Аппроксимация опытных данных. Метод наименьших квадратов. Методы аппроксимации

Иногда возникает необходимость аппроксимации данной функции другими функциям, которые легче вычислить. В частности, рассматривается задача о наилучшем приближении в нормированном пространстве Н, когда заданную функцию f требуется заменить линейной комбинацией заданных элементов из Н так, чтобы отклонение ||f - || было минимальным.

Метод наименьших квадратов

Mетод наименьших квадратов был предложен Гауссом и Лежандром в конце XVIII - начале XIX веков в связи с проблемой обработки экспериментальных данных. В этом случае задача построения функции непрерывного аргумента по дискретной информации, характеризуется двумя особенностями:

1. Число точек, в которых проводятся измерения, обычно бывает достаточно большим.
2. Значения функции в точках сетки определяются приближенно в связи с неизбежными ошибками измерения.

С учетом этих обстоятельств строить функцию в виде суммы большого числа слагаемых и добиваться ее точного равенства в точках сетки величинам, как это делалось при интерполировании, становится нецелесообразным.

В методе наименьших квадратов аппроксимирующая функция ищется в виде суммы, аналогичной, но содержащей сравнительно небольшое число слагаемых

погрешность уравнение интерполяция

в частности, возможен вариант.

Предположим, что мы каким-то образом выбрали коэффициенты, тогда в каждой точке сетки, можно подсчитать погрешность

Сумма квадратов этих величин называется суммарной квадратичной погрешностью

Она дает количественную оценку того, насколько близки значения функции в точках сетки к величинам.

Меняя значения коэффициентов, мы будем менять погрешность, которая является их функцией. В результате естественно возникает задача:

Найти такой, набор коэффициентов, при которых суммарная квадратичная погрешность оказывается минимальной.

Функцию с набором коэффициентов, удовлетворяющих этому требованию, называют наилучшим приближением по методу наименьших квадратов.

Построение наилучшего приближения сводится к классической задаче математического анализа об экстремуме функции нескольких переменных. Метод решения этой задачи известен.

Необходимым условием экстремума является равенство нулю в экстремальном точке всех первых частных производных рассматриваемой функции. В случае это дает

Оставим члены, содержащие, слева и поменяем в них порядок суммирования по индексам и. Члены, содержащие, перенесем направо. В результате уравнения примут вид

Мы получили систему линейных алгебраических уравнений, в которой роль неизвестных играют искомые коэффициенты разложения. Число уравнении и число неизвестных в этой системе совпадает и равно. Матрица коэффициентов системы Г состоит из элементов, которые определяются формулой. Ее называют матрицей Грама для системы функций на сетке. Отметим, что матрица Грама является симметричной: для ее элементов, согласно, справедливо равенство. Числа, стоящие в правой части уравнений, вычисляются по формуле через значения сеточной функции.

Предположим, что функции выбраны такими, что определитель матрицы Грама, отличен от нуля:

В этом случае при любой правой части система имеет единственное решение

Рассмотрим наряду с набором коэффициентов, полученных в результате решения системы, любой другой набор коэффициентов. Представим числа в виде

и сравним значения суммарной квадратичной погрешности для функций, построенных с помощью коэффициентов и.

Квадрат погрешности и точке для функции с коэффициентами можно записать в виде

Здесь в среднем слагаемом мы заменили в одной из сумм индекс суммирования на, чтобы не использовать один и тот же индекс в двух разных суммах и иметь возможность перемножить их почленно.

Чтобы получить суммарную квадратичную погрешность, нужно просуммировать выражения для по индексу Первые слагаемые не содержат. Их сумма дает погрешность, вычисленную для функции с коэффициентами.

Рассмотрим теперь сумму вторых слагаемых, которые зависят от линейно:

Здесь мы поменяли местами порядок суммирования и воспользовались тем, что коэффициенты, удовлетворяют системе уравнений.

С учетом будем иметь

Формула показывает, что функция с коэффициентами, полученными в результате решения уравнений, действительно минимизирует суммарную квадратичную погрешность. Если мы возьмем любой другой набор коэффициентов, отличный от, то согласно формуле к погрешности добавится положительное слагаемое и она увеличится.

Итак, чтобы построить наилучшее приближение сеточной функции, по методу наименьших квадратов, нужно взять в качестве коэффициентов разложения решение системы линейных уравнений.

