Устранение неопределённости «единица в степени бесконечность. Бесконечная бесконечность
1. Для того, чтобы число А было пределомf(x) приx->a, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представима в видеf(x)=A+альфа(х), где альфа(х) – бесконечно малая.
2. Предел постоянной величины равен самой постоянной.LimC,x->a=C.
3. Еслиf(x)>= 0 (f(x)<=0) в некоторой окрестности точки а, кроме самой точки а, и в этой точке имеет предел, то пределlimf(x),x->a>=0 (limf(x)x->a, <=0)
4. Если функцииf1(x),f2(x) имеют пределы в точке а, то и их сумма, произведение и частное имеет пределы, причемlim(f1(x)+f2(x)),x->a=limf1(x),x->a+limf2(x),x->a, так же с произведением и частным
5. Еслиf(x) имеет предел в точке а, тоlim(f(x))^n,x->a= (limf(x),x->a)^n, гдеn– натуральное число
6. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.Lim cf(x), x->a = cLim f(x), x->a.
7. Если для функцийf(x),f1(x),f2(x) в некоторой окрестности в точке а выполняется неравенствоf1(x)<=f(x)<=f2(x) и пределlimf1(x),x->a=limf2(x),x->a=A, тоlimf(x),x->a=A.
8.
Limc^x,x->б = бесконечности, еслиc>1 и 0, если 0 Разделить
все на х в наивысшей степени, учитывая
уменьшение степени в корне. Lim(x->0)
sin 5x/sin3x = =lim(x->0)
x sin5x/x sin3x = lim(x->0)
sin5x/x*lim(x->0)
x/sin3x=lim(x->0)
5sin5x/5x*lim
3sin3x/3x)=5/3 Lim(x-unl)
(1+1/x) x =e; 1/x=a=>x=1/a,
a->0 Lim(a-0)
(1+a) 1/2 =e Lim(x-0)
(log a (1+x))/x
= lim(x-0)
1/x*log a (1+x)=lim(x-0)
log a (1+x) 1/x =log a lim(x-0)(1+x) 1/x =log a e Lim(x-0)
ln(1+x)/x=ln
e=1 Lim(x-0)
a x -1/x=|a x -1=t;a x =t+1;ln
a x =ln(t+1) Пусть
a(x,b(x)
– бесконечно малые ф-ции при х->a 1.
Lim(x->a)a(x)/b(x)=0
=>a(x) –
бесконечно малая более высокого порядка,
чемb(x) 2.
Lim(x->a)a(x)/b(x)
=c<>0=>aиb– бесконечно малые
функции одного порядка 3.
Lim(x->a)a(x)/b(x)
= 1 =>aub– эквивалентные бесконечно малые
функции 4.
Lim(x->a)d(x)/b n (x)
=c<>0 =>a– бесконечно малая функция н-ного
порядка относительноb(x) Cos2x=1-2sin 2 x Теорема:
если б.м. а(х) эквивалентна а 1 (х) иb(x) ~b 1 (x)
иlim(x->a)a(x)/b(x)
=>lim(x->a)a 1 (x)/b 1 (x) 6.
A kx ~kx
ln a 8.
1-cos kx
~kx 2 /2 23.
Предел функции, теоремы о пределах.
Неопределённость вида 0/0.
Бесконечно большие и бесконечно малые. Функция
f
(x
)
стремится к бесконечности при x
стремящимся к a
,
если для любого M
> 0 можно указать такое значение
> 0, что для всех x
удовлетворяющих неравенству x
a
<
имеет место неравенство f
(x
)
> M
. lim x
a
= Функция
ограниченная при x
a
. Функция
ограниченная при x
. Теорема.
Если lim x
a
f
(x
)=b
,
то функция f
(x
)
ограниченная при x
a
. Бесконечно
малые и их свойства. lim x
a
(x
)=0 Теорема.
1.
Если f
(x
)=b
+,
где
- б.м. при x
a
,
то lim x
a
f
(x
)=b
и обратно, если lim x
a
f
(x
)=b
,
то можно записать f
(x
)=b
+(x
). Теорема.
2.
Если lim x
a
(x
)=0
и (x
)
0, то 1/
. Теорема.
3.
Сумма конечного числа б.м. есть б.м. Теорема.
4.
Произведение б.м. на ограниченную функцию
есть б.м. Теоремы
о пределах. Теорема.
1.
Предел суммы есть сумма пределов. Теорема.
2.
Предел произведения есть произведение
пределов. Теорема.
3.
Предел частного есть частное пределов
(если знаменатель не обращается в 0). Теорема.
4.
Если u
(x
)
z
(x
)
v
(x
),
и lim x
a
u
(x
)=lim x
a
v
(x
)=b
,
то lim x
a
z
(x
)=b
.
