Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

1. Общие положения

1.1. С целью поддержания деловой репутации и обеспечения выполнения норм федерального законодательства ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика» (далее – Компания) считает важнейшей задачей обеспечение легитимности обработки и безопасности персональных данных субъектов в бизнес-процессах Компании.

1.2. Для решения данной задачи в Компании введена, функционирует и проходит периодический пересмотр (контроль) система защиты персональных данных.

1.3. Обработка персональных данных в Компании основана на следующих принципах:

Законности целей и способов обработки персональных данных и добросовестности;

Соответствия целей обработки персональных данных целям, заранее определенным и заявленным при сборе персональных данных, а также полномочиям Компании;

Соответствия объема и характера обрабатываемых персональных данных, способов обработки персональных данных целям обработки персональных данных;

Достоверности персональных данных, их актуальности и достаточности для целей обработки, недопустимости обработки избыточных по отношению к целям сбора персональных данных;

Легитимности организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных;

Непрерывности повышения уровня знаний работников Компании в сфере обеспечения безопасности персональных данных при их обработке;

Стремления к постоянному совершенствованию системы защиты персональных данных.

2. Цели обработки персональных данных

2.1. В соответствии с принципами обработки персональных данных, в Компании определены состав и цели обработки.

Цели обработки персональных данных:

Заключение, сопровождение, изменение, расторжение трудовых договоров, которые являются основанием для возникновения или прекращения трудовых отношений между Компанией и ее работниками;

Предоставление портала, сервисов личного кабинета для учеников, родителей и учителей;

Хранение результатов обучения;

Исполнение обязательств, предусмотренных федеральным законодательством и иными нормативными правовыми актами;

3. Правила обработки персональных данных

3.1. В Компании осуществляется обработка только тех персональных данных, которые представлены в утвержденном Перечне персональных данных, обрабатываемых в ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика»

3.2. В Компании не допускается обработка следующих категорий персональных данных:

Расовая принадлежность;

Политические взгляды;

Философские убеждения;

О состоянии здоровья;

Состояние интимной жизни;

Национальная принадлежность;

Религиозные убеждения.

3.3. В Компании не обрабатываются биометрические персональные данные (сведения, которые характеризуют физиологические и биологические особенности человека, на основании которых можно установить его личность).

3.4. В Компании не осуществляется трансграничная передача персональных данных (передача персональных данных на территорию иностранного государства органу власти иностранного государства, иностранному физическому лицу или иностранному юридическому лицу).

3.5. В Компании запрещено принятие решений относительно субъектов персональных данных на основании исключительно автоматизированной обработки их персональных данных.

3.6. В Компании не осуществляется обработка данных о судимости субъектов.

3.7. Компания не размещает персональные данные субъекта в общедоступных источниках без его предварительного согласия.

4. Реализованные требования по обеспечению безопасности персональных данных

4.1. С целью обеспечения безопасности персональных данных при их обработке в Компании реализуются требования следующих нормативных документов РФ в области обработки и обеспечения безопасности персональных данных:

Федеральный закон от 27.07.2006 г. № 152-ФЗ «О персональных данных»;

Постановление Правительства Российской Федерации от 1 ноября 2012 г. N 1119 "Об утверждении требований к защите персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Постановление Правительства Российской Федерации от 15.09.2008 г. №687 «Об утверждении Положения об особенностях обработки персональных данных, осуществляемой без использования средств автоматизации»;

Приказ ФСТЭК России от 18.02.2013 N 21 "Об утверждении Состава и содержания организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Базовая модель угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 15.02.2008 г.);

Методика определения актуальных угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 14.02.2008 г.).

4.2. Компания проводит оценку вреда, который может быть причинен субъектам персональных данных и определяет угрозы безопасности персональных данных. В соответствии с выявленными актуальными угрозами Компания применяет необходимые и достаточные организационные и технические меры, включающие в себя использование средств защиты информации, обнаружение фактов несанкционированного доступа, восстановление персональных данных, установление правил доступа к персональным данным, а также контроль и оценку эффективности применяемых мер.

4.3. В Компании назначены лица, ответственные за организацию обработки и обеспечения безопасности персональных данных.

4.4. Руководство Компании осознает необходимость и заинтересовано в обеспечении должного как с точки зрения требований нормативных документов РФ, так и обоснованного с точки зрения оценки рисков для бизнеса уровня безопасности персональных данных, обрабатываемых в рамках выполнения основной деятельности Компании.

На этом уроке мы продолжим изучать математические конструкции, которые будут использоваться для решения различных задач, в частности уравнений и неравенств. Мы уже поговорили об одночленах и знаем, что сумма одночленов - это многочлен. Теперь мы поговорим о свойствах многочленов, о том, как приводить их к стандартному виду и выполнять с ними различные арифметические действия.

На прошлом уроке мы ввели новую конструкцию: многочлен - сумма одночленов.

Например,

Зачем нужны многочлены

Мобильный телефон - очень удобное и полезное устройство. С его помощью можно не только звонить и писать СМС, но и сидеть в интернете, социальных сетях, играть в разные игры. В общем, скучным и бесполезным его точно не назовёшь.

А видели ли вы, как производят телефоны? Большой завод, на котором штампуются разные непонятные микросхемы, пластмассовые детали, затем всё это соединяется. В целом и общем - рутинное, однотипное занятие, не всегда даже понятно, зачем та или иная деталь нужна, как она помогает телефону выполнять свои функции.

И это касается не только телефонов. Почти любой полезный результат, который мы наблюдаем, скрывает за собой много рутинной работы. Фигуристы, чтобы показать минут красивой программы, ежедневно по несколько десятков раз выполняют одни и те же упражнения и т. д.

В математике всё то же самое. Мы знаем, что с помощью уравнений можно решить большое количество прикладных задач. Значит, научиться решать уравнения полезно. Но для того чтобы научиться их решать, нужно уметь преобразовывать выражения. А для этого, в частности, нужно уметь работать с разными выражениями, например многочленами.

Терминология

Мы говорим: «многоэтажный дом», потому что в нём «много этажей». Аналогично многочлен - это «много членов».

Например, членами многочлена являются и .

В данном примере два одночлена, в таких случаях многочлен называют двучленом . Если их три - то трехчленом (например, ).

Обратите внимание, что, когда мы называли члены многочлена, мы назвали именно , а не . Поскольку многочлен - это СУММА одночленов, то знак минус относится к числовому коэффициенту одночлена: .

Для наглядности можно воспользоваться эквивалентной записью этого же многочлена:

Для удобства классификации одночлены («сумма одного члена») также относят к многочленам. И в этом нет ничего странного. Например, в кафе столик для официанта занят независимо от того, сидит за ним 1 человек или 10. Или заказ для таксиста: не важно, сколько поедут человек: 1, 2, 3 или 4.

Таким образом, для описания структуры многочленов можно использовать следующую иллюстрацию:

Рис. 1. Структура многочленов

В зависимости от задачи число 3 можно представлять различными способами:

Но работать с числами, которые записаны по-разному, неудобно. Поэтому запись в десятичной системе счисления принято считать стандартной (для такой записи есть алгоритмы выполнения арифметических операций, можно сравнивать числа друг с другом и т. д.).

Мы уже вводили стандартный вид для одночленов. Естественно ввести такой стандарт и для многочленов.

Многочлен можно записать разными способами:

Нужно выбрать такой способ записи, чтобы было удобно выполнять различные арифметические операции с многочленами.

Многочлен может содержать в себе подобные одночлены. На прошлом уроке мы уже научились складывать подобные одночлены, поэтому естественно, когда они встречаются в многочлене, их сложить, тем самым упростив многочлен:

Если в многочлене привести (т. е. сложить) все подобные одночлены, а также записать их в стандартном виде, то мы получим многочлен стандартного вида.

Многочлен, который состоит из одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных, называют многочленом стандартного вида .

Например,

Зачем тренировать технику?

На самом деле, ничего сложного в работе с многочленами (приведение к стандартному виду, арифметические операции с многочленами) нет.

Алгоритмы действий (которые мы в дальнейшем изучим и потренируемся применять) легко программируются, поэтому сегодня всю техническую работу можно поручить компьютеру.

Но мы отрабатываем навыки работы с различными выражениями, чтобы в дальнейшем применять их для решения, например, уравнений, которые возникают при работе над различными прикладными задачами.

Пример 1.

Выбрать среди многочленов те, которые записаны в стандартном виде:

В многочлене содержится одночлен , записанный не в стандартном виде;

- в многочлене содержится одночлен , записанный не в стандартном виде;

В многочлене не все одночлены подобного вида приведены (а именно );

В многочлене не все одночлены подобного вида приведены (а именно ).

Таким образом, многочленами стандартного вида являются:

Ответ: .

Пример 2.

Привести многочлены к стандартному виду:

Итак, мы ввели новый объект - многочлены. Научимся с ними работать, т. е. выполнять арифметические действия.

Степень многочлена

Числа похожи: в них по три цифры. А вот числа и различаются: в одном 5 цифр, в другом - 2. Т. е. числа можно классифицировать по количеству цифр, в них входящих.

Для многочленов, записанных в стандартном виде, можно ввести подобную классификацию - по степени старшего слагаемого. Для этого вводят понятие степени.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, из которых этот многочлен состоит.

Многочлены, которые тождественно равны 0, называют ноль-многочленами .

Например:

У таких многочленов степени нет.

Пример 1.

Определить степень многочленов:

Многочлен второй степени, т. к. степень одночлена - вторая, а - нулевая;

- многочлен шестой степени, поскольку степень одночлена - это сумма показателей всех переменных, которые в него входят: ;

Многочлен нулевой степени;

Нет степени.

Ответ: 2; 6; 0; нет степени.

Почему говорят именно о степени многочлена стандартного вида? - это многочлен первой степени, а - ?

Если бы в определении степени многочлена не было слова «стандартный», то ответ был бы . Но понятно, что оба этих многочлена эквивалентны, поэтому степень у них должна быть одинакова:

Поэтому говорят именно о степени многочлена стандартного вида (и это ещё один пример пользы введения стандартного вида многочлена).

Как раскрыть скобки, перед которыми стоит минус?

Вова, Володя, Владимир - разные записи одного и того же имени.

Это сокращённая запись выражения .

Тогда запись - сокращённая запись выражения .

Такое умножение мы можем выполнить, пользуясь распределительным законом:

Т. е. мы получим:

Так можно поступать при раскрытии любых скобок, перед которыми стоит знак минус. Кроме того, можно заметить и запомнить, что в таком случае нужно поменять знак перед каждым слагаемым.

Пример 3.

Упростить выражения:

Вспомним, что если перед скобками стоит знак «», то скобки просто можно опустить, а если знак «», то все слагаемые в скобках меняют свой знак на противоположный.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Запишем распределительный закон:

Пример 4.

Упростить выражения:

Используем распределительный закон.

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.

Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида .

За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.

Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

Цели: обобщение и закрепление пройденного материала: повторить понятие многочлена, правило умножения многочлена на многочлен и закрепить это правило в ходе выполнения тестовой работы, закрепить навыки решения уравнений и задач с помощью уравнений.

Оборудование: плакат «Кто смолоду делает и думает сам, тот и становится потом надёжнее, крепче, умнее» (В. Шукшин). Кодоскоп, магнитная доска, кроссворд, карточки-тесты.

План урока.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Устные упражнения (разгадывание кроссворда).
4. Решение упражнений по теме.
5. Тест по теме: « Многочлены и действия над ними» (4 варианта).
6. Итоги урока.
7. Домашнее задание.

Ход урока

I. Организационный момент

Учащиеся класса делятся на группы по 4-5 человек, выбирается старший в группе.

II. Проверка домашнего задания .

Домашнее задание учащиеся готовят на карточке дома. Каждый ученик проверяет свою работу через кодоскоп. Учитель предлагает оценить домашнюю работу самому ученику и поставит оценку в ведомости, сообщая критерий оценки: «5» ─ задание выполнено верно и самостоятельно; «4» ─ задание выполнено верно и полностью, но с помощью родителей или одноклассников; «3» ─ во всех остальных случаях, если задание выполнено. Если задание не выполнено, можно поставить прочерк.

III. Устные упражнения.

1) Для повторения теоретических вопросов учащимся предлагается кроссворд. Кроссворд решают группой устно, и ответы дают учащиеся из разных групп. Выставляем оценки: «5» ─ 7 верных слов, «4» ─ 5,6 верных слов, «3» ─ 4 верных слова.

Вопросы для кроссворда: (см. Приложение 1 )

1. Свойство умножения, используемое при умножении одночлена на многочлен;
2. способ разложения многочлена на множители;
3. равенство, верное при любых значениях переменной;
4. выражение, представляющее собой сумму одночленов;
5. слагаемые, имеющие одну и ту же буквенную часть;
6. значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство;
7. числовой множитель у одночленов.

2) Выполните действия:

3. Если длину прямоугольника уменьшить на 4 см, а ширину его увеличить на 7 см, то получится квадрат, площадь которого будет на 100 см 2 больше площади прямоугольника. Определить сторону квадрата. (Cторона квадрата равна 24 см).

Учащиеся решают задания в группах, обсуждая, помогая друг другу. Когда группы выполнили задание, осуществляется проверка по решениям, записанным на доске. После проверки выставляются оценки: за данную работу учащиеся получают две оценки: самооценка и оценка группы. Критерий оценки: «5» ─ всё решил верно, и помогал товарищам, «4» ─ допустил ошибки при решении, но исправил их с помощью товарищей, «3» ─ интересовался решением и всё решил с помощью одноклассников.

V. Тестовая работа.

I вариант

1. Представьте в стандартном виде многочлен 3а – 5а∙а – 5 + 2а 2 – 5а +3.

3. Найдите разность многочленов 2х 2 – х + 2 и ─ 3х 2 ─2х + 1.

5. Представьте в виде многочлена выражение: 2 – (3а – 1)(а + 5).

II вариант

1. Представьте в стандартном виде многочлен 5х 2 – 5 + 4х ─ 3х∙х + 2 – 2х.

3. Найдите разность многочленов 4у 2 – 2у + 3 и - 2у 2 + 3у +2.

5. Решите уравнение: ─3х 2 + 5х = 0.

6. Представьте в виде произведения: 5а 3 – 3а 2 – 10а + 6.

III вариант

1. Найдите значение многочлена ─ 6а 2 – 5аb + b 2 – (─3а 2 – 5аb + b 2) при а = ─ , b=─3.

2. Упростите выражение: ─8х – (5х – (3х – 7)).

4. Выполните умножение: ─3х∙(─ 2х 2 + х – 3)

6. Представьте в виде произведения: 3х 3 – 2х 2 – 6х + 4.

7. Представьте в виде произведения выражение: а(х – у) ─2b(у – х)

IV вариант

1. Найдите значение многочлена ─ 8а 2 – 2ах – х 2 – (─4а 2 – 2ах – х 2) при а= ─, х= ─ 2 .

2. Упростите выражение: ─ 5а – (2а – (3а – 5)).

4. Выполните умножение: ─4а ∙ (─5а 2 + 2а – 1).

6. Представьте в виде многочлена: (3х – 2)(─x 2 + х – 4).

7. Представьте в виде произведения выражение: 2с(b – а) – d(а – b)

VI. Итоги урока

В ходе урока каждый учащийся получает несколько оценок. Учащийся сам оценивает свои знания, сравнивая их со знаниями других. Оценка группы более эффективна, так как эта оценка обсуждается всеми членами группы. Ребята указывают на недостатки и недочёты в работе членов группы. Все оценки заносятся в рабочую карту старшим по группе.

Учитель выставляет итоговую оценку, сообщая её всему классу.

VII. Домашнее задание:

1. Выполните действия:

а) (а 2 + 3аb─b 2)(2а – b);
б) (х 2 + 2ху – 5у 2)(2х 2 – 3у).

2. Решите уравнение:

а) (3х – 1)(2х + 7) ─ (х + 1)(6х – 5) = 16;
б) (х – 4)(2х2 – 3х + 5) + (х2 – 5х + 4)(1 – 2х) = 20.

3. Если одну сторону квадрата уменьшить на 1,2 м, а другую на 1,5 м, то площадь полученного прямоугольника будет на 14,4 м 2 меньше площади данного квадрата. Определить сторону квадрата.

ЛЕКЦИЯ 7.

Кольцо многочленов от одного неизвестного

Определение многочлена . Из школьного курса известна задача решения уравнения второй степени вида

где
. Решить уравнение (7.1) – это значит найти такое значение неизвестного, которое при подстановке в уравнение (предикат ) (7.1) обращает его в числовое тождество (в истинное высказывание ).

Пример 7.1. Найти множество истинности предиката

.

Р е ш е н и е. Рассмотрим тождественное преобразование правой части указанного предиката:

.

Приравнивая последнее выражение к нулю, получаем формулу

,

которая даёт значения неизвестных, обращающих предикат
в истинное высказывание. Следовательно, множество истинностипредиката
в общем случае состоит из двух элементов

,

значения которых вычисляются через значения коэффициентов квадратного трёхчлена
. Выражение
, стоящее под знаком квадратного корня, называетсядискриминантом уравнения
. Возможны три случая:

1)
– в этом случае множество истинности предиката состоит из одного действительного числа
(квадратное уравнение
имеет один вещественный корень);

2)
– в этом случае множество истинности предиката состоит из двух вещественных чисел, которые вычисляются по выписанным выше формулам (квадратное уравнение
имеет два вещественных корня);

3)
– в этом случае множество истинности предиката состоит из двух комплексно сопряжённых чисел:

(уравнение
имеет комплексно сопряжённые корни).

В общем случае мы приходим к задаче решения уравнения - й степени относительно одного неизвестного

коэффициенты
которого будем считать произвольными комплексными числами , причём старший коэффициент
. Решить уравнение (7.2) – это значит найти такие значения неизвестного, которые, будучи подставлены в уравнение (7.2), обращают его в числовое тождество. Задачу решения уравнения (7.2) заменяют более общей задачейизучения левой части этого уравнения .

Определение 7.1. Многочленом , или полиномом степени от одного неизвестного (или буквы ) называется формальное выражение вида

, (7.3)

то есть формальная алгебраическая сумма целых неотрицательных степеней неизвестного , взятых с некоторыми, вообще говоря, комплексными коэффициентами,,
,,
.

Обозначают многочлены различными буквами латинского и греческого алфавитов, как большими , так и малыми.

Степенью многочлена (7.3) называется наивысшая степень неизвестного, при которой коэффициент
. Многочлен нулевой степени – это многочлен, состоящий из одного, неравного нулю комплексного числа. Число нуль – это тоже многочлен, степень которого не определена .

Степень многочлена , если это необходимо, обозначается нижним индексом, например
, или символом
. Наряду с записью многочленов в форме (7.3) часто применятся форма записи по возрастающим степеням, то есть

Равенство, сумма и произведение многочленов . Многочлены можно сравнивать и производить над ними действия сложения и умножения.

Определение 7.2. Два многочлена
и
считаются равными и пишут
в том и только в том случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного.

Никакой многочлен, хотя бы один коэффициент которого отличен от нуля, не может быть равным нулю. Поэтому знак равенства в записи уравнения -й степени не имеет отношения к равенству многочленов.

В математическом анализе равенство многочленов
рассматривается как равенство двух функций, то есть,

.

Если многочлены равны в смысле определения 7.2, то они равны и в смысле равенства функций. Обратное является следствием сформулированной ниже основной теоремы алгебры многочленов.

Введём две алгебраические операции над многочленами с комплексными (в общем случае) коэффициентами – сложение и умножение .

Определение 7.3. Пусть даны два многочлена

,
,

,
.

Для определённости положим
. Суммой данных многочленов называется многочлен

коэффициенты которого равны сумме коэффициентов при одинаковых степенях неизвестного :

.

Причём, если
полагают .

Отметим, что степень суммы двух многочленов при
равна, а при
может оказаться меньше, а именно при
.

Определение 7.4. Произведением многочленов

,
,

,

называется многочлен

коэффициенты которого находятся по формуле

,. (7.4)

Таким образом, коэффициент произведения двух многочленов с индексом
равен сумме всевозможных произведений коэффициентов многочленов
и
, сумма индексов которых равна, а именно:

,
,
,
.

Из последнего равенства имеем
. Следовательно,степень произведения двух многочленов равна сумме степеней этих многочленов:

По определению полагают, что степень многочлена

.

Мы получили следующий результат.

Лемма 7.1. Пусть
и
– два многочлена. Тогда их произведение .

Пример 7.2. Пусть даны два многочлена разной степени, например,

,
.

Тогда их сумма и произведение есть, соответственно:

.

Итак, во множестве многочленов с комплексными коэффициентами введены две бинарные алгебраические операции – сложение и умножение . Свойства этих операций устанавливаются следующей теоремой.

Теорема 7.1. Множество всех многочленов с комплексными коэффициентами является коммутативным и ассоциативным кольцом с единицей .

Доказательство теоремы сводится к проверке аксиом кольца, и мы его опустим. Отметим только, что нулём для операции сложения является число (многочлен) , а единицей для операции умножения является число (многочлен).

Кольцо многочленов обозначают
, где
– символ поля, над которым определён многочлен. Таким образом, теорема 7.1 утверждает: множество всех многочленов с комплексными коэффициентами является кольцом
.

Делимость многочленов . Многочлен
имеет обратный многочлен
, в том и только в том случае, если
– многочлен нулевой степени. Действительно, если
, то обратный многочлен
. Если же
, то степень левой части
при условии, что
существует, должна быть не меньше
, но правая часть последнего равенства является многочленом нулевой степени. Итак,в кольце многочленов
для операции умножения не существует обратной операции деления . В кольце многочленов, однако, существует алгоритм деления с остатком .

Теорема 7.2. Для любых двух многочленов
и
существуют такие многочлены
и
, что

, (7.5)

где , или
. Представление (7.5) единственно .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
и
. Представим многочлены
и
в виде

Если
или
, то положим в (7.5)

,
.

Тогда, очевидно, (7.5) выполняется. Поэтому предположим, что
. Положим:

. (7.6)

Обозначим старший коэффициент многочлена
через. Очевидно, что
. Если
, то положим:

. (7.7)

Старший коэффициент многочлена
обозначим. Если
, то опять положим

(7.8)

и так далее. Степени
многочленов
, очевидно, убывают. После конечного числа шагов получим

, (7.9)

где или
, или
. После этого процесс прекращается.

Складывая равенства (7.6) – (7.9) , получаем

Обозначая сумму в круглых скобках
, а
, получаем (7.5), причём либо
, либо степень
.

Докажем единственность (7.5). Пусть

где или
, или. Из (7.5) и (7.11) имеем:

Степень многочлена в левой части последнего равенства не меньше степени
, а степень многочлена в правой части или нулевая, или меньше степени
. Поэтому последнее равенство выполняется лишь при равенств

,
.

Многочлен
в формуле (7.5) называетсячастным от деления многочлена
на многочлен
, а многочлен
называетсяостатком от этого деления. Если
, то говорят, что многочлен
делится на многочлен
, который называютделителем многочлена
. Выясним, когда многочлен
делится на многочлен
.

Теорема 7.3. Многочлен
делится на многочлен
в том и только в том случае, если существует такой многочлен
, что

. (7.12)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если
делится на
, то в качестве
следует взять частное от деления
на
. Обратно, пусть многочлен, удовлетворяющий равенству (7.12), существует. Тогда из доказанной в теореме 7.1. единственности многочленов
и
в представлении (7.5) и условия того, что степень
меньше степени
, следует, что частное от деления
на
равно
, а остаток
.

Следствие из теоремы 7.3. Если многочлен
и его делитель
имеют рациональные или действительные коэффициенты, то и частное
также будет иметь рациональные или действительные коэффициенты.

Пример 7.3. Выполнить деление с остатком многочлена

на многочлен
.

Р е ш е н и е. Алгоритм деления (7.6) – (7.9) реализуем в форме «деления уголком »:

Итак, частное
, остаток
. Поэтому имеет место представление следующего вида

которое можно проверить непосредственным умножением.

Определение 7.5. Пусть
и
– два многочлена. Многочлен
называется наибольшим общим делителем (НОД ) этих многочленов, если он является их общим делителем и сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов.

НОД многочленов
и
обозначается. Сформулируем и докажем теорему, дающую конструктивный алгоритм нахождения НОД для любых двух многочленов.

Теорема 7.4 (алгоритм Евклида). Для любых двух многочленов
и
существует наибольший общий делитель

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала сформулируем алгоритм Евклида нахождения
, а потом докажем, что полученный в процессе реализации этого алгоритма многочлен является наибольшим общим делителем двух данных многочленов.

Сначала делим многочлен
на многочлен
и получаем в общем случае некоторый остаток
. Далее делим
на
и получаем остаток
, делим
на
и получаем остаток
и так далее. В результате таких последовательных делений мы придём к остатку
, на который делится предыдущий остаток
. Этот остаток и будет наибольшим общим делителем данных многочленов.

Для доказательства выпишем последовательно цепочку делений:

Последнее равенство показывает, что
является делителем для
. Поэтому оба слагаемых в правой части предпоследнего равенства делятся на
и, следовательно, на
делится и
. Поднимаясь по цепочке делений вверх, получим, что
является делителем и для
,
,
,
. Из второго равенства цепочки видим, что
является делителем и для
и, следовательно, на основании первого равенства – для
. Итак,
является общим делителем для
и
.