Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Функциональный анализ

Абсолютно непрерывные функции. Связь между абсолютно непрерывными функциями и интегралом Лебега (КФЭ 394).

Абсолютно непрерывной называется такая функция ¦, заданная на отрезке , что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов (ak,bk) с суммой длин меньшей d, сумма модулей разностей значений функции ¦ в концах интервалов меньше чем e.

Утв. Всякая абсолютно непрерывная ф-я имеет ограниченное изменение.

Теорема. Функция , представляющая собой неопределенный интеграл суммируемой ф-и, абсолютно непрерывна.

Метрическое пр-во. Определение и примеры. Полнота. Теорема о вложенных шарах в метрическом пр-ве.

Полугруппой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция.

Группой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция и существует единица.

Кольцо - множество объектов с двумя бинарными операциями, являющееся группой по одной из операций, и полугруппой по второй операции, причем для элементов кольца справедлив закон ассоциативности и дистрибутивности.

Поле – кольцо с единицей, содержащее элементы отличные от нуля, для каждого из которых определен обратный элемент по “умножению” (являющееся группой по умножению).

Линейным векторным пр-вом над кольцом наз. множество объектов называемых векторами с определенными операциями векторного сложения и умножения вектора на скаляр, такими, что это множество является группой по векторному сложению и справедливы законы ассоциативности и дистрибутивности для умножения на скаляр.

Выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа q из элемент qх+(1-q)у принадлежит Е.

Уравновешенным подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любого х из Е и числа q, по модулю не превосходящего единицы элемент qх принадлежит Е.

Абсолютно выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа любых двух чисел a b: 1³ |a|+|b| элемент aх+bу принадлежит Е.

Поглощающим подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любого х из Х существует число a большее нуля, что для все чисел b по модулю не меньших a найдется элемент у из Е, что х равен bу.

Калибровочной функцией векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): Х®R, что для нее выполнены следующие условия:

Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: "aÎК р(aх)= a×р(х).

Полунормой векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): Х®R, что для нее выполнены следующие условия:

Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: "aÎК ||aх||= |a|×||х||.

Выполнено нер-во треугольника: р(х)+ р(у)³ р(х+у).

Утв. Пусть р(a) – неотр. калибровочная ф-я. Тогда мн-во Еl={х: р(х)0 $d>0, справедливо |¦(х)-¦(у)|0 p(ax)= ap(x).

Однородно-выпуклым фун-лом называется положительно-однородным выпуклый фун-л.

Продолжением лин-ого фун-ла ¦0, определенного на подпространстве X0 действительного лин-ого пр-ва X называется такой лин-ый фун-л ¦, определенный на X, что¦(x)=¦0(x) для всех x из X0.

Подчиненным фун-лу p(x) на действительном лин-ом пр-ве X называется такой фун-л ¦, что ¦(x)£p(x) для всех x из X.

Теорема Хана-Банаха. Пусть p – однородно-выпуклый фун-л, заданный на действительном лин-ом пр-ве X, и пусть X0 – лин-ое подпр-во X. Пусть ¦0 лин-ый фун-л на X0 , подчиненные на X0 p(x). Тогда ¦0 может быть продолжен до лин-ого фун-ла ¦ на X, подчиненного p(x) на всем X.

Теорема Хана-Банаха в комплексном случае. Ее следствия.

Однородно-выпуклым на комплексном лин-ом пр-ве X мы будем называть такой неотрицательный фун-л p, что для всех x,y из X и всех комплексных чисел l справедливы соотношения: p(x+y)£p(x)+p(y), p(lx)=| l|p(x).

Теорема Хана-Банаха в комплексном случае. Пусть p – однородно-выпуклый фун-л на комплексном пр-ве X, и пусть X0 – лин-ое подпр-во X. Пусть ¦0 лин-ый фун-л на X0, такой, что |¦0 (x)|£p(x) для x из X0. Тогда Существует лин-ый фун-л ¦, являющийся продолжением ¦0, такой, что |¦ (x)|£p(x) для x из X.

Непрерывные лин-ые фун-лы на пр-вах Lp (прямая теорема).

Непрерывные лин-ые фун-лы на пр-вах Lp (обратная теорема).

Непрерывные лин-ые фун-лы на гильбертовом пр-ве.

Непрерывные лин-ые фун-лы на С[а,в] (прямая теорема).

Сопряженные операторы.

Сопряженным пр-вом A* к лин-ому топологическому пр-ву A называется совокупность всех непрерывных лин-ых фун-лов на A.

Сопряженным оператором к лин-ому оператору A, отображающему лин. пр-во X в Y называется такой лин. оператор A*, который отображает пр-во Y* в X*.

Теорема Банаха-Штейнгауза.

Существование непрерывных функций с расходящимися рядами Фурье.

Слабая сходимость. * слабая компактность единичного шара в пр-ве, сопряженном к сепарабельному.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.mmonline.ru/

