Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Теория Кантора о трансфинитных числах первоначально была воспринята настолько нелогичной, парадоксальной и даже шокирующей, что натолкнулась на резкую критику со стороны математиков-современников, в частности, Леопольда Кронекера и Анри Пуанкаре; позднее - Германа Вейля и Лёйтзена Брауэра, а Людвиг Витгенштейн высказал возражения философского плана (см. Споры о теории Кантора). Некоторые христианские богословы (особенно представители неотомизма) увидели в работе Кантора вызов уникальности абсолютной бесконечности природы Бога, приравняв однажды теорию трансфинитных чисел и пантеизм. Критика его трудов была порой очень агрессивна: так, Пуанкаре называл его идеи «тяжёлой болезнью», поражающей математическую науку; а в публичных заявлениях и личных выпадах Кронекера в адрес Кантора мелькали иногда такие эпитеты, как «научный шарлатан», «отступник» и «развратитель молодёжи». Десятилетия спустя после смерти Кантора, Витгенштейн с горечью отмечал, что математика «истоптана вдоль и поперёк разрушительными идиомами теории множеств», которое он отклоняет как «шутовство», «смехотворное» и «ошибочное». Периодически повторяющиеся с 1884 года и до конца дней Кантора приступы депрессии некоторое время ставили в вину его современникам, занявшим чересчур агрессивную позицию, но сейчас считается, что эти приступы, возможно, были проявлением биполярного расстройства.

Резкой критике противостояли всемирная известность и одобрение. В 1904 году Лондонское королевское общество наградило Кантора Медалью Сильвестра, высшей наградой, которую оно могло пожаловать. Сам Кантор верил в то, что теория трансфинитных чисел была сообщена ему свыше. В своё время, защищая её от критики, Давид Гильберт смело заявил: «Никто не изгонит нас из рая, который основал Кантор».

Биография

Юные годы и учёба

Кантор родился в 1845 году в Западной колонии торговцев в Санкт-Петербурге и рос там до 11-летнего возраста. Георг был старшим из шести детей. Он виртуозно играл на скрипке, унаследовав от своих родителей значительные художественные и музыкальные таланты. Отец семейства был членом Петербургской фондовой биржи. Когда он заболел, семья, рассчитывая на более мягкий климат, в 1856 году переехала в Германию: сначала в Висбаден, а потом во Франкфурт. В 1860 году Георг закончил с отличием реальное училище в Дармштадте; учителя отмечали его исключительные способности к математике, в частности, к тригонометрии. В 1862 году будущий знаменитый учёный поступил в Федеральный политехнический институт в Цюрихе (ныне - Швейцарская высшая техническая школа Цюриха). Через год умер его отец; получив солидное наследство, Георг переводится в Берлинский университет имени Гумбольдта, где начинает посещать лекции таких знаменитых учёных, как Леопольд Кронекер, Карл Вейерштрасс и Эрнст Куммер. Лето 1866 года он провёл в Гёттингенском университете, тогда, да и сейчас, - очень важного центра математической мысли. В 1867 году Берлинский университет присвоил ему степень доктора философии за работу по теории чисел «De aequationibus secundi gradus indeterminatis».

Учёный и исследователь

После непродолжительной работы в качестве преподавателя в Берлинской школе для девочек, Кантор занимает место в Галльском университете Мартина Лютера, где и пройдёт вся его карьера. Необходимую для преподавания хабилитацию он получил за свою диссертацию по теории чисел.

В 1874 году Кантор женился на Валли Гуттманн (Vally Guttmann). У них было 6 детей, последний из которых родился в 1886 году. Несмотря на скромное академическое жалование, Кантор был в состоянии обеспечить семье безбедное проживание благодаря полученному от отца наследству. В продолжение своего медового месяца в горах Гарца, Кантор много времени проводил за математическими беседами с Рихардом Дедекиндом, с которым завязал дружбу ещё двумя годами ранее во время отпуска, в Швейцарии.

Кантор получил звание Внештатного Профессора в 1872 году, а в 1879 стал Полным Профессором. Получить это звание в 34 года было большим достижением, но Кантор мечтал о должности в более престижном университете, например, Берлинском - в то время ведущем университете Германии. Однако его теории встречают серьёзную критику, и мечтам не удаётся воплотиться в жизнь. Кронекер, возглавлявший кафедру математики Берлинского университета, всё больше и больше был не в восторге от перспективы получить такого коллегу, как Кантор, воспринимая его как «развратителя молодёжи», наполнявшего своими идеями головы молодого поколения математиков. Более того, Кронекер, будучи заметной фигурой в математическом сообществе и бывшим учителем Кантора, был в корне не согласен с содержанием теорий последнего. Кронекер, который рассматривается сейчас как один из основателей конструктивной математики, с неприязнью относился к канторовской теории множеств, поскольку та утверждала существование множеств, удовлетворяющих неким свойствам, - без предоставления конкретных примеров множеств, элементы которых бы действительно удовлетворяли этим свойствам. Кантор понял, что позиция Кронекера не позволит ему даже уйти из Галльского университета.

В 1881 году Эдуард Гейне, коллега Кантора, умер, оставив после себя вакантную должность. Руководство университета приняло предложение Кантора пригласить на этот пост Рихарда Дедекинда, Генриха Вебера или Франца Мертенца (именно в таком порядке), но все они отказались. В итоге пост занял Фридрих Вангерин, однако он никогда не был другом Кантора.

В 1882 году научная переписка с Дедекиндом оборвалась, вероятно, как следствие отказа последнего от должности в Галле. В то же время Кантор установил другую важную переписку, с Гёста Миттаг-Леффлером, жившим в Швеции, и скоро начал публиковаться в его журнале «Acta mathematica». Однако в 1885 году Миттаг-Леффлёр встревожился относительно философского подтекста и новой терминологии в одной статье, присланной ему Кантором для печати. Он попросил Кантора отозвать свою статью, пока та ещё проходила корректуру, написав, что эта статья «опередила время примерно лет на сто». Кантор согласился, но при этом отметил в переписке с другим человеком:

Вслед за этим Кантор резко оборвал отношения и переписку с Миттаг-Леффлером, проявляя склонность воспринимать исполненную благих намерений критику как глубокое личное оскорбление.

Первый известный приступ депрессии Кантор испытал в 1884 году. Критика его работ тяготила его разум: каждое из 52 писем, которые он написал Маттаг-Леффлёру в 1884 году, подверглось атаке Кронекера. Отрывок из одного письма показывает степень ущерба, нанесённого ощущению уверенности Кантора в себе:

Этот эмоциональный кризис заставил его сместить свой интерес от математики к философии и начать читать лекции по ней. Кроме того, Кантор стал интенсивно изучать английскую литературу эпохи Елизаветы; он пытался доказать, что те пьесы, которые приписывались Шекспиру, на самом деле написал Френсис Бэкон (см. Вопрос авторства Шекспира); результаты по этой работе в конце концов были опубликованы в двух проспектах 1896 и 1897 годов.

Вскоре после этого Кантор восстановился, и сразу же сделал несколько важных дополнений к своей теории, в частности, свои знаменитые диагональный аргумент и теорему. Однако он уже никогда не сможет достичь того высокого уровня, который был в его работах 1874-1884 годов. В конце концов он обратился с предложением о мире к Кронекеру, которое тот благосклонно принял. Тем не менее, разделявшие их философские расхождения и трудности остались. Некоторое время считалось, что периодические приступы депрессии Кантора связаны с жёстким неприятием его работ со стороны Кронекера. Но хотя его депрессия и оказывала большое влияние на математические беспокойства Кантора и его проблемы с некоторыми людьми, маловероятно, что всё это было её причиной. Напротив, в качестве основной причины его непредсказуемого настроения утвердили его посмертный диагноз - маниакально-депрессивный психоз.

В 1890 году Кантор способствовал организации Германского математического общества (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) и был председателем первого его сбора в Галле в 1891 году; в то время его репутация была достаточно сильна, даже несмотря на оппозицию Кронекера, чтобы его выбрали первым президентом этого общества. Закрыв глаза на свою неприязнь к Кронекеру, Кантор пригласил его выступить с докладом, но Кронекер не смог этого сделать по причине смерти своей супруги.

Объекты, названные в честь Кантора

• Канторово множество - континуальное множество нулевой меры на отрезке;
• Функция Кантора (Канторова лестница);
• Нумерующая функция Кантора - отображение декартовой степени множества натуральных чисел в само себя;
• Теорема Кантора (см. также Теорема Кантора (значения)) о том, что мощность множества всех подмножеств данного множества строго больше мощности самого множества;
• Теорема Кантора - Бернштейна о равномощности множеств A и B при условии равномощности A подмножеству B и равномощности B подмножеству A;
• Теорема Кантора - Гейне о равномерной непрерывности непрерывной функции на компакте;
• Теорема Кантора - Бендиксона
• Медаль Кантора - математическая награда, вручаемая Немецким математическим обществом;
• а также другие математические объекты.

Сочинения

• Cantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts / Hrsg. von E. Zermelo. B., 1932.

Георг Кантор (фото приведено далее в статье) - немецкий математик, который создал теорию множеств и ввел понятие трансфинитных чисел, бесконечно больших, но отличающихся друг от друга. Также он дал определение порядковым и кардинальным числам и создал их арифметику.

Георг Кантор: краткая биография

Родился в Санкт-Петербурге 03.03.1845. Его отцом был датчанин протестантского вероисповедания Георг-Вальдемар Кантор, занимавшийся торговлей, в т. ч. и на фондовой бирже. Его мать Мария Бем была католичкой и происходила из семьи выдающихся музыкантов. Когда в 1856 году отец Георга заболел, семья в поисках более мягкого климата переехала сперва в Висбаден, а затем во Франкфурт. Математические таланты у мальчика проявились еще до его 15-летия во время учебы в частных школах и гимназиях Дармштадта и Висбадена. В конце концов Георг Кантор убедил отца в своем твердом намерении стать математиком, а не инженером.

После недолгого обучения в Цюрихском университете в 1863 г. Кантор перевелся в Берлинский университет, чтобы изучать физику, философию и математику. Там ему преподавали:

• Карл Теодор Вейерштрасс, чья специализация на анализе, вероятно, оказала наибольшее влияние на Георга;
• Эрнст Эдуард Куммер, преподававший высшую арифметику;
• Леопольд Кронекер, специалист по теории чисел, который впоследствии выступал против Кантора.

Проведя один семестр в университете Геттингена в 1866 г., в следующем году Георг написал докторскую диссертацию под заголовком «В математике искусство задавать вопросы более ценное, чем решение задач», касающуюся проблемы, которую Карл Фридрих Гаусс оставил нерешенной в его Disquisitiones Arithmeticae (1801). После краткого преподавания в Берлинской школе для девочек Кантор начал работать в университете Галле, в котором оставался до конца своей жизни сначала как преподаватель, с 1872 года как доцент и с 1879-го в качестве профессора.

Исследования

В начале серии из 10 работ с 1869 по 1873 г. Георг Кантор рассмотрел теорию чисел. Работа отражала увлеченность предметом, его исследования Гаусса и влияние Кронекера. По предложению Генриха Эдуарда Гейне, коллеги Кантора в Галле, который признавал его математическое дарование, он обратился к теории тригонометрических рядов, в которых расширил понятие действительных чисел.

Отталкиваясь от работы по функции комплексной переменной немецкого математика Бернхарда Римана 1854 года, в 1870 г. Кантор показал, что такая функция может быть представлена только одним способом - тригонометрическими рядами. Рассмотрение совокупности чисел (точек), которые бы не противоречили такому представлению, привело его, во-первых, в 1872 году к определению в терминах рациональных чисел (дробей целых чисел) и далее к началу работы над трудом всей его жизни, теорией множеств и концепцией трансфинитных чисел.

Теория множеств

Георг Кантор, теория множеств которого зародилась в переписке с математиком технического института Брауншвейга Ричардом Дедекиндом, дружил с ним с детства. Они пришли к выводу, что множества, конечные или бесконечные, являются совокупностью элементов (например, чисел, {0, ±1, ±2 . . .}), которые обладают определенным свойством, сохраняя при этом свою индивидуальность. Но когда Георг Кантор применил для изучения их характеристик взаимно однозначное соответствие (например, {А, B, C} к {1, 2, 3}), он быстро понял, что они отличаются по степени их принадлежности, даже если это были бесконечные множества, т. е. множества, часть или подмножество которых включает столько же объектов, сколько оно само. Его метод вскоре дал удивительные результаты.

В 1873 году Георг Кантор (математик) показал, что рациональные числа, хотя и бесконечны, являются счетными, потому что могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с натуральными (т. е. 1, 2, 3 и т. д.). Он показал, что множество действительных чисел, состоящее из иррациональных и рациональных, бесконечное и несчетное. Что более парадоксально, Кантор доказал, что множество всех алгебраических чисел содержит столько же элементов, сколько множество всех целых, и что трансцендентные числа, не являющиеся алгебраическими, которые представляют собой подмножество иррациональных чисел, несчетные и, следовательно, их количество больше, чем целых чисел, и должно рассматриваться как инфинитное.

Противники и сторонники

Но работа Кантора, в которой он впервые выдвинул эти результаты, не была опубликована в журнале «Крелль», так как один из рецензентов, Кронекер, был категорически против. Но после вмешательства Дедекинда она была опубликована в 1874 году под названием «О характерных свойствах всех действительных алгебраических чисел».

Наука и личная жизнь

В этом же году во время проведения медового месяца со своей женой Валли Гутман в Кантор встретил Дедекинда, который благожелательно отозвался о его новой теории. Жалование Георга было небольшим, но на деньги отца, который умер в 1863 г., он построил для своей жены и пятерых детей дом. Многие из его работ были опубликованы в Швеции в новом журнале Acta Mathematica, редактором и основателем которого был Геста Миттаг-Леффлер, в числе первых признавший талант немецкого математика.

Связь с метафизикой

Теория Кантора стала совершенно новым предметом исследований, касающимся математики бесконечного (например, ряда 1, 2, 3 и т. д., и более сложных множеств), который в значительной степени зависел от взаимно однозначного соответствия. Разработка Кантором новых методов постановки вопросов, касающихся непрерывности и бесконечности, придала его исследованиям неоднозначный характер.

Когда он утверждал, что бесконечные числа реально существуют, он обратился к древней и средневековой философии в отношении актуальной и потенциальной бесконечности, а также к раннему религиозному воспитанию, которое дали ему родители. В 1883 году в своей книге «Основы общей теории множеств» Кантор объединил свою концепцию с метафизикой Платона.

Кронекер же, утверждавший, что «существуют» только целые числа («Бог создал целые числа, остальное - дело рук человека»), в течение многих лет горячо отвергал его рассуждения и препятствовал его назначению в Берлинском университете.

Трансфинитные числа

В 1895-97 гг. Георг Кантор полностью сформировал свое представление о непрерывности и бесконечности, включая бесконечные порядковые и кардинальные числа, в его самой известной работе, опубликованной под названием «Вклад в создание теории трансфинитных чисел» (1915). Это сочинение содержит его концепцию, к которой его привела демонстрация того, что бесконечное множество может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с одним из его подмножеств.

Под наименьшим трансфинитным кардинальным числом он подразумевал мощность любого множества, которое можно поставить во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами. Кантор назвал его алеф-нулем. Большие трансфинитные множества обозначаются алеф-один, алеф-два и т. д. Далее он развил арифметику трансфинитных чисел, которая была аналогична конечной арифметике. Таким образом, он обогатил понятие бесконечности.

Оппозиция, с которой он столкнулся, и время, которое понадобилось на то, чтобы его идеи были полностью приняты, объясняются сложностями переоценки древнего вопроса о том, чем является число. Кантор показал, что множество точек на линии обладает более высокой мощностью, чем алеф-нуль. Это привело к известной проблеме гипотезы о континууме - никаких кардинальных чисел между алеф-нулем и мощностью точек на линии нет. Эта задача в первой и второй половине 20-го века вызывала большой интерес и изучалась многими математиками, в т. ч. Куртом Геделем и Полом Коэном.

Депрессия

Биография Георга Кантора с 1884 г. была омрачена начавшимся у него психическим заболеванием, но он продолжал активно работать. В 1897 г. он помог провести в Цюрихе первый международный математический конгресс. Отчасти потому, что ему оппонировал Кронекер, он часто сочувствовал молодым начинающим математикам и стремился найти способ избавить их от притеснений со стороны преподавателей, чувствующих угрозу со стороны новых идей.

Признание

На рубеже веков его работа была полностью признана в качестве основы для теории функций, анализа и топологии. Кроме того, книги Кантора Георга послужили толчком для дальнейшего развития интуитивистских и формалистических школ логических основ математики. Это существенно изменило систему преподавания и часто ассоциируется с «новой математикой».

В 1911 г. Кантор был в числе приглашенных на празднование 500-летия Сент-Эндрюсского университета в Шотландии. Он отправился туда в надежде встретиться с который в своей недавно опубликованной работе Principia Mathematica неоднократно ссылался на немецкого математика, но этого не произошло. Университет присвоил Кантору почетную степень, но из-за болезни он не смог принять награду лично.

Кантор вышел на пенсию в 1913 г., жил в бедности и во время Первой мировой войны голодал. Торжества в честь его 70-летия в 1915 г. были отменены по причине войны, но небольшая церемония состоялась у него дома. Он умер 06.01.1918 г. в Галле, в психиатрической лечебнице, где провел последние годы своей жизни.

Георг Кантор: биография. Семья

9 августа 1874 г. немецкий математик женился на Валли Гутман. У супругов родилось 4 сына и 2 дочери. Последний ребенок родился в 1886 г. в приобретенном Кантором новом доме. Содержать семью ему помогло наследство отца. На состоянии здоровья Кантора сильно отразилась смерть его младшего сына в 1899 г. - с тех пор его не покидала депрессия.

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор родился 4 марта 1845 года в Санкт-Петербурге. Его родителями были Георг-Вольдемар Кантор и Мария Анна Бойм. Кантора вырастили как убеждённого протестанта, а любовь к искусству передалась ему от родителей. Считается, что он был выдающимся скрипачом. Его отец был немцем, а мать россиянкой, которая посещала римско-католическую церковь. С ранних лет у Кантора был частный преподаватель, он также посещал школу в Санкт-Петербурге. В 1856 году, когда Кантору было одиннадцать лет, его семья переехала в Германию, которую Кантор так никогда и не смог полюбить.

Здоровье отца Кантора начало ухудшаться, из-за чего семья вновь переехала, на этот раз во Франкфурт, из-за тёплого климата. Во Франкфурте Кантор учился в гимназии, которую закончил с отличием в 1960 году. Его учителя отмечали, что ему хорошо давалась математика, особенно тригонометрия. После гимназии в 1962 году Кантор поступил в федеральный университет Цюриха, в котором изучал математику. Получив одобрение родителей, он учился в нём в течение пары лет, пока смерть отца не положила учёбе конец. После смерти отца Кантор перешёл в университет Берлина, в котором подружился с Германом Шварцем и посещал лекции Кронекера, Вейерштрасса и Куммера. Летом он также учился в Геттингёнском университете, и в 1867 году закончил свою первую диссертацию по числам с названием «De aequationibus secondi gradus indeterminatis».

В это же году он получил докторскую степень по математике.

Карьера

В начале своей карьеры Кантор был активным членом математических союзов и сообществ. Он стал президентом одного из сообществ в 1865 и 1868 годах. Он также принимал участие в конференции Шеллбаха по математике. В 1869 году его назначили профессором в университете Галле. Он продолжал работу над различными диссертациями по теории чисел и анализу. В это же время Кантор решил продолжить изучение тригонометрии и начал размышлять над уникальностью геометрического изображения функций тригонометрического ряда, которые ему представил старший коллега, Гейне.

К 1870 году Кантор справился с задачей, доказав уникальность геометрического изображения, к большому изумлению Гейне. В 1873 году он доказал, что рациональные числа являются исчисляемыми и могут приходить в соответствие с натуральными числами. К концу 1873 года Кантор доказал, что и вещественные и относительные числа также исчисляемы. Его повысили до должности экстраординарного профессора в 1872 году, а в 1879 году он занял должность профессора высшей категории. Он был благодарен за назначение, но всё же хотел получить должность в более престижном университете.

В 1882 году Кантор начал переписываться с Гёста Миттаг-Леффлером, и вскоре начал печатать свои работы в журнале Леффлера – «Acta Mathematica». Кронекер – современник Канта – постоянно насмехался и угнетал теории Кантора.

Кантор продолжил публиковать свои работы, но в 1884 году у него случился нервный срыв, от которого он вскоре оправился и принял решение преподавать философию. Вскоре он начал изучать литературу елизаветинского периода.

В 1890 году он основал Немецкое математическое общество, в котором он впервые опубликовал чертежи диагонального сечения, таким образом немного наладив отношения с Кронекером. Но, несмотря на то, что учёные начали общаться, они так и не помирились, из-за чего напряжение в их отношениях присутствовало до конца жизни Кантора.

Личная жизнь

В 1874 году Кантор женился на Валли Гуттман; у пары родилось шесть детей. Считается, что Кантор, несмотря на статус известного математика, не мог содержать свою семью. При наличии свободного времени он играл на скрипке и погружался в искусство и литературу. Он был награждён медалью Сильвестра за свои изыскания в математике. В 1913 году Кантор вышел на пенсию так как был морально неустойчив, страдал от постоянных психических расстройств и в конце концов он оказался в здравнице, где и пробыл до своей смерти.

Смерть и наследие

Георг Кантор умер 6 января 1918 года в Галле, после продолжительного психического расстройства. О Канторе вышло множество публикаций, одной из которых была публикация в книге «Творцы математики» и заметка в «Истории математики». Он основал Немецкое математическое сообщество, а большинство его научных работ используется до сих пор.

Основные работы

«Infinite sets»
«Uncountable sets»
«Cantor set»
«Cardinals and Ordinals»
«The Continuum hypothesis»
«Number theory and function theories»
«Infinitesimals»
«Convergent series»
«Transcendental numbers»
«Diagonal argument»
«Cantor-Bernstein-Schroeder theorem»
«Continuum hypothesis»

Публикации

«On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers»
«Foundations of a General Theory of Aggregates»
«Mathematische Annalen»
«Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre»
«De aequationibus secondi gradus indeterminatis»

Оценка по биографии

Новая функция! Средняя оценка, которую получила эта биография. Показать оценку

Происхождение и образование

В философии математики анализировал проблему бесконечности . Различая два вида математического бесконечного - несобственное (потенциальное) и собственное (актуальное, понимаемое как завершенное целое), - Георг Кантор настаивал на законности оперирования в математике понятием актуально бесконечного. Сторонник платонизма, он в математическом актуально бесконечном видел одну из форм актуально бесконечного вообще, обретающего высочайшую завершенность в абсолютном Божественном бытии. Некоторые христианские богословы, преимущественно представители неотомизма, увидели в трудах Кантора вызов уникальности абсолютной бесконечности природы Бога, приравняв однажды теорию трансфинитных чисел и пантеизм.

В вопросе существования в математике различал интрасубъективную (имманентную, то есть внутреннюю логическую непротиворечивость), и транссубъективную (транзистентную, то есть соответствие процессам внешнего мира), реальность математических объектов. В противовес Кронекеру, отвергавшему все не связанные с построением или вычислением способы введения новых математических объектов, Георг Кантор допускал конструирование любых логически непротиворечивых абстрактных математических систем.

Возражения философского плана идеям Кантора высказал Людвиг Витгенштейн .

Последние годы

В 1897 году научная деятельность Кантора прервалась из-за тяжёлой болезни. Периодически повторяющиеся с 1884 года и до конца его дней приступы депрессии некоторое время ставили в вину современникам Кантора, занявшим слишком агрессивную позицию, эти приступы, как считают, были проявлением биполярного расстройства и маниакально-депрессивного психоза.

Был женат на Валли Гутман, с которой имел шестеро детей, последний из которых родился в 1886 году . Несмотря на скромное академическое жалование, математик оказался в состоянии обеспечить семье безбедное проживание благодаря полученному от отца наследству.

Умер 6 января 1918 года в Галле (Заале).

Его именем был ударный кратер на обратной стороне Луны.

Считаются одной из важных вех в истории человеческой мысли. Теория множеств , которую он создал, является краеугольным камнем современной математики.

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор родился 3 марта 1845 года в Санкт-Петербурге, куда незадолго до его рождения эмигрировал его отец, богатый датский коммерсант. Из-за болезни легких его отцу в 1856 году пришлось эмигрировать снова, на этот раз во Франкфурт. Именно там Георг учился в нескольких частных школах. В возрасте 15 лет его приняли в училище в Висбадене.

Кантор рано проявил жаркий интерес к математике . В 1862 году он начал изучать математику наряду с философией и физикой в Берлинском университете.

Там его учителями были Леопольд Кронекер (1823-1891), Эрнст Куммер (1810-1893) и Карл Вейерштрасс (1815-1897). Последний оказал на него наибольшее влияние, а Кронекер, обучивший его азам теории чисел, впоследствии стал самым жестким критиком идей Кантора. В 1867 году Кантор получил степень доктора, а два года спустя - должность в Университете Галле, достаточно важном образовательном центре страны, который все же не входил в число наиболее престижных в Германии. Он начал работу в должности внештатного профессора, что означало, что его жалование зависело от числа студентов в классах. Лишь в 1879 году он получил должность полного профессора.

В 29 лет Кантор женился на Валли Гуттман и опубликовал свою первую работу о теории множеств в «Журнале чистой и прикладной математики», основанном Августом Креллем. В этой работе он доказал удивительный факт: несмотря на то, что множество рациональных чисел является плотным на прямой, оно является счетным, то есть число элементов в нем не превышает количество натуральных чисел. Он также доказал (окончательно оформив доказательство в 1891 году), что в этом отношении вещественные числа являются особыми, поскольку между множеством вещественных и множеством натуральных чисел нельзя установить взаимно однозначного соответствия. Это была первая попытка штурма крепости под названием «бесконечность».

1877 год также стал очень важным для Кантора: именно тогда он доказал, что, вопреки распространенному мнению, между прямой и плоскостью можно установить взаимно однозначное соответствие . Как и в 1874 году, эту статью Кантор также отправил в Журнал Крелля.

Статья встретила непреклонный отпор Кронекера, одного из редакторов журнала, которому удалось отложить публикацию до следующего года. Кронекер был убежденным противником бесконечности и признавал ее только как стенографическую запись многократно повторяемых процессов. Кантор же, напротив, изучал мир, полный истинных бесконечностей, и всякий раз рассматривал бесконечности все более сложной структуры, к примеру, трансфинитные числа , над которыми он непрерывно работал в зрелые годы.

Все указывает на то, что Кантор страдал от заболевания, которое сейчас именуют маниакально-депрессивным синдромом - болезнью эндогенного характера, при которой фазы эйфории сменяются депрессией.

Последние 20 лет жизни Кантор периодически лечился в психиатрических клиниках, куда он обращался по собственному желанию. Это не мешало ему продолжать работу и публиковать свои теории в промежутках между курсами лечения. В последний раз он был помещен в клинику в 1917 году - единственный раз против своей воли. В письмах Кантор жаловался на холод, одиночество и скудное питание. Несмотря на то, что к тому моменту его теории уже получили широкое признание научного сообщества , 6 января 1918 года он умер в одиночестве и в поистине удручающих условиях.