Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

1.Математическое моделирование и использование ЭВМ в решении прикладных задач.

В современной науке и технике важную роль играет математическое моделирование, заменяющее эксперименты с реальными объектами экспериментами с ихматематическими моделями .

Математические модели являются одним из основных инструментов познания человеком явлений окружающего мира. Под математическими моделями понимают основные закономерности и связи, присущие изучаемому явлению. Это могут быть формулы или уравнения, наборы правил или соглашений, выраженные в математической форме. Испокон веков в математике, механике, физике и других точных науках естествознания для описания изучаемых ими явлений использовались математические модели. Так, законы Ньютона полностью определяют закономерности движения планет вокруг Солнца. Используя основные законы механики, относительно нетрудно составить уравнения, описывающие движение космического аппарата, например, от Земли к Луне. Однако получить их решение в виде простых формул не представляется возможным.

Применение компьютеров для математического моделирования изменило само понятие "решить задачу". До этого исследователь удовлетворялся написанием математической модели. А если ему еще удавалось доказать, что решение (алгоритм) в принципе существует, то этого было достаточно, если априори полагать, что модель адекватно описывает изучаемое явление. Поскольку, как правило, нет простых формул, описывающих поведение модели, а, стало быть, и объекта, который описывается моделью, то единственный путь – свести дело к вычислениям, применению численных методов решения задач.

В настоящее время выработалась технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Такой метод исследования называют вычислительным экспериментом.

Математическое моделирование и вычислительный эксперимент применяются сегодня не только в точных науках и технике, но и в экономических науках, социологии и многих других областях, традиционно считавшихся далекими от математики и компьютеров. Зачем нужен вычислительный эксперимент? Проектирование сложных объектов, например, атомных, космических и многих других требует проведения колоссальных объемов вычислений. Например, для решения многих прикладных задач аэродинамики и ядерной физики требуется выполнения

более арифметических операций. Современные технологии зачастую используют предельные режимы, которые требуют учета сложных нелинейных факторов. Зачастую требуется изучить поведение объекта в

экстремальных и аварийных ситуациях, что практически невозможно путем натурного эксперимента, например, при изучении ядерных взрывов, последствий техногенных катастроф и во многих других ситуациях.

2. Вычислительный эксперимент и его этапы.

Широкое применение ЭВМ в математическом моделировании, достаточно мощная теоретическая и экспериментальная база позволяют говорить о вычислительном эксперименте как о новой технологии и методологии в научных и прикладных исследованиях.

Вычислительный эксперимент – это эксперимент над математической моделью объекта на ЭВМ, который состоит в том, что по одним параметрам модели вычисляются другие её параметры и на этой основе делаются выводы о свойствах явления, описываемого математической моделью.

В проведении вычислительного эксперимента участвует коллектив исследователей - специалисты в конкретной предметной области, математики теоретики, вычислители, прикладники, программисты. Это

и обработке результатов. Здесь можно заметить аналогию с работами по

контрольных экспериментов, проведение серийных опытов, обработки экспериментальных данных и их интерпретация и т.д. Таким образом, проведение крупных комплексных расчётов следует рассматривать как эксперимент, проводимый на ЭВМ или вычислительный эксперимент.

физического, химического и т. д. эксперимента экспериментом вычислительным.

Вычислительный эксперимент, по сравнению с натурным, значительно дешевле и доступнее, его подготовка и проведение требует меньшего времени, его легко переделывать, он даёт более подробную информацию. Кроме того, в ходе вычислительного эксперимента выявляются границы

применимости математической модели, которые позволяют прогнозировать эксперимент в естественных условиях. Поэтому использование вычислительного эксперимента ограничивается теми математическими моделями, которые участвуют в проведении исследования. По этой причине вычислительный эксперимент не может заменить полностью эксперимент натурный, и выход из этого положения состоит в их разумном сочетании. В этом случае в проведении сложного эксперимента используется широкий спектр математических моделей: прямые задачи, обратные задачи, задачи оптимизации, задачи идентификации.

Использование вычислительного эксперимента как средства решения сложных прикладных проблем имеет в случае каждой конкретной задачи и каждого конкретного научного коллектива свои специфические особенности. Тем не менее, всегда чётко просматриваются общие характерные основные черты, позволяющие говорить о единой структуре этого процесса. В настоящее время технологический цикл вычислительного эксперимента принято подразделять на ряд технологических этапов. И хотя такое деление в значительной степени условно, оно позволяет лучше понять сущность этого метода проведения теоретических исследований.