functional analysis) Поведенческая оценка делает упор на использовании эмпирических методологий, применяемых для количественного измерения целевого поведения и многочисленных контролирующих его факторов. В ист. аспекте термин "Ф. а." характеризовался широким разнообразием видов оценки поведения и определялся как "выявление важных, поддающихся контролю, каузальных функциональных зависимостей, относящихся к специфическому набору целевых форм поведения конкретного клиента". Это определение содержит в себе ряд эксплицитных и подразумеваемых характеристик. Осн. компонентом Ф. а. яв-ся каузальные функциональные зависимости. Как таковая, функциональная связь означает лишь ковариацию между двумя переменными. Некоторые функциональные связи яв-ся каузальными, тогда как др. - исключительно корреляционными. Поскольку извлекаемая в ходе Ф. а. информ. преимущественно используется для реализации планов вмешательства, специалист по анализу поведения в большей степени заинтересован в изоляции и количественной оценке каузальных функциональных связей. Каузальные функциональные зависимости могут быть мат. описаны как повышенные условные вероятности: такую зависимость можно предполагать в тех случаях, когда вероятность наблюдения выходящего за границы фоновых колебаний изменения в целевом поведении будет большей при появлении предполагаемого каузального события (его условная вероятность), чем вероятность наблюдения такого изменения в целевом поведении при непоявлении этого события (его безусловная вероятность). В целях ил. предположим, что А - это изменение уровня кровяного давления (целевое поведение), В - изменение в повседневных стрессорах (предполагаемое каузальное событие) и P - вероятность. Если вероятность изменения кровяного давления вслед за изменением в повседневном стрессе (Р[А/В]) будет выше вероятности естественного изменения кровяного давления (Р[А]), отсюда в порядке рабочей гипотезы можно вывести каузальную функциональную зависимость. Каузальные функциональные связи с конкретным целевым поведением могут иметь многие переменные. Напр., нарушение работы систем нейротрансмиттеров ЦНС, утрата ситуативного подкрепления на реакцию, повышение уровней аверсивных последствий поведения, негативные самохарактеристики и сезонные изменения в солнечном освещении - все это может оказывать каузальное влияние на депрессивное состояние конкретного клиента. Наиболее релевантным для планирования поведенческих вмешательств будет подмножество переменных, к-рые оказывают нетривиальное каузальное влияние на целевое поведение. Следовательно, второй отличительной особенностью Ф. а. яв-ся его акцент на установление наиболее важных каузальных функциональных зависимостей. Не все важные каузальные функциональные связи удается контролировать. Значимые события истории жизни (напр., травмирующий опыт) и биолог. свойства (напр., наследственность) яв-ся двумя типами важных каузальных факторов, к-рые не подлежат изменению. Поскольку поведенческие вмешательства планируются для того, чтобы вызывать изменение в целевых формах поведения, Ф. а. будет, как правило, ограничиваться выявлением поддающихся контролю (и часто существующих на данный момент) каузальных функциональных зависимостей. Следующая характеристика Ф. а. - его направленность на выявление каузальных функциональных связей, относящихся к специфическим целевым формам поведения конкретного клиента. Такой идиографический акцент согласуется с бихевиористской аксиомой о существовании важных внутри- и межиндивидных различий в причинах поведения. Наконец, поскольку Ф. а. определяется через целевое поведение, изучению в процессе оценки подвергается широкий спектр каузальных связей. Т. о., тщательному рассмотрению подлежит весь комплекс перестановок антецедент-реакция, реакция-реакция и реакция-последствие, а тж взаимодействий антецедент х х реакция х последствие. Выявление каузальных функциональных связей. Выведение заключения о существовании функциональной связи между контролируемой переменной и целевым поведением требует наличия: а) "признаков причинной обусловленности", таких как повышение условных вероятностей и/или надежной ковариации; б) предшествования по времени (т. е. предполагаемая каузальная переменная предшествует наблюдаемому эффекту, возникающему в целевом поведении); в) исключения возможных альтернативных объяснений наблюдаемой связи. Для определения того, существует ли каузальная функциональная связь между контролируемым событием и целевым поведением, могут использоваться несколько методов оценки. Для эмпирической оценки силы и надежности каузальных функциональных связей может использоваться анализ временных рядов и планы исслед. на одном объекте (испытуемом). Однако реализация этих методологий может быть сопряжена с серьезными трудностями, поскольку они требуют множества измерений и значительных усилий от клиента и обычно позволяют оценивать взаимодействия лишь между малым числом переменных. Применение различных совр. процедур оценки поведения (напр., стандартизованные самоотчеты, схемы наблюдения, поведенческие интервью, схемы самонаблюдения и психофизиологические меры) тж может обеспечивать информ. о каузальных функциональных связях. Напр., клиент может сообщать о высоких уровнях соц. тревожности при заполнении опросника, демонстрировать высокие уровни реактивности частоты сердечных сокращений в процессе разыгрывания ролей в психофизиологической лаборатории и обнаруживать слабое владение умениями соц. взаимодействия в ходе поведенческого интервью. Наличие подобных данных позволяет выдвинуть предположение о том, что соц. тревожность этого клиента обусловлена повышенной активацией симпатической НС в сочетании с дефицитами соц. умений. Однако в силу неспособности проводящего оценку специалиста установить факт предшествования по времени эти каузальные рассуждения допускают возможность альтернативных объяснений. В приведенном примере равно вероятным м. б. также предположение о том, что соц. тревожность и повышенная активация симпатической НС приводят к дефицитам соц. умений. Третий путь установления каузальных функциональных связей состоит в использовании переменных-маркеров (marker variables). Переменной-маркером яв-ся легко реализуемое измерение, надежно связанное с силой каузальной функциональной связи. Примером такого эмпирически валидизированного маркера может служить проба на вдыхание углекислого газа. Пациенты с паническими расстройствами, в сравнении с контрольной группой здоровых людей, значительно чаще проявляют симптомы острой паники при их побуждении неоднократно вдыхать воздух с высокой концентрацией углекислого газа. Т. о., реакция на этот легко реализуемый тест может использоваться как маркер для наблюдения за тем, яв-ся ли комплекс биоповеденческих связей, к-рые характеризуют паническое расстройство, действующим в отношении конкретного клиента. Хотя стратегия использования переменной-маркера может предоставлять ценную информ. в отношении каузальных функциональных связей, на сегодняшний день в литературе по анализу поведения имеется острый дефицит в эмпирически валидизированных переменных-маркерах. В рез-те, для выявлении каузальных функциональных связей оценивающие поведение специалисты в большинстве случаев опираются на невалидизированные переменные-маркеры, такие как отчеты клиентов (напр., клиент с диагностированным ПТСР может сообщить, что воспоминания о пережитом травматическом событии чаще возвращаются в ситуациях возникновения напряженности во взаимоотношениях между супругами). То, насколько точно подобные отчеты клиентов отражают присутствие и силу каузальных функциональных связей, яв-ся предметом непрекращающихся споров. Итоги и дальнейшие перспективы. Ф. а. делает упор на идентификацию и количественную оценку важных контролируемых каузальных функциональных связей для целей планирования вмешательства. Выявление каузальных функциональных связей на основе использования строгих эмпирических процедур, однако остается чрезвычайно трудной задачей для большинства специалистов по оценке поведения. Действительно, в одном из обзоров литературы по данной проблеме обнаружилось, что предваряющие вмешательство Ф. а. проводились в лишь 20% из 156 случаев исслед., опубликованных за период между 1985 и 1988 гг. Обращение к использованию методов Ф. а. может возрасти, когда в распоряжении специалистов окажется большее количество эмпирически валидизированных переменных-маркеров, и когда будут получены ответы на следующие важные вопросы. Во-первых, действительно ли предварительный Ф. а. проблемного поведения приводит к гораздо более эффективному вмешательству? Во-вторых, могут ли оценивающие поведение специалисты, при наличии соответствующей подготовки, надежно выявлять каузальные функциональные связи? В-третьих, в какой мере рез-ты Ф. а. могут распространяться на др. людей, др. формы поведения и условия? В-четвертых, каковы процессы принятия решений, к-рые регулируют проведение Ф. а. специалистами по оценке поведения? См. также Активное исследование, Зависимые переменные, Идиодинамика, Каузальное мышление, Клиническая оценка У. О"Брайен

И интеграла, теория функций , теория операторов , дифференциальное исчисление на бесконечномерных пространствах. Во второй половине XX века функциональный анализ пополнился целым рядом более специальных разделов, построенных на базе классических.

Функциональный анализ находит применение во многих точных науках; многие важнейшие теоретические конструкции описаны языком функционального анализа. В частности, в начале XXI века функциональный анализ широко применяется в теории дифференциальных уравнений , математической физике, теоретической физике (в том числе, квантовой механике , теории струн), теории управления и оптимизации , теории вероятностей , математической статистике , теории случайных процессов и других областях. Теория преобразования Фурье , используемая во многих областях науки и техники (например, в теории обработки изображений), также может рассматриваться как часть функционального анализа.

Некоторые понятия функционального анализа

История

Развитие функционального анализа связано с изучением преобразования Фурье, дифференциальных и интегральных уравнений . Большой вклад в развитие и становление функционального анализа внёс польский математик Стефан Банах .

Изучение представления функций с помощью преобразования Фурье было привлекательно, к примеру, потому, что для определённых классов функций можно континуальный набор точек (значения функции) охарактеризовать счётным набором значений (набором коэффициентов).

Методы функционального анализа быстро приобрели популярность в различных областях математики и физики в качестве мощного инструмента. Значительную роль при этом сыграла теория линейных операторов :

В конце 90-x годов XX в. в копилку функционального анализа добавилась тема, посвящённая вейвлет -преобразованиям. Эта тема пришла из практики как попытка построений новых базисов функциональных пространств, обладающих дополнительными свойствами, к примеру, хорошей скоростью сходимости приближений. Вклад в развитие внесла И. Добеши .

Ключевые результаты

Направление исследований

Функциональный анализ в его современном состоянии включает следующие ветви:

• Мягкий анализ . Аппроксимация для анализа, основанного на топологических группах, топологических кольцах и топологических векторных пространствах.
• Геометрия Банаховых пространств .
• Некоммутативная геометрия . Разработана Аленом Конном , частично построена на аппроксимации Джорджа Маки (George Mackey) в эргодической теории.
• Теория изображений . Связана с квантовой механикой.
• Квантовый функциональный анализ . Исследование пространств операторов вместо пространств функций.
• Нелинейный функциональный анализ . Исследование нелинейных задач, бифуркаций, устойчивости гладких отображений, деформаций особенностей и др. в рамках функционального анализа.

Примечания

См. также

Литература

• Банах С. Теория линейных операций. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. ISBN 5-93972-031-5 .
• Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ. Курс лекций. Киев. Высшая школа. 1990. 600 с.
• Богачев В. И., Смолянов О. Г. Действительный и функциональный анализ. Университетский курс. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009 г. 724 стр. ISBN 978-5-93972-742-6 .
• Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. I: Общая теория. – М.: ИЛ,1962.
• Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. II: Спектральная теория. – М.: Мир,1966.
• Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Т. III: Спектральные операторы. – М.: Мир,1974.
• Иосида К. Функциональный анализ. Пер. с англ. М.: Мир, 1967. 624 с.
• Канторович Л. В. , Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

Посвящается тридцатилетию кафедры функционального анализа БГУ

Функциональный анализ изучает множества, снабженные согласованными между собой алгебраическими и топологическими структурами, и их отображения, а также методы, с помощью которых сведения об этих структурах применяются к конкретным задачам. Как самостоятельная математическая дисциплина функциональный анализ оформился в начале XX века в результате переосмысления и обобщения ряда понятий математического анализа, алгебры и геометрии. Основополагающая монография Стефана Банаха Теория линейных операций была опубликована в 1932 году. За последующие десятилетия функциональный анализ глубоко проник почти во все области математики.

Основой для широких приложений функционального анализа является то, что большинство задач, возникающих в математике и математической физике, касается не отдельных объектов типа функций, мер или уравнений, а, скорее, обширных классов таких объектов, при- чем на этих классах обычно существует естественная структура векторного пространства и естественная топология. Среди областей применения функционального анализа можно указать математическую физику, теорию функций, теорию дифференциальных и интегральных уравнений, теорию вероятностей, методы вычислений, квантовую механику, математическую экономику и ряд других научных направлений.

Естественно, что функциональный анализ стал одной из базовых дисциплин в университетском математическом образовании, опубликовано много учебных пособий и монографий разного уровня сложности. Особенностью данной книги, предназначенной для студентов математических специальностей университетов, является то, что при ее написании ставилась цель отобрать минимум материала, который отражает основные идеи и методы функционального анализа, и вместе с тем может быть достаточно подробно изложен за время, отведенное учебным планом на курс Функциональный анализ и интегральные уравнения.

В книге изложены основы теории меры и интеграла Лебега, метрических и нормированных пространств и операторов в них, основные принципы линейного функционального анализа, основы теории обобщенных функций и топологических векторных пространств. Интегральные уравнения рассматриваются в качестве одного из основных объектов приложений. Соответствующие результаты не выделены в отдельную главу, а распределены по книге и носят характер иллюстраций и следствий общих утверждений, что позволяет демонстрировать плодотворность методов функционального анализа.

Приложение содержит основные факты из общей топологии, которые нужны для более глубокого понимания ряда вопросов и используются в основном в главе IX.

В основу книги положен курс лекций, который в течение ряда лет читается авторами на механико-математическом факультете Белорусского государственного университета. Содержание основного курса изложено в главах I VII, материал глав VIII и IX обычно излагается в спецкурсах.

Первое издание книги вышло в 1984 году. В рецензировании первого издания участвовали член-корреспондент РАН Л. Д. Кудрявцев, профессора Б. И. Голубов и В. М. Говоров, чьи критические замечания и полезные советы способствовали существенному улучшению содержания книги.

При подготовке второго издания были переработаны и расширены некоторые разделы, устранены обнаруженные опечатки и неточности. Мы благодарны рецензентам второго издания академику НАН Беларуси И. В. Гайшуну, член-корреспонденту НАН Беларуси В. И. Корзюку, профессорам П. П. Забрейко и В. Н. Русаку за ценные замечания.

Мы выражем благодарность доцентам кафедры функционального анализа БГУ М. Х. Мазель и Л. Г. Третьяковой, участвовавшим в подготовке и редактировании текста, а также Г. И. Радыно и Е. М. Радыно за техническую помощь при подготовке рукописи.

В книге принята сплошная нумерация параграфов, ссылки внутри параграфа даются без указания его номера. Знаком B обозначается

начало доказательства, а знаком C его окончание. Знак:= читаетсяположим по определению или обозначим.

ТЕОРИЯ МЕРЫ

Ÿ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Новые математическое объекты и понятия вводятся всегда с помощью других, более общих объектов, и определяются как такие более общие объекты, удовлетворяющие некоторым условиям. Более общие объекты, в свою очередь, были введены с помощью еще более общих и т. д. Такая цепочка понятий должна ãäå-òî оканчиваться какие-то объекты должны быть приняты за базовые, которые не вводятся с помощью более общих понятий. Таким базовым понятием в современной математике обычно считается понятие множества. Множество можно понимать как совокупность, набор, собрание некоторых объектов произвольной природы, которые называют элементами данного множества. МножествоX считается заданным, если известны его элемен-

ты, т. е. для любого объекта a выполнено: либоa является элементомX (записываетсяa 2 X ) ëèáîa не является элементомX (записываетсяa 62X ) :

Напомним основные понятия теории множеств.

Åñëè A èB множества, то множествоA называется подмножеством множестваB (обозначаетсяA ½ B ) ; если каждый элемент множестваA является элементом множестваB:

Множество всех подмножеств множества X обозначаетсяP(X ) : Множество, состоящее из одной точкиx; обозначаетсяfxg: Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается;: Для любого множестваX выполнено; ½ X:

Если для элементов множества X задано некоторое свойствоP (x ) , то подмножество множестваX , состоящее из всех элементовx 2 X; для которых свойствоP (x ) выполнено, записывают следующим обра-

çîì: fxj x 2 X; P(x) gèëè fx 2 X: P(x) g:

Заметим, что свойство P (x ) задает подмножество вX только в том

случае, когда это свойство сформулировано так, что для каждого элемента x существует определенный ответ: выполнено это свойство для

данного x или не выполнено. Известны примеры таких формулиро-

вок свойств элементов, для которых только достаточно внимательный анализ показывает, что они не удовлетворяют этому требованию.

П р и м е р (п а р а д о к с Р и ш а р а). Пусть X = N åñòü ìíî-

жество натуральных чисел. Некоторые натуральные числа могут быть заданы с помощью фраз на русском языке. Пусть M есть совокупность

всех натуральных чисел, которые могут быть заданы с помощью фраз, содержащих не более 20 слов, каждое из которых записывается с помощью не более чем 20 букв. Так как всех возможных фраз указанных размеров конечное число, то совокупность M не может совпадать со

всем множеством N .

Пусть a есть наименьшее из натуральных чисел, которые не мо-

гут быть заданы фразой, содержащей менее 20 слов. Последняя фраза содержит менее 20 слов, каждое из которых записывается с помощью не более чем 20 букв, и эта фраза задает число a . Тем самымa

является элементом M . Но, по смыслу этой фразы, числоa не является элементом совокупностиM . Таким образом, указанное свойство

натурального числа не задает подмножество, т. е. это свойство нечетко задано.

Пусть A èB множества; пересечением этих множеств называ-

ется множество A \ B = fxj x 2 A; x 2 Bg: Åñëè(A n ) n >1 последова- тельность множеств, то их пересечением называется множество

An = fxj x 2 An ; n= 1 ;2 ; : : :g:

Аналогично, если (A i ) i2I семейство множеств, занумерованных элементами некоторого множестваI; òî

Ai = fxj x 2 Ai 8i 2 Ig:

Объединением множеств A èB называется множествоA [ B =

Fxj x 2 A èëèx 2 Bg: Åñëè(A i ) i2I семейство множеств, то объединением называется множество

Ai = fxj 9i 2 I;÷òî x 2 Ai g:

Åñëè A ½ S i2I A i , то говорят, что семейство множествA i является

покрытием` множестваX:

Знаком будем обозначать в дальнейшем объединение непересекающихся множеств (дизъюнктное объединение). Таким образом,

f (i ) 2 X i :

непустых множеств

Fxj x 2 A; x 62Bg:Åñëè A ½ B;òî A n B= ;;т. е. разность несет

мало информации о взаимном расположении множеств. Более точно его учитывает симметрическая разность:

A4B = (A n B) (B n A) = (A B) n(A B) :

Для наиболее часто встречающихся множеств будем использовать стандартные обозначения: N множество натуральных чисел; Z

множество целых чисел; Q множество рациональных чисел; R множество действительных чисел; C множество комплексных чи-

ñåë; R+ множество положительных действительных чисел; Rn действительное n -мерное пространство; Cn комплексное n -мерное

пространство; P(X ) множество всех подмножествX:

Декартовым произведением множеств X èY называется множество упорядоченых пар элементов

X £ Y = f(x; y) j x 2 X; y 2 Y g:

Åñëè (X i ) ; i 2 I; семейство множеств, занумерованных элемен-

тами некоторого множества I; то их произведением называется мно-жество i Q 2I X i ; состоящее из семейств элементов, занумерованных эле-

ментами множества I (функций наI ), таких, что Утверждение о том, что произведениеQ X i

всегда не является пустым, принимается в теории множеств как следующая аксиома.

Аксиома выбора. Для всякого семейства непустых множеств X i ; i 2 I; существует функцияf на множествеI такая, что зна-

чение f (i ) принадлежитX i для любогоi 2 I:

Другими словами можно сказать, что аксиома выбора утверждает существование множества, содержащего ровно по одному элементу из каждого множества X i : В теории множеств доказывается, что это утверждение не может быть получено из других, более очевидных свойств. Поэтому утверждения о существовании некоторых объектов,

флексивным, если

доказательства которых основаны на аксиоме выбора, не являются конструктивными они не указывают способа явного построения искомого объекта.

Определение 1. Отношением между множествамиX èY называется любое подмножествоR из декартова произведенияX £ Y: ÅñëèX = Y; то отношениеR называется (бинарным) отношением на множествеX:

П р и м е р ы отношений на множестве R:

1. x6 y;ò. å. f(x; y) 2R £R j x6 yg;

2. y= sin x;ò. å. f(x; y) 2R £R j y= sin xg;

3. x ¡ y 2Z ;ò. å. f(x; y) 2R £R j x ¡ y 2Z g:

Определение 2. ОтношениеR на множествеX называется ре-

(x; x ) 2 R äëÿ8x 2 X ; симметричным, если из

(x; y ) 2 R следует(y; x ) 2 R ; транзитивным, если из(x; y ) 2 R è(y; z ) 2 R следует(x; z ) 2 R: ОтношениеR называется антисиммет-

ричным, если из (x; y ) 2 R è(y; x ) 2 R следуетx = y: Наиболее часто используются следующие виды отношений.

1. Отношение эквивалентности

Отношение R ½ X £X называется отношением эквивалентности

на множестве X; если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Обычно условие(x; y ) 2 R в случае отношения эквивалентности запи-

сывается в виде x » y èëèx » y:

Если на множестве X задано отношение эквивалентности, то мно-

жество X разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных

между собой элементов. Класс эквивалентности, содержащий элемент x; обозначаем[ x ] :

П р и м е р. В качестве X возьмем множество целых чиселZ : Введем отношение эквивалентности:x » y; åñëèx ¡ y = 3 k; k 2 Z : МножествоZ распадается на три класса

= { . . . , -6, -3, 0, 3, 6, . . . } ; = { . . . , -5, -2, 1, 4, 7, . . . } ; = { . . . , -7, -4, -1, 2, 5, . . . }.

2. Отношение порядка

Отношение R на множествеX называется отношением порядка,

если оно транзитивно, рефлексивно и антисимметрично. Обычно условие (x; y ) 2 R в случае отношения порядка записывают в видеx Á y è

читают x предшествуетy èëèy следует заx . 8

Сразу оговорюсь, что я не работаю по специальности и не являюсь экспертом в области теории функций и функционального анализа. Даже в аспирантуре я не учился, хотя и сдал все необходимые экзамены — слишком уж мало у нас зарабатывают молодые ученые, к сожалению (дело было пять лет назад, не знаю, как сейчас). А мне тогда хотелось пить пиво с друзьями и зажигать с девчонками по клубам. Поэтому, сразу после защиты магистерской, со скупой слезой на глазах я отверг предложение об аспирантуре в нашем мухосранском отделении института прикладной математики РАН, и полностью погрузился в унылые будни офиснопланктонского существования.

Ввиду вышесказанного, все ниженаписанное не может и не должно претендовать на строгость, точность или полноту изложения. Повторюсь, это лишь мой личный взгляд на предмет и оно должно расцениваться только как попытка приоткрыть завесу тайны для всех интересующихся — что же происходит там, за пределами “традиционной” высшей математики, матанализа и линейной алгебры, известных многим по первым курсам ВУЗов. Я лишь хочу сделать набросок в самых общих чертах, как выглядит это прекрасное загадочное далёко, на что оно похоже и можно ли его курить. Поэтому, уважаемые господа математики, физики и прочие Шелдоны Куперы, прошу вас строго меня не судить и по возможности понять и простить. К тому же это мой первый пост на dirty.ru. Да, и я буду очень рад вашим замечаниям и дополнениям в комментариях.

Причина глубокой сложности сего предмета в его высочайшей степени абстрактности. Абстрактность здесь настолько суровая, что даже всемогущий Чак Норрис, думаю, способен лажануть. Вы можете возразить, мол, математика — это же и так одна сплошная абстракция: интегралы, производные, матрицы, вот это все. Но нетушки, тут случай гораздо более запущенный. Тот же интеграл, например, можно вообразить в виде закрашенного кусочка под графиком функции:

Представление художника об определенном интеграле.

Аналогичным образом, если постараться, можно нарисовать себе картинку многих математических абстракций — производных, векторов, тензоров и даже, при желании, некоторых алгебраических структур, наподобие групп . Все это вполне себе прекрасно помещается в нашем воображении и дает более-менее правдоподобное представление о рассматриваемом объекте. Но когда дело доходит до функана, как и в случае с квантовой механикой, наступает облом — картинку изучаемых там процессов воображение рисовать наотрез отказывается. Дабы не быть голословным, давайте вместе попробуем состряпать типичный объект, изучаемый этой дисциплиной.

Строительство начнем с простого. Возьмем обычный отрезок — кусочек прямой, ограниченный двумя точками. Можно обозвать его более заумно — часть одномерного пространства, ограниченного с двух сторон. Про размерность пространства, думаю, все имеют определенное представление, останавливаться здесь не будем. Замечу лишь, что наше интуитивное представление о размерности пространства совпадает с точным занудным математическим определением.

Теперь, усложним наш объект — добавим к нему еще одно измерение и ограничим его там точно так же с двух сторон. Мы получили квадрат на плоскости, для понимания происходящего по-прежнему не требуется повышенное содержание пядей во лбу. Добавим еще одно измерение и мы увидим обычный куб. Правда если присмотреться, то обычный он только для нас с вами. А, скажем, для двумерных героев сериала “Симпсоны” трехмерный куб является объектом фантастическим, находящимся за гранью их понимания. Они этому факту даже кусочек хэллоуиновской серии посвятили .

Двигаемся дальше — нарастим еще одно, уже четвертое измерение. На сей раз мы имеем нечто интересное под названием “гиперкуб” или “ тессеракт ”. Вообразить этот объект может уже далеко не всякий. В расплющенном до нашего трехмерного пространства виде эта штука выглядит примерно так:

Плоский тессеракт

Кстати, вы заметили, что сделав всего несколько шагов к построению элементарнейшего объекта функционального анализа, наше воображение уже добралось до своего предела? Вот эти шаги, на картинке:

Рождение гиперкуба.

Ну что, не устали? Тогда двигаемся дальше. Продолжим наращивать измерения — пятое, шестое, седьмое, …, сто тридцатое, …, семь миллионов девятое,..., ЧислоГрэммовое , ЧислоГрэммаПлюсПервое, ….. Наш гиперкуб уже не просто гиперкуб, а супер-пупер-гиперкуб, но даже и эта штука не настолько крутая, чтобы на нее обратили внимание нерды с кафедры функционального анализа.

И что же делать? Как нам добраться до цели? Выход один: сделать количество измерений равным бесконечности.

За последнюю фразу, вообще говоря, на математическом симпозиуме можно получить по щщам с вертухи, т.к. равной бесконечности никакая величина быть не может, ибо бесконечность — это процесс. Но мы не на симпозиуме и я позволю себе пошалить и вдоволь покидаться умными и не очень словами не особо переживая за их точный математический смысл. Да простит меня за эти шалости почтенный Николя Бурбаки .

Итак, мы добрались до финиша, построив какую-то непонятную хреновину в виде куба с бесконечным количеством сторон. Забавный каламбур — несмотря на то, что всю дорогу у нас был куб, полученную сущность математики почему-то именуют шаром. Такой вот шар бесконечномерного пространства, а также само бесконечномерное пространство и действующие в нем всякие фиговины, под названием “отображения” — это и есть та самая неведомая хренотень , которую изучает функан. Такие дела.

Теперь вы имеете самое минимальное представление о том, над чем горбатятся яйцеголовые очкарики на средних и старших курсов мехмата. Дальше, как вы догадываетесь, будет только хуже.

Согласен, функан расширяет сознание похлеще некоторых веществ. Спасибо его основателям во главе со Стефананом Банахом за бесплатный опиум.

Сам функан, как это ни парадоксально, задумывался из желания унифицировать, и тем самым упростить жизнь математиков. Все дело в том, что огромная часть задач, встречающихся на практике, начиная от того, сколько бутылок водки надо купить на компанию из 14ти человек, чтоб всем хватило, заканчивая расчетом двигателя для Боинга, сводятся к различного рода уравнениям — алгебраическим, дифференциальным, интегральным и т.п.. На первый взгляд, может показаться, что все эти уравнения очень разные. Действительно, посмотрите, как они выглядят внешне:

Алгебраическое уравнение

Дифференциальное

Уравнение в частных производных

Интегральное уравнение

Бывают и другие типы уравнений, а так же целые системы из них, и они так же внешне не похожи на представленные здесь. Но это только на первый взгляд.

Дотошные математики давно стали замечать, что несмотря на всю кажущуюся непохожесть, решения абсолютно разных по своей природе уравнений ведут себя настораживающе сходным образом. Например, если А и В — это решения какого либо из приведенных выше примеров, то их сумма А+В тоже будет решением этого примера. И даже не просто сумма, а вот такая штука k*A+m*B , где k и m — это обычные числа (множители), так же сгодится под решение.

