Сахалинской области

«Профессиональное училище № 13»

Методические указания к самостоятельной работе обучающихся

Александровск-Сахалинский

Приближенные значения величин и погрешности приближений: Метод указ. / Сост.

ГБОУ НПО «Профессиональное училище №13», - Александровск-Сахалинский, 2012

Методические указания предназначены для обучающихся всех профессий, изучающих курс математики

Председатель МК

Приближенное значение величины и погрешности приближений.

На практике мы почти никогда не знаем точных значений величин. Никакие весы, как бы точны они ни были, не показывают вес абсолютно точно; любой термометр показывает температуру с той или иной ошибкой; никакой амперметр не может дать точных показаний тока и т. д. К тому же наш глаз не в состоянии абсолютно правильно прочитать показания измерительных приборов. Поэтому, вместо того чтобы иметь дело с истинными значениями величин, мы вынуждены оперировать с их приближенными значениями.

Тот факт, что а" есть приближенное значение числа а , записывается следующим образом:

а ≈ а" .

Если а" есть приближенное значение величины а , то разность Δ = а - а" называется погрешностью приближения *.

* Δ - греческая буква; читается: дельта. Далее встречается еще одна греческая буква ε (читается: эпсилон).

Например, если число 3,756 заменить его приближенным значением 3,7, то погрешность будет равна: Δ = 3,756 - 3,7 = 0,056. Если в качестве приближенного значения взять 3,8, то погрешность будет равна: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.

На практике чаще всего пользуются не погрешностью приближения Δ , а абсолютной величиной этой погрешности |Δ |. В дальнейшем эту абсолютную величину погрешности мы будем называть просто абсолютной погрешностью . Считают, что одно приближение лучше другого, если абсолютная погрешность первого приближения меньше абсолютной погрешности второго приближения. Например, приближение 3,8 для числа 3,756 лучше, чем приближение 3,7, поскольку для первого приближения
|Δ | = | - 0,044| =0,044, а для второго |Δ | = |0,056| = 0,056.

Число а" а с точностью до ε , если абсолютная погрешность этого приближения меньше чем ε :

|а - а" | < ε .

Например, 3,6 есть приближенное значение числа 3,671 с точностью до 0,1, поскольку |3,671 - 3,6| = | 0,071| = 0,071< 0,1.

Аналогично, - 3/2 можно рассматривать как приближенное значение числа - 8/5 с точностью до 1/5 , поскольку

< а , то а" называется приближенным значением числа а с недостатком .

Если же а" > а , то а" называется приближенным значением числа а с избытком.

Например, 3,6 есть приближенное значение числа 3,671 с недостатком, поскольку 3,6 < 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .

Если мы вместо чисел а и b сложим их приближенные значения а" и b" , то результат а" + b" будет приближенным значением суммы а + b . Возникает вопрос: как оценить точность этого результата, если известна точность приближения каждого слагаемого? Решение этой и подобных ей задач основано на следующем свойстве абсолютной величины:

|а + b | < |a | + |b |.

Абсолютная величина суммы любых двух чисел не превышает суммы их абсолютных величин.

Погрешности

Разница между точным числом x и его приближенным значением a называется погрешностью данного приближенного числа. Если известно, что | x - a | < a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.

Отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения называется относительной погрешностью приближенного значения. Относительную погрешность обычно выражают в процентах.

Пример. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.

Действительно,

|1 - 20| = |-19| = 19,

|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,

Упражнения для самостоятельной работы.

1. С какой точностью можно измерять длины с помощью обыкновенной линейки?

2. С какой точностью показывают время часы?

3. Знаете ли вы, с какой точностью можно измерять веc тела на современных электрических весах?

4. а) В каких пределах заключено число а , если его приближенное значение с точностью до 0,01 равно 0,99?

б) В каких пределах заключено число а , если его приближенное значение с недостатком с точностью до 0,01 равно 0,99?

в) В каких пределах заключено число а , если его приближенное значение с избытком с точностью до 0,01 равно 0,99?

5 . Какое приближение числа π ≈ 3,1415 лучше: 3,1 или 3,2?

6. Можно ли приближенное значение некоторого числа с точностью до 0,01 считать приближенным значением того же числа с точностью до 0,1? А наоборот?

7 . На числовой прямой задано положение точки, соответствующей числу а . Указать на этой прямой:

а) положение всех точек, которые соответствуют приближенным значениям числа а с недостатком с точностью до 0,1;

б) положение всех точек, которые соответствуют приближенным значениям числа а с избытком с точностью до 0,1;

в) положение всех точек, которые соответствуют приближенным значениям числа а с точностью до 0,1.