Как и предыдущие, этот урок с аналогичным текстом лучше смотреть не листе Excel (см. Уроки аппроксимации.xls, Лист1)

Аппроксимация в Excel проще всего реализуется с помощью программы построения трендов. Для выяснения особенностей аппроксимации возьмем какой-либо конкретный пример. Например, энтальпию насыщенного пара по книге С.Л.Ривкина и А.А.Александрова "Теплофизические свойства воды и водяного пара", М., "Энергия", 1980г. В колонке P поместим значения давления в кгс/см2, в колонке i" - энтальпию пара на линии насыщения в ккал/кг и построим график с помощью опции или кнопки "Мастер диаграмм".

Щелкнем правой кнопкой по линии на рисунке, затем левой кнопкой по опции "Добавить линию тренда" и смотрим - какие услуги предлагаются нам этой опцией в части реализации аппроксимации в Excel.

Нам предлагается на выбор пять типов аппроксимации: линейная, степенная, логарифмическая, экспоненциальная и полиноминальная. Чем они хороши и чем могут нам помочь? - Нажимаем кнопку F1, затем щелкаем по опции "Мастер ответов" и в появившееся окошко вводим нужное нам слово "аппроксимация", после чего щелкаем по кнопке "Найти". Выбираем в появившемся списке раздел "Формулы для построения линий тренда".

Получаем следующую информацию в несколько измененной нами

редакции:

Линейная:

где b - угол наклона и a - координата пересечения оси абсцисс (свободный член).

Степенная:

Используется для аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:

где c и b - константы.

Логарифмическая:

Используется для аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:

где a и b - константы.

Экспоненциальная:

Используется для аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:

где b и k - константы.

Полиноминальная:

Используется для аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:

y=a+b1*x+b2*x^2+b3*x^3+...b6*x^6

где a, b1, b2, b3,... b6 - константы.

Снова щелкаем по линии рисунка, затем по опции "Добавить линию тренда", далее по опции "Параметры" и ставим флажки в окошках слева от записей: "показывать уравнение на диаграмме" и "поместить на диаг- рамму величину достоверности аппроксимации R^2, после чего щелкаем по кнопке OK. Пробуем все варианты аппроксимации по порядку.

Линейная аппроксимация дает нам R^2=0.9291 - это низкая достоверность и плохой результат.

Для перехода к степенной аппроксимации щелкаем правой кнопкой по линии тренда, затем левой кнопкой - по опции "Формат линии тренда", далее по опциям "Тип" и "Степенная". На этот раз получили R^2=0.999.

Запишем уравнение линии тренда в виде, пригодном для расчетов на листе Excel:

y=634.16*x^0.012

В результате имеем:

Максимальная погрешность аппроксимации получилась на уровне 0.23 ккал/кг. Для аппроксимации экспериментальных данных такой результат был бы чудесным, но для аппроксимации справочной таблицы это не слишком хороший результат. Поэтому попробуем проверить другие варианты аппроксимации в Excel посредством программы построения трендов.

Логарифмическая аппроксимация дает нам R^2=0.9907 - несколько хуже, чем по степенному варианту. Экспоненнта в том варианте, который предлагает программа построения трендов, вообще не подошла - R^2=0.927.

Полиноминальная аппроксимация со степенью 2 (это y=a+b1*x+b2*x^2) обеспечила R^2=0.9896. При степени 3 получили R^2=0.999, но с явным искажением аппроксимируемой кривой, в особенности при P>0.07 кгс/см2. Наконец, пятая степень нам дает R^2=1 - это, как утверждается, максимально тесная связь между исходными данными и их аппроксимацией.

Перепишем уравнение полинома в пригодном для расчетов на листе Excel виде:

y=1E+07*x^5-4E+06*x^4+469613*x^3-27728*x^2+1020.8*x+592.44

и сравним результат аппроксимации с исходной таблицей:

Оказалось, что R^2=1 в данном случае лишь блестящая ложь. Реально, самый лучший результат полиноминальной аппроксимации дал самый простой полином вида y=a+b1*x+b2*x^2. Но его результат хуже, чем в варианте степенной аппроксимации y=634.16*x^0.012, где максимальная погрешность аппроксимации находилась на уровне 0.23 ккал/кг. Это все, что мы можем выжать из программы построения трендов. Посмотрим, что мы можем выжать из функции Линейн. Для нее попробуем вариант степенной аппроксимации.

