата.

5. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника наклонён к плоскости a, проходящей через гипотенузу, под углом . Доказать, что угол между плоскостью a и плоскостью треугольника равен .

6. Двугранный угол между плоскостями треугольников АВС и DВС равен . Найти АD, если АВ = АС =5 см, ВС = 6 см, ВD = DС = см.

Контрольные вопросы по теме «Прямые и плоскости в пространстве»

1. Перечислить основные понятия стереометрии. Сформулировать аксиомы стереометрии.

2. Доказать следствия из аксиом.

3. Каково взаимное расположение двух прямых в пространстве? Дать определения пересекающихся, параллельных, скрещивающихся прямых.

4. Доказать признак скрещивающихся прямых.

5. Каково взаимное расположение прямой и плоскости? Дать определения пересекающихся, параллельных прямой и плоскости.

6. Доказать признак параллельности прямой и плоскости.

7. Каково взаимное расположение двух плоскостей?

8. Дать определение параллельных плоскостей. Доказать признак параллельности двух плоскостей. Сформулировать теоремы о параллельных плоскостях.

9. Дать определение угла между прямыми.

10. Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.

11. Дать определения основания перпендикуляра, основания наклонной, проекции наклонной на плоскость. Сформулировать свойства перпендикуляра и наклонных, опущенных на плоскость из одной точки.

12. Дать определение угла между прямой и плоскостью.

13. Доказать теорему о трех перпендикулярах.

14. Дать определения двугранного угла, линейного угла двугранного угла.

15. Доказать признак перпендикулярности двух плоскостей.

16. Дать определение расстояния между двумя различными точками.

17. Дать определение расстояния от точки до прямой.

18. Дать определение расстояния от точки до плоскости.

19. Дать определение расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью.

20. Дать определение расстояния между параллельными плоскостями.

21. Дать определение расстояния между скрещивающимися прямыми.

22. Дать определение ортогональной проекции точки на плоскость.

23. Дать определение ортогональной проекции фигуры на плоскость.

24. Сформулировать свойства проекций на плоскость.

25. Сформулировать и доказать теорему о площади проекции плоского многоугольника.

ВВЕДЕНИЕ

Первое, дошедшее до нас, научное изложение геометрии содержится в труде «Начала», составленном древнегреческим ученым Евклидом, жившим в III веке до нашей эры в городе Александрии. Именно Евклидом была сделана первая попытка дать аксиоматическое изложение геометрии. Впервые научная система аксиом Евклида была сформулирована Д. Гильбертом (1862-1943 ) в конце CIC века.

Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости.

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» – объемный, пространственный и «метрео» – измерять.

Представление о геометрических телах, изучаемых в стереометрии, дают окружающие нас предметы. В отличие от реальных предметов геометрические тела являются воображаемыми объектами. Изучая свойства геометрических тел, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов и можем использовать эти свойства в практической деятельности. Геометрия, в частности стереометрия, широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники.

Схема построения геометрии