("Теорема о двух милиционерах"). Первый
замечательный предел. при n
имеет предел, заключенный между 2 и 3.
В
данной работе мы рассмотрим неопределенность
видадля функции.
Для нахождения предела функции мы
применяем метод преобразования, метод
замены и определение бесконечно малых
величин. Пусть требуется найти предел дроби где P(x) и Q(x) функции определенные в
окрестности предельного аргумента a,
но в самом предельном значении обращаются
в ноль. Теорема 1
. Пусть число a для многочлена
n-й степени P(x) = P n (x) является k
кратным решением, а для многочлена m-й
степени Q(x) = Q n (x) является r кратным
решением, тогда (2) где P n-k (a) и Q m-r (a) значения
соответствующих многочленов P n-k (x)
и Q m-r (x) в точке x = a. Доказательство
. Так как, число a
является решением многочленов P n (x)
и Q m (x), то их в любое время можно
представить в виде: Биномы (x - a) k и (x - a) r в
окрестности точки x = a бесконечно малы,
а их основания эквивалентные бесконечно
малые.
Отсюда Полагаясь на последнее равенство,
можно из (3) предела получить формулу
(2).
25. 1-ый
Замечательный предел.
Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей,
возникающих при вычислении предела
отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций значительно упрощается с помощью правила Лопиталя (на
самом деле двух правил и замечаний к ним). Суть правил Лопиталя
состоит в том, что в случае, когда
вычисление предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций даёт неопределённости
видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных
и, таким
образом, получить определённный результат. Перейдём к формулировкам правил Лопиталя. Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно малых величин
. Если функции f
(x
) и g
(x
a
a
, причём в этой окрестности g
"(x
a
равны между собой
и равны нулю (). Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно больших величин
. Если функции f
(x
) и g
(x
)
дифференцируемы в некоторой окрестности точки a
, за исключением, может быть, самой точки
a
, причём в этой окрестности g
"(x
)≠0
и если
и если пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a
равны между собой
и равны бесконечности (), то предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных (). Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный). Замечания
. 1. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда функции f
(x
) и g
(x
)
не определены при x
= a
. 2. Если при вычисления предела отношения производных функций f
(x
) и g
(x
)
снова приходим к неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, то правила Лопиталя следует применять многократно (минимум
дважды). 3. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда аргумент функций (икс) стремится не к
конечному числу a
, а к бесконечности (x
→ ∞). К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов. Пример 1.
x
=2
приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому
производную каждой функции и получаем В числителе вычисляли производную многочлена, а в знаменателе - производную сложной
логарифмической функции
. Перед последним знаком равенства вычисляли обычный предел
, подставляя вместо
икса двойку. Пример 2.
Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя: Решение. Подстановка в заданную функцию значения x
Пример 3.
Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя: Решение. Подстановка в заданную функцию значения x
=0
приводит к неопределённости вида 0/0.
Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем: Пример 4.
Вычислить Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности,
приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя: Замечание. Переходим к примерам, в которых правило Лопиталя приходится применять
дважды, то есть приходить к пределу отношений вторых производных, так как предел отношения первых производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞. Пример 12.
Вычислить . Решение. Получаем В этом примере использовано тригонометрическое тождество
. Неопределённости вида , или
обычно приводятся к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью
логарифмирования функции вида
Чтобы вычислить предел выражения ,
следует использовать логарифмическое тождество ,
частным случаем которого является
и свойство логарифма . Используя логарифмическое тождество и свойство непрерывности функции (для перехода
за знак предела), предел следует вычислять следующим образом: Отдельно следует находить предел выражения в показателе степени и возводить e
в найденную степень. Пример 13.
Решение. Получаем . . Пример 14.
Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя Решение. Получаем Вычисляем предел выражения в показателе степени . . Пример 15.
Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя ситца идёт на каждое платье для взрослых? количество бисера, сделанного на фабрике в Усть-Рудицах если его цена за пуд была на 6 рублей меньше? больше,чем в первый.Сколько килограммов печенья привезли в каждый магазин? Задача№2 Два спорцмена одновременно начали бежать навстречу друг другу.Первый спорцмен бежал со средней скоростью 305м/мин,второй-312м/мин.Спорцмены встретились через 4 мин. Какое расстояние быломежду ними сначала? Решить задачу по действиям с пояснениями. Задача№3 Поезд отправляется в 19ч 35мин.Дорога пассажироа от дома до вокзала занимает 45мин. В котором часу пассажиру надо выехать из дома,чтобы быть на вокзале за 15 мин до отправления поезда? Задача№4 Из 60м ткани сшили 15 одинаковых плащей.Сколько таких плащей можно сшить из 100м такой же ткани? Задача№5 Периметр квадрата равен 8 см. Из двух таких квадратов составили прямоугольник.Найти площадь этого прямоугольника. Задача№6 Площадь сада 192а.Одна десятая часть площади сада занята яблонями,а одна пятая часть оставшейся площади- сливами.Какая площадь сада занята сливами? Задача№7 Масса четырёх одинаковых ящиков с мандаринами 34 кг.Масса пустого ящика 1 кг 500г.Найти массу мандаринов в каждом ящике. За последние годы мобильный гейминг прошел, как мне кажется, решающий отрезок своей истории, в котором отпало все ненужное. Разработчики поняли, что мобильным игрокам нужно нечто сессионное, реиграбельное и в исключительных случаях захватывающее на продолжительное время. Так мобильная эволюция расчистила путь раннерам. Многие из них предлагают задонатить в пару бустеров для достижения зашкаливающих рекордов. Сейчас мы поговорим о правильном представителе жанра, в котором решает только умение.
BARRIER X дружелюбна к новичкам, и на первых порах ее игровой механикой намного проще овладеть, чем, к примеру, Flappy Bird. Если вкратце, то суть игры сводится к уклонению от надвигающихся геометрических фигур. Но не все так просто. Делать это следует путем анализа цветных полос под вашим космическим кораблем. К примеру, красная полоса означает, что впереди препятствие. По мере игры появится синяя полоса, указывающая путь (ее стоит слушать, иначе капут) или зеленая, позволяющая пробивать преграды. Игровая механика пополняется новыми элементами с каждым уровнем, которых всего семь, как и букв в слове BARRIER. Такой подход позволяет постепенно увеличивать сложность игры и не выбрасывать на игрока все элементы геймплея сразу. При этом набивать время (его таймер на горизонте) на уровне попроще не выйдет, так как через определенные промежутки времени корабль неимоверно ускоряется, что в мгновение ока повышает сложность игры. К тому же новый уровень не всегда делает игру сложнее, как в случае с зеленой полосой. Чуть не забыл: управление реализовано касанием правой и левой сторон экрана. Визуально игра выглядит потрясающе. Одновременно в глаза бросаются геометрический минимализм и многообразие цветов. Все это дополняется эффектами в виде раскачивающейся камеры и размытых звезд, которые реагируют на ваши движения. Особенно приятно передано ощущение скорости в 60 FPS. Насчет ваших устройств ручаться не могу, но на Meizu MX5 или Asus ZenFone Zoom игра летает. В качестве звукового сопровождения выступают шесть олдскульных “пиксельных” треков, которые можно менять в игровом меню. Что касается прочих звуковых эффектов, они, как и саундтрек, выполнены на высоте. В чем подвох? Игра, между прочим, Free-2-Play. Доната и бустеров здесь нет, раздражает лишь реклама сторонних приложений, которая загружается в онлайне и затем начинает бесить в офлайне. За ее отключение попросят 141 рубль, что уже не смешно. Проблема и достоинство BARRIER X в том, что это раннер, ломающий шаблоны. Будучи бесплатным, он не начнет клянчить монету за бустеры, дабы я не был лохом перед друзьями, но неожиданно попросит завышенную цену за отключение назойливой рекламы. Ее “нейтрализация” для пользователей Android не является проблемой, но, к примеру, не каждый неравнодушный к команде разработчиков человек готов дать за BARRIER X подобную сумму денег. Тем не менее, попробовать игру Данную неопределённость «обслуживает» второй замечательный предел
, и во второй части того урока мы очень подробно рассмотрели стандартные примеры решений, которые в большинстве случаев встречаются на практике. Сейчас картина с экспонентами будет завершена, кроме того, заключительные задания урока будут посвящены пределам-«обманкам», в которых КАЖЕТСЯ, что необходимо применить 2-ой замечательный предел, хотя это вовсе не так. Недостаток двух рабочих формул 2-го замечательного предела состоит в том, что аргумент должен стремиться к «плюс бесконечности» либо к нулю. Но что делать, если аргумент стремится к другому числу? На помощь приходит универсальная формула (которая на самом деле является следствием второго замечательного предела): Неопределённость можно устранить по формуле: Где-то вроде уже пояснял, что обозначают квадратные скобки. Ничего особенного, скобки как скобки. Обычно их используют, чтобы чётче выделить математическую запись.