Таким образом, как и любой эксперимент, вычислительный эксперимент следует определенным правилам проведения. Схематически этапы вычислительного эксперимента можно представить следующим образом:

Рис. В. 1. Схема вычислительного эксперимента

Основу вычислительного эксперимента составляет триада: модель – метод (алгоритм) – программа . Сначала строится с некоторыми допущениямифизическая модель объекта. Физическая модель-это ряд ограничений, предположений и упрощений, наложенных на рассматриваемое явление. Далее описываетсяматематическая модель . Математическая модель-это уравнения, система уравнений или множество систем уравнений, которые с максимальной возможностью описывают физическую

модель. Затем необходимо решить эти системы уравнений. Как уже говорилось, обычно приходится применять численные методы . Под численным методом понимается совокупностьдискретной модели , реализуемой на компьютере, ивычислительного алгоритма , позволяющего решить дискретизированную задачу. Для реализации численного метода необходимо разработатьпрограмму на одном из языков программирования или применить готовый пакет прикладных программ. В настоящее время существуют пакеты прикладных программ, такие как MathCAD, Matlab, Maple, Mathematica и другие, позволяющие решить большинство практически встречающихся задач. Однако грамотная постановка задачи, рациональный выбор метода решения и правильная интерпретация результатов требуют серьезных знаний численных методов. После отладки программы производятсявычисления на компьютере (обычно требуется провести много вариантов вычислений, для чего необходимо планировать вычислительный эксперимент) ианализ результатов . После получения результатов исследуется соответствие результатов вычислительного эксперимента процессу функционирования реального объекта и при необходимости уточняются компоненты схемы вычислительного эксперимента (рис. В.1) до получения удовлетворительных результатов.

3. Численные методы

В широком смысле под численным методом, как уже говорилось выше, понимается совокупность дискретной модели, реализуемой на компьютере, и вычислительного алгоритма, позволяющего решить дискретизированную задачу.

Одной и той же математической модели можно поставить в соответствие множество дискретных моделей и вычислительных алгоритмов, т. е. численных методов. При выборе численного метода необходимо учитывать две группы требований:

дискретная модель должна быть адекватной математической модели;

численный метод должен быть корректным и реализуемым на компьютере.

Для обеспечения адекватности дискретная модель должна обладать свойствами сходимости численного метода, выполнения дискретных аналогов сохранения и качественно правильного поведения решения .

Сходимость численного метода, например, означает, что при уменьшении шага разбиения интервала интегрирования точность численного интегрирования возрастает. Различные математические модели являются выражением физических законов сохранения, поэтому для дискретной модели законы сохранения также должны выполняться. Качественно правильное поведение дискретной модели означает, что из-за дискретного характера поведения модели не теряются некоторые детали поведения реальной системы.

Корректность численного метода означает, что дискретная задача должна быть однозначно разрешимой и устойчивой к погрешностям исходных данных и погрешностям вычислений.Реализуемость численного метода на компьютере ограничена объемом памяти и быстродействием компьютера. Вычислительный алгоритм должен предъявлять разумные требования к ресурсам компьютера. Например, математически корректный метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений абсолютно неприменим для решения реальных задач: если принять, что каждая арифметическая операция выполняется за10 − 6 с, то для решения системы с 20 неизвестными методом Крамера потребуется более миллиона лет. В то же время простейшим методом Гаусса эта система будет решена за доли секунды.

В узком смысле подчисленными методами понимают методы приближённого решения математических задач, сводящиеся к выполнению конечного числа элементарных операций над числами. В качестве элементарных операций фигурируют арифметические действия, выполняемые обычно приближённо, а также вспомогательные операции - записи промежуточных результатов, выборки из таблиц и т.п. Числа задаются ограниченным набором цифр в некоторой позиционной системе счисления (десятичной, двоичной и т.п.). Таким образом, в численных методах числовая прямая заменяется дискретной системой чисел (сеткой); функция непрерывного аргумента заменяется таблицей её значений в сетке; операции анализа, действующие над непