Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Рассмотрим график логарифмической функции и график прямой пропорциональности

Отметим, что функция возрастает на области определения, Без графика это можно определить по основанию логарифма. Для где х>0, если основание логарифма больше нуля, но меньше единицы, то функция убывает, если основание логарифма больше единицы, то функция возрастает.

Важно заметить, что логарифмическая функция принимает положительные значения на множестве чисел, больших единицы, запишем это утверждение с помощью символов f(x) при x

Прямая пропорциональность y= x в этом случае на промежутке от одного до плюс бесконечности тоже принимает положительные значения, большие одного. Совпадение это или закономерность? Обо всём по порядку.

Неравенства вида называются логарифмическими, где а — положительное число, отличное от 1 и >0,)>0

Преобразуем неравенство к виду. При переносе слагаемых из одной части неравенства в другую знак слагаемого меняется на противоположный. По свойству логарифма, разность логарифмов с одинаковым основанием можно заменить логарифм частного, таким образом, наше неравенство примет вид.

Обозначим выражение t , тогда неравенство примет вид.

Рассмотрим это неравенство относительно основания а, большего единицы, и относительно основания а, большего нуля и меньшего единицы.

Если основание логарифма а, большего единицы, то функция возрастает на области определения и принимает положительные значения при t больше одного. Вернемся к обратной замене. Значит, дробь должна быть больше одного. Это означает, что f(x)>g(x).

Если же основание логарифма, большего нуля и меньшего единицы, тофункция убывает на области определения и принимает положительные значения при t больше нуля и меньше одного. При обратной замене неравенство равносильно неравенству, а оно выполняется при f(x)

Сделаем вывод:

Если)>0 и при a>1 логарифмическое неравенство

равносильно неравенству того же смысла)>),

а при 0

Равносильно неравенству противоположного смысла)<)

Рассмотрим примеры решения логарифмических неравенств.

Решить неравенство:

Неравенства >0 и область допустимых значений переменной для данного логарифмического неравенства. Основание логарифма пять и оно больше одного, значит исходное неравенство равносильно неравенству. Решим полученную систему неравенств путем уединения переменной для этого. В первом неравенстве перенесем четыре в правую часть неравенства, поменяв знак минус на плюс. Получим.

Во втором неравенстве единицу перенесем в правую часть и запишем как минус один. Получим неравенство В третьем неравенстве минус четыре перенесем в правую часть, запишем как плюс четыре, а х перенесем в левую часть и запишем как минус икс. Получим неравенство. В нём можно привести подобные слагаемые в левой и правой частях неравенства. Получим неравенство. В первом неравенстве поделим левую и правую часть неравенства на 2. Получим неравенство. Полученная в ходе решения система имеет знак одной направленности, в таких случаях очевидно, что данной системе удовлетворяет множество чисел больше пяти. Легко увидеть, что пять тоже удовлетворяет системе неравенств. В противном случае можно построить геометрическую модель данной системы и посмотреть решение.

Отметим на координатной прямой числа минус один, два и пять. Причем числам -1 и 2 будет соответствовать светлая точка, а числу пять — темная точка. Нанесем «штриховку» справа от 2 для первого неравенства, справа от 1 — для второго неравенства и справа от пяти — для третьего неравенства. Пересечение штриховок указывает на множество чисел, больших и равных пяти. Ответ запишем в виде выражения

Пример 2. Решить неравенство

Составим систему неравенств. Неравенства >0 и >0 определяют область допустимых значений неравенства. Основание логарифма равно 0,3, оно больше нуля, но меньше одного, значит логарифмическое неравенство равносильно неравенству с противоположным по смыслу знаком:

Полученная система трудна для параллельного решения неравенств. Решим каждое из них отдельно и рассмотрим общее решение на геометрической модели.

Неравенство является квадратным и решается по свойствам квадратичной функции, графиком которой является парабола с ветвями вверх. Найдем нули данной функции, для этого её правую часть приравняем к нулю и решим полученное уравнение через разложение на множители. Для этого вынесем общий множитель икс за скобки, в скобках останется от первого слагаемого — шесть, от второго слагаемого — минус икс. Произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Значит, первый множитель икс равен нулю или второй множитель шесть минус икс равен нулю. Тогда корни уравнения — ноль и шесть. Отметим их на координатной прямой в виде светлых точек, так как решаемое квадратное неравенство строгое и изобразим параболу ветвями вниз, проходящую через эти точки. Квадратичная функция принимает положительные значения на интервале от нуля до шести, значит решением неравенства является множество чисел x

Неравенство является линейным. Оно содержит отрицательные слагаемые, для удобства обе части неравенства умножим на минус единицу. Знак неравенства в этом случае поменяется на противоположный. Получим неравенство.

Перенесём восемь в правую часть неравенства и запишем как минус восемь. Таким образом, решением неравенства является множество чисел от минус бесконечности до минус восьми. Запишем решение неравенства в иде выражения x .

Неравенство сводится к квадратному неравенству, для этого перенесем минус восемь и минус икс в левую часть неравенства. Получим неравенство и приведем подобные 6х и х, Получим 7х, уравнение примет вид. Решается оно по свойствам квадратичной функции графиком которой является парабола с ветвями вниз. Найдем нули функции.0 при =0 и решим полученное квадратное уравнение через формулу дискриминанта Так как коэффициент b равен минус семи, коэффициент а равен минус единице, а с равен 8 то дискриминант уравнения равен 81. Найдем по формуле первый корень, он равен -1, второй корень равен 8.

Отметим полученные значения на координатной прямой темными точками, так рассматриваемое квадратное неравенство относится к нестрогим неравенствам. Изобразим на координатной прямой параболу с ветвями вниз. Квадратичная функция принимает меньшие и равные нулю значения на множестве чисел от минус бесконечности до включая и от 8 до плюс бесконечности включая 8. Решение этого неравенства запишем в виде выражения ]

Итак, все три неравенства решены, отметим их решения на одной координатной прямой. Значения переменной, которые бы удовлетворяли всем трём неравенствам одновременно, нет, что означает, что исходное логарифмическое неравенство не имеет решений. Ответ: решений нет.

Этот факт можно было заметить после решения линейного неравенства, так как решением первого квадратного неравенства являются положительные числа от одного до шести, а решением второго неравенства являются отрицательные числа, то для этих двух неравенств уже нет общих решений и

исходное логарифмические неравенство не имеет решений.

Логарифмы обладают интересными свойствами, упрощающие вычисления и выражения, вспомним некоторые из них

1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.
2. Любое число можно представить в виде логарифма. Например, 2 можно записать как логарифм четырех по основанию два или логарифм 25 по основанию 5, минус единицу можно записать как логарифм 0,2 по основанию пять или десятичный логарифм 0,1.

Пример 3. Решить неравенство:

Неравенство нужно преобразовать к виду.

Для этого единицу запишем в виде логарифма 2 по основанию два. А влевой чатси неравенства сумму логарифмов заменим по свойству на тождественно равное ему выражение — логарифм произведения. Получим неравенство вида

Составим систему неравенств. Неравенства, задающие область допустимых значений неравенства, опрелеяются по исходному неравенству, поэтому >0 и >0 будут первыми двумя неравенствами системы. Так как логарифм имеет основание 2, оно больше одного, то неравенство
Равносильно неравенству (х-3)(х-2)2.

В первом неравенстве перенесем минус три в правую часть, получим неравенство х>3, во втором — минус два перенесем в правую часть, получим неравенство х>2.

В третьем — раскроем скобки в левой части неравенства, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена. Получим неравенство.

Решим третье неравенство отдельно: перенесем два в левую часть неравенства и запишем с минусом.

Упростим полученное нравенство до вида. Сумма коэффициентов этого уравнения равна нулю, тогда, по свойству коэффициентов, первый корень равен одному, а второй равен частному от с на а и равен в данном случае 4. Эти уравнения можно решить и через формулу дискриминанта, корни от способа решения не зависят.

Отметим эти корни на координатной прямой в виде тёмных точек, проведем через них параболу ветвями вверх. Неравенство

выполняется на множестве чисел от 1 до 4 включая 1 и 4.

Отметим на одной координатной прямой решение первого и второго неравенства, для этого сделаем штриховку правее трех для первого неравенства и правее двух для второго неравенства и штриховку от 1 до 4 для второго неравенства. Три неравенства одновременно выполняются только на множестве чисел от 3 до 4, включая 4. Значит, это и будет решение исходного логарифмического неравенства.

Вывод: При решении логарифмических неравенств

Если a>1 , то переходят к решению системы из неравенств, определяющих область допустимых значений неравенства, и неравенства подлогорифмических выражений того же знака.