Выделим существенные моменты формулы: 1) Речь идёттолько об определённости и никакой другой
. 2) Аргумент «икс» может стремиться к произвольному значению
(а не только к нулю или ), в частности, к «минус бесконечности» либо к любому
конечному числу. С помощью данной формулы можно решить все примеры урока Замечательные пределы
, которые относятся ко 2-му замечательному пределу. Например, вычислим предел : В данном случае , и по формуле : Правда, делать так не советую, в традициях всё-таки применять «обычное» оформление решения, если его можно применить. Однако с помощью формулы очень удобно выполнять проверку
«классических» примеров на 2-ой замечательный предел. Всё это хорошо, правильно, но сейчас в кадре более любопытные кадры: Пример 18
Вычислить предел На первом шаге, не устану повторять, подставляем значение «икс» в выражение под знаком предела. А вдруг никакой неопределённости вообще нет? Так бывает! Но не в этот раз. Подставляя «тройку», приходим к выводу, что здесь неопределённость Используем формулу Чтобы не таскать за собой букву «е» и не мельчить, показатель удобнее вычислить отдельно: В данном случае: Таким образом: С точки зрения техники вычислений всё рутинно: сначала приводим первое слагаемое к общему знаменателю, затем выносим константы и проводим сокращения, избавляясь от неопределённости 0:0. В результате: Обещанный подарок с разностью логарифмов и неопределённостью : Пример 19
Вычислить предел Сначала полное решение, потом комменты: (1)-(2) На первых двух шагах используем формулы . У сложных производных
мы «разваливаем» логарифмы, а здесь, наоборот – их нужно «собрать». (3) Значок предела перемещаем под логарифм. Это можно сделать, поскольку данный логарифм непрерывен
на «минус бесконечности». Кроме того, предел же относится к «начинке» логарифма. (4)-(5) Стандартным приёмом, рассмотренным на базовом уроке про замечательные пределы
, преобразуем неопределённость к виду . (6) Используем формулу . (7) Экспоненциальная и логарифмическая функция – взаимно обратные функции, поэтому и «е» и логарифм можно убрать. Действительно, согласно свойству логарифма: . Минус перед дробью вносим в знаменатель: (8) Без комментариев =) Рассмотренный тип предела не такой редкий, примеров 30-40 у себя нашёл. Пример 20
Вычислить предел Это пример для самостоятельного решения. Помимо использования формулы, можно представить предел в виде и заменой свести решение к случаю . В заключение рассмотрим пределы-«фальшивки». Вернёмся к неопределённости . Данную неопределённость далеко не всегда
можно свести к неопределённости и воспользоваться 2-ым замечательным пределом либо формулой-следствием. Преобразование осуществимо в том случае, если числитель и знаменатель основания степени – эквивалентные
бесконечно большие функции
. На пример: . Отвлечёмся от показателя и вычислим предел основания: В пределе получена единица
, значит, числитель и знаменатель не просто одного порядка роста, а ещё и эквивалентны
. На уроке Замечательные пределы. Примеры решений
мы без проблем свели данный пример к неопределённости и получили ответ. Аналогичных пределов можно придумать очень много: Дроби данных примеров объединяет вышеуказанная особенность: . В других случаях при неопределённости
2-ой замечательный предел не применим
. Пример 21
Найти пределы Как ни старайся, а неопределённость не удастся преобразовать в неопределённость Здесь числители и знаменатели оснований одного порядка роста, но не эквиваленты
: . Таким образом, 2-ой замечательный предел и, тем более формулу, ПРИМЕНИТЬ НЕЛЬЗЯ
. ! Примечание
: не путайте с Примером №18, в котором числитель и знаменатель основания не эквивалентны. Там готовая неопределённость , здесь же речь идёт о неопределённости .
Метод решения пределов-«подделок» прост и знакОм: нужно числитель и знаменательоснования
разделить на «икс» в старшей степени (невзирая на показатель): Если числитель и знаменатель основания разного порядка роста, то приём решения точно такой же: Пример 22
Найти пределы Это короткие примеры для самостоятельного изучения Иногда неопределённости может не быть вообще
: Подобные фокусы особенно любимы составителями сборника Кузнецова. Вот почему очень важно ВСЕГДА на первом шаге выполнять подстановку «икса» в выражение под знаком предела! Пример 2
Пример 4
Пример 6
Пример 8
Пример 22
Неопределенность вида бесконечность на бесконечность
Сравнение бесконечно малых функций
Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"
Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение
Раскрытие неопределённостей вида "ноль умножить на бесконечность"
Раскрытие неопределённостей видов "ноль в степени ноль", "бесконечность в степени ноль" и "один в степени бесконечность"
Игровая механика
Графика
Звук
О подводных камнях
Итог
и т.д.
Старшая степень числителя: 2; старшая степень знаменателя: 3.
:
Разделим числитель и знаменатель на
:
Примечание
: самым последним действием умножили числитель и знаменатель на
, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.
Разделим числитель и знаменатель на
:
Разделим числитель и знаменатель на
:
Примечание
: слагаемое
стремиться к нулю медленнее, чем
, поэтому
является «главным» нулём знаменателя.
.
Примечание
: бесконечно малая функция
стремится к нулю медленнее, чем
, поэтому «более большой» ноль знаменателя играет определяющую роль: