Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Формулы Френеля

Определим связь между амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн. Рассмотрим вначале падающую волну с нормальной поляризацией. Если падающая волна имеет нормальную поляризацию, то и отраженная и преломленная волны будут иметь такую же поляризацию. В справедливости этого можно убедиться, анализируя граничные условия на поверхности раздела сред.

Если иметь составляющую с параллельной поляризацией, то граничные условия не будут выполняться ни в одной точке граничной поверхности.

Плоскость падения волны параллельна плоскости (ZoY). Направления распространения отраженной и преломленной волн также будут параллельны плоскости (ZoY) и у всех волн угол между осью X и направлением распространения волны будет равен: , а коэффициент

В соответствии со сказанным выше вектор всех волн параллелен оси X, а векторы параллельны плоскости падения волны (ZoY), поэтому у всех трёх волн проекция вектора на ось X равна нулю:

Вектор падающей волны определяется выражением:

Вектор падающей волны имеет две составляющие:

Уравнения для векторов отраженной волны имеют вид:

Уравнения для векторов поля преломленной волны имеют вид:

Для нахождения связи между комплексными амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн воспользуемся граничными условиями для касательных составляющих векторов электромагнитного поля на границе раздела сред:

Поле в первой среде на границе раздела сред в соответствии с (1.27) будет иметь вид:

Поле во второй среде определяется полем преломленной волны:

Так как вектор всех трёх волн параллелен границе раздела сред, а касательная составляющая вектора есть составляющая, то граничные условия (1.27) можно представить в виде:

Падающая и отраженная волны являются однородными, поэтому для них справедливы равенства:

где - волновое сопротивление первой среды.

Так как поля любой из рассматриваемых волн связаны между собой линейной зависимостью, то для преломления волн можно записать:

где - коэффициент пропорциональности.

Из выражений (1.29) получим проекции векторов:

Подставив равенства (1.31) в уравнения (1.28) и учтя равенство (1.30), получим новую систему уравнений:

Отражение и преломление на границе двух идеальных диэлектриков

У идеальных диэлектриков потери отсутствуют и. Тогда диэлектрические проницаемости сред - действительные величины и коэффициенты Френеля тоже будут действительными величинами. Определим, при каких условиях падающая волна без отражения переходит во вторую среду. Это происходит при полном прохождении волны через границу раздела сред и коэффициент отражения в этом случае должен быть равен нулю:

Рассмотрим падающую волну с нормальной поляризацией.

Коэффициент отражения будет равен нулю: в случае, если равен нулю числитель в формуле (1.34):

Однако, следовательно, для волны с нормальной поляризацией при любых углах падения волны на границу раздела. Это значит, что волна с нормальной поляризацией всегда отражается от границы раздела сред.

Волны с круговой и эллиптической поляризацией, которые можно представить в виде суперпозиции двух линейно поляризованных волн с нормальной и параллельной поляризацией, будут отражаться при любых углах падения на границу раздела сред. Однако соотношение между амплитудами нормально и параллельно поляризованных составляющих в отраженной и преломленной волнах будут иным, чем в падающей волне. Отражённая волна будет линейно поляризованной, а преломленная - эллиптически поляризованной.

Рассмотрим падающую волну с параллельной поляризацией.

Коэффициент отражения будет равен нулю: в случае, если равен нулю числитель в формуле (1.35):

Решив уравнение (1.37), получим:

Таким образом, падающая волна с параллельной поляризацией без отражения проходит через границу раздела, если угол падения волны определяется выражением (1.38). Этот угол называется угол Брюстера.

Определим, при каких условиях будет происходит полное отражение падающей волны от границы раздела двух идеальных диэлектриков. Рассмотрим случай, когда падающая волна распространяется в более плотной среде, т.е. .

Известно, что угол преломления определяется из закона Снеллиуса:

Так как: , то из выражения (1.38) следует, что:.

При некотором значении угла падения волны на границу раздела сред получаем:

Из равенства (1.40) видно, что: и преломленная волна скользит вдоль границы раздела сред.

Угол падения волны на границу раздела сред, определяемый уравнением (1.40), называется критическим углом:

Если угол падения волны на границу раздела сред больше критического: , то. Амплитуда отражённой волны, независимо от вида поляризации, равна по амплитуде падающей волне, т.е. происходит полное отражение падающей волны.

Остается выяснить, проникает ли электромагнитное поле во вторую среду. Анализ уравнения преломленной волны (1.26) показывает, что преломленная волна представляет собой плоскую неоднородную волну, распространяющуюся во второй среде вдоль границе раздела. Чем больше различие проницаемости сред, тем быстрее уменьшается поле во второй среде при удалении от границы раздела. Поле практически существует в достаточно тонком слое у границы раздела сред. Подобная волна называется поверхностной.

Фо́рмулы Френе́ля определяют амплитуды и интенсивности преломлённой и отражённой электромагнитной волны при прохождении через плоскую границу раздела двух сред с разными показателями преломления . Названы в честь Огюста Френеля , французского физика, который их вывел. Отражение света, описываемое формулами Френеля, называется френелевским отражением .

Формулы Френеля справедливы в том случае, когда граница раздела двух сред гладкая, среды изотропны, угол отражения равняется углу падения, а угол преломления определяется законом Снеллиуса . В случае неровной поверхности, особенно когда характерные размеры неровностей одного порядка с длиной волны , большое значение имеет диффузное отражение света на поверхности.

При падении на плоскую границу различают две поляризации света. s -Поляризация - это поляризация света, для которой напряжённость электрического поля электромагнитной волны перпендикулярна плоскости падения (т.е. плоскости, в которой лежат и падающий, и отражённый луч). p

Формулы Френеля для s -поляризации и p -поляризации различаются. Поскольку свет с разными поляризациями по-разному отражается от поверхности, то отражённый свет всегда частично поляризован, даже если падающий свет неполяризован. Угол падения, при котором отражённый луч полностью поляризован, называется углом Брюстера ; он зависит от отношения показателей преломления сред, образующих границу раздела.

s -Поляризация

Углы падения и преломления для μ = 1 {\displaystyle \mu =1} связаны между собой законом Снеллиуса

Отношение n 21 = n 2 n 1 {\displaystyle n_{21}={\cfrac {n_{2}}{n_{1}}}} называется относительным показателем преломления двух сред.

Обратите внимание, коэффициент пропускания не равен | S | 2 | P | 2 {\displaystyle {\frac {|S|^{2}}{|P|^{2}}}} , так как волны одинаковой амплитуды в разных средах несут разную энергию.

p -Поляризация

p -Поляризация - поляризация света, для которой вектор напряжённости электрического поля лежит в плоскости падения.

Обозначения сохраняются с предыдущего раздела; выражения после стрелок вновь соответствуют случаю μ 1 = μ 2 {\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}}

Поляризованный и естественный свет. Плоская волна называется линейнополяриз о ванной или плоскополяризованной) если колебания вектора Й происходят в одной плоскости, перпендикулярной фронту волны (ее называют плоскостью поляризации волны). Монохроматическая плоская волна либо линейно поляризована, либо поляризована по эллипсу или по кругу (см. разд. 4.5). Эллиптически поляризованная волна представляет собой сумму двух взаимно пер», пендикулярных плоских волн, между колебаниями которых имеется

разность фаз. Естественный свет, испущенный нагретыми телами, является неполяризованным, поскольку направление колебаний вектора Р в каждой точке быстро и хаотически меняется. Смесь естественного и поляризованного света называется частично поляризованным светом.

Поляризатором называется устройство, поглощающее свет, поляризованный в одной плоскости, но пропускающее свет, поляризованный в перпендикулярной плоскости. Плоскость поляризации прошедшего света называют плоскостью пропускания поляризатора. Если естественный свет пропустить через поляризатор, то он станет линейно поляризованным, а его интенсивность уменьшится в два раза (если нет поглощения в плоскости пропускания поляризатора). Если линейно поляризованный свет интенсивностью пропустить через поляризатор, плоскость пропускания которого составляет угол а с плоскостью колебаний световой волны, то интенсивность прошедшей волны будет составлять

(закон Малюса). Объясняется это тем, что линейно поляризованный свет с амплитудой представляет собой сумму двух линейно поляризованных волн: волна, поляризованная в плоскости пропускания (ее амплитуда равна , пройдет через поляризатор без изменений, а вторая волна будет поглощена.

Отражение и преломление волн. Формулы Френеля.