Примечание. Обнаруженный дефект связан с работой программы построения трендов, но не с методом МНК.

Аппроксимацией (приближением) функции называется нахождение такой функции (аппроксимирующей функции ) , которая была бы близка заданной. Критерии близости функций и могут быть различные.

Основная задача аппроксимации - построение приближенной (аппроксимирующей) функции, в целом наиболее близко проходящей около данных точек или около данной непрерывной функции. Такая задача возникает при наличии погрешности в исходных данных (в этом случае нецелесообразно проводить функцию точно через все точки, как в интерполяций) или при желании получить упрощенное математическое описание сложной или неизвестной зависимости.

Рис. 3.6 Метод Лагранжа

Концепция аппроксимации

Близость исходной и аппроксимирующей функций определяется числовой мерой

- критерием аппроксимации (близости). Наибольшее распространение получил квадратичный критерий, равный сумме квадратов отклонений расчетных значений от "экспериментальных" (т.е. заданных), - критерий близости в заданных точках:

Здесь у i - заданные табличные значения функции; у i расч - расчетные значения по аппроксимирующей функции; b i - весовые коэффициенты, учитывающие относительную важность i -и точки (увеличение b ,. приводит при стремлении уменьшить R к уменьшению, прежде всего отклонения в i - й точке, так как это отклонение искусственно увеличено за счет относительно большого значения весового коэффициента).

Квадратичный критерий обладает рядом "хороших" свойств, таких, как дифференцируемость, обеспечение единственного решения задачи аппроксимации при полиномиальных аппроксимирующих функциях.

Другим распространенным критерием близости является следующий:

Этот критерий менее распространен в связи с аналитическими и вычислительными трудностями, связанными с отсутствием гладкости функции и ее дифференцируемости.

Выделяют две основные задачи:

1) получение аппроксимирующей функции, описывающей имеющиеся данные, с погрешностью не хуже заданной;

2) получение аппроксимирующей функции заданной структуры с наилучшей возможной погрешностью.

Чаще всего первая задача сводится ко второй перебором различных аппроксимирующих функций и последующим выбором наилучшей.

Метод наименьших квадратов

Метод базируется на применении в качестве критерия близости суммы квадратов отклонений заданных и расчетных значений. При заданной структуре аппроксимирующей функции у i расч (х) необходимо таким образом подобрать параметры этой функции, чтобы получить наименьшее значение критерия близости, т.е. наилучшую аппроксимацию. Рассмотрим путь нахождения этих параметров на примере полиномиальной функции одной переменной:

Запишем выражение критерия аппроксимации при b i =1 (i =1, 2,…, n ) для полиномиального у i расч (х):

Искомые переменные а j можно найти из необходимого условия минимума R по этим переменным, т.е. dR / d а р = 0 (для р =0, 1,2,…,k). Продифференцируем по а р (р - текущий индекс):

После очевидных преобразований (сокращение на два, раскрытие скобок, изменение порядка суммирования) получим

Перепишем последние равенства

Получилась система n +1 уравнений с таким же количеством неизвестных а j , причем линейная относительно этих переменных. Эта система называется системой нормальных уравнений. Из ее решения находятся параметры а j аппроксимирующей функции, обеспечивающие minR , т.е. наилучшее возможное квадратичное приближение. Зная коэффициенты, можно (если нужно) вычислить и величину R (например, для сравнения различных аппроксимирующих функций). Следует помнить, что при изменении даже одного значения исходных данных (или пары значений х i , у i , или одного из них) все коэффициенты изменят в общем случае свои значения, так как они полностью определяются исходными данными. Поэтому при повторении аппроксимации с несколько изменившимися данными (например, вследствие погрешностей измерения, помех, влияния неучтенных факторов и т.п.) получится другая аппроксимирующая функция, отличающаяся коэффициентами. Обратим внимание на то, что коэффициенты а j полинома находятся из решения системы уравнений, т.е. они связаны между собой. Это приводит к тому, что если какой-то коэффициент вследствие его малости захочется отбросить, придется пересчитывать заново оставшиеся. Можно рассчитать количественные оценки тесноты связи коэффициентов. Существует специальная теория планирования экспериментов, которая

позволяет обосновать и рассчитать значения х i , используемые для аппроксимации, чтобы получить заданные свойства коэффициентов (несвязанность, минимальная дисперсия коэффициентов и т.д.) или аппроксимирующей функции (равная точность описания реальной зависимости в различных направлениях, минимальная дисперсия предсказания значения функции и т.д.).

Рис. 3.7 Влияние степени аппроксимирующего полинома М на точность аппроксимации

В случае постановки другой задачи - найти аппроксимирующую функцию, обеспечивающую погрешность не хуже заданной, - необходимо подбирать и структуру этой функции. Эта задача значительно сложнее предыдущей (найти параметры аппроксимирующей функции заданной структуры, обеспечивающей наилучшую возможную погрешность) и решается в основном путем перебора различных функций и сравнения получающихся мер близости. Для примера на рис. 3.7 приведены для визуального сравнения исходная и аппроксимирующие функции с различной степенью полинома, т.е. функции с различной структурой. Не следует забывать, что с повышением точности аппроксимации растет и сложность функции (при полиномиальных аппроксимирующих функциях), что делает ее менее удобной при использовании.

Рассмотрим решение задачи аппроксимации и интерполяции с шумом в

программе MathCAD (рисунок 3.8).

Пример 3.1. В ходе проведения эксперимента были получены данные, представленные в таблице 3.1. Необходимо способом наименьших квадратов подобрать для заданных значений x и y квадратичную функцию . Построить на одной координатной плоскости экспериментальные данные и аппроксимирующую функцию.

Таблица 3.1 Данные эксперимента

Решение. Для определения коэффициентов квадратичной функции построим дополнительную таблицу 3.2.

Таблица 3.2 Дополнительная таблица

Строим систему уравнений

В нашем случае она будет иметь вид:

Из полученной системы уравнений находим

Искомая зависимость

Строим график экспериментальных данных и найденной зависимости.

Рис.3.8 Аппроксимация и интерполяция в задаче с помехами

Если требуется построить зависимость в виде показательной функции , то необходимо составить систему:

(3.7)

Для этого строится таблица

В предыдущих разделах был рассмотрен один из способов приближения функции к табличным данным - интерполяция. Отличительной особенностью ее являлось то, что интерполирующая функция строго проходила через узловые точки таблицы, т. е. рассчитанные значения совпадали с табличными - у,=/(х,). Эта особенность обусловливалась тем, что количество коэффициентов в интерполирующей функции (/и) было равно количеству табличных значений (л). Однако, если для описания табличных данных будет выбрана функция с меньшим количеством коэффициентов (т), что часто встречается на практике, то уже нельзя подобрать коэффициенты функции так, чтобы функция проходила через каждую узловую точку. В лучшем случае она будет проходить каким-либо образом между ними и очень близко к ним (рис. 5.4). Такой способ описания табличных данных называется аппроксимацией, а функция - аппроксимирующей.

Рис. 5.4

--интерполирующая функция;
-----аппроксимирующая функция

Казалось бы, с помощью метода интерполяции можно описать табличные данные более точно, чем аппроксимации, тем не менее на практике возникают ситуации, когда последний метод предпочтительнее. Перечислим эти ситуации.

1. Когда количество табличных значений очень велико. В этом случае интерполирующая функция будет очень громоздкой. Удобнее выбрать более простую в применении функцию с небольшим количеством коэффициентов, хотя и менее точную.
2. Когда вид функции заранее определен. Такая ситуация возникает, если требуется описать экспериментальные точки какой-либо теоретической зависимостью. Например, константа скорости химической реакции зависит от температуры по уравнению Аррениуса к=кц - елр(-E/RT), в котором два определяемых параметра к 0 - предэкспоненциальный множитель, Е - энергия активации. А так как почти всегда экспериментальных точек бывает больше двух, то и возникает необходимость в аппроксимации.
3. Аппроксимирующая функция может сглаживать погрешности эксперимента, в отличие от интерполирующей функции. Так, на рис. 5.5 точками показаны табличные данные - результат некоторого эксперимента. Очевидно, что Y монотонно возрастает с увеличением X, а разброс данных объясняется погрешностью эксперимента.

Рис. 5.5

Однако интерполирующая функция, проходя через каждую точку, будет повторять ошибки эксперимента, иметь множество экстремумов - минимумов и максимумов - и в целом неверно отображать характер зависимости У от X. Этого недостатка лишена аппроксимирующая функция.

4. И наконец, интерполирующей функцией невозможно описать табличные данные, в которых есть несколько точек с одинаковым значением аргумента. А такая ситуация возможна, если один и тот же эксперимент проводится несколько раз при одних и тех же исходных данных.

Постановка задачи. Пусть, изучая неизвестную функциональную зависимость y=J{x), был произведен ряд измерений величин х и у.

Если аналитическое выражение функции Дх) неизвестно или весьма сложно, то возникает практически важная задача: найти такую эмпирическую формулу

значения которой при х=х, возможно мало отличались бы от опытных данных у, (/ = 1,2, ..., п).

Как правило, указывают достаточно узкий класс функций К (например, множество функций линейных, степенных, показательных и т. п.), которому должна принадлежать искомая функция /(х). Таким образом, задача сводится к нахождению наилучших значений параметров.

Геометрически задача построения эмпирической формулы состоит в проведении кривой Г, «возможно ближе» примыкающей к системе точек (рис. 5.6) Mi(Xi,y,) (/=1,2, ..., л).

Рис. 5.6

Следует отметить, что задача построения эмпирической формулы отлична от задачи интерполирования. Известно, что эмпирические данные х, и y h как правило, приближенные и содержат ошибки. Поэтому интерполяционная формула повторяет эти ошибки и не является идеальным решением поставленной задачи. Весьма вероятно, что более простая эмпирическая зависимость будет сглаживать данные и не будет повторять ошибки, как в случае интерполирования. График эмпирической зависимости не проходит через заданные точки, как это имеет место в случае интерполяции.

Построение эмпирической зависимости слагается из двух этапов:

выяснение общего вида формулы;
определение наилучших параметров эмпирической зависимости.

Если неизвестен характер зависимости между данными величинами х и у, то вид эмпирической формулы является произвольным. Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью. Если отсутствуют сведения о промежуточных данных, то обычно предполагается, что эмпирическая функция аналитическая, без точек разрыва, и график ее - плавная кривая.

Удачный подбор эмпирической формулы в значительной мере зависит от опыта и искусства составителя. Во многих случаях задача состоит в аппроксимации неизвестной функциональной зависимости между х и у многочленом заданной степени т

Нередко употребляются другие элементарные функции (дробно- линейная, степенная, показательная, логарифмическая и т. п.). Что касается определения наилучших значений параметров, входящих в эмпирическую формулу, то эта задача более легкая и решается регулярными методами. Наиболее часто применяемым методом определения параметров эмпирической формулы является метод наименьших квадратов.

Аппроксимация опытных данных – это метод, основанный на замене экспериментально полученных данных аналитической функцией наиболее близко проходящей или совпадающей в узловых точках с исходными значениями (данными полученными в ходе опыта или эксперимента). В настоящее время существует два способа определения аналитической функции:

С помощью построения интерполяционного многочлена n-степени, который проходит непосредственно через все точки заданного массива данных. В данном случае аппроксимирующая функция представляется в виде: интерполяционного многочлена в форме Лагранжа или интерполяционного многочлена в форме Ньютона.

С помощью построения аппроксимирующего многочлена n-степени, который проходит в ближайшей близости от точек из заданного массива данных. Таким образом, аппроксимирующая функция сглаживает все случайные помехи (или погрешности), которые могут возникать при выполнении эксперимента: измеряемые значения в ходе опыта зависят от случайных факторов, которые колеблются по своим собственным случайным законам (погрешности измерений или приборов, неточность или ошибки опыта). В данном случае аппроксимирующая функция определяется по методу наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов (в англоязычной литературе Ordinary Least Squares, OLS) - математический метод, основанный на определении аппроксимирующей функции, которая строится в ближайшей близости от точек из заданного массива экспериментальных данных. Близость исходной и аппроксимирующей функции F(x) определяется числовой мерой, а именно: сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от аппроксимирующей кривой F(x) должна быть наименьшей.

Аппроксимирующая кривая, построенная по методу наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов используется:

Для решения переопределенных систем уравнений, когда количество уравнений превышает количество неизвестных;

Для поиска решения в случае обычных (не переопределенных) нелинейных систем уравнений;

Для аппроксимации точечных значений некоторой аппроксимирующей функцией.

Аппроксимирующая функция по методу наименьших квадратов определяется из условия минимума суммы квадратов отклонений расчетной аппроксимирующей функции от заданного массива экспериментальных данных. Данный критерий метода наименьших квадратов записывается в виде следующего выражения:

Значения расчетной аппроксимирующей функции в узловых точках ,

Заданный массив экспериментальных данных в узловых точках .

В зависимости от условий задачи аппроксимирующая функция представляет собой многочлен степени m

Степень аппроксимирующей функции не зависит от числа узловых точек, но ее размерность должна быть всегда меньше размерности (количества точек) заданного массива экспериментальных данных.

∙ В случае если степень аппроксимирующей функции m=1, то мы аппроксимируем табличную функцию прямой линией (линейная регрессия).

∙ В случае если степень аппроксимирующей функции m=2, то мы аппроксимируем табличную функцию квадратичной параболой (квадратичная аппроксимация).

∙ В случае если степень аппроксимирующей функции m=3, то мы аппроксимируем табличную функцию кубической параболой (кубическая аппроксимация).

В общем случае, когда требуется построить аппроксимирующий многочлен степени m для заданных табличных значений, условие минимума суммы квадратов отклонений по всем узловым точкам переписывается в следующем виде:

- неизвестные коэффициенты аппроксимирующего многочлена степени m;

Количество заданных табличных значений.

Необходимым условием существования минимума функции является равенству нулю ее частных производных по неизвестным переменным . В результате получим следующую систему уравнений:

Преобразуем полученную линейную систему уравнений: раскроем скобки и перенесем свободные слагаемые в правую часть выражения. В результате полученная система линейных алгебраических выражений будет записываться в следующем виде:

Данная система линейных алгебраических выражений может быть переписана в матричном виде:

В результате была получена система линейных уравнений размерностью m+1, которая состоит из m+1 неизвестных. Данная система может быть решена с помощью любого метода решения линейных алгебраических уравнений (например, методом Гаусса). В результате решения будут найдены неизвестные параметры аппроксимирующей функции, обеспечивающие минимальную сумму квадратов отклонений аппроксимирующей функции от исходных данных, т.е. наилучшее возможное квадратичное приближение. Следует помнить, что при изменении даже одного значения исходных данных все коэффициенты изменят свои значения, так как они полностью определяются исходными данными.

Аппроксимация исходных данных линейной зависимостью

(линейная регрессия)

В качестве примера, рассмотрим методику определения аппроксимирующей функции, которая задана в виде линейной зависимости. В соответствии с методом наименьших квадратов условие минимума суммы квадратов отклонений записывается в следующем виде:

Координаты узловых точек таблицы;

Неизвестные коэффициенты аппроксимирующей функции, которая задана в виде линейной зависимости.

Необходимым условием существования минимума функции является равенству нулю ее частных производных по неизвестным переменным. В результате получаем следующую систему уравнений:

Преобразуем полученную линейную систему уравнений.

Решаем полученную систему линейных уравнений. Коэффициенты аппроксимирующей функции в аналитическом виде определяются следующим образом (метод Крамера):

Данные коэффициенты обеспечивают построение линейной аппроксимирующей функции в соответствии с критерием минимизации суммы квадратов аппроксимирующей функции от заданных табличных значений (экспериментальные данные).

Алгоритм реализации метода наименьших квадратов

1. Начальные данные:

Задан массив экспериментальных данных с количеством измерений N

Задана степень аппроксимирующего многочлена (m)

2. Алгоритм вычисления:

2.1. Определяются коэффициенты для построения системы уравнений размерностью

Коэффициенты системы уравнений (левая часть уравнения)

- индекс номера столбца квадратной матрицы системы уравнений

Свободные члены системы линейных уравнений (правая часть уравнения)

- индекс номера строки квадратной матрицы системы уравнений

2.2. Формирование системы линейных уравнений размерностью .

2.3. Решение системы линейных уравнений с целью определения неизвестных коэффициентов аппроксимирующего многочлена степени m.

2.4.Определение суммы квадратов отклонений аппроксимирующего многочлена от исходных значений по всем узловым точкам

Найденное значение суммы квадратов отклонений является минимально-возможным.

Аппроксимация с помощью других функций

Следует отметить, что при аппроксимации исходных данных в соответствии с методом наименьших квадратов в качестве аппроксимирующей функции иногда используют логарифмическую функцию, экспоненциальную функцию и степенную функцию.

Логарифмическая аппроксимация

Рассмотрим случай, когда аппроксимирующая функция задана логарифмической функцией вида: