5 i 2 3i решение. Комплексные числа
Напомним необходимые сведения о комплексных числах.
Комплексное число - это выражение вида a + bi , где a , b - действительные числа, а i - так называемая мнимая единица , символ, квадрат которого равен –1, то есть i 2 = –1. Число a называется действительной частью , а число b - мнимой частью комплексного числа z = a + bi . Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a . Видно, что действительные числа - это частный случай комплексных чисел.
Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi ) ± (c + di ) = (a ± c ) + (b ± d )i , а умножение - по правилу (a + bi ) · (c + di ) = (ac – bd ) + (ad + bc )i (здесь как раз используется, что i 2 = –1). Число = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi . Равенство z · = a 2 + b 2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:
(Например, .)
У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z
= a
+ bi
можно изображать вектором с координатами (a
; b
) на декартовой плоскости (или, что почти то же самое, точкой - концом вектора с этими координатами). При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a
; b
) равна . Эта величина называется модулем
комплексного числа z
= a
+ bi
и обозначается |z
|. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументом
комплексного числа z
и обозначается Arg z
. Аргумент определен не однозначно, а лишь с точностью до прибавления величины, кратной 2π
радиан (или 360°, если считать в градусах) - ведь ясно, что поворот на такой угол вокруг начала координат не изменит вектор. Но если вектор длины r
образует угол φ
с положительным направлением оси абсцисс, то его координаты равны (r
· cos φ
; r
· sin φ
). Отсюда получается тригонометрическая форма записи
комплексного числа: z
= |z
| · (cos(Arg z
) + i
sin(Arg z
)). Часто бывает удобно записывать комплексные числа именно в такой форме, потому что это сильно упрощает выкладки. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме выглядит очень просто: z
1 · z
2 = |z
1 | · |z
2 | · (cos(Arg z
1 + Arg z
2) + i
sin(Arg z
1 + Arg z
2)) (при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются). Отсюда следуют формулы Муавра
: z n
= |z
| n
· (cos(n
· (Arg z
)) + i
sin(n
· (Arg z
))). С помощью этих формул легко научиться извлекать корни любой степени из комплексных чисел. Корень n-й степени из числа z
- это такое комплексное число w
, что w n
= z
. Видно, что , а , где k
может принимать любое значение из множества {0, 1, ..., n
– 1}. Это означает, что всегда есть ровно n
корней n
-й степени из комплексного числа (на плоскости они располагаются в вершинах правильного n
-угольника).