Интенсивность и поляризация отраженной и преломленной волн зависят от того, как поляризована падающая волна. Запишем граничные условия на поверхности раздела двух сред:

Здесь нижние индексы обозначают тангенциальную и нормальную компоненты, а верхние индексы соответствуют падающей, отраженной и преломленной волнам. Для плоской монохроматической волны

соотношения для волновых векторов (рис. 75) имеют вид:

где . Из этих соотношений получим закон отражения. В случае, когда приходим к закону Снеллиуса: Если то происходит полное отражение: оказывается мнимым, т.е. амплитуда прошедшей волны экспоненциально затухает с характерной глубиной проникновения

Амплитуды прошедшей и отраженной волн зависят от поляризации падающей волны. Приведем результат для отраженных волн:

(формулы Френеля). Здесь первая формула относится к волне, поляризованной в плоскости падения, а вторая - к волне, поляризованной в перпендикулярной плоскости. Видно, что при угле падения, удовлетворяющем условию волна, поляризованная в плоскости падения, отражаться не будет. Так как в этом случае , то угол падения, при котором отраженная волна будет линейно поляризованной перпендикулярно плоскости падения (угол Брюстера), удовлетворяет соотношению:

Качественное объяснение состоит в том, что в этом случае направление колебаний диполей (указаны на рисунке), возбужденных во второй среде волной, поляризованной в плоскости падения, оказывается параллельным направлению отраженной волны (отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны"). Но осциллятор не излучает волну в направлении своих колебаний (см. разд. 4.5).

В случае нормального падения различие между поляризациями пропадает:

Видно, что при отражении от оптически более плотной среды фаза колебаний сменяется на противоположную (точнее, к фазе добавляется ).

Отношение отраженной энергии к энергии падающей называется коэффициентом отражения. При нормальном падении он равен

Коэффициент пропускания равен Коэффициенты зависят только от относительного показателя преломления двух сред.

Пример. Просветление оптики. Коэффициент отражения стекол в оптических приборах невелик (несколько процентов). Тем не менее важной задачей

является уменьшение отражения для определенных длин волн. Для этого на поверхность наносят прозрачную пленку с показателем преломления показатель преломления стекла) и толщиной Оптическая разность хода между лучами, отраженными от поверхностей пленки, равна (изменение фазы при отражении учитывать не надо, так как оно происходит у каждого из лучей), а коэффициенты отражения на этих поверхностях будут близки друг к другу (см. формулу (15)). В результате произойдет почти полное гашение отраженного света.

Оптически анизотропные среды. В случае сред, обладающих анизотропией, векторы в общем случае уже не параллельны друг другу. Линейная связь между ними носит тензорный характер, т.е. каждая из компонент вектора Й выражается в виде линейной комбинации всех трех компонент вектора . Существуют три взаимно перпендикулярные оси, называемые диэлектрическими осями кристалла, для которых Значения называются главными диэлектрическими проницаемостями кристалла. Мы рассмотрим только случай одноосных кристаллов, у которых две из трех равны друг другу Выделенная ось называется оптической осью кристалла.

При распространении в одноосном кристалле плоской волны вводят главное сечение кристалла - плоскость, проходящую через оптическую ось и вектор нормали к фронту волны. Оказывается, что распространение линейно поляризованной световой волны зависит от направления ее поляризации. Волна, поляризованная перпендикулярно главному сечению, называется обыкновенной. Скорость распространения такой волны не зависит от направления;

колебания векторов направлены одинаково; направление распространения энергии (т.е. вектора Пойнтинга ) перпендикулярно фронту волны. Волна, поляризованная параллельно главному сечению, называется необыкновенной. Скорость ее распространения зависит от угла между и оптической осью (при угле между ними она равна Колебания векторов происходят в разных направлениях, вектор Пойнтинга не перпендикулярен к фронту волны (нормаль к фронту волны параллельна ). Разница между обыкновенным и необыкновенным лучами исчезает только при распространении света параллельно оптической оси.

При падении света на поверхность кристалла он разделяется на обыкновенный и необыкновенный лучи, линейно поляризованные перпендикулярно друг другу и имеющие разные показатели преломления. Закону преломления (см. разд. 5.1) подчиняется направление распространения фронта необыкновенной волны, сам же луч может выйти из плоскости падения. Даже при нормальном падении луча на кристалл, вырезанный под углом к оптической оси, происходит пространственное разделение лучей (рис. 76). Положения

фронтов указаны черточками, положение оптической оси - стрелкой. Необыкновенный луч поляризован в плоскости чертежа, обыкновенный перпендикулярно ей.

Для получения и анализа поляризованного света используют поляризационные призмы (николи), разрезанные под углом к распространению лучей таким образом, что обыкновенный луч испытывает на плоскости разреза полное отражение и уходит в сторону, а необыкновенный луч проходит прямо. Другой способ получения поляризованного света основан на различии в поглощении обыкновенного и необыкновенного лучей в некоторых веществах. При пропускании света через дихроичную пластину (пластинку турмалина, поляроид) обыкновенный луч поглощается, и наружу выходит линейно поляризованный необыкновенный луч.

Для анализа характера поляризации света изучают зависимость интенсивности от ориентации николя. Если интенсивность не меняется, то свет либо естественный, либо поляризован по кругу. Чтобы различить эти случаи, используют пластинку в четверть волны, или компенсатор. Толщина пластинки подобрана так, чтобы разность хода между обыкновенным и необыкновенным лучами равнялась Сдвиг фаз между взаимно перпендикулярными колебаниями станет равным либо нулю, либо и круговая поляризация превратится в линейную.

Вращение плоскости поляризации. При распространении в некоторых веществах (их называют оптически активными) линейно поляризованного света происходит вращение плоскости поляризации. Угол поворота пропорционален толщине пластины: где а - вращение на единицу длины. В зависимости от направления поворота различают право- и левовращающие вещества. Пример - пластинка кварца, вырезанная перпендикулярно оптической оси (кварц бывает как лево-, так и правовращающим). В растворах оптически активного вещества в неактивном растворителе а пропорционально концентрации. Молекулы активных веществ обладают асимметрией по отношению к правому и левому вращению по типу спирали. Явление вращения плоскости поляризации можно охарактеризовать как круговое двойное лучепреломление. Волны, поляризованные по кругу в разные стороны, распространяются с разными скоростями, т.е. разность фаз между ними меняется. Сумма двух таких колебаний представляет собой линейное колебание, направление которого зависит от разности фаз.

Искусственная анизотропия. При помещении многих изотропных тел в однородное электрическое поле у них возникает одноосная анизотропия с оптической осью, ориентированной параллельно напряженности поля (электр о оптический эффект Керра). Разность хода между обыкновенным и необыкновенным лучами при распространении света перпендикулярно Р пропорциональна квадрату напряженности:

где I - толщина слоя вещества, а В называется постоянной Керра. Искусственная анизотропия возникает в тех случаях, когда поляризуемость молекул вещества зависит от их ориентации по отношению к полю. Аналогичный эффект возникает при помещении некоторых веществ в магнитное поле (эффект Коттона-Мутона). Он описывается соотношением

При помещении неактивных веществ в сильное магнитное поле может возникнуть оптическая активность для света, распространяющегося параллельно вектору Й (магнитное вращение плоскости поляризации). Вращение на единицу длины в этом случае (для и парамагнетиков) пропорционально величине магнитной индукции: где называется постоянной Верде.

ФРЕНЕЛЯ ФОРМУЛЫ - определяют отношения амплитуды, фазы и состояния отражённой и преломлённой световых волн, возникающих при прохождении света через границу раздела двух прозрачных , к соответствующим характеристикам падающей волны. Установлены О. Ж. Френелем в 1823 на основе представлений об упругих поперечных колебаниях эфира. Однако те же самые соотношения - Ф. ф.- следуют в результате строгого вывода из эл--магн. теории света при решении ур-ний Максвелла.

Пусть плоская световая волна падает на границу раздела двух сред с показателями преломления п 1 и п 2 (рис.). Углы j, j" и j"" есть соответственно углы падения, отражения и преломления, причём всегда n 1 sinj=n 2 sinj"" (закон преломления) и |j|=|j"| (закон отражения). Амплитуду электрического вектора падающей волны А разложим на составляющую с амплитудой А р , параллельную плоскости падения, и составляющую с амплитудой A s , перпендикулярную плоскости падения. Аналогично разложим амплиту ды отражённой волны R на составляющие R p и R s , а преломлённой волны D - на D p и D s (на рис. показаны только р -составляющие). Ф. ф. для этих амплитуд имеют вид

Из (1) следует, что при любом значении углов j и j"" знаки А р и D p совпадают. Это означает, что совпадают и фазы, т. е. во всех случаях преломлённая волна сохраняет фазу падающей. Для компонент отражённой волны (R p и R s )фазовые соотношения зависят от j, n 1 и n 2 ; если j=0, то при n 2 >n 1 фаза отражённой волны сдвигается на p.

В экспериментах обычно измеряют не амплитуду световой волны, а её интенсивность, т. е. переносимый ею поток энергии, пропорциональный квадрату амплитуды (см.

Лит.: Борн М., Вольф Э., Основы оптики, пер. с англ., 2 изд., М., 1973; Калитеевский Н. И., Волновая оптика, 2 изд., М., 1978. Л. Н. Капорский .