Если 0

МБОУ Старогородковская СОШ

План конспект урока по теме:

Логарифмические неравенства

Ерашкова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ Старогородковская СОШ

2015 год

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение стр. 3-5

2. Основная часть стр. 6-20

3. Заключение стр. 21-22

4. Приложения стр. 23-24

5. Список литературы стр. 25

ВВЕДЕНИЕ

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у школьников интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль школьников, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

Возникновение интереса к математике у значительного числа школьников зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание школьников на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.

Логарифм – это греческое слово, которое состоит из 2-х слов: “логос”- отношение, “аритмос”- число. Значит, логарифм есть число, измеряющее отношение.

Этот термин был введен в 1594 году шотландским математиком Джоном Непером, который не был математиком по профессии, имел имение, занимался земледелием и изобретением приборов.

Выбор такого названия объясняется тем, что, действительно, логарифмы возникли при сопоставлении 2-х чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а второе — членом геометрической прогрессии.

Введение логарифмов позволяло производить быстро сложные вычисления. Были созданы первые таблицы логарифмов. Сначала они были 14-тизначные, постепенно усовершенствовались, сейчас есть 6-тизначные таблицы логарифмов.

Необходимо было упростить вычисления. Как вам известно, существуют действия трех ступеней:

1.сложение и вычитание.

2.умножение и деление.

3.возведение в степень.

Так вот логарифмы позволили перейти от сложных действий третьей ступени к действиям второй, а затем первой ступени. Т.е. от возведения в степень к умножению, от умножения к сложению, от деления к вычитанию. Таким образом, логарифмы чрезвычайно облегчают вычисления. Дают возможность находить сразу произведение любого числа множителей, возвышать в любую степень и извлекать корни с любым показателем.

Тема “Логарифмы” является традиционной в курсе алгебры и начал анализа средней школы, но очень трудно дается учащимся из-за сложности материала, концентрированности изложения. По действующим в настоящее время программам по математике средней школы изучение показательной и логарифмической функций планируется в конце курса алгебры и начал анализа 11-го класса, поэтому очень мало времени отводится на изучение данного материала.

На ЕГЭ по математике от 6 до 7 заданий на использование логарифмов и их свойств. Соответственно знания учащихся логарифмической функции намного ниже знаний свойств линейной, квадратичной и других функций, изучаемых ими на протяжении нескольких лет, следовательно, знания свойств данных функций у учащихся формальны, а все это проявляется при решении соответствующих уравнений, неравенств, систем уравнений. Учащиеся, которые захотят продолжить свое обучение в ВУЗах и колледжах, должны иметь полные и глубокие знания по данной теме.

В связи с этим и возникла необходимость в написании данной работы. Цель которой состояла в разработке методики изучения логарифмических неравенств.

Попытаться научить ребят за короткий промежуток времени мыслить, критически осмысливать окружающий мир (от критического анализа текста учебника, решения задачи до выработки собственного мнения по любой обсуждаемой проблеме). Не просто дать новый материал, “навязывая” его ученикам, а обеспечить необходимую мотивацию, используя проблемные ситуации, привлечение жизненного опыта учащихся, исторические сведения.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

Неравенства, содержащие переменную под знаком логарифма, называют логарифмическими.

Например:

При решении логарифмических неравенств важно помнить:

1) общие свойства неравенств;

2) свойство монотонности логарифмической функции;

3) область определения логарифмической функции.

Основные методы решения логарифмических неравенств

Методы решения логарифмических неравенств.

Пример 1. Решите неравенство < 1.

Решение. Пусть = . Далее решим неравенство < 1.

Получим:

( – 1)( + 1) < 0 -1< < 1.

Осталось решить двойное неравенство:

— 1 < < 1 < 2 > x > 0,5.

Ответ: .

Пример 2. Решите неравенство > 2 x .

Решение. Перепишем неравенство в виде:

> > 8 8 .

Пусть , получим:

Осталось решить неравенство 9.

Ответ: (2; +∞).

Пример 3. Решите неравенство 2 ≥ 1.

Решение. Перепишем неравенство виде:

— ≥ 1 — ≥ 1.

Пусть a = , тогда

– a ≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 ≤ 0.

Осталось решить совокупность неравенств:

Ответ : ; .

Пример 4. Решите неравенство

Решение. Последовательно воспользуемся утверждениями:

Двойное неравенство равносильно системе:

Ответ: (7; + ∞).

Пример 5. Решите неравенство

Решение. Рассмотрим случаи:

2

Но при x неравенство 35 – x неверно. Решений нет.

Ответ : (2; 3).

Метод замены множителей

При решении показательных и логарифмических неравенств можно воспользоваться и методом замены множителей.

