Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Следующее действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, - вычитание. В рамках этого материала мы рассмотрим, как правильно вычислить разность дробей с одинаковыми и разными знаменателями, как вычесть дробь из натурального числа и наоборот. Все примеры будут проиллюстрированы задачами. Заранее уточним, что мы будем разбирать лишь случаи, когда разность дробей дает в итоге положительное число.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Как найти разность дробей с одинаковыми знаменателями

Начнем сразу с наглядного примера: допустим, у нас есть яблоко, которое разделили на восемь частей. Оставим пять частей на тарелке и заберем две из них. Это действие можно записать так:

В итоге у нас осталось 3 восьмых доли, поскольку 5 − 2 = 3 . Получается, что 5 8 - 2 8 = 3 8 .

Благодаря этому простому примеру мы увидели, как именно работает правило вычитания для дробей, знаменатели которых одинаковы. Сформулируем его.

Определение 1

Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя одной вычесть числитель другой, а знаменатель оставить прежним. Это правило можно записать в виде a b - c b = a - c b .

Такую формулу мы будем использовать и в дальнейшем.

Возьмем конкретные примеры.

Пример 1

Вычтите из дроби 24 15 обыкновенную дробь 17 15 .

Решение

Мы видим, что эти дроби имеют одинаковые знаменатели. Поэтому все, что нам нужно сделать, – это вычесть 17 из 24 . Мы получаем 7 и дописываем к ней знаменатель, получаем 7 15 .

Наши подсчеты можно записать так: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15

Если необходимо, можно сократить сложную дробь или выделить целую часть из неправильной, чтобы считать было удобнее.

Пример 2

Найдите разность 37 12 - 15 12 .

Решение

Воспользуемся описанной выше формулой и подсчитаем: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

Легко заметить, что числитель и знаменатель можно разделить на 2 (об этом мы уже говорили ранее, когда разбирали признаки делимости). Сократив ответ, получим 11 6 . Это неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть: 11 6 = 1 5 6 .

Как найти разность дробей с разными знаменателями

Такое математическое действие можно свести к тому, что мы уже описывали выше. Для этого просто приведем нужные дроби к одному знаменателю. Сформулируем определение:

Определение 2

Чтобы найти разность дробей, у которых разные знаменатели, необходимо привести их к одному знаменателю и найти разность числителей.

Рассмотрим на примере, как это делается.

Пример 3

Вычтите из 2 9 дробь 1 15 .

Решение

Знаменатели разные, и нужно привести их к наименьшему общему значению. В данном случае НОК равно 45 . Для первой дроби необходим дополнительный множитель 5 , а для второй – 3 .

Подсчитаем: 2 9 = 2 · 5 9 · 5 = 10 45 1 15 = 1 · 3 15 · 3 = 3 45

У нас получились две дроби с одинаковым знаменателем, и теперь мы легко можем найти их разность по описанному ранее алгоритму: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

Краткая запись решения выглядит так: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45 .

Не стоит пренебрегать сокращением результата или выделением из него целой части, если это необходимо. В данном примере нам этого не нужно делать.

Пример 4

Найдите разность 19 9 - 7 36 .

Решение

Приведем указанные в условии дроби к наименьшему общему знаменателю 36 и получим соответственно 76 9 и 7 36 .

Считаем ответ: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36

Результат можно сократить на 3 и получить 23 12 . Числитель больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. Итоговый ответ - 1 11 12 .

Краткая запись всего решения - 19 9 - 7 36 = 1 11 12 .

Как вычесть из обыкновенной дроби натуральное число

Такое действие также легко свести к простому вычитанию обыкновенных дробей. Это можно сделать, представив натуральное число в виде дроби. Покажем на примере.

Пример 5

Найдите разность 83 21 – 3 .

Решение

3 – то же самое, что и 3 1 . Тогда можно подсчитать так: 83 21 - 3 = 20 21 .

Если в условии необходимо вычесть целое число из неправильной дроби, удобнее сначала выделить из нее целое, записав ее в виде смешанного числа. Тогда предыдущий пример можно решить иначе.

Из дроби 83 21 при выделении целой части получится 83 21 = 3 20 21 .

Теперь просто вычтем 3 из него: 3 20 21 - 3 = 20 21 .

Как вычесть обыкновенную дробь из натурального числа

Это действие делается аналогично предыдущему: мы переписываем натуральное число в виде дроби, приводим обе к единому знаменателю и находим разность. Проиллюстрируем это примером.

Пример 6

Найдите разность: 7 - 5 3 .

Решение

Сделаем 7 дробью 7 1 . Делаем вычитание и преобразуем конечный результат, выделяя из него целую часть: 7 - 5 3 = 5 1 3 .

Есть и другой способ произвести расчеты. Он обладает некоторыми преимуществами, которыми можно воспользоваться в тех случаях, если числители и знаменатели дробей в задаче – большие числа.

Определение 3

Если та дробь, которую нужно вычесть, является правильной, то натуральное число, из которого мы вычитаем, нужно представить в виде суммы двух чисел, одно из которых равно 1 . После этого нужно вычесть нужную дробь из единицы и получить ответ.

Пример 7

Вычислите разность 1 065 - 13 62 .

Решение

Дробь, которую нужно вычесть – правильная, ведь ее числитель меньше знаменателя. Поэтому нам нужно отнять единицу от 1065 и вычесть из нее нужную дробь: 1065 - 13 62 = (1064 + 1) - 13 62

Теперь нам нужно найти ответ. Используя свойства вычитания, полученное выражение можно записать как 1064 + 1 - 13 62 . Подсчитаем разность в скобках. Для этого единицу представим как дробь 1 1 .

Получается, что 1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62 .

Теперь вспомним про 1064 и сформулируем ответ: 1064 49 62 .

Используем старый способ, чтобы доказать, что он менее удобен. Вот такие вычисления вышли бы у нас:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 · 62 1 · 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

Ответ тот же, но подсчеты, очевидно, более громоздкие.

Мы рассмотрели случай, когда нужно вычесть правильную дробь. Если она неправильная, мы заменяем ее смешанным числом и производим вычитание по знакомым правилам.

Пример 8

Вычислите разность 644 - 73 5 .

Решение

Вторая дробь – неправильная, и от нее надо отделить целую часть.

Теперь вычисляем аналогично предыдущему примеру: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Свойства вычитания при работе с дробями

Те свойства, которыми обладает вычитание натуральных чисел, распространяются и на случаи вычитания обыкновенных дробей. Рассмотрим, как использовать их при решении примеров.

Пример 9

Найдите разность 24 4 - 3 2 - 5 6 .

Решение

Схожие примеры мы уже решали, когда разбирали вычитание суммы из числа, поэтому действуем по уже известному алгоритму. Сначала подсчитаем разность 25 4 - 3 2 , а потом отнимем от нее последнюю дробь:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

Преобразуем ответ, выделив из него целую часть. Итог - 3 11 12 .

Краткая запись всего решения:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Если в выражении присутствуют и дроби, и натуральные числа, то рекомендуется при подсчетах сгруппировать их по типам.

Пример 10

Н айдите разность 98 + 17 20 - 5 + 3 5 .

Решение

Зная основные свойства вычитания и сложения, мы можем сгруппировать числа следующим образом: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

Завершим расчеты: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Рассмотрим дробь $\frac63$. Ее величина равна 2, так как $\frac63 =6:3 = 2$. А что произойдет, если числитель и знаменатель умножить на 2? $\frac63 \times 2=\frac{12}{6}$. Очевидно, величина дроби не изменилась, так $\frac{12}{6}$ как у также равно 2. Можно умножить числитель и знаменатель на 3 и получить $\frac{18}{9}$, или на 27 и получить $\frac{162}{81}$ или на 101 и получить $\frac{606}{303}$. В каждом из этих случаев величина дроби, которую мы получаем, разделив числитель на знаменатель, равна 2. Это означает, что не изменилась.

Такая же закономерность наблюдается и в случае других дробей. Если числитель и знаменатель дроби $\frac{120}{60}$ (равной 2) разделить на 2 (результат $\frac{60}{30}$), или на 3 (результат $\frac{40}{20}$), или на 4 (результат $\frac{30}{15}$) и так далее, то в каждом случае величина дроби остается неизменной и равной 2.

Это правило распространяется также на дроби, которые не равны целому числу .

Если числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{3}$ умножить на 2, мы получим $\frac{2}{6}$, то есть величина дроби не изменилась. И в самом деле, если вы разделите пирог на 3 части и возьмете одну из них или разделите его на 6 частей и возьмете 2 части, вы в обоих случаях получите одинаковое количество пирога. Следовательно, числа $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{6}$ идентичны. Сформулируем общее правило.

Числитель и знаменатель любой дроби можно умножить или разделить на одно и то же число, и при этом величина дроби не изменяется.

Это правило оказывается очень полезным. Например, оно позволяет в ряде случаев, но не всегда, избежать операций с большими числами.

Например, мы можем разделить числитель и знаменатель дроби $\frac{126}{189}$ на 63 и получить дробь $\frac{2}{3}$ с которой гораздо проще производить расчеты. Еще один пример. Числитель и знаменатель дроби $\frac{155}{31}$ можем разделить на 31 и получить дробь $\frac{5}{1}$ или 5, поскольку 5:1=5.

В этом примере мы впервые встретились с дробью, знаменатель которой равен 1 . Такие дроби играют важную роль при вычислениях. Следует помнить, что любое число можно разделить на 1 и при этом его величина не изменится. То есть $\frac{273}{1}$ равно 273; $\frac{509993}{1}$ равно 509993 и так далее. Следовательно, мы можем не разделять числа на , поскольку каждое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.

С такими дробями, знаменатель которых равен 1, можно производить те же арифметические действия, что и со всеми остальными дробями: $\frac{15}{1}+\frac{15}{1}=\frac{30}{1}$, $\frac{4}{1} \times \frac{3}{1}=\frac{12}{1}$.

Вы можете спросить, какой прок от того, что мы представим целое число в виде дроби, у которой под чертой будет стоять единица, ведь с целым числом работать удобнее. Но дело в том, что представление целого числа в виде дроби дает нам возможность эффективнее производить различные действия, когда мы имеем дело одновременно и с целыми, и с дробными числами. Например, чтобы научится складывать дроби с разными знаменателями . Предположим, нам надо сложить $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$.

Мы знаем, что складывать можно только те дроби, знаменатели которых равны. Значит, нам нужно научиться приводить дроби к такому виду, когда их знаменатели равны. В этом случае нам опять пригодится то, что можно умножать числитель и знаменатель дроби на одно и то же число без изменения ее величины.

Сначала умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{3}$ на 5. Получим $\frac{5}{15}$, величина дроби не изменилась. Затем умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{5}$ на 3. Получим $\frac{3}{15}$, опять величина дроби не изменилась. Следовательно, $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{5}{15}+\frac{3}{15}=\frac{8}{15}$.

Теперь попробуем применить эту систему к сложению чисел, содержащих как целую, так и дробную части.

Нам надо сложить $3 + \frac{1}{3}+1\frac{1}{4}$. Сначала переведем все слагаемые в форму дробей и получим: $\frac31 + \frac{1}{3}+\frac{5}{4}$. Теперь нам надо привести все дроби к общему знаменателю, для этого мы числитель и знаменатель первой дроби умножаем на 12, второй - на 4, а третьей - на 3. В результате получаем $\frac{36}{12} + \frac{4}{12}+\frac{15}{12}$, что равно $\frac{55}{12}$. Если вы хотите избавиться от неправильной дроби , ее можно превратить в число, состоящее из целой и дробной частей: $\frac{55}{12} = \frac{48}{12}+\frac{7}{12}$ или $4\frac{7}{12}$.

Все правила, позволяющие проводить операции с дробями , которые мы с вами только что изучили, также справедливы и в случае отрицательных чисел. Так, -1: 3 можно записать как $\frac{-1}{3}$, а 1: (-3) как $\frac{1}{-3}$.

Поскольку как при делении отрицательного числа на положительное, так и при деле­нии положительного числа на отрицатель­ное в результате мы получаем отрицатель­ные числа, в обоих случаях мы получим ответ в виде отрицательного числа. То есть

$(-1) : 3 = \frac{1}{3}$ или $1: (-3) = \frac{1}{-3}$. Знак минус при таком написании относится ко всей дроби целиком, а не отдельно к числителю или знаменателю.

С другой стороны, (-1) : (-3) можно записать как $\frac{-1}{-3}$, а поскольку при деле­нии отрицательного числа на отрицатель­ное число мы получаем положительное число, то $\frac{-1}{-3}$ можно записать как $+\frac{1}{3}$.

Сложение и вычитание отрицательных дробей проводят по той же схеме, что и сложение, и вычитание положительных дро­бей. Например, что такое $1- 1\frac13$? Пред­ставим оба числа в виде дробей и получим $\frac{1}{1}-\frac{4}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю и получим $\frac{1 \times 3}{1 \times 3}-\frac{4}{3}$, то есть $\frac{3}{3}-\frac{4}{3}$, или $-\frac{1}{3}$.

Числителем, а то, на которое делят - знаменателем.

Чтобы записать дробь, напишите сначала ее числитель, затем проведите под этим числом горизонтальную черту, а под чертой напишите знаменатель. Горизонтальная , разделяющая числитель и знаменатель, называется дробной чертой. Иногда ее изображают в виде наклонной «/» или «∕». При этом, числитель записывается слева от черты, а знаменатель справа. Так, например, дробь «две третьих» запишется как 2/3. Для наглядности числитель обычно пишут в верхней части строки, а знаменатель - в нижней, то есть вместо 2/3 можно встретить: ⅔.

Чтобы рассчитать произведение дробей, умножьте сначала числитель одной дроби на числитель другой. Запишите результат в числитель новой дроби . После этого перемножьте и знаменатели. Итоговое значение укажите в новой дроби . Например, 1/3 ? 1/5 = 1/15 (1 ? 1 = 1; 3 ? 5 = 15).

Чтобы поделить одну дробь на другую, умножьте сначала числитель первой на знаменатель второй. То же произведите и со второй дробью (делителем). Или перед выполнением всех действий сначала «переверните» делитель, если вам так удобнее: на месте числителя должен оказаться знаменатель. После этого умножьте знаменатель делимого на новый знаменатель делителя и перемножьте числители. Например, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Источники:

• Основные задачи на дроби

Дробные числа позволяют выражать в разном виде точное значение величины. С дробями можно выполнять те же математические операции, что и с целыми числами: вычитание, сложение, умножение и деление. Чтобы научиться решать дроби , надо помнить о некоторых их особенностях. Они зависят от вида дроби , наличия целой части, общего знаменателя. Некоторые арифметические действия после выполнения требуют сокращения дробной части результата.

Вам понадобится

• - калькулятор

Инструкция

Внимательно посмотрите на числа. Если среди дробей есть десятичные и непрвильные, иногда удобнее вначале выполнить действия с десятичными, а затем перевести их в неправильный вид. Можете перевести дроби в такой вид изначально, записав значение после запятой в числитель и поставив 10 в знаменатель. При необходимости сократите дробь, разделив числа выше и ниже на один делитель. Дроби, в которых выделяется целая часть, приведите к неправильному виду, умножив её на знаменатель и прибавив к результату числитель. Данное значения станет новым числителем дроби . Чтобы выделить целую часть из первоначально неправильной дроби , надо поделить числитель на знаменатель. Целый результат записать от дроби . А остаток от деления станет новым числителем, знаменатель дроби при этом не меняется. Для дробей с целой частью возможно выполнение действий отдельно сначала для целой, а затем для дробной частей. Например, сумма 1 2/3 и 2 ¾ может быть вычислена :
- Переведение дробей в неправильный вид:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Суммирование отдельно целых и дробных частей слагаемых:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5/12.

Перепишите их через разделитель «:» и продолжите обычное деление.

Для получения конечного результата полученную дробь сократите, разделив числитель и знаменатель на одно целое число, наибольшее возможное в данном случае. При этом выше и ниже черты должны быть целые числа.

Обратите внимание

Не выполняйте арифметические действия с дробями, знаменатели которых отличаются. Подберите такое число, чтобы при умножении на него числителя и знаменателя каждой дроби в результате знаменатели обеих дробей были равны.

Полезный совет

При записи дробных чисел делимое пишется над чертой. Эта величина обозначается как числитель дроби. Под чертой записывается делитель, или знаменатель, дроби. Например, полтора килограмма риса в виде дроби запишется следующим образом: 1 ½ кг риса. Если знаменатель дроби равен 10, такую дробь называют десятичной. При этом числитель (делимое) пишется справа от целой части через запятую: 1,5 кг риса. Для удобства вычислений такую дробь всегда можно записать в неправильном виде: 1 2/10 кг картофеля. Для упрощения можно сократить значения числителя и знаменателя, поделив их на одно целое число. В данном примере возможно деление на 2. В результате получится 1 1/5 кг картофеля. Удостоверьтесь, что числа, с которыми вы собираетесь выполнять арифметические действия, представлены в одном виде.

Как известно из математики, дробное число состоит из числителя и знаменателя. Числитель расположен вверху, а знаменатель внизу.

Производить математические действия по сложению или вычитанию дробных величин с одним и тем же знаменателем достаточно просто. Нужно всего лишь уметь складывать или вычитать между собой цифры, находящиеся в числителе (сверху), а одинаковое нижнее число остается без изменений.

Для примера возьмем дробное число 7/9, здесь:

• цифра «семь» сверху - числитель;
• цифра «девять» снизу - знаменатель.

Пример 1 . Сложение:

5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.

Пример 2 . Вычитание:

6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.

Вычитание простых дробных величин, имеющих разный знаменатель

Чтобы выполнить математическое действие по вычитанию величин, имеющих разный знаменатель, надо первым делом привести их к единому знаменателю. При выполнении этой задачи необходимо придерживаться того правила, что этот общий знаменатель должен быть меньшим из всех возможных вариантов.

Пример 3

Даны две простые величины с разными знаменателями (нижними цифрами): 7/8 и 2/9.

Необходимо вычесть из первой величины вторую.

Решение состоит из нескольких действий:

1. Находимо найти общее нижнее число, т.е. то, что делится как на нижнюю величину первой дроби, так и второй. Это будет цифра 72, поскольку она кратна цифрам «восемь» и «девять».

2. Нижняя цифра каждой дроби увеличилась:

• цифра «восемь» в дроби 7/8 увеличилось в девять раз - 8*9=72;
• цифра «девять» в дроби 2/9 увеличилось в восемь раз - 9*8=72.

3. Если изменился знаменатель (нижняя цифра), значит, должен измениться и числитель (верхняя цифра). По существующему математическому правилу, верхнюю цифру надо увеличить ровно во столько же, что и нижнюю. То есть:

• числитель «семь» в первой дроби (7/8) умножаем на цифру «девять» - 7*9=63;
• числитель «два» во второй дроби (2/9) умножаем на цифру «восемь» - 2*8=16.

4. В результате действий у нас получились две новые величины, которые, однако, тождественны первоначальным.

• первая: 7/8 = 7*9 / 8*9 = 63/72;
• вторая: 2/9 = 2*8 / 9*8 = 16/72.

5. Теперь допускается произвести вычитание одного дробного числа из другого:

7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?

6. Выполняя это действие, возвращаемся к теме вычитания дробей с одинаковыми нижними цифрами (знаменателями). А это значит, что сверху, в числителе, будет проведено действие вычитания, а нижняя цифра переносится без изменений.

63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.

7/8−2/9 = 47/72.

Пример 4

Усложним задачу, взяв для решения несколько дробей с разными, но кратными цифрами внизу.

Даны величины: 5/6; 1/3; 1/12; 7/24.

Надо их отнять друг от друга в этой последовательности.

1. Приводим дроби вышеуказанным способом к общему знаменателю, которым будет цифра «24»:

• 5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
• 1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
• 1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.

7/24 - эту последнюю величину оставляем без изменения, поскольку знаменателем является общее число «24».

2. Выполняем вычитание всех величин:

20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.

3. Поскольку числитель и знаменатель получившейся дроби делятся на одно число, то их можно сократить, разделив на цифру «три»:

3:3 / 24:3 = 1/8.

4. Ответ записываем так:

5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.

Пример 5

Дано три дроби с некратными знаменателями: 3/4; 2/7; 1/13.

Требуется найти разницу.

1. Приводим к общему знаменателю два первых числа, им будет цифра «28»:

• ¾ = 3*7 / 4*7 = 21/28;
• 2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.

2. Вычитаем первые две дроби между собой:

¾−2/7 = 21/28−8/28 = (21−8) / 28 = 13/28.

3. Вычитаем из получившегося значения третью заданную дробь:

4. Приводим числа к общему знаменателю. Если нет возможности подобрать одинаковый знаменатель более легким способом, то нужно лишь выполнить действия, умножив последовательно все знаменатели друг на друга, не забывая повышать и значение числителя на такую же цифру. В этом примере делаем так:

• 13/28 = 13*13 / 28*13 = 169/364, где 13 - это нижняя цифра от 5/13;
• 5/13 = 5*28 / 13*28 = 140/364, где 28 - нижняя цифра от 13/28.

5. Отнимаем полученные дроби:

13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.

Ответ: ¾−2/7−5/13 = 29/364.

Смешанные дробные числа

В примерах, которые были рассмотрены выше, применялись лишь правильные дроби.

Как пример:

• 8/9 - это правильная дробь;
• 9/8 - неправильная.

Неправильную дробь превратить в правильную нельзя, но есть возможность превратить ее в смешанную . Для чего верхнее число (числитель) делят на нижнее (знаменатель) и получают цифру с остатком. Получившееся при делении целое число так и записывают, остаток пишут в числитель вверху, а знаменатель, который снизу, остается прежним. Чтобы было понятнее, рассмотрим конкретный пример:

Пример 6

Переводим неправильную дробь 9/8 в правильную.

Для этого цифру «девять» делим на «восемь», получаем в результате смешанную дробь с целым числом и остатком:

9: 8 = 1 и 1/8 (по-другому это можно записать, как 1+1/8), где:

• цифра 1 - получившееся при делении целое число;
• другая цифра 1 - остаток;
• цифра 8 - знаменатель, оставшийся неизменным.

Целое число называют еще натуральным.

Остаток и знаменатель - это новая, но уже правильная дробь.

При записи числа 1 его пишут перед правильной дробью 1/8.

Вычитание смешанных чисел с разным знаменателем

Из вышесказанного дадим определение смешанного дробного числа: «Смешанное число - это такая величина, которая равна сумме целого числа и правильной обыкновенной дроби. При этом целую часть называют натуральным числом , а то число, что в остатке, его дробной частью ».

Пример 7

Дано: две смешанные дробные величины, состоящие из целого числа и правильной дроби:

• первая величина - 9 и 4/7, то есть (9+4/7);
• вторая величина - 3 и 5/21, то есть (3+5/21).

Требуется найти разность между этими величинами.

1. Чтобы из 9+4/7 вычесть 3+5/21, нужно сначала вычесть друг из друга целые величины:

4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.

3. Полученный результат разницы двух смешанных чисел будет состоять из натурального (целого) числа 6 и правильной дроби 7/21 = 1/3:

(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.

Математики всех стран договорились, что знак «+» при написании смешанных величин можно опустить и оставить лишь целое число перед дробью без всякого знака.

Обратите внимание! Перед тем как написать окончательный ответ, посмотрите, может можно сократить дробь , которую вы получили.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, примеры:

,

,

Вычитание правильной дроби из единицы.

Если необходимо вычесть из единицы дробь, которая является правильной , единицу переводят к виду неправильной дроби , у нее знаменатель равен знаменателю вычитаемой дроби.

Пример вычитания правильной дроби из единицы:

Знаменатель вычитаемой дроби = 7 , т.е., единицу представляем в виде неправильной дроби 7/7 и вычитаем по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Вычитание правильной дроби из целого числа.

Правила вычитания дробей - правильной из целого числа (натурального числа) :

• Переводим заданные дроби, которые содержат целую часть, в неправильные. Получаем нормальные слагаемые (не важно если они с разными знаменателями), которые считаем по правилам, приведенным выше;
• Далее вычисляем разность дробей, которые мы получили. В результате мы почти найдем ответ;
• Выполняем обратное преобразование, то есть избавляемся от неправильной дроби - выделяем в дроби целую часть.

Вычтем из целого числа правильную дробь: представляем натуральное число в виде смешанного числа. Т.е. занимаем единицу в натуральном числе и переводим её к виду неправильной дроби, знаменатель при этом такой же, как у вычитаемой дроби.

Пример вычитания дробей:

В примере единицу мы заменили неправильной дробью 7/7 и вместо 3 записали смешанное число и от дробной части отняли дробь.

Вычитание дробей с разными знаменателями.

Или, если сказать другими словами, вычитание разных дробей .

Правило вычитания дробей с разными знаменателями. Для того, чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо, для начала, привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) , и только послеиэтого произвести вычитание как с дробями с одинаковыми знаменателями.

Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, которые являются знаменателями данных дробей.

Внимание! Если в конечной дроби у числителя и знаменателя есть общие множители , то дробь необходимо сократить. Неправильную дробь лучше представить в виде смешанной дроби. Оставить результат вычитания, не сократив дробь, где есть возможность, — это незаконченное решение примера!

Порядок действий при вычитании дробей с разными знаменателями.

• найти НОК для всех знаменателей;
• поставить для всех дробей дополнительные множители;
• умножить все числители на дополнительный множитель;
• полученные произведения записываем в числитель, подписывая под всеми дробями общий знаменатель;
• произвести вычитание числителей дробей, подписывая под разностью общий знаменатель.

Таким же образом проводится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.

Вычитание дробей, примеры:

Вычитание смешанных дробей.

При вычитании смешанных дробей (чисел) отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.

Первый вариант вычитания смешанных дробей.

Если у дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из него вычитаем) ≥ числителю дробной части вычитаемого (его вычитаем).

Например:

Второй вариант вычитания смешанных дробей.

Когда у дробных частей разные знаменатели. Для начала приводим к общему знаменателю дробные части, а после этого выполняем вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.

Например:

Третий вариант вычитания смешанных дробей.

Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Пример:

Т.к. у дробных частей разные знаменатели, значит, как и при втором варианте, сначала приводим обыкновенные дроби к общему знаменателю.

Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого. 3 < 14. Значит, занимаем единицу из целой части и приводим эту единицу к виду неправильной дроби с одинаковым знаменателем и числителем = 18.

В числителе от правой части пишем сумму числителей, дальше раскрываем скобки в числителе от правой части, то есть умножаем все и приводим подобные. В знаменателе скобки не раскрываем. В знаменателях принято оставлять произведение. Получаем: