Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Гармонические колебания происходят по закону:

x = A cos(ωt + φ 0),

где x – смещение частицы от положения равновесия, А – амплитуда колебаний, ω – круговая частота, φ 0 – начальная фаза, t – время.

Период колебаний T = .

Скорость колеблющейся частицы:

υ = = – A ω sin (ωt + φ 0),

ускорение a = = – A ω 2 cos (ωt + φ 0).

Кинетическая энергия частицы, совершающей колебательное движение: E k = =
sin 2 (ωt + φ 0).

Потенциальная энергия:

E n =
cos 2 (ωt + φ 0).

Периоды колебаний маятников

– пружинного T =
,

где m – масса груза, k – коэффициент жесткости пружины,

– математического T = ,

где l – длина подвеса, g – ускорение свободного падения,

– физического T =
,

где I – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, m – масса маятника, l – расстояние от точки подвеса до центра масс.

Приведенная длина физического маятника находится из условия: l np = ,

обозначения те же, что для физического маятника.

При сложении двух гармонических колебаний одной частоты и одного направления получается гармоническое колебание той же частоты с амплитудой:

A = A 1 2 + A 2 2 + 2A 1 A 2 cos(φ 2 – φ 1)

и начальной фазой: φ = arctg
.

где А 1 , A 2 – амплитуды, φ 1 , φ 2 – начальные фазы складываемых колебаний.

Траектория результирующего движения при сложении взаимноперпендикулярных колебаний одной частоты:

+ – cos (φ 2 – φ 1) = sin 2 (φ 2 – φ 1).

Затухающие колебания происходят по закону:

x = A 0 e - β t cos(ωt + φ 0),

где β – коэффициент затухания, смысл остальных параметров тот же, что для гармонических колебаний, А 0 – начальная амплитуда. В момент времени t амплитуда колебаний:

A = A 0 e - β t .

Логарифмическим декрементом затухания называют:

λ = ln
= βT ,

где Т – период колебания: T = .

Добротностью колебательной системы называют:

Уравнение плоской бегущей волны имеет вид:

y = y 0 cos ω(t ± ),

где у – смещение колеблющейся величины от положения равновесия, у 0 – амплитуда, ω – круговая частота, t – время, х – координата, вдоль которой распространяется волна, υ – скорость распространения волны.

Знак «+» соответствует волне, распространяющейся против оси X , знак «–» соответствует волне, распространяющейся по оси Х .

Длиной волны называют ее пространственный период:

λ = υ T ,

где υ –скорость распространения волны, T –период распространяющихся колебаний.

Уравнение волны можно записать:

y = y 0 cos 2π (+).

Стоячая волна описывается уравнением:

y = (2y 0 cos ) cos ωt.

В скобки заключена амплитуда стоячей волны. Точки с максимальной амплитудой называются пучностями,

x п = n ,

точки с нулевой амплитудой – узлами,

x у = (n + ) .

Примеры решения задач

Задача 20

Амплитуда гармонических колебаний равна 50 мм, период 4 с и начальная фаза . а) Записать уравнение этого колебания; б) найти смещения колеблющейся точки от положения равновесия при t =0 и при t = 1,5 с; в) начертить график этого движения.

Решение

Уравнение колебания записывается в виде x = a cos(t +  0).

По условию известен период колебаний. Через него можно выразить круговую частоту  = . Остальные параметры известны:

а) x = 0,05 cos(t + ).

б) Смещение x при t = 0.

x 1 = 0,05 cos= 0,05 = 0,0355 м.

При t = 1,5 c

x 2 = 0,05 cos( 1,5 + )= 0,05 cos  = – 0,05 м.

в) график функцииx =0,05cos (t + ) выглядит следующим образом:

Определим положение нескольких точек. Известны х 1 (0) и х 2 (1,5), а также период колебаний. Значит, через t = 4 c значение х повторяется, а через t = 2 c меняет знак. Между максимумом и минимумом посередине – 0 .

Задача 21

Точка совершает гармоническое колебание. Период колебаний 2 с, амплитуда 50 мм, начальная фаза равна нулю. Найти скорость точки в момент времени, когда ее смещение от положения равновесия равно 25 мм.

Решение

1 способ. Записываем уравнение колебания точки:

x = 0,05 cos  t , т. к.  = =.

Находим скорость в момент времени t :

υ = = – 0,05 cos  t.

Находим момент времени, когда смещение равно 0,025 м:

0,025 = 0,05 cos  t 1 ,

отсюда cos t 1 = , t 1 = . Подставляем это значение в выражение для скорости:

υ = – 0,05  sin = – 0,05  = 0,136 м/c.

2 способ. Полная энергия колебательного движения:

E =
,

где а – амплитуда,  – круговая частота, m – масса частицы.

В каждый момент времени она складывается из потенциальной и кинетической энергии точки

E k = , E п = , но k = m  2 , значит, E п =
.

Запишем закон сохранения энергии:

= +
,

отсюда получаем: a 2  2 = υ 2 +  2 x 2 ,

υ = 
= 
= 0,136 м/c.

Задача 22

Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А = 2 см, полная энергия Е = 3∙10 -7 Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F = 2,25∙10 -5 Н?

Решение

Полная энергия точки, совершающей гармонические колебания, равна: E =
. (13)

Модуль упругой силы выражается через смещение точек от положения равновесия x следующим образом:

F = k x (14)

В формулу (13) входят масса m и круговая частота , а в (14) – коэффициент жесткости k . Но круговая частота связана с m и k :

 2 = ,

отсюда k = m  2 и F = m  2 x . Выразив m  2 из соотношения (13) получим: m  2 = , F = x .

Откуда и получаем выражение для смещения x : x = .

Подстановка числовых значений дает:

x =
= 1,5∙10 -2 м = 1,5 см.

Задача 23

Точка участвует в двух колебаниях с одинаковыми периодами и начальными фазами. Амплитуды колебаний А 1 = 3 см и А 2 = 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если: 1) колебания происходят в одном направлении; 2) колебания взаимно перпендикулярны.

Решение

Если колебания происходят в одном направлении, то амплитуда результирующего колебания определится как:

где А 1 и А 2 – амплитуды складываемых колебаний,  1 и  2 –начальные фазы. По условию начальные фазы одинаковы, значит  2 –  1 = 0, а cos 0 = 1.

Следовательно:

A =
=
= А 1 +А ­ 2 = 7 см.

Если колебания взаимно перпендикулярны, то уравнение результирующего движения будет:

cos( 2 –  1) = sin 2 ( 2 –  1).

Так как по условию  2 –  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, то уравнение запишется в виде:
=0,

или
=0,

или
.

Полученное соотношение между x и у можно изобразить на графике. Из графика видно, что результирующим будет колебание точки на прямой MN . Амплитуда этого колебания определится как: A =
= 5 см.

Задача 24

Период затухающих колебаний Т =4 с, логарифмический декремент затухания  = 1,6 , начальная фаза равна нулю. Смещение точки при t = равно 4,5 см. 1) Написать уравнение этого колебания; 2) Построить график этого движения для двух периодов.

Решение

Уравнение затухающих колебаний с нулевой начальной фазой имеет вид:

x = A 0 e -  t cos2 .

Для подстановки числовых значений не хватает величин начальной амплитуды А 0 и коэффициента затухания .

Коэффициент затухания можно определить из соотношения для логарифмического декремента затухания:

 = Т .

Таким образом  = = = 0,4 с -1 .

Начальную амплитуду можно определить, подставив второе условие:

4,5 см = A 0
cos 2= A 0
cos =A 0
.

Отсюда находим:

A 0 = 4,5∙

(см) = 7,75 см.

Окончательно уравнение движения:

x = 0,0775
cost.

Задача 25

Чему равен логарифмический декремент затухания математического маятника, если за t = 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в два раза? Длина маятника l = 1 м.

Решение

Логарифмический декремент затухания можно найти из соотношения: = Т ,

где  – коэффициент затухания, Т – период колебаний. Собственная круговая частота математического маятника:

 0 =
= 3,13 с -1 .

Коэффициент затухания колебаний можно определить из условия: A 0 = A 0 e -  t ,

t = ln2 = 0,693 ,

 =
= 0,0116c -1 .

Поскольку  <<  0 , то в формуле  =
можно пренебречь по сравнению с  0 и период колебаний определить по формуле: T = = 2c.

Подставляем  и Т в выражение для логарифмического декремента затухания и получаем:

 = T = 0,0116 с -1 ∙ 2 с = 0,0232.

Задача 26

Уравнение незатухающих колебаний дано в виде x = 4 sin600 t см.

Найти смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии l = 75 см от источника колебаний, через t = 0,01 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний υ = 300 м/с.

Решение

Запишем уравнение волны, распространяющейся от данного источника: x = 0,04 sin 600 (t – ).

Находим фазу волны в данный момент времени в данном месте:

t – = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0,0075 = 4,5 ,

sin 4,5 = sin = 1.

Следовательно, смещение точки x = 0,04 м, т.е. на расстоянии l =75 см от источника в момент времени t = 0,01 c смещение точки максимально.

Список литературы

Волькенштейн В.С . Сборник задач по общему курсу физики. – СПб.: СпецЛит, 2001.

Савельев И.В . Сборник вопросов и задач по общей физике. – М.: Наука, 1998.

§ 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Основные формулы

Уравнение гармонических колебаний

где х - смещение колеблющейся точки от положения равновесия; t - время; А, ω, φ- соответственно амплитуда, угловая частота, начальная фаза колебаний; - фаза колебаний в момент t .

Угловая частота колебаний

где ν и Т - частота и период колебаний.

Скорость точки, совершающей гармонические колебания,

Ускорение при гармоническом колебании

Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле

где a 1 и А 2 - амплитуды составляющих колебаний; φ 1 и φ 2 - их начальные фазы.

Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из формулы

Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по зна­чению частотами ν 1 и ν 2 ,

Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами A 1 и A 2 и начальны­ми фазами φ 1 и φ 2 ,

Если начальные фазы φ 1 и φ 2 составляющих колебаний одинако­вы, то уравнение траектории принимает вид

т. е. точка движется по прямой.

В том случае, если разность фаз , уравнение принимает вид

т. е. точка движется по эллипсу.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний ма­териальной точки

Или , где m - масса точки; k - коэффициент квазиупругой силы (k =т ω 2).

Полная энергия материальной точки, совершающей гармони­ческие колебания,

Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружин­ный маятник),

где m - масса тела; k - жесткость пружины. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в ко­торых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в срав­нении с массой тела).

Период колебаний математического маятника

где l - длина маятника; g - ускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника

где J - момент инерции колеблющегося тела относительно оси

колебаний; а - расстояние центра масс маятника от оси колебаний;

Приведенная длина физического маятника.

Приведенные формулы являются точными для случая бесконеч­но малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не более ошибка в значении периода не превышает 1 %.

Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,

где J - момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k - жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний , или ,

где r - коэффициент сопротивления; δ - коэффициент затухания: ; ω 0 - собственная угловая частота колебаний *

Уравнение затухающих колебаний

где A (t) - амплитуда затухающих колебаний в момент t; ω - их угловая частота.

Угловая частота затухающих колебаний

О Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

где А 0 - амплитуда колебаний в момент t =0.

Логарифмический декремент колебаний

где A (t) и A (t+T) - амплитуды двух последовательных колеба­ний, отстоящих по времени друг от друга на период.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

где - внешняя периодическая сила, действующая на колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания; F 0 - ее амплитудное значение;

Амплитуда вынужденных колебаний

Резонансная частота и резонансная амплитуда и

Примеры решения задач

Пример 1. Точка совершает колебания по закону x(t)= , где А=2 см. Определить начальную фазу φ, если

x (0)= см и х , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента t =0.

Решение. Воспользуемся уравнением движения и выразим смещение в момент t =0 через начальную фазу:

Отсюда найдем начальную фазу:

* В приведенных ранее формулах гармонических колебаний та же величина обозначалась просто ω (без индекса 0).

Подставим в это выражение заданные значения x (0) и А: φ= = . Значению аргумента удовлетворяют два значения угла:

Для того чтобы решить, какое из этих значений угла φ удовлет-­ воряет еще и условию , найдем сначала :

Подставив в это выражение значение t =0 и поочередно значения начальных фаз и , найдем

Так как всегда A >0 и ω>0, то условию удовлетворяет толь­ ко первое значение начальной фазы. Таким образом, искомая начальная фаза

По найденному значению φ постро-­ им векторную диаграмму (рис. 6.1). Пример 2. Материальная точка массой т =5 г совершает гармоничес-­ кие колебания с частотой ν =0,5 Гц. Амплитуда колебаний A =3 см. Оп-­ ределить: 1) скорость υ точки в мо-­ мент времени, когда смещение х= = 1,5 см; 2) максимальную силу F max , действующую на точку; 3) Рис. 6.1 полную энергию Е колеблющейся точ­ ки.

а формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения:

Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из формул (1) и (2) время. Для этого возведем оба уравнения в квад­рат, разделим первое на А 2 , второе на A 2 ω 2 и сложим:

Решив последнее уравнение относительно υ, найдем

Выполнив вычисления по этой формуле, получим

Знак плюс соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с положительным направлением оси х, знак минус - ког­да направление скорости совпадает с отрицательным направлением оси х.

Смещение при гармоническом колебании кроме уравнения (1) может быть определено также уравнением

Повторив с этим уравнением такое же решение, получим тот же ответ.

2. Силу действующую на точку, найдем по второму закону Нью­тона:

где а - ускорение точки, которое получим, взяв производную по времени от скорости:

Подставив выражение ускорения в формулу (3), получим

Отсюда максимальное значение силы

Подставив в это уравнение значения величин π, ν, т и A, найдем

3. Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента вре­мени.

Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинети­ческая энергия достигает максимального значения. В этот момент потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия E колеблющейся точки равна максимальной кинетической энергии

Максимальную скорость определим из формулы (2), положив : . Подставив выражение скорости в фор­- мулу (4), найдем

Подставив значения величин в эту формулу и произведя вычис­ления, получим

или мкДж.

Пример 3. На концах тонкого стержня длиной l = 1 м и массой m 3 =400 г укреплены шарики малых размеров массами m 1 =200 г и m 2 =300г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпен-

дикулярной стержню и проходящей через его середину (точка О на рис. 6.2). Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем.

Решение. Период колебаний физического маятника, каким является стержень с шариками, определяется соотношением

где J - т - его масса; l С - расстояние от центра масс ма­ятника до оси.

Момент инерции данного маятника равен сумме моментов инерции шариков J 1 и J 2 и стержня J 3:

Принимая шарики за материальные точки, вы­разим моменты их инерции:

Так как ось проходит через середину стержня, то его момент инерции относительно этой оси J 3 = = . Подставив полученные выражения J 1 , J 2 и J 3 в формулу (2), найдем общий момент инерции фи-­ зического маятника:

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

Рис. 6.2 Масса маятника состоит из масс шариков и массы стержня:

Расстояние l С центра масс маятника от оси колебаний найдем, исходя из следующих соображений. Если ось х направить вдоль стержня и начало координат совместить с точкой О, то искомое рас­стояние l равно координате центра масс маятника, т. е.

Подставив значения величин m 1 , m 2 , m , l и произведя вычисле­ния, найдем

Произведя расчеты по формуле (1), получим период колебаний физического маятника:

Пример 4. Физический маятник представляет собой стержень длиной l = 1 м и массой 3т 1 с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром и массой т 1 . Горизонтальная ось Oz

маятника проходит через середину стержня перпендикулярно ему (рис. 6.3). Определить период Т колебаний такого маятника.

Решение. Период колебаний физического маятника опреде­ляется по формуле

где J - момент инерции маятника относительно оси колебаний; т - его масса; l C - расстояние от центра масс маятника до оси колебаний.

Момент инерции маятника равен сумме мо­ментов инерции стержня J 1 и обруча J 2:

Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс, определяется по форму-­ ле . В данном случае т= 3т 1 и

Момент инерции обруча найдем, восполь-­ зовавшись теоремой Штейнера , где J - момент инерции относительно про-­ извольной оси; J 0 - момент инерции отно-­ сительно оси, проходящей через центр масс параллельно заданной оси; а - расстояние между указанными осями. Применив эту фор-­ мулу к обручу, получим

Подставив выражения J 1 и J 2 в форму­лу (2), найдем момент инерции маятника относительно оси вра­щения:

Расстояние l С от оси маятника до его центра масс равно

Подставив в формулу (1) выражения J , l с и массы маятника , найдем период его колебаний:

После вычисления по этой формуле получим T =2,17 с.

Пример 5. Складываются два колебания одинакового направле-­ ния, выражаемых уравнениями ; х 2 = =, где А 1 = 1 см, A 2 =2 см, с, с, ω = =. 1. Определить начальные фазы φ 1 и φ 2 составляющих коле-

баний. 2. Найти амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.

Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид

Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду:

Из сравнения выражений (2) с равенством (1) находим начальные фазы первого и второго колебаний:

Рад и рад.

2. Для определения амплитуды А результирую­щего колебания удобно воспользоваться векторной диаграммой, представленной на рис. 6.4. Согласно теореме косинусов, получим

где - разность фаз составляющих колебаний. Так как , то, подставляя найденные значения φ 2 и φ 1 получим рад.

Подставим значения А 1 , А 2 и в формулу (3) и произведем вычисления:

A = 2,65 см.

Тангенс начальной фазы φ результирующего колебания опреде-­ лим непосредственно из рис. 6.4: , отку-­ да начальная фаза

Подставим значения А 1 , А 2 , φ 1 , φ 2 и произведем вычисления:

Так как угловые частоты складываемых колебаний одинаковы, то результирующее колебание будет иметь ту же частоту ω. Это позволяет написать уравнение результирующего колебания в виде , где A =2,65 см, , рад.

Пример 6. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравне­ния которых

где a 1 = 1 см, A 2 =2 см, . Найти уравнение траектории точ-­ ки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

Решение. Чтобы найти уравнение траектории точки, ис­ключим время t из заданных уравнений (1) и (2). Для этого восполь-

зуемся формулой . В данном случае , поэтому

Так как согласно формуле (1) , то уравнение траекто-­ рии

Полученное выражение представляет собой уравнение параболы, ось которой совпадает с осью Ох. Из уравнений (1) и (2) следует, что смещение точки по осям координат ограничено и заключено в пределах от -1 до +1 см по оси Ох и от -2 до +2 см по оси Оу.

Для построения траектории найдем по уравнению (3) значения у, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию см, и составим таблицу:

Начертив координатные оси и выбрав масштаб, нанесем на пло­скость хОу найденные точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию точки, совершающей колеба­ния в соответствии с уравнениями движе­ния (1) и (2) (рис. 6.5).

Для того чтобы указать направление движения точки, проследим за тем, как из­меняется ее положение с течением времени. В начальный момент t =0 координаты точ­ки равны x (0)=1 см и y (0)=2 см. В по­следующий момент времени, например при t 1 =l с, координаты точек изменятся и ста­нут равными х (1)= -1 см, y( t)=0. Зная положения точек в начальный и последую­щий (близкий) моменты времени, можно указать направление движения точки по траектории. На рис. 6.5 это направление движения указано стрелкой (от точки А к началу координат). После того как в мо­мент t 2 = 2 с колеблющаяся точка достиг­нет точки D, она будет двигаться в обратном направлении.

Задачи

Кинематика гармонических колебаний

6.1. Уравнение колебаний точки имеет вид , где ω=π с -1 , τ=0,2 с. Определить период Т и начальную фазу φ колебаний.

6.2. Определить период Т, частоту v и начальную фазу φ коле­баний, заданных уравнением , где ω=2,5π с -1 , τ=0,4 с.

6.3. Точка совершает колебания по закону , где A х(0)=2 см и ; 2) х(0) =см и ; 3) х(0)=2см и ; 4) х(0)= и . Построить векторную диаграмму для момента t =0.

6.4. Точка совершает колебания.по закону , где A =4 см. Определить начальную фазу φ, если: 1) х(0) = 2 см и ; 2) x (0)= см и ; 3) х (0)= см и ; 4) x (0)=см и . Построить векторную диаграмму для момента t =0.

>>Физика: Механические колебания

Колебания являются очень распространенным видом движения. Это покачивание веток деревьев на ветру, вибрация струн у музыкальных инструментов, движение поршня в цилиндре двигателя автомобиля, качания маятника в настенных часах и даже биения нашего сердца.

Сегодняшняя тема урока будет посвящена изучению колебания и колебательных движений.

Процесс колебания является самым распространенным видом движения, которые существуют в природе. А если мы этот процесс будем рассматривать с точки зрения механических движений, то колебания можно назвать самым распространенным видом механического движения.

Под таким понятием, как колебание, принято считать такое движение, которое повторяется полностью или частично с течением времени.

Как вы думаете, являются ли колебательными движениями качание деревьев или шевеление листвы под воздействием ветра? Естественно такое движение можно отнести к колебаниям. Также колебательные движения выполняют качающиеся качели, вибрирующие струны музыкальных инструментов и качание маятника в часах. И даже любое движение человеческого тела и наше сердцебиение, которое повторяется на протяжении времени, также выполняет колебательные движения.

Ну что ж, теперь мы можем сделать вывод и дать определение этому явлению.

Процесс, который повторяется с течением времени, называется колебанием.

Условия, необходимые для колебаний

Теперь давайте с вами на примерах пружинного и нитяного маятников более подробно рассмотрим процесс колебательных движений.

А сейчас давайте обратим внимание на наши рисунки, на которых изображены данные маятники.

На первом рисунке нам представлен, так званый нитяной маятник, этот маятник еще называют математическим. Теперь рассмотрим, что собой представляет этот математический маятник. А представляет он некое массивное тело, в данном случае шарик, который подвешен на длинную и тонкую нить. Если мы попробуем взять и сместить его в сторону, нарушив его равновесие, а потом отпустим, то этот шарик будет выполнять повторяющиеся движения в стороны, и при этом он периодически будет проходить через положение равновесия. В этом случае, можно сказать, что данный шарик начнет выполнять колебательные движения, то есть колебаться.

Теперь рассмотрим следующий рисунок, на котором изображен пружинный маятник. Это маятник представлен в виде грузика, который закреплен на пружине и под действием силы упругости этой пружины, способен выполнять колебательные движения.

Но, как вы уже видите с приведенных примеров, что для осуществления колебаний необходимы некоторые условия.

Для существования колебаний необходимо:

Во-первых, наличие самой колебательной системы. А в нашем случае, такой системой являются данные маятники, которые способны осуществить эти колебательные движения.
Во-вторых, необходимо иметь точку равновесия и притом равновесия устойчивого.
В-третьих, обязательное наличие запасов энергии, с помощью которой и будут осуществляться колебательные движения.
И, в-четвертых, наличие небольшой силы трения, так как если сила трения будет большой, то, естественно, что ни о каких колебаниях не может идти никакой речи.

Единицы измерения амплитуды колебаний

Величинами, которые характеризуют колебательные движения, являются:

1. Амплитуда, которую обозначают символом «А» и измеряют в таких единицах длины, как метры, сантиметры и т.д. Как правило, амплитудой принято считать максимальное расстояние, на которое колеблется тело от своего положения равновесия.

2. Период, который обозначают символом «Т» и измеряют в единицах времени, то есть в минутах, секундах и т.д. Период является тем временем, за которое происходит одно колебание.

3.Частота, которую обозначают символом «V». Частотой колебаний принято считать то количество колебаний, которое осуществляется за 1 с.

В системе СИ единицу частоты принято называть «герцем». Свое название она получила в честь немецкого физика Г. Герца.

Если припустим, частота колебаний будет равна 1 Гц, то это будет значить, что одно колебание совершается за одну секунду. В случае, если частота будет равняться v = 50 Гц, то естественно, что за каждую секунду будут совершено 50 колебаний.

Формулы амплитуды колебаний

А теперь давайте перейдем к рассмотрению формул колебаний. Здесь следует отметить, что для периода Т и частоты v колебаний правильными будут те же формулы, которые используют и для периода и частоты обращения.

Рассмотрим значения этих формул более подробно:

1. Во-первых, для того чтобы найти период колебаний, нам необходимо взять время t, за которое было совершено какое-то количество колебаний и разделить на n, которое является числом этих колебаний и получим такую формулу:

2. Во-вторых, если нам необходимо найти частоту колебаний, то нужно взять число колебаний и разделить их на время, в течение которого эти колебания происходили. В итоге, у нас получилась такая формула:

Но чтобы лучше понять, как производить подсчет числа колебаний, необходимо иметь представление того, что такое одно полное колебание. Для этого опять вернемся к рассмотрению рис. 30, где нам наглядно показано, что маятник начинает свое движение из положения 1, дальше он проходит положение равновесия и переходит в положение 2, а дальше он возвращается из второго положения в положение равновесия и снова возвращается в положение 1. Вот этот весь процесс и является одним колебанием.

Стоит обратить внимание на то, что при сравнении этих двух формул период и частота колебаний, являются величинами взаимно обратными, т. е.

График колебаний

Как вам уже известно, из сегодняшнего урока, что положение тела в процессе колебания непрерывно меняется.

Графиком колебаний называют такой график зависимости, где координаты колеблющегося тела зависят от времени.

А теперь давайте рассмотрим, что собой представляет график колебаний. Для этого мы возьмем и по горизонтальной оси нашего графика отложим время t, а координату х разместим на вертикальной оси. Теперь, с помощью модуля, этой координаты мы видим на каком расстоянии от первоначального положения, то есть положения равновесия, находится колеблющееся тело на данный момент времени.

А, когда данное тело переходит через положение равновесия, то в этом случае знак координаты измениться на противоположный. То есть, этот знак нам показывает, что тело переместилось на другую сторону от положения равновесия.

Практическая работа

А теперь давайте проведем несколько интересных опытов. Для этого пружинный маятник попробуем соединить с пишущим устройством. А дальше начнем равномерно перемещать бумажную ленту перед этим колеблющимся телом. Если вы внимательно посмотрите на рис 32, то увидите, как с помощью кисточки на ленте появляется линия, которая будет совпадать с графиком колебаний.

На рисунке 33 изображена установка нитяного маятника, где также можно записать колебания этого маятника. В данном примере маятником здесь служит воронка с песком. Мы точно также помещаем бумажную ленту под колеблющейся воронкой и наблюдаем, как песок, который сыпется из воронки, оставляет соответствующий след.

Теперь мы видим, что на протяжении незначительных интервалов и при довольно таки малом трении, графиком колебаний этих маятников является синусоида.

Так, например, на графике нам видны все колебательные движения, где A = 5 см, Т = 4 с и v= 1/T = 0,25 Гц.

Механические колебания – это периодически повторяющиеся механические движения. Например: звук, вибрация или колебания математического маятника.

Колебаниям присущи определенные характеристики:

1. Амплитуда. Размах, максимальное отклонение от точки равновесия.
2. Частота. Периодичность, повторяемость за единицу времени.
3. Период. Время, которое требуется для одного колебания.

Если обозначить частоту буквой v, то связь между ним и периодом, будет выражаться следующей формулой:

Частота измеряется в герцах, в честь немецкого ученого Генриха Герца. Один герц означает выполнение одного колебания или процесса за секунду.

Одним из важных видов колебаний являются так называемые гармонические колебания. Это те колебания, которые изменяются по гармонические закону, то есть их можно представить в виде функции, где значение определяется как синус (или косинус) от аргумента.

Координаты тела, совершающего колебания в такой системе, в общем виде будут выражены следующим образом:

Где:
Х(t) – значение колеблющейся величины x, в момент времени t.
A – максимальное смещение от точки равновесия, амплитуда колебаний.
w – циклическая частота, число колебаний за П2 сек.
ε0 – начальная фаза колебания.
Любые другие колебания, можно представить как сумму гармонических колебаний.

Примером таких колебаний, может служить математический маятник:

Где:
L ¬– длина нити.
g – ускорение свободного падения.
П – число Пи.
Следует обратить внимание, что период зависит только от длины маятника.

Превращение энергии в колебательных сиcтемах

При колебаниях, кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию.
Когда тело отклоняется на наибольшую величину от точки равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая равна нулю.
По мере движения тела в положение равновесия, будет увеличиваться кинетическая энергия, так как увеличивается скорость.
В положении равновесия тело будет иметь минимальную потенциальную, чаще всего равное нулю, а кинетическая будет максимальной.
Рассмотрим это на примере механического маятника.

В точке 1, потенциальная энергия будет иметь наибольшее значение. По мере движения грузика до положения 2, она будет уменьшаться до наименьшего значения. Далее, при переходе тела от положения 2 к 3, будет уменьшаться кинетическая энергия, а потенциальная увеличиваться.
Суммарная энергия системы, будет оставаться неизменной, в какой бы точке не находилось тело, так как потерь энергии нет. Если увеличивается кинетическая энергия, то потенциальная уменьшается и наоборот.

При изучении этого раздела следует иметь в виду, что колебания различной физической природы описываются с единых математических позиций. Здесь надо четко уяснить такие понятия, как гармоническое колебание, фаза, разность фаз, амплитуда, частота, период колебани.

Надо иметь в виду, что во всякой реальной колебательной системе есть сопротивления среды, т.е. колебания будут затухающими. Для характеристики затухания колебаний вводится коэффициент затухания и логарифмический декремент затухани.

Если колебания совершаются под действием внешней, периодически изменяющейся силы, то такие колебания называют вынужденными. Они будут незатухающими. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При приближении частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом.

Переходя к изучению электромагнитных волн нужно четко представлять, что электромагнитная волна - это распространяющееся в пространстве электромагнитное поле. Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны, является электрический диполь. Если диполь совершает гармонические колебания, то он излучает монохроматическую волну.

Таблица формул: колебания и волны