Утверждение 1. Знак разности ( a – 1) ( f ( x ) – g ( x )) при x ОДЗ.

Или в виде схем:

(1)

Утверждение 2. Знак разности совпадает со знаком произведения ( h ( x ) – 1)( f ( x ) – g ( x )) при x ОДЗ.

(2)

Пример 1. Решите неравенство

Решение : Воспользуемся утверждением (1). Получим, что знак разности

совпадает со знаком разности (3 при условии, что x ОДЗ. Следовательно, данное неравенство равносильно системе:

Ответ : ; .

Тема урока: Логарифмические неравенства.

Цель урока:

1.Отработка умений систематизировать, обобщать свойства логарифмов, логарифмических функций; применять их при решении логарифмических неравенств; уметь применять различные методы решения логарифмических неравенств.

2. Развитие сознательного восприятия учебного материала, развитие зрительной памяти, развитие математической речи учащихся, формировать навыки самообучения, самоорганизации и самооценки. Способствовать развитию творческой деятельности учащихся.

3. Воспитание познавательной активности, воспитать у учащихся любовь и уважение к предмету, научить видеть в ней не только строгость, сложность, но и логичность, простоту и красоту.

Задачи урока:

1. Повышение интереса к предмету математика.

2. Закрепление новых знаний и умений по теме «Логарифмические неравенства»

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Приветствие, подготовка учащихся к уроку. Постановка целей урока. (Слайд № 2).

2. Актуализация субъективного опыта учащихся.

(Слайд № 3).

— Преподаватель: Символом сегодняшнего урока я взяла ракушку, а эпиграфом – слова:

«Мир так огромен,

Не хватит жизни, чтобы всё познать.

Но много есть похожего,

Ты можешь отыскать его во всём…»

— Преподаватель: Как вы считаете, о чём эти слова? И почему символ урока – ракушка — спираль?

— Учащиеся: В мире много разных вещей, явлений, но всегда можно найти что-то похожее, схожее друг с другом. Эта «схожесть» помогает лучше понять какое-либо явление или какой-нибудь новый факт.

— Преподаватель: Слова эпиграфа должны быть связаны с нашим сегодняшним уроком. На ваш взгляд, какая связь между эпиграфом и уроком?

Учащиеся: Видимо, мы сегодня будем изучать новую тему, материал которой похож на ранее изученный материал. Но, поскольку символ урока – спираль, то материал урока будет сложнее, чем то, что изучали ранее.

3. Мотивация. Организация восприятия.

— Преподаватель: Откройте, пожалуйста, тетради и запишите тему урока «Свойства логарифмических неравенств».

(Учащиеся записывают тему в тетрадях).

— Преподаватель: При изучении логарифмов, на самом первом уроке, мы с вами говорили о том, что с появлением компьютеров, логарифмы стали не так актуальны, как раньше. А зачем тогда мы их изучаем?

Учащиеся: Эта тема есть в программе, логарифмы будут на экзаменах, на ЕГЭ.

Сегодня на уроке мы будем использовать приёмы сравнения, анализа, обобщения. И хотя логарифмы могут и не понадобиться вам в жизни, но умения сравнивать, анализировать что-либо, обобщать, необходимы любому современному человеку, который хочет успешно построить свою профессиональную карьеру. И есть ещё один важный момент, объясняющий значение логарифмов для человечества. О нём я расскажу в конце урока.

— Преподаватель: Рассмотрим различные логарифмические неравенства, но для этого повторим свойства логарифмической функции. (Слайд № 4).

— Преподаватель: Соотнести графики функций. (Слайд № 5).

Учащиеся: 1) 2) 3)

— Преподаватель: Решение простейших логарифмических неравенств.

, .

a , b – действительные числа, a . (Слайды №№ 6, 7, 10).

— возрастает

Ответ: ;

— Преподаватель: Решим логарифмические неравенства заменой множителей (Слайд № 12).

Повторим формулы: (Слайд № 13).

(Слайд № 14).

(Слайд № 17).

(Слайд № 19).

4.Обобщение урока

— Преподаватель: А теперь я расскажу вам о том, какое значение имеет логарифмическая функция для всего человечества. Испокон веков целью математики было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны. Математики научились создавать математические модели различных явлений природы. Изучение таких моделей позволяет больше узнать о природных явлениях. Ряд явлений природы может описать логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции. (Слайд № 21). Одним из наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль, уравнение которой имеет вид: = loqa . А сама спираль (ракушка)– это символ нашего сегодняшнего урока.

— Преподаватель: Так почему же в качестве примера логарифмической зависимости в природе выбрали именно логарифмическую спираль? Известно, что живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детёныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причём рост совершается так, что сохраняется подобие раковины с её первоначальной формой. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали. (Слайд № 22). Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали. Великий немецкий поэт Иоганн-Вольфганг Гёте считал её даже математическим символом жизни и духовного развития.

По логарифмической спирали очерчены не только раковины. Например, паук Эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям. В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали; орешки в кедровой шишке располагаются тоже по логарифмической спирали; по логарифмическим спиралям закручены многие галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

— Учащиеся: Рассказывает о логарифмической спирали.

Логарифмическая спираль.

Логарифмическая спираль или изогональная спираль - особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis – «удивительная спираль».

Областное государственное автономное

профессиональное общеобразовательное учреждение

«Ютановский агромеханический техникум

имени Евграфа Петровича Ковалевского»

Методическая разработка

урока по математике:

Решение логарифмических

уравнений и неравенств

Выполнила:

преподаватель математики

Тарановская В.П.

2016 год

Тема урока: Решение логарифмических уравнений и неравенств

Цель урока: повторить понятие и свойства логарифма; изучить способы решения логарифмических уравнений и закрепить их при выполнении упражнений.

Задачи:

Обучающие: повторить определение и основные свойства логарифмов, уметь применять их в вычислении логарифмов, в решении логарифмических уравнений;

Развивающие: формировать умение решать логарифмические уравнения;

Воспитательные: воспитывать настойчивость, самостоятельность; прививать интерес к предмету

Тип урока: урок изучения нового материала.

Пед. технологии: информационно-коммуникационные, коллективная система обучения – вариационная пара, разноуровневое обучение.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, экран.

Структура и ход урока:

Организационный момент.

Проверка готовности обучающихся и кабинета к занятию. Объявление темы.

Устная работа.

Закрепление понятия логарифма, повторение его основных свойств и свойств логарифмической функции:

1. Разминка по теории :

1. Дайте определение логарифма.

2. От любого ли числа можно найти логарифм?

3. Какое число может стоять в основании логарифма?

4. Функция y =log 0,8 x является возрастающей или убывающей? Почему?

5. Какие значения может принимать логарифмическая функция?

6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

7. Назовите основные свойства логарифмов.

8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать?

2. Работа по карточка :

3. Фронтальный опрос класса (сопровождается слайдами презентации)

Вычислить:

4. Сравнить числа :

log ½ е и log ½ π;

log 2 √5/2 и log 2 √3/2.

5. Выяснить знак выражения log 0,8 3 · log 6 2/3

Изучение нового материала:

Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение .
Способы решения логарифмических уравнений:

Решение уравнений на основании определения логарифма

Метод потенцирования

Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества

Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию

Группа делиться на микрогруппы по 4 человека. Каждый из четырех членов группы выбирает один из способов решения, разбирается с ним (при затруднении можно обратиться к преподавателю), проводит взаимообучение с остальными тремя товарищами. Далее вместе прорешивают четыре примера, ответы проверяются у преподавателя.

Решение уравнений на основании определения логарифма.

Имеет решение .

На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:

по данным основаниям и числу определяется логарифм,

по данному логарифму и основанию определяется число,

по данному числу и логарифму определяется основание.

Метод потенцирования.

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т.е. , то , при условии, что .

Пример: Решите уравнение

Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества.

Пример: Решите уравнение

Папка содержит опорные конспекты к уроку, лист самоконтроля, технологическую карту урока, самоанализ урока, презентацию к уроку. Урок был показан на районном семинаре учителей математики и получил высокую оценку.

«1. Опорный конспект - Виды неравенств и их решение»

Опорный конспект №1 «Виды неравенств и их решение»

Вид неравенства	Решение
Линейные
Квадратичные	Графический метод: 1.Находим корни уравнения 2.Строим на координатной прямой модель параболы (a 0, ветви вверх; а 3.Записываем промежутки в ответ.
Рациональные f(x) 0, f(x) где f(x) – рациональное выражение. Частные случаи: { в знаменателе – выколотые точки} {n – чётное, знаки не меняются}	Метод интервалов: 1) Представить левую часть неравенства в виде функции у = f(x). 2) Найти область определения функции (при которой эта функция имеет смысл). 3) Найти корни функции (нули функции). 4) Определить интервалы знакопостоянства. 5) Определить знак функции на каждом интервале. 6) Выписать значения х, при которых неравенство верно.
1) 2)
Иррациональные с чётной степенью
Иррациональные с нечётной степенью
Показательные
Логарифмические
Тригонометрические :	При решении используют тригонометрическую окружность или график соответствующей функции
С модулем: 1) |x | a 2) |x |a	1) -a 2)

Просмотр содержимого документа
«4. Опорный конспект -Логарифмы »

Опорный конспект №4

Определение:

Логарифмом положительного числа b по положительному и не равному единице основанию а называется показатель степени, в который нужно возвести число а , чтобы получить b .

О

сновные логарифмические тождества:

Логарифмическая функция: , где

Просмотр содержимого документа
«Технологическая карта»

Технологическая карта урока

Дидактические задачи этапов урока

Технология изучения

Просмотр содержимого документа
«2. Опорный конспект - Равносильные преобразования»

Определение: два неравенства с одной переменной называются равносильными, если их решения совпадают.

Равносильные преобразования:

положительное при всех Х из ОДЗ неравенства, сохранив при этом знак неравенства, то получится неравенство f (x )h (x ) g (x )h (x ), равносильное данному;

если обе части неравенства f (x ) g (x ) умножить на выражение h (x ), отрицательное при всех Х из ОДЗ неравенства, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство f (x )h (x ) g (x )h (x ), равносильное данному;

если обе части неравенства f (x ) g (x ) возвести в одну и ту же нечётную степень

если обе части неравенства f (x ) g (x ) неотрицательны на ОДХ, то после возведения обеих частей в одну и ту же чётную степень n , сохранив при этом знак неравенства, то получится неравенство f n (x ) g n (x ), равносильное данному;

показательное неравенство a f (x ) a g (x ) равносильно неравенству:

• f (x ) g (x ), если а 1;

  f (x ) g (x ), если 0 а

логарифмическое неравенство log a f (x ) log a g (x ), где f (x ) 0 и g (x ) 0, равносильно неравенству:

• f (x ) g (x ), если а 1;

  f (x ) g (x ), если 0 а

Совокупность неравенств

Решение совокупности: объединение решений всех неравенств в совокупности.

Система неравенств

Решение системы: пересечение решений всех неравенств в системе.

Просмотр содержимого документа
«3. Опорный конспект - Методы решения неравенств»

Опорный конспект №3

«Методы решения неравенств»

Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем

Неравенства, содержащие Неравенства, содержащие

иррациональные выражения выражения с модулем

Неравенства, содержащие показательные выражения (потенцирование)

Неравенства, содержащие логарифмические выражения (логарифмирование)

Метод расщепление неравенств

Метод замены

Обобщённый метод интервалов

Будем рассматривать неравенства вида f (x ) 0, где f (x ) - логарифмическая, показательная, иррациональная или тригонометрическая функция.

Наши действия будут такими:

1) Находим область определения f (x )

2) Находим нули f(x)

3) Определяем знаки на ОДЗ (которая разделена на промежутки нулями функции), подставляя удобные значения, принадлежащие каждому промежутку.

4) Записываем ответ, указывая объединение промежутков (из ОДЗ), на которых f (x ) имеет соответствующий знак.

Просмотр содержимого документа
«Лист самоконтроля»

Лист самоконтроля

Ф.И. _________________________________________

Самоанализ урока

Каково место данного урока в теме? Как этот урок связан с предыдущим?

Подготовка к ЕГЭ – дистанционное обучение – тема «Неравенства».

Краткая психолого-педагогическая характеристика группы (количество учащихся, присутствующих, количество «слабых» и «сильных» учащихся, активность учащихся на уроке, организованность и подготовленность к уроку)

Сильных – 2 (Юля, Алёна). Средних – 4 (Сергей, Сергей, Эльдар, Кирилл). Слабых – 2 (Андрей, Катя)

Дать оценку успешности в достижении целей урока, обосновать показатели реальности урока.

Повторить теорию –

Закрепить теорию на практике –

Вспомнить разные методы решения неравенств –

Познакомиться ещё с одним методом – рационализации –

Главный этап – научить строить план решение неравенства, выбирать рациональные методы решения.

Рационально ли было распределено время, отведенное на все этапы урока? Логичны ли «связки» между этапами? Показать, как другие этапы работали на главный этап.

6. Отбор дидактических материалов, ТСО, наглядных пособий, раздаточных материалов в соответствии с целями занятия.

7. Как организован контроль усвоения знаний, умений и навыков учащихся?

8. Психологическая атмосфера на занятии

9. Как вы оцениваете результаты урока? Удалось ли реализовать все поставленные задачи урока? Если не удалось, то почему?

10. Наметить перспективы своей деятельности.

Просмотр содержимого презентации
«Презентация к уроку»

Секрет успеха – в мелочах

Успешно пройти ГИА

• качественная теоретическая подготовка
• качественная практическая подготовка (владение рациональными методами решения)
• самоконтроль, саморегуляция
• точное распределение времени на выполнение задания
• правильное оформление экзаменационной работы
• эмоциональный настрой

ЕГЭ 2015 (профиль)

Средний балл по России – 49, 6

Средний балл по Пермскому краю – 47

Средний балл по Пермскому району –

Подготовка к ЕГЭ 2016

Средний балл тренировочных работ 11 класса – 50, 52, 58

Тема: «Решение логарифмических неравенств»

Цели:

• повторить теоретический материал;
• выполнить практическую работу, вспомнить методы решения логарифмических неравенств;
• научиться находить рациональные способы решения;
• строить алгоритм решения неравенства;
• распределять время для выполнения работы;
• правильно оформлять работу;
• выработать волевую саморегуляцию (умение мобилизировать себя на решение проблемы).

Решение неравенств

Основные виды неравенств и способы их решения

Равносильные преобразования неравенств

Методы решения неравенств

Определение и свойства логарифма

Логарифмическая функция, её свойства и график

Задания для повторения

№ 1

Преобразуйте выражения, используя свойства логарифмов

Задания для повторения

№ 2

Представьте число в виде логарифма с основанием 2

№ 3

Вычислите:

Задания для повторения

№ 4

Выясните, при каких значениях Х существует логарифм

1 функция __________, знак неравенства _______ при 0 монотонность логарифмической функции возрастает не меняем убывает меняем" width="640"

Решение простейших логарифмических неравенств

При решении простейших логарифмических неравенств

необходимо учитывать ___________________________

• при а 1 функция __________, знак неравенства _______
• при 0

монотонность логарифмической функции

возрастает

не меняем

убывает

меняем

Решите неравенства

Работа в группах: составьте план решения неравенства

Метод подстановки

Решите неравенства самостоятельно

Свойства логарифмической функции

Метод интервалов

Свойства логарифма

Переход к равносильной системе

Проверка

Проверка

Проверка

Проверка

Проверка

0 метод интервалов расщепление неравенства другой способ метод интервалов расщепление неравенства другой способ к основанию 5 в левую часть разность квадратов другой способ – метод интервалов расщепление неравенства другой способ – метод рационализации метод рационализации Теорема: выражения log а b и (b – 1)(а – 1) имеют одинаковые знаки на ОДЗ логарифма" width="640"

Мастер-класс

План решения:

План решения:

• к основанию 5
• в левую часть
• разность квадратов
• произведение суммы и разности двух логарифмов
• произведение двух логарифмов 0 метод интервалов расщепление неравенства другой способ
• метод интервалов
• расщепление неравенства
• другой способ

• к основанию 5
• в левую часть
• разность квадратов
• произведение суммы и разности двух логарифмов
• произведение двух логарифмов 0 метод интервалов расщепление неравенства другой способ –
• метод интервалов
• расщепление неравенства
• другой способ –

метод рационализации

• метод рационализации

Теорема : выражения log а b и ( b – 1)(а – 1 )

Теорема : выражения log а b и ( b – 1)(а – 1 ) имеют одинаковые знаки на ОДЗ логарифма

Доказательство

Теорема : выражения log а b и ( b – 1)(а – 1 ) имеют одинаковые знаки на ОДЗ логарифма

Вывод: в решении неравенства мы можем заменить

учитывая ОДЗ логарифма, если

• в правой части нуль;
• в левой части логарифм или произведение (частное) с логарифмом.

Решите неравенства новым рациональным способом :

План решения:

• выполнить замену логарифма на (a -1) (b-1)
• записать ответ с учётом ОДЗ.

План решения:

• выполнить замену логарифмов на (a -1) (b-1)
• решить неравенство методом интервалов
• записать ответ с учётом ОДЗ.

Задание

Отметка (+)

Теоретическая база

Опорный конспект №1 «Виды неравенств и их решение»

Опорный конспект №2 «Равносильность неравенств»

Опорный конспект №3

«Методы решения неравенств»

Опорный конспект №4

«Понятие логарифма. Логарифмическая функция»

Повторение

• Преобразование выражений с помощью свойств логарифма.

• Представление числа в виде логарифма с данным основанием.

• Вычисление логарифмов.

• Область допустимых значений логарифма (ОДЗ).

Практикум по решение неравенств

Неравенство №1

Неравенство №2

Неравенство №3

Неравенство №4

Неравенство №5

Первичное закрепление метода рационализации

Неравенство №1

Неравенство №2

ИТОГИ: (подсчитай количество +)

«3» 25-49

«4» 50-75

«5» 76-90

Домашнее задание

Какие цели урока выполнили ?

На следующих занятиях мы продолжим знакомиться с рациональными методами решения неравенств

Задание	Отметка (+)
Теоретическая база
Опорный конспект №2 «Равносильность неравенств»
Опорный конспект №3 «Методы решения неравенств»
Опорный конспект №4 «Понятие логарифма. Логарифмическая функция»
Повторение
Вычисление логарифмов.
Неравенство №1
Неравенство №2
Неравенство №3
Неравенство №4
Неравенство №5

Слайд 1)

Цель урока:

• организовать деятельность обучающихся по восприятию, осмыслению, первичному запоминанию и закреплению знаний и способов действий;
• повторить свойства логарифмов;
• обеспечить в ходе урока усвоение нового материала по применению теоремы о логарифмических неравенствах при основании a логарифма для случаев: а)0 < a < 1, б) a > 1;
• создать условие для формирования интереса к математике через ознакомление с ролью математики в развитии человеческой цивилизации, в научно-техническом прогрессе.

Структура урока:

1. Организация начала урока.
2. Проверка домашнего задания.
3. Повторение.
4. Актуализация ведущих знаний и способов действий.
5. Организация усвоения новых знаний и способов действий.
6. Первичная проверка понимания, осмысления и закрепления.
7. Домашнее задание.
8. Рефлексия. Итог урока.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

2. Проверка домашнего задания (Приложение , слайд 2)

3. Повторение (Приложение , слайд 4)

4. Актуализация ведущих знаний и способов действий

– На одном из предыдущих уроков у нас возникла ситуация, при которой мы не смогли решить показательное уравнение, что привело к введению нового математического понятия. Мы ввели определение логарифма, изучили свойства и рассмотрели график логарифмической функции. На предыдущих уроках решали логарифмические уравнения с помощью теоремы и свойств логарифмов. Применяя свойства логарифмической функции, мы смогли решить простейшие неравенства. Но описание свойств окружающего нас мира не ограничивается простейшими неравенствами. Как же поступить в том случае, когда мы получим неравенства, с которыми не справиться с имеющимся объемом знаний? Ответ на этот вопрос мы получим на этом и последующих уроках.

5. Организация усвоения новых знаний и способов действий (Приложение , слайды 5-12).

1) Тема, цель урока.

2) (Приложение , слайд 5)

Определение логарифмического неравенства: логарифмическими неравенствами называют неравенства вида и неравенства, сводящиеся к этому виду.

3) (Приложение , слайд 6)

Для решения неравенства проведем следующие рассуждения:

Получаем 2 случая: a > 1 и 0 < a < 1.
Если a >1, то неравенство log a t > 0 имеет место тогда и только тогда, когда t > 1, значит , т.е. f (x ) > g (x ) (учли, что g (x ) > 0).
Если 0 < a < 1, то неравенство log a t > 0, имеет место тогда и только тогда, когда 0 < t < 1, значит , т.е. f (x ) < g (x ) (учли, что g (x ) > 0 и f (x ) > 0).

(Приложение , слайд 7)

Получаем теорему: если f (x ) > 0 и g (x ) > 0), то логарифмическое неравенство log a f (x ) > log a g (x ) равносильно неравенству того же смысла f (x ) > g (x ) при a > 1
логарифмическое неравенство log a f (x ) > log a g (x ) равносильно неравенству противоположного смысла f (x ) < g (x ), если 0 < a < 1.

4) На практике при решении неравенства переходят к равносильной системе неравенств (Приложение , слайд 8):

5) Пример 1 (Приложение , слайд 9)

Из третьего неравенства следует, что первое неравенство лишнее.

Из третьего неравенства следует, что второе неравенство лишнее.

Пример 2 (Приложение , слайд 10)

Если выполняется второе неравенство, то выполняется и первое (если A > 16, то тем более А > 0). Значит, 16 + 4x – x 2 > 16, x 2 – 4 < 0, x (x – 4) < 0,