И вот, зацепившись за столь незначительный, с первого взгляда, факт, неутомимые матанщики умудрились построить целую теорию, позволяющую изучать все эти совершенно разные уравнения как одно и то же, не вдаваясь в их абсолютно разную природу и происхождение. В конце XIX — начале ХХ века до математиков медленно начало доходить, что во всех этих случаях происходит один и тот же процесс, записываемый символически вот так:

Расшифрую. Берется неизвестное х , затем оно пропускается через какую-то ерундовину F() , а на выходе из нее должна получиться некая заранее известная величина y . Задача — найти х . Кому как, но мне сей процесс удобно представлять при помощи мясорубки, где х — ингредиенты для фарша (неизвестное), F() — сама мясорубка, y — получившийся фарш:

Операторное уравнение 1-го рода

Забавно, но все принципы функционального анализа одинаково хорошо работают как для обычной мясорубки, так и для дифференциального уравнения. Поэтому, производство фарша будет хорошей аналогией для демонстрации прелестей сабжа.

Предметы в бесконечномерном пространстве ведут себя не так как в конечномерном. Например, теряет смысл понятие объема. В самом деле квадрат со стороной 2 имеет площадь (2D-объем) 2х2=4, объем 3D куба со стороной 2 равен 2х2х2=8, 4D, как не сложно догадаться 2х2х2х2=16 и т.д.. Соответственно, объем бесконечномерного куба будет равен бесконечности. В кубе с ребром 1 можно уместить бесконечное количество кубов с ребром 0,5, и при этом они не будут друг друга даже задевать. Классический матан на этом месте сдувается — ему же надо чтоб были бесконечно малые, пределы, вот это вот все (если кто помнит), а какие тут могут быть пределы, если даже бесконечно малый куб при ближайшем рассмотрении оказывается беспредельно большим? Ясен пень, что никаких.

Вообще, функан соотносится с обычным матаном примерно так же, как теория относительности с ньютоновской механикой. Как при малых скоростях Эйнштейн=Ньютон, точно так же и в конечномерных пространствах функан=матан.

Функциональный анализ имеет в своем арсенале несколько очень важных для приложений результатов, благодаря которым решается множество серьезных проблем в современных математике и физике. Жаль, что не все из них я смогу объяснить на примере фарша с мясорубкой.

Вернемся к нашим аналогиям. Итак, фарш — это продукт, который состоит из множества ингредиентов — свинина, говядина, баранина, соль, сало, перец и т.п.. Представим, что таких ингредиентов в нашем фарше смешивается бесконечное количество. Стало быть каждый конкретный рецепт приготовления фарша — это своего рода точка бесконечномерного пространства: если по оси говядины отложить столько-то кг, по оси свинины столько-то, по оси сала столько-то и т.д. мы получим точку в бесконечномерном пространстве по аналогии с трехмерной системой координат, где вместо осей XYZ идет бесконечное количество осей с ингредиентами.

Трехмерная система координат. Может быть расширена до бесконечномерной неограниченным добавлением осей.

Мясорубка — это предмет, который пропускает фарш через себя и тем самым меняет его состав. Пускай у нас будет немного волшебная мясорубка: скажем, она сможет менять количество ингредиентов в фарше — уменьшать объем соли или увеличивать содержание свинины в фарше, или все вместе, или все наоборот.

Если наш фарш математики привыкли именовать “точкой” или “вектором”, то мясорубку они будут называть “оператором”.

Попытаемся сформулировать в кухонных терминах одну из главных теорем функционального анализа — теорему Банаха об обратном операторе. Для солидности приведем ее обычную формулировку (прошу вас в нее не вдумываться — она здесь просто для картинки):

Теорема Банаха об обратном операторе. Пусть X, Y — банаховы пространства, оператор A ∈ L(X, Y) взаимооднозначно отображает X на все Y (т.е. KerA = {0}, ImA = Y). Тогда A непрерывно обратим.

Несмотря на всю суровость и непонятность формулировки, обозначает она лишь то, что если во-первых, мощность мясорубки не бесконечна, и во-вторых, при помощи этой мясорубки теоретически можно получить любой фарш с любой рецептурой, если подобрать правильные компоненты, то по-любому найдется такая волшебная антимясорубка, которая сможет восстанавливать из фарша исходные ингредиенты.

Проще говоря, эта теорема дает условия, при которых у мясорубки существует ей обратная антимясорубка. Естественный возникающий при этом вопрос: на кой оно нам вообще надо? А надо вот зачем. Если помните, то наша основная задача в мясорубочном процессе — это зная мясорубку и получившийся фарш, найти исходные для этого фарша ингредиенты. Иными словами мясорубка и фарш — это известные величины, ингредиенты — неизвестная величина.Если наша мясорубка подходит под условия теоремы, то гарантированно для нее найдется какая-то антимясорубка, пропустив через которую известную величину “фарш”, мы получим искомую величину “мясо”.

Забавно, что теорема не дает никакого понимания, как будет выглядеть сия антимясорубка, и как с ее помощью решить поставленную задачу. Теорема лишь говорит, что решение просто существует и все, какое оно — никто может и не знать. И математиков это вполне устраивает — для них порой узнать существует ли решение задачи или нет, важнее отыскания самого решения. На эту тему у них даже есть самоироничный анекдот:

В гостинице, куда поселились инженер, математик и физик, возник пожар. Инженер выбегает в коридор, видит на стене пожарный шланг, хватает его, открывает воду и заливает очаг возгорания. Физик, быстро прикинув объем горючих веществ, температуру пламени, теплоемкость воды и пара, атмосферное давление и т.п., наливает в стакан из графина строго определенное количество воды и заливает огонь этой водой. Математик выскакивает в коридор, видит на стене огнетушитель, и, обрадовано воскликнув: "Решение существует!", спокойно возвращается в номер...

Второй важный результат функана, который я попытаюсь объяснить на кулинарной основе, это спектральная теорема, являющаяся одним из главных кирпичей в фундаменте квантовой механики. Перед ее изложением я приведу несколько дополнительных понятий: компактное множество, базис пространства и собственные значения и векторы оператора.

Начнем с первого. Помните, выше мы увидели, что любой куб/шар бесконечномерного пространства имеет бесконечный объем? Выясняется, что, однако, не все объекты в функане бесконечны внутри. Самый простой пример — это конечномерный куб в бесконечномерном пространстве — его объем ограничен. Другие примеры конечного объема в бесконечномерном пространстве имеют более сложное строение, похожее на кусок швейцарского сыра, в котором дырок больше, чем самого сыра, из-за чего общий объем получается не таким уж и большим. Такие объекты называются компактными множествами (или компактами). Математикам удобнее считать, что компакты содержат свою границу, т.е. кожуру. Таким образом, типичным представителем компакта можно считать неочищенную от кожицы краковскую колбасу, в которую забыли добавить сало, и теперь вместо белых пятен у нее на срезе красуются пустоты.

Типичное компактное множество

Мясорубка (оператор) тоже может быть компактной. Ее так называют, если она умеет из фарша делать колбасу (по заумному: из шара делает компакт)

Второе нужное нам понятие — это базис. Базис, как не сложно догадаться, является однокоренным к слову “база”, т.е. “основа”. Так вот, базис — это набор ингредиентов, из которых мы собираемся с помощью мясорубки что-нибудь приготовить. Например, по-хорошему, краковская колбаса готовится из свинины, говядины, соли, перца и т.п.. Это и есть базис, на котором мы можем напридумывать кучу рецептов разных колбас. Однако, некоторые недобросовестные производители умудряются приготовить колбасу из совершенно другого набора продуктов: кенгурятины, барсучьего жира, сои, ароматизаторов, идентичных натуральным, и т.п.. На вкус эта “колбаса” будет неотличимой от “настоящей” краковской. Просто, она будет приготовленной на другой элементной базе. Так вот, эти два рецепта математики будут называть разложением краковской колбасы двум по разным базисам. Фактически это одна и та же точка, но только в разных системах координат.

2. Если мы засунем докторскую колбасу, и на выходе будем иметь тоже докторскую, то докторская колбаса тоже будет собственным вектором — состав же не поменялся.

3. А вот если на входе мы имеем краковскую, а на выходе любительскую, то краковская собственным вектором не будет — хим. состав поменялся же.

В общем, собственные вектора — это вектора, на которые оператор действует как множитель: увеличивает или уменьшает его длину (в нашем случае вес). В этих направлениях КПД мясорубки максимален.

Собственное число — это то, на сколько сильно меняется собственный вектор при прохождении через мясорубку. Если мы засунули килограмм свинины, а на выходе получили пять килограмм, то собственное число равно пяти.

Теперь мы обладаем достаточным багажом знаний для осмысления самой спектральной теоремы. В скучной формулировке она звучит следующим образом:

Спектральная теорема. Пусть A является компактным самосопряжённым оператором в гильбертовом пространстве V. Существует ортонормированный базис пространства V, состоящий из собственных векторов оператора A. При этом все собственные значения вещественны.

Не очень понятно, правда? На наших гастрономических аналогиях это означает, что если наша мясорубка умеет делать краковскую колбасу, то из ее собственных векторов можно составить такой базисный набор продуктов, который окажется самым удобным при работе с этой мясорубкой из всех прочих.

Краковскую, напомним, можно приготовить из многих наборов продуктов: из божьей росы и одуванчиков, либо из пингвиньего жира и сои и т.д.. Но проще всего, с точки зрения трудозатрат на раскручивание мясорубки — это из говядины и свинины. И вот такой вот оптимальный набор продуктов для каждой конкретной задачи, и будет называться базисом из собственных векторов мясорубки (оператора). А спектральная теорема лишь указывает на существование и характер этого оптимального набора ингредиентов (базиса из собственных векторов) у отдельных видов мясорубок.

Эти собственные значения и вектора играют огромную роль в изучении физических процессов. Например, различные состояния элементарных частиц в квантовой физике — это различные собственные векторы квантовых мясорубок (операторов) Шредингера. А частота, с которой струна музыкального инструмента издает звук — это собственное значение мясорубки (уравнения), описывающей колебание струны.

Я привел всего пару фактов из функционального анализа, которые оказали огромное влияние на другие разделы научного знания. Конечно, у функана есть множество других, не менее важных достижений о которых не так-то просто доходчиво поведать в двух словах. И количество этих достижений неуклонно растет. Результаты, приведенные выше — это результаты лишь первой половины ХХ века. Современный функан ушел далеко вперед. Сейчас это не просто общая теория разрешимости уравнений. Нынешний функциональный анализ — это основной язык современной математики и физики, на котором формулируются результаты не только теории дифференциальных уравнений, но и результаты алгебры, геометрии, теории вероятностей, квантовой механики, теории струн и так далее. Список можно продолжать очень долго. Любой современный учебник по этим дисциплинам говорит языком бесконечномерных пространств и действующих в них операторах (соответственно языком фаршей и мясорубок). Такие дела.

Я очень надеюсь, что у меня получилось хотя бы немного приоткрыть тайну происходящего в высших разделах математики, и при этом продемонстрировать истинную внутреннюю простоту математической науки, несмотря на внешний пафос ее языка с множество непонятных символов и сложных слов. В общем, учите математику, она ум в порядок приводит (с).