8. В каком случае абсолютная величина суммы двух чисел:

а) меньше суммы абсолютных величин этих чисел;

б) равна сумме абсолютных величин этих чисел?

9. Доказать неравенства:

a) |a - b | < |a | + |b |; б)* |а - b | > ||а | - | b ||.

Когда в этих формулах имеет место знак равенства?

Литература:

1. Башмаков (базовый уровень) 10-11 кл. – М.,2012

2. Башмаков, 10 кл. Сборник задач. - М: Издательский центр «Академия», 2008

3. , Мордкович:Справочные материалы: Книга для учашихся.-2-е изд.-М.: Просвещение, 1990

4. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. .-М.: Педагогика,1989

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«КУРЛЕКСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»

Томского района
«Математика

в науке и жизни»

«Урок  семинар» по теме:

«Приближенные значения величин»
(О прикладной направленности абсолютной и относительной погрешностей)
Алгебра 7 класс

Учитель математики:

Серебренникова Вера Александровна

Курлек - 2006

«Математика в науке и жизни»
«Язык математики –

это всеобщий язык науки»
Тема: Приближенные значения величин. (Обобщающий урок - семинар)

Цель: 1. Обобщить знания учащихся по данной теме с учетом прикладной направленности (в физике, трудового обучения);

2. Умение работать в группах и принимать участие в выступлениях

Оборудование: 2 линейки с делениями в 0,1см и 1см, термометр, весы, раздаточный материал (лист, копирка, карточки)
Вступительное слово и представление участников семинара (учитель)

Рассмотрим один из важных вопросов – приближенные вычисления. Несколько слов о его важности.

При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближенными значениями различных величин.

Напомню, в каких случаях получаются приближенные значения:

1. 
   при подсчете большого количества предметов;
2. 
   при измерениях с помощью приборов различных величин (длины, массы, температуры);
3. 
   при округлении чисел.

Обсудим вопрос: «Когда качество измерения, вычисления будет выше ».

Участниками семинара сегодня будут 3 группы: математики, физики и представители производства (практики).

(Представляют группы «старшие», называют свою фамилию).

Оценивать работу семинара будут гости и компетентное жюри от общественности, где есть «математики», «физики» и «практики».

Оцениваться будет работа групп и отдельных участников баллами.
План работы (на доске)

1. Выступления

2. Самостоятельная работа

3. Викторина

4. Итоги
. Выступления.

1. 
   Мерой оценки отклонения приближенного значения от точного

служат абсолютная и относительная погрешности. Рассмотрим их определения с точки зрения прикладной направленности.
2
Абсолютная погрешность показывает на сколько

приближенное значение отличается от точного, т.е. точность приближения.

Относительная погрешность оценивает качество измерения и

выражается в процентах.

Если х ≈ α, где х – точное значение, а α – приближенное, то абсолютная погрешность будет: │х – α │, а относительная: │х – α │∕ │α│%

Примеры:

1 . Найдем абсолютную и относительную погрешности приближенного значения, полученного в результате округления числа 0,437 до десятых.

Абсолютная погрешность: │0,437 – 0,4 │= │0,037│= 0,037

Относительная погрешность: 0,037: │0,4│= 0,037: 0,4 = 0,0925 = 9,25%

1. 
   Найдем по графику функции у = х 2 приближенное значение

функции при х = 1,6

Если х = 1,6, то у ≈ 2,5

Найдем по формуле у = х 2 точное значение у: у = 1,6 2 = 2,56;

Абсолютная погрешность: │2,56 – 2,5 │= │0,06│= 0,06;

Относительная погрешность: 0,06: │2,5│= 0,06: 2,5 = 0,024 = 2,4%

Если сравнить два результата относительной погрешности 9,25% и

2,4%, то во втором случае качество вычисления будет выше, результат будет точнее.
Отчего зависит точность приближенного значения?

Она зависит от многих причин. Если приближенное значение получено при измерении, то его точность зависит от прибора, с помощью которого выполнялось измерение. Никакое измерение не может быть выполнено совершенно точно. Даже сами меры заключают в себе погрешность. Изготовить совершенно точные метровые линейки, килограммовую гирю, литровую кружку чрезвычайно трудно и закон допускает при изготовлении некоторую погрешность.

Например, при изготовлении метровой линейки допускается погрешность 1мм. Само измерение тоже вводит неточность, погрешность в гирях, весах. Например на линейке, которой мы пользуемся, нанесены деления через 1мм, т.е. 0,1см, значит точность измерения этой линейкой до 0,1 (≤ 0,1). На медицинском термометре деления через 0,1 0 , значит точность до 0,1 (≤ 0,1). На весах деления нанесены через 200г, значит точность до 200 (≤ 200).

Округляя десятичную дробь до десятых точность будет до 0,1 (≤ 0,1); до сотых – точность до 0,01 (≤ 0,01).

Точнейшие в мире измерения производятся в лабораториях Института

Всегда ли можно найти абсолютную и относительную погрешности?

Не всегда можно найти абсолютную погрешность, так как неизвестно

точное значение величины, а отсюда и относительную погрешность.

В этом случае принято считать что абсолютная погрешность не превосходит цены деления шкалы прибора. Т.е. если например цена деления линейки 1мм = 0,1см, то абсолютная погрешность будет с точностью до 0,1 (≤ 0,1) и будет определена только оценка относительной погрешности (т.е. ≤ какому числу %).

Часто приходится с этим встречаться в физике при демонстрации опытов, при выполнении лабораторных работ.

Задача. Найдем относительную погрешность при измерении длины листа тетради линейками: одна – с точностью до 0,1см (деления через 0,1см); вторая - с точностью до 1см (деления через 1см).

ℓ 1 = 20,4см ℓ 2 = 20,2см

0,! : 20,4 = 0,0049 = 0,49% 1: 20,2 = 0,0495 = 4,95%

Говорят, относительная погрешность в первом случае до 0,49%(т.е ≤ 0,49%), во втором случае до 4,95% (т.е. ≤ 4,95%).

В первом случае точность измерения выше. Мы говорим не о величине

относительной погрешности, а ее оценке.

На производстве при изготовлении деталей мы пользуемся

штангенциркулем (для измерения глубины; диаметра: наружного и внутреннего).

Абсолютная погрешность при измерении этим прибором составляет точность до 0,1мм. Найдем оценку относительной погрешности при измерении штангенциркулем:

d = 9,86см = 98,6мм

0,1: │98,6│= 0,1: 98,6 = 0,001 = 0,1%
Относительная погрешность с точностью до 0,1% (т.е. ≤ 0,1%).

Если сравнить с предыдущими двумя измерениями, то получается точность измерения выше.

Из трех практических примеров можно сделать вывод: что точных значений быть не может, производя измерения в обычных условиях.

Но чтобы точнее выполнить измерение нужно взять измерительный прибор цена деления которого как можно меньше.

4
. Самостоятельная работа по вариантам, с последующей проверкой (под копирку).

Вариант 1	Вариант 2
1. Построить график функции у = х 3	1. Построить график функции у = х 2
если х = 1,5, то у ≈ если х = -0,5, то у ≈ б) у = 4 при х ≈	Пользуясь графиком закончить запись: если х = 2,5, то у ≈ если х = -1,5, то у ≈ б) у = 5 при х ≈
2. Округлить число 0,356 до десятых и найти: a) абсолютную погрешность приближения; б) относительную погрешность приближения	2. Округлить число 0,188 до десятых и найти: a) абсолютную погрешность приближения; б) относительную погрешность приближения

(Жюри проверяет самостоятельные работы)

. Викторина. (За каждый правильный ответ – 1 балл)

В каких примерах значения величин точные, а в каких приближенные?

Примеры:

1. В классе 36 учеников

2. В рабочем поселке 1000 жителей

3. Железнодорожный рельс имеет длину 50 м

4. Рабочий получил в кассе 10 тысяч рублей

5. В самолете ЯК – 40 120 пассажирских мест

6. Расстояние между Москвой и Санкт – Петербургом 650 км

7. В килограмме пшеницы содержится 30000 зерен

8.Расстояние от Земли до Солнца 1,5 ∙ 10 8 км

9. Один из школьников на вопрос о том, сколько учащихся учится в школе, ответил: «1000», а другой ответил «950». Чей ответ точнее, если в школе учится 986 учащихся?

10. Буханка хлеба весит 1 кг и стоит 2500 р.

11. Тетрадь в 12 листов стоит 600 р. и имеет толщину 3 мм

v. Подведение итогов, награждение

Абсолютное значение разности между приближенным и точным (истинным) значением величины называется абсолютной погрешностью приближенного значения. Например , если точное число 1,214 округлить до десятых, то получим приближенное число 1,2 . В данном случае абсолютная погрешность приближенного числа составит 1,214 – 1,2 = 0,014 .

Но в большинстве случаев точное значение рассматриваемой величины неизвестно, а только приближенное. Тогда и абсолютная погрешность неизвестна. В этих случаях указывают границу , которую она не превышает. Это число называют граничной абсолютной погрешностью. Говорят, что точное значение числа равно его приближенному значению с погрешностью меньшей, чем граничная погрешность. Например , число 23,71 есть приближенное значение числа 23,7125 с точностью до 0,01 , так как абсолютная погрешность приближения равна 0,0025 и меньше 0,01 . Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,01 .*

(* Абсолютная погрешность бывает и положительной и отрицательной. Например , 1,68 ≈ 1,7 . Абсолютная погрешность равна 1,68 – 1,7 ≈ - 0,02 . Граничная погрешность всегда положительна).

Граничную абсолютную погрешность приближенного числа «а » обозначают символом Δа . Запись

х ≈ а ( Δа )

следует понимать так: точное значение величины х находится в промежутке между числами а +Δа и а –Δа, которые называют соответственно нижней и верхней границей х и обозначают Н Гх и В Гх .

Например , если х ≈ 2,3 ( 0,1), то 2,2 < х < 2,4 .

Наоборот, если 7,3 < х < 7,4, то х ≈ 7,35 ( 0,05).

Абсолютная или граничная абсолютная погрешность не характеризуют качество выполненного измерения. Одна и та же абсолютная погрешность может считаться значительной и незначительной в зависимости от числа, которым выражается измеряемая величина.

Например , если измеряем расстояние между двумя городами с точностью до одного километра, то такая точность вполне достаточна для этого измерения, в то же время при измерении расстояния между двумя домами одной улицы такая точность будет недопустимой.

Следовательно, точность приближенного значения величины зависит не только от величины абсолютной погрешности, но и от значения измеряемой величины. Поэтому мерой точности служит относительная погрешность.

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к величине приближенного числа. Отношение граничной абсолютной погрешности к приближенному числу называют граничной относительной погрешностью ; обозначают её так: Δа/а . Относительную и граничную относительную погрешности принято выражать в процентах .

Например , если измерения показали, что расстояние между двумя пунктами больше 12,3 км , но меньше 12,7 км , то за приближенное значение его принимают среднее арифметическое этих двух чисел, т.е. их полусумму , тогда граничная абсолютная погрешность равна полуразности этих чисел. В данном случае х ≈ 12,5 ( 0,2). Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,2 км , а граничная

Точные и приближенные значения величин

В большинстве случаев числовые данные в задачах приближенные. В условиях задач могут встретиться и точные значения, к примеру результаты счета небольшого числа предметов, некоторые константы и др.

Для обозначения приближенного значения числа употребляют знак приближенного равенства ; читают так: «приближенно равно» (не следует читать: «приблизительно равно»).

Выяснение характера числовых данных – важный подготовительный этап при решении любой задачи.

Приводимые ниже указания могут помочь в распознании точных и приближенных значений чисел:

Точные значения	Приближенные значения
1.Значения ряда переводных множителœей перехода от одних единиц измерения к другим (1м = 1000 мм; 1ч = 3600 с) Многие переводные множители измерены и вычислены со столь высокой (метрологической) точностью, что практически их считают сейчас точными.	1. Большинство значений математических величин, заданных в таблицах (корни, логарифмы, значения тригонометрических функций, а также применяемые на практике значение числа и основания натуральных логарифмов (число е))
2.Масштабные множители. В случае если, к примеру, известно, что масштаб равен 1:10000, то числа 1 и 10000 считают точными. В случае если указано, что в 1см – 4 м, то 1 и 4 – точные значения длины	2. Результаты измерений. (Некоторые основные константы: скорость света в вакууме, гравитационная постоянная, заряд и масса электрона и др.) Табличные значения физических величин (плотность вещества, температуры плавления и кипения и др.)
3.Тарифы и цены. (стоимость 1 кВт∙ч электроэнергии – точное значение цены)	3. Проектные данные также являются приближенными, т.к. их задают с некоторыми отклонениями, которые нормируются ГОСТами. (К примеру, по стандарту размеры кирпича: длина 250 6 мм, ширина 120 4 мм, толщина 65 3 мм) К этой же группе приближенных значений чисел относятся размеры, взятые с чертежа
4.Условные значения величин (Примеры: абсолютный нуль температуры -273,15 С, нормальное атмосферное давление 101325 Па)
5.Коэффициенты и показатели степени, встречающиеся в физических и математических формулах ( ; %; и т.д.).
6. Результаты счета предметов (количество аккумуляторов в батарее; число пакетов молока, выпущенных заводом и подсчитанных фотоэлектрическим счетчиком)
7. Заданные значения величин (К примеру, в задаче, «Найти периоды колебаний маятников длиной 1 и 4 м» числа 1 и 4 можно считать точными значениями длины маятника)

Выполните следующие задания, ответ оформите в виде таблицы:

1. Укажите, какие из приведенных значений точные, какие – приближенные:

1) Плотность воды (4 С)………..………………………..……………1000кг/м 3

2) Скорость звука (0 С)………………………………………………….332 м/с

3) Удельная теплоемкость воздуха….……………………………1,0 кДж/(кг∙К)

4) Температура кипения воды…………….……………………………….100 С

5) Постоянная Авогадро….…………………………………..…..6,02∙10 23 моль -1

6) Относительная атомная масса кислорода…………………………………..16

2. Найдите точные и приближенные значения в условиях следующих задач:

1) У паровой машины бронзовый золотник, длина и ширина которого соответственно 200 и 120 мм, испытывает давление 12 МПа. Найдите силу, необходимую для перемещения золотника по чугунной поверхности цилиндра. Коэффициент трения равен 0,10.

2) Определите сопротивление нити накала электрической лампы по следующим маркировочным данным: «220В, 60 Вт».

3. Какие ответы – точные или приближенные – получим при решении следующих задач?

1) Какова скорость свободно падающего тела в конце 15-й секунды, считая промежуток времени указанным точно?

2) Какова скорость шкива, если его диаметр 300 мм, частота вращения 10 об/с? Данные считайте точными.

3) Определите модуль силы . Масштаб 1 см – 50Н.

4) Определите коэффициент трения покоя для тела, находящегося на наклонной плоскости, если тело начинает равномерно скользить по наклону при = 0,675, где - угол наклона плоскости.

Введение

Абсолютная погрешность - является оценкой абсолютной ошибки измерения. Вычисляется разными способами. Способ вычисления определяется распределением случайной величины. Соответственно, величина абсолютной погрешности в зависимости от распределения случайной величины может быть различной. Если - измеренное значение, а - истинное значение, то неравенство должно выполняться с некоторой вероятностью, близкой к 1. Если случайная величина распределена по нормальному закону, то обычно за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

Существует несколько способов записи величины вместе с её абсолютной погрешностью.

· Обычно используется запись со знаком ±. Например, рекорд в беге на 100 метров, установленный в 1983 году, равен 9,930±0,005 с .

· Для записи величин, измеренных с очень высокой точностью, используется другая запись: цифры, соответствующие погрешности последних цифр мантиссы, дописываются в скобках. Например, измеренное значение постоянной Больцмана равно 1,380 6488 (13)?10 ?23 Дж/К , что также можно записать значительно длиннее как 1,380 6488?10 ?23 ±0,000 0013?10 ?23 Дж/К .

Относительная погрешность - погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или среднему значению измеряемой величины (РМГ 29-99):.

Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.

Приближённое значение

С избыточным и недостаточным? В процессе вычислений весьма часто приходится иметь дело с приближенными числами. Пусть А - точное значение некоторой величины, называемое в дальнейшем точным числом А. Под приближенным значением величины А, или приближенным числам, называется число а , заменяющее точное значение величины А. Если а < А, то а называется приближенным значением числа А по недостатку. Если а > А, - то по избытку. Например, 3,14 является приближенным значением числа р по недостатку, а 3,15 - по избытку. Для характеристики степени точности данного приближения пользуются понятием погрешности или ошибки.

Погрешностью Да приближенного числа а называется разность вида

Да = А - а,

где А - соответствующее точное число.

Из рисунка видно, что длина отрезка АВ заключена между 6 см и 7 см.

Значит, 6 - приближенное значение длины отрезка АВ (в сантиметрах) > с недостатком, а 7 - с избытком.

Обозначив длину отрезка буквой у, получим: 6 < у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина отрезка АВ (см. рис. 149) ближе к 6 см, чем к 7 см. Она приближенно равна 6 см. Говорят, что число 6 получилось при округлении длины отрезка до целых.