Open Library - открытая библиотека учебной информации

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Рассмотрим две плоскости α 1 и α 2 , заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α 1 и α 2 равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

Пример. Определить угол между плоскостями x +2y -3z +4=0 и 2x +3y +z +8=0.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α 1 и α 2 параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .

Примеры.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М 1 и вектора , параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1), лежащую на прямой параллельно вектору .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .

Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t , что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М 1 и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М , лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что , и отсюда

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x , y и z и точка М перемещается по прямой.

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Пусть М 1 (x 1 , y 1 , z 1) – точка, лежащая на прямой l , и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор .

Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,

– канонические уравнения прямой.

Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t . Действительно, из параметрических уравнений получаем или .

Пример. Записать уравнение прямой в параметрическом виде.

Обозначим , отсюда x = 2 + 3t , y = –1 + 2t , z = 1 –t .

Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox . Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox , следовательно, m =0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид

Исключая из уравнений параметр t , получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде. Таким образом, еслив знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям соответствует прямая перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz .

Примеры.

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

Примеры.

Построить прямую, заданную уравнениями

Для построения прямой достаточно найти любые две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Например, точку пересечения с плоскостью xOy получим из уравнений прямой, полагая z = 0:

Решив эту систему, найдем точку M 1 (1;2;0).

Аналогично, полагая y = 0, получим точку пересечения прямой с плоскостью xOz :

От общих уравнений прямой можно перейтик её каноническим или параметрическим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку М 1 на прямой и направляющий вектор прямой.

Координаты точки М 1 получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к обоим нормальным векторам и . Поэтому за направляющий вектор прямой l можно взять векторное произведение нормальных векторов:

Пример. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.

Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, y = 0 и решим систему уравнений:

Нормальные векторы плоскостей, определяющих прямую имеют координаты Поэтому направляющий вектор прямой будет

. Следовательно, l : .

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

Прямая и плоскость.

ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

Основными геометрическими фигурами в пространстве являются точка , прямая и плоскость .

Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Через любую прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Плоскость делит (разбивает) пространство на два полупространства.

Две плоскости в пространстве либо параллельны (т. е. не имеют общих точек), либо пересекаются по прямой.

Прямая либо параллельна плоскости (т. е. не имеет с ней рбщих точек), либо пересекает ее в одной точке, либо целиком лежит в плоскости.

Признак параллельности прямой и плоскости .

Если прямая параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Две прямые в пространстве либо пересекаются (имеют одну общую точку), либо скрещиваются, либо параллельны

(на рис. прямые а и b пересекаются, прямые а , с и d параллельны, прямые b и d скрещиваются).

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну; то же справедливо и для параллельных прямых.
Через две скрещивающиеся прямые невозможно провести плоскость. Признак параллельности прямых .
Две прямые, каждая из которых параллельна третьей прямой, параллельны между собой.
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной (ортогональной, или нормальной) этой плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости (рис.).

Если прямая перпендикулярна двум непараллельным прямым, лежащим в плоскости, то эта прямая перпендикулярна плоскости.

Пусть прямая пересекает плоскость в точке А и перпендикулярна плоскости; отрезок АВ этой прямой (рис.) называется перпендикуляром, проведенным (или опущенным) к этой плоскости из точки В .

Длина перпендикуляра АВ называется расстоянием от точки В до плоскости.
Из произвольной точки вне плоскости можно опустить на плоскость один перпендикуляр и множество наклонных (рис.).

Если АВ — перпендикуляр, ВС — наклонная, то АС — проекция наклонной на плоскость, точка С — основание наклонной, точка А — основание перпендикуляра.
Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Теорема о трех перпендикулярах .
Прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, если она перпендикулярна проекции этой наклонной (рис.). Верно и обратное утверждение.

Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарные. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

Курс геометрии широк, объемен и многогранен: он включает в себя множество различных тем, правил, теорем и полезных знаний. Можно представить, что все в нашем мире состоит из простого, даже наиболее сложное. Точки, прямые, плоскости - все это есть и в вашей жизни. И они поддаются имеющимся в мире законам о соотношении объектов в пространстве. Чтобы доказать это, можно попытаться доказать параллельность прямых и плоскостей.

Прямая - это линия, которая соединяет две точки по кратчайшей траектории, не заканчиваясь и длясь с обоих сторон в бесконечность. Плоскость - это поверхность, образующаяся при кинематическом движении образующей прямой линии по направляющей. Другими словами, если две любые прямые имеют точку пересечения в пространстве, они могут лежать и в одной плоскости. Однако как выразить и прямых, если этих данных недостаточно для подобного утверждения?

Главное условие параллельности прямой и плоскости - чтобы они не имели общих точек. В отличие от прямых, которые могут при отсутствии общих точек являться не параллельными, а расходящимися, плоскость двухмерна, что исключает такое понятие, как расходящиеся прямые. Если данное условие параллельности не соблюдено - значит, прямая пересекает данную плоскость в какой-то одной точке либо лежит в ней полностью.

Что же показывает нам условие параллельности прямой и плоскости нагляднее всего? То, что в любой точке пространства расстояние между параллельными прямой и плоскостью будет константой. При существовании хоть малейшего, в миллиардные доли градуса, уклона прямая рано или поздно пересечет плоскость за счет обоюдной бесконечности. Именно поэтому параллельность прямой и плоскости возможна только при соблюдении этого правила, иначе главное ее условие - отсутствие общих точек - соблюдено не будет.

Что можно добавить, рассказывая про параллельность прямых и плоскостей? То, что если одна из параллельных прямых принадлежит плоскости, то вторая или параллельна плоскости, или тоже принадлежит ей. Как это доказать? Параллельность прямой и плоскости, заключающей в себе прямую, параллельную данной, доказывается очень просто. не имеют общих точек - стало быть, они не пересекаются. А если прямая не пересекается с плоскостью в одной точке - значит, она или параллельна, или лежит на плоскости. Это еще раз доказывает параллельность прямой и плоскости, не имеющих точек пересечения.

В геометрии есть также теорема, которая утверждает, что если существуют две плоскости и прямая линия, перпендикулярна им обеим, то плоскости параллельны. Схожая теорема утверждает, что если две прямые бывают перпендикулярны одной любой плоскости, они обязательно будут параллельны друг другу. Верна ли и доказуема ли параллельность прямых и плоскостей, выраженная данными теоремами?

Оказывается, это так. Прямая, перпендикулярная плоскости, всегда будет строго перпендикулярна любой прямой, которая пролегает в данной плоскости и также имеет с другой прямой точку пересечения. Если прямая имеет подобные пересечения с несколькими плоскостями и во всех случаях является им перпендикулярной - значит, все данные плоскости параллельны друг другу. Наглядным примером может служить детская пирамидка: ее ось будет искомой перпендикулярной прямой, а кольца пирамидки - плоскостями.

Стало быть, доказать параллельность прямой и плоскости достаточно легко. Эти знания получаются школьниками при изучении азов геометрии и во многом определяют дальнейшее усвоение материала. Если уметь грамотно пользоваться полученными в начале обучения знаниями, можно будет оперировать куда большим количеством формул и пропускать ненужные логические связки между ними. Главное - это понимание основ. Если же его нет - то изучение геометрии можно сравнить со строительством без фундамента. Именно поэтому данная тема требует пристального внимания и досконального исследования.

Если прямая параллельна плоскости, то векторы и перпендикулярны (рисунок 16), поэтому ∙ = 0, то есть

Ат + Вп + Ср = 0.

Рисунок 16 – Параллельность прямой и плоскости

Условие перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна плоскости, то векторы и параллельны (рисунок 17), поэтому

Рисунок 17 – Перпендикулярность прямой и плоскости

Пересечение прямой и плоскости. Условие принадлежности прямой плоскости

Для того чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью Ах + Ву + Сz + D = 0, надо решить систему, составленную из этих уравнений. Проще всего это сделать, записав уравнение прямой в параметрическом виде:

Подставляя эти выражения для х , у , z в уравнение плоскости, найдем значение t , при котором прямая и плоскость пересекаются. Возвращая найденное значение t в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Если прямая параллельна плоскости и Ах 0 + Ву 0 + Сz 0 + D = 0, где (x 0 , y 0 , z 0) координаты точки М 0 , принадлежащей прямой, то прямая лежит в плоскости.

Таким образом, одновременное выполнение равенств

является условием принадлежности прямой плоскости .

Вопросы для самопроверки

1 Записать формулу, по которой находится угол между прямой и плоскостью.

2 Записать условие параллельности прямой и плоскости.

3 Записать условие перпендикулярности прямой и плоскости.

4 Записать условия принадлежности прямой плоскости.

Пример 1 . Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку М 0 (2; 0; 1).

Решение

Убедимся, что точка М 0 не принадлежит прямой:

Точка Р (1; – 1; – 1) принадлежит данной прямой, а = (1; 2; – 1) – направляющий вектор этой прямой (рисунок 18).

Рисунок 18 – Иллюстрация к примеру 1

Пусть М (х ; у ; z ) – произвольная точка исходной плоскости, тогда векторы = (х – 2; у ; z – 1), = (– 1; – 1; – 2) и = (1; 2; – 1) компланарны. Значит,

= 0,

5(х – 2) – 3у – (z – 1) = 0.

Таким образом, уравнение исходной плоскости имеет вид

5х – 3у – z – 9 = 0.

Пример 2 . Найти точку М 1 симметричную точке М (3; 1; – 1) относительно плоскости 3х + у + z – 20 = 0.

Решение

Нормальный вектор заданной плоскости = (3; 1; 1). Через точку М проведем перпендикуляр к плоскости (рисунок 19). Уравнение перпендикуляра имеет вид

Рисунок 19 – Иллюстрация к примеру 2

Найдем координаты точки N пересечения прямой ММ 1 и плоскости

Запишем параметрические уравнения прямой

Подставим выражения для х , у , z в уравнение плоскости

3(3 + 3t ) + (1 + t ) + (– 1 + t ) – 20 = 0.

После упрощения получим

11t = 11,

Подставив вместо t в параметрические уравнения прямой 1, найдем координаты проекции точки М на плоскость

x N = 6, y N = 2, z N = 0,

то есть N (6; 2; 0).

Координаты точки М 1 найдем по формулам

, , ,

2x N – x M = 9, = 2y N – y M = 3, = 2z N – z M = 1.

Таким образом, имеем М 1 (9; 3; 1).

Пример 3 . Найти уравнение проекции прямой на плоскость х + у + 2z – 5 = 0.

Решение

Через прямую l проведем плоскость β перпендикулярную плоскости α (рисунок 20). Тогда направляющий вектор = (1; 2; 3) прямой и нормальный вектор = (1; 1; 2) данной плоскости перпендикулярны нормальному вектору β, следовательно, = × .

= = + – = (1; 1; – 1).

Рисунок 20 – Иллюстрация к примеру 3

Уравнение плоскости β запишем в виде

1(х – 1)+ 1(у – 1) – z = 0,

х + у – z – 2 = 0.

Искомую проекцию можно определить общими уравнениями, как линию пересечения двух плоскостей:

Пример 4. Найти расстояние от точки А (1; 3; 5) до прямой .

Решение

Так как по определению расстояние от точки А до прямой – это длина перпендикуляра АВ , проведенного из данной точки к данной прямой, то, определив координаты точки В , вычислим искомое расстояние как расстояние между точками А и В .

Таким образом, задача сводится к нахождению координат основания перпендикуляра, построенного из точки А к прямой. Точка В – это точка пересечения прямой с плоскостью, проходящей через точку А перпендикулярно к прямой. Уравнение этой плоскости имеет вид

6(х – 1)+ 2(у – 3) – (z – 5)= 0,

6х + 2у – z – 7 = 0.

Найдем координаты точки пересечения плоскости с прямой