Квадратные уравнения задания с решением. Решение неполных квадратных уравнений. Вывод формулы для решения квадратного уравнения
Урок был запланирован, как подведение итогов достижения ожидаемых результатов, которые предполагалось получить в процессе совместной деятельности учащихся при их обучении, воспитании и развитии. В ходе урока ставились следующие цели.
Образовательные:
- систематизация и обобщение знаний учащихся по теме;
- прививание навыков устного решения квадратных уравнений;
- расширение круга знаний образовательного уровня обучения учащихся.
Развивающая:
- развитие логического мышления, памяти, внимания, умения сравнивать и обобщать.
Воспитательные:
- воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры учеников;
- повышение интереса учащихся к истории математики;
- повышение уровня мотивации обучения и, как следствие, уровня их качества знаний;
- становление и укрепление нравственного облика через русские народные пословицы и поговорки;
- активизация связей родителей со школой.
Чтобы придать показательную значимость темы, на урок были приглашены учителя-математики школы, учащиеся других восьмых классов, родители.
На этом уроке ученики проверяют и показывают свои умения и навыки по этой теме, делают для себя определенные выводы. Это урок повторения, обобщения и закрепления всего материала темы через индивидуальные задания каждому ученику, который стремиться убедить окружающих, и, прежде всего себя, в том, что он может решать квадратные уравнения (КУ) быстро, правильно и красиво.
На уроке создается атмосфера комфортности, учащиеся раскрепощены. Работа проходит в группах (5-6 человек) разного уровня обучения, в духе “математического состязания”. В каждой группе есть консультант, который ведет учет активности каждого ученика, организует ребят к деятельности. Таким образом, развивается чувство взаимопомощи, сотрудничества, создается коллектив. Ученик в группе утверждается как личность.
Контроль усвоенных знаний основан на самоконтроле и осуществляется через индивидуальные оценочные листы путём разноуровневых заданий, дифференцированных в соответствии с посильностью и доступностью индивидуальных возможностей учеников. Выполняя практическую работу, ребята сами распределяют между собой задания, выбирая их “по вкусу”. Таким образом, на уроке, создаются условия для работы на различных уровнях сложности с учетом индивидуальных возможностей. Такая организация учебной деятельности на уроке – лучший способ организовать внимание школьников, у которых нет ни времени, ни желания, ни возможности отвлекаться. Каждый из них – участник учебного процесса.
На протяжении всего урока наблюдается высокая активность ребят. Учитель имеет возможность опросить всех. Плохих оценок на уроке нет. Это урок сотрудничества: ученик – учитель, ученик – ученик.
Исходя из типа урока, целей, содержания учебного материала, отобраны следующие методы обучения :
- словесный (урок проходит в свободном словесном общении);
- наглядный (используется: красочный учебно-методический и дидактический материал; презентация, выполненная в Power Point);
- практический (закрепление происходит в ходе выполнения практических заданий);
- программированный (используется учебный материал с выбором ответа);
- исследовательский и частично поисковый (организация самостоятельной работы учащихся выполняется по ходу проблемных и познавательных заданий, выдвигается коллективная гипотеза).
Считаю, что выбранные методы оптимальны для данного урока и позволяют решать задачи личностно-ориентированного подхода в обучении.
В соответствии с содержанием урока и особенностям класса выбраны следующие формы обучения :
- общеклассная (на определенных этапах урока ведется работа со всем классом, что необходимо для закрепления материала обязательного уровня всеми учениками класса);
- групповая (практические задания рассчитаны на группу ребят);
- индивидуальная (учащиеся работают по своему желанию и своим возможностям).
Для того, чтобы ребята восприняли урок как логически законченный, целостный, ограниченный по времени отрезок учебно-воспитательного процесса, он начинается с постановки обоснования задач и заканчивается подведением итогов и постановкой задач к выполнению следующей творческой домашней работы исследовательского характера.
Для успешности урока используются следующие технические средства и наглядность:
- компьютер и мультимедийный проектор;
- опорные таблицы;
- различный учебно-методический и дидактический материал;
- русские народные пословицы и поговорки, которые украшают урок, характеризуя определенную деятельность учащихся на данном этапе урока;
- листы учета индивидуальных знаний (для самоконтроля и оценки знаний ребят общим мнением группы).
Ход урока
Испокон века
Книга растит человека
I. Организационный момент
Урок – это книга, которую можно с интересом читать, перелистывая страницу за страницей, обогащаясь знаниями, “расти” умом.
Сегодня мы с вами ещё раз повторим и перескажем прочитанную и изученную нами главу “Квадратные уравнения” – очень важную для изучения курса математики средней школы. Покажем не только знания, но и свои умения, навыки по этой теме.
Предлагаю, по ходу урока, собрать всю приобретённую по этой теме информацию в наш “”.
II. Актуализация опорных знаний
§ 1. “Не тот хорош, кто лицом пригож, тот хорош, кто для дела гож ”.
Кто из ребят для дела гож, подтвердит опрос учащихся по теме “Квадратные уравнения” (Приложение 1) . Здесь проверяется обязательный уровень обученности учащихся. Открывается опорный конспект (Приложение 2) и общие формулы корней квадратных уравнений (Приложение 3 , Слайд 1).
III. Способы решения квадратных уравнений
§ 2. “Не работа дорога – а умение” . Здесь ребята показывают знания умелого нахождения корней квадратного уравнения.
Мы с вами выяснили, как решаются неполные квадратные уравнения и определили общую формулу корней квадратных уравнений. Эти способы можно назвать традиционными. Существуют ли другие методы решения квадратных уравнений? Чем хороши знания и умения этих способов решения? Они позволяют быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения, облегчают прохождения многих тем курса математики. Назовите эти способы.
По формуле корней квадратного уравнения, в котором b – четное число (через D 1 ) (Приложение 3 , Слайд 2).
Выделением квадрата двучлена.
Способ подбора корней (по обратной теореме Виета) (Приложение 3 , Слайд 4).
По теореме о сумме коэффициентов (Приложение 3 , Слайд 5).
- Определить удобный способ решения квадратных уравнений:
1). 5x 2 - 11x + 2 = 0; 6). 4 - x 2 = 0; 2). 35x 2 + 2x - 1 = 0; 7). x 2 - 9x + 14 = 0; 3). 9y 2 + 30y + 25 = 0; 8). 2x 2 - 11x + 9 = 0; 4). 3x 2 - 15 = 0; 9). -3x 2 + 7x + 10 = 0. 5). 0,5x 2 - 3,5x = 0;
- Предлагается в группах составить проект (программу, алгоритм) решения квадратных уравнений. Зачитываются проекты каждой группы, и утверждается единый проект решения квадратных уравнений умелым способом:
- Упростить уравнение;
- Проанализировать и определить его вид;
- Выбрать удобный способ его решения;
- Найти корни;
- Выполнить проверку (как можно это сделать?) – необязательный пункт, так как ОДЗ квадратных уравнений – любые числа.
IV. Решение квадратных уравнений
§ 3. “В одиночку не обойдёшь и кочку” – а вместе всё у нас получится.
Ученики в группах совместно распределяют между собой уравнения.
1). 35x 2 + 2x - 1 = 0; 5). 4 - x 2 = 0; 2). 9y 2 + 30y + 25 = 0; 6). x 2 - 9x + 14 = 0; 3). 3x 2 - 15 = 0; 7). 2x 2 - 11x + 9 = 0; 4). 0,5x 2 - 3,5x = 0; 8). -3x 2 + 7x + 10 = 0.
Они самостоятельно организуют свой труд дифференцировано. Оценивая собственные силы, выбирают для себя тот уровень задания, который соответствует их потребностям и возможностям в данный момент. Решают их. Выбирают правильный ответ, т.е. нужную букву, заполняют таблицу и объявляют найденное слово.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Ответ: БХАСКАРЫ .
V. Применение квадратных уравнений при решении задач
Мы научились решать квадратные уравнения. А зачем это нужно? С помощью квадратных уравнений решаются задачи из различных сфер деятельности: в геометрии, в физике, на шахматных турнирах, на полях и даже в кинотеатрах. Задачи на квадратные уравнения впервые встречается в работах индийских учёных в 499 году. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму. Например:
§ 4. Задача Бхаскары (знаменитый индийский математик XII века):
Обезьянок резвых стая,
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На полянке забавлялась.
А двенадцать по лианам
Стали прыгать, повисая.
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?
Решение . x – число обезьян, тогда
(х/8) 2 + 12 = х, х 2 /64 - х + 12 = 0, х 2 - 64х + 768 = 0.
D 1 = 1024 - 768 = 256, х 1 = 16, х 2 = 48.
Ответ : 16 или 48.
VI. Знаки корней
Если уравнение имеет корни, как можно, не решая его, определить их знаки?
Ответ: по состоянию коэффициентов, при условии а > 0 (Приложение 3, Слайд 6).
Ученикам предлагается проанализировать уравнения
1) 5x 2 - 11x + 2 = 0; 3) 9y 2 + 30y + 25 = 0; 2) 35x 2 + 2x - 1 = 0; 4) -3x 2 + 7x + 10 = 0.
и определить знаки корней (представитель от каждой группы защищает коллективный анализ своего решения у доски).
Ответы :
- а > 0, с > 0, следовательно, (х 1 и х 2) – одинаковых знаков и оба положительны (b < 0);
- а > 0, с < 0, следовательно, (х 1 и х 2) – разных знаков, больший по модулю – отрицательный (b > 0);
- а > 0, с > 0, следовательно, (х 1 и х 2) – одинаковых знаков и оба отрицательны (b > 0);
- а > 0 , с < 0, следовательно, (х 1 и х 2) – разных знаков, больший по модулю – положительны (b < 0);
VII. Открытия продолжаются
§ 6. “Век живи – век учись”
Практически все страницы главы “Квадратные уравнения” нашей книги перелистаны. Но процесс познаний бесконечен, как бесконечны открытия, совершаемые человечеством. Итак, открытия продолжаются.
Решите уравнения (Приложение 3 , Слайд 7):
- х 2 - 5х + 6 = 0 (Ответ : 2; 3)
- 6у 2 - 5у + 1 = 0 (Ответ : 1/3; 1/2)
Сравните в этих уравнениях коэффициенты, свободные члены и корни между собой. Какая наблюдается закономерность между ними? Какую гипотезу можно выдвинуть для таких уравнений? (Приложение 3 , Слайд 8).
Ученикам предлагается, в качестве творческой домашней работы, составить несколько пар уравнений такого вида, исследовать их и доказать выдвинутое предположение в общем виде. (Необходимо напомнить свойство произведения взаимно обратных чисел? произведение взаимно обратных чисел равно 1 и использовать его при доказательстве.)
Эпилог: “Добрый конец всему делу венец”.
Учащиеся в группах совместно оценивают работу каждого ученика и выставляют ему предварительную оценку. Листы учёта знаний и рабочие тетради, в которых выполнялась индивидуальная работа, сдаются учителю на проверку. На основании этого, учитель выставляет итоговую оценку каждому ученику.
Лист учёта знаний учащихся
Ф.И. | Опрос по теме | Способы решения | Решение уравнений | Решение задач | Знаки корней | Гипотеза | Коллективная оценка уч-ся | Итоговая оценка учителя | |
1 | |||||||||
2 | |||||||||
3 | |||||||||
4 | |||||||||
5 |
Подведя итоги урока, ученики приходят к выводу: “Чем больше познаём, тем больше понимаем, что знаем мало” (Приложение 3 , Слайд 9).
IХ. Домашнее задание
Индивидуальная творческая работа исследовательского характера по доказательству выдвинутой гипотезы на уроке (№ 647 ).
Групповая работа по составлению проекта “Энциклопедический словарь юного математика ” по теме “Квадратные уравнения и способы их решения”.
Список используемой литературы к уроку
- Глейзер Г.И. История математики в школе 7-8 классы. Пособие для учителей.- М.: Просвещение, 1982.
- Киселёв А.П. Алгебра. Теория квадратных уравнений. Учебно-методическая газета, № 42, 2001.
- Круглов Ю.Г. Русские народные пословицы и поговорки. - М.: Просвещение, 1990.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2000.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра в 6-8 классах. Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 1984.
Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.
Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:
- Не имеют корней;
- Имеют ровно один корень;
- Имеют два различных корня.
В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .
Дискриминант
Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .
Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:
- Если D < 0, корней нет;
- Если D = 0, есть ровно один корень;
- Если D > 0, корней будет два.
Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:
Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:
- x 2 − 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a
= 1, b
= −8, c
= 12;
D
= (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16
Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a
= 5; b
= 3; c
= 7;
D
= 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.
Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a
= 1; b
= −6; c
= 9;
D
= (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.
Дискриминант равен нулю — корень будет один.
Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.
Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.
Корни квадратного уравнения
Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:
Основная формула корней квадратного уравнения
Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0.
Первое уравнение:
x
2 − 2x
− 3 = 0 ⇒ a
= 1; b
= −2; c
= −3;
D
= (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.
D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:
Второе уравнение:
15 − 2x
− x
2 = 0 ⇒ a
= −1; b
= −2; c
= 15;
D
= (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их
\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]
Наконец, третье уравнение:
x
2 + 12x
+ 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.
D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:
Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.
Неполные квадратные уравнения
Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:
- x 2 + 9x = 0;
- x 2 − 16 = 0.
Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:
Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.
Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.
Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:
Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:
- Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
- Если же (−c /a ) < 0, корней нет.
Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.
Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:
Вынесение общего множителя за скобкуПроизведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:
Задача. Решить квадратные уравнения:
- x 2 − 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.
Цель: Применение теоремы Виета и ей обратной теоремы при нахождении коэффициентов в квадратных уравнениях, при решении заданий из вариантов ЕГЭ.
Воспитательные задачи: Способствовать формированию умений, применять приемы сравнений, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию творческих способностей. Побуждать учащихся к самоконтролю и взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.
Оборудование: плакаты, компьютер, экран, видеопроектор.
Ход урока
I. Вводная беседа. Устные упражнения (5 мин.)
Сегодня на уроке мы с вами вместе подведем итог, как важно применение теоремы Виета. В каких упражнениях применяется теорема и как важно ее знать и применять. (Учитель показывает презентацию, в которой сформулированы цели, задачи, структура урока). <Приложение 1 >
Учащиеся формулируют теорему Виета и ей обратную теорему. У доски два ученика записывают формулы теоремы Виета для приведенного и полного квадратных уравнений:
– формулы для полного квадратного уравнения;
– формулы для приведенного квадратного уравнения;
Трое учащихся решают на дополнительных досках индивидуальные задания.
Решите уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:
II. Устные упражнения (5 мин.)
Затем с учащимися решаем устные упражнения:
Найдите корни уравнения:
3. Если в квадратном уравнении сумма коэффициентов a + b + c = 0,
То Используя это свойство, решите уравнения:
4. Теорема Виета применяется при нахождении суммы и произведения корней. Покажите, как это выглядит. Перед вами уравнения:
У какого из данных уравнений:
![](https://i0.wp.com/xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/518701/img8.gif)
III. Лабораторная работа (3 мин .)
Учащимся предлагается выполнить лабораторную работу.
Составьте квадратные уравнения, которые:
- не имеют корней;
- имеет один из корней, равный 0;
- имеет два корня, равных по модулю, но противоположных по знаку;
- имело бы один корень;
- сумма коэффициентов уравнения равна 0.
Учащиеся выполняют это задание по группам (4–5 учащихся в группе).
Пример лабораторной работы:
IV. Работа с таблицей (3 мин.)
Выполнив лабораторную работу, три группы озвучивают свою лабораторную работу, а остальные группы сдают лабораторные работы на плакатах на проверку (2 мин.).
Один из учащихся (Евсеев А.) заранее готовит презентацию об исследовании знаков в приведенных квадратных уравнениях. <Приложение 2 >
Все учащиеся работают с таблицей и отвечают на вопросы о знаках в квадратных уравнениях:
- Когда корни квадратного уравнения имеют одинаковые знаки?
- Когда оба корня положительные, отрицательные?
- Когда корни имеют разные знаки?
- Когда больший по модулю корень отрицателен?
- Когда больший по модулю корень положителен?
Сформулируйте выводы о знаках корней квадратных уравнений.
V. Тренировочные упражнения. Работа у доски (23 мин.)
Следующий этап урока: двое учащихся решают у доски задания о нахождении неизвестных коэффициентов в квадратных уравнениях.
1. В уравнении один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент р
. Ответ:
2. Один из корней уравнения равен 12,5. Найдите другой корень уравнения и коэффициент с
. Ответ:
Такого вида уравнения часто встречаются на экзаменах. Поэтому сейчас Слинько В. предлагает просмотреть презентацию о нахождении коэффициентов в квадратных уравнениях. <Приложение 3 >
А после просмотра презентации учащимся предлагается решить 2 уравнения самостоятельно с последующей проверкой.
1. Разность корней квадратного уравнения равна 2. Найдите с
.
Ответ: c = 35.
2. Разность корней квадратного уравнения равна 6. Найдите с .
Ответ: c = –8,75.
Использование теоремы Виета дает возможность решать более сложные задания.
Трое учащихся решают задания у доски, комментируя и объясняя ход решения:
1. Один из корней уравнения равен 8. Найдите другой корень и коэффициент в
.
Ответ: .
2. Один из корней уравнения равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент с .
Ответ: .
3. В уравнении квадратов корней равна . Найдите с
. Ответ: с
= 9.
VI. Заключение (6 мин.)
В заключение урока подводим итоги. Учащиеся формулируют применение теоремы Виета.
Теорема Виета применяется:
- при нахождении суммы и произведения корней квадратных уравнений;
- при составлении квадратных уравнений;
- при решении уравнений методом подбора;
- при нахождении коэффициентов в уравнении, свободного члена;
- при сравнении знаков коэффициентов в квадратном уравнении.
Один из учащихся рассказывает стихотворение.
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойстве корней теорема Виета.
Что проще скажи постоянства такого?
Умножишь ты корни и дробь уж готова!
В числителе с , в знаменателе а ,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта – что за беда?!
В числителе в , в знаменателе а .
Домашнее задание: № 645, № 667, № 671 из учебника «Алгебра 8», автор Макарычев Ю. Н.
Учитель выставляет оценки за урок, благодарит учащихся за работу на уроке.
Также предлагается посмотреть презентацию о решении квадратных уравнений с параметром, в которой рассматриваются задания повышенной сложности, применяемые на экзаменах и малом ЕГЭ. <
Фарафонова Наталия Игоревна
Тема: Неполные квадратные уравнения.
Цели урока: - Ввести понятие неполного квадратного уравнения;
Научить решать неполные квадратные уравнения.
Задачи урока: - Уметь определять вид квадратного уравнения;
Решать неполные квадратные уравнения.
Уебник: Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. - М. : Просвещение, 2010.
Ход урока.
1. Напомнить учащимся о том, что прежде, чем решать любое квадратное уравнение, необходимо привести его к стандартному виду. Вспомнить определение полного квадратного уравнения: ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.
В данных квадратных уравнениях назвать коэффициенты a, b, c:
а) 2x 2 - x + 3 = 0; б) x 2 + 4x - 1 = 0; в) x 2 - 4 = 0; г) 5x 2 + 3x = 0.
2. Дать определение неполного квадратного уравнения:
Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 называют неполным , если хотя бы один из коэффициентов, bили c, равен 0. Обратить внимание, что коэффициент а ≠ 0. Из уравнений представленных выше, выбрать неполные квадратные уравнения.
3. Виды неполных квадратных уравнений с примерами решений удобнее представить в виде таблице:
- Не решая, определите количество корней для каждого неполного квадратного уравнения:
а) 2x 2 - 3 = 0; б) 3x 2 + 4 = 0; в) 5x 2 - x = 0; г) 0,6x 2 = 0; д) -8x 2 - 4 = 0.
- Решить неполные квадратные уравнения (решение уравнений, с проверкой у доски, 2 варианта):
в) 2x 2 + 15 = 0
г) 3x 2 + 2x = 0
д) 2x 2 - 16 = 0
е) 5(x 2 + 2) = 2(x 2 + 5)
ж) (x + 1) 2 - 4 = 0
в) 2x 2 + 7 = 0
г) x 2 + 9x = 0
д) 81x 2 - 64 = 0
е) 2(x 2 + 4) = 4(x 2 + 2)
ж) (x - 2) 2 - 8 = 0.
6. Самостоятельная работа по вариантам:
1 вариант
а) 3x 2 - 12 = 0
б) 2x 2 + 6x = 0
д) 7x 2 - 14 = 0
2 вариант
б) 6x 2 + 24 = 0
в) 9y 2 - 4 = 0
г) -y 2 + 5 = 0
д) 1 - 4y 2 = 0
е) 8y 2 + y = 0
3 вариант
а) 6y - y 2 = 0
б) 0,1y 2 - 0,5y = 0
в) (x + 1)(x -2) = 0
г) x(x + 0,5) = 0
д) x 2 - 2x = 0
е) x 2 - 16 = 0
4 вариант
а) 9x 2 - 1 = 0
б) 3x - 2x 2 = 0
г) x 2 + 2x - 3 = 2x + 6
д) 3x 2 + 7 = 12x+ 7
5 вариант
а) 2x 2 - 18 = 0
б) 3x 2 - 12x = 0
г) x 2 + 16 = 0
д) 6x 2 - 18 = 0
е) x 2 - 5x = 0
6 вариант
б) 4x 2 + 36 = 0
в) 25y 2 - 1 = 0
г) -y 2 + 2 = 0
д) 9 - 16y 2 = 0
е) 7y 2 + y = 0
7 вариант
а) 4y - y 2 = 0
б) 0,2y 2 - y = 0
в) (x + 2)(x - 1) = 0
г) (x - 0,3)x = 0
д) x 2 + 4x = 0
е) x 2 - 36 = 0
8 вариант
а) 16x 2 - 1 = 0
б) 4x - 5x 2 = 0
г) x 2 - 3x - 5 = 11 - 3x
д) 5x 2 - 6 = 15x - 6
Ответы к самостоятельной работе:
1 вариант: а)2, б)0;-3; в)0; г)корней нет; д);
2 вариант а)0; б)корней; в); г); д); е)0;- ;
3 вариант а)0;6; б)0;5; в)-1;2; г)0;-0,5; д)0;2; е)4
4 вариант а); б)0;1,5; в)0;3; г)3; д)0;4 е)5
5 вариант а)3; б)0;4; в)0; г)корней нет; д) е)0;5
6 вариант а)0; б)корней нет; в) г) д)е)0;-
7 вариант а)0;4; б)0;5; в)-2;1; г)0;0,03; д)0;-4; е)6
8 вариант а) б)0; в)0;7; г)4; д)0;3; е)
Итоги урока: Сформулировано понятие «неполное квадратное уравнение»; показаны способы решения разных видов неполных квадратных уравнений. В ходе выполнения различных заданий отработаны навыки решения неполных квадратных уравнений.
7. Домашнее задание: №№ 421(2), 422(2), 423(2,4), 425.
Дополнительное задание:
При каких значениях a уравнение является неполным квадратным уравнением? Решите уравнение при полученных значениях a:
а) x 2 + 3ax + a - 1 = 0
б) (a - 2)x 2 + ax = 4 - a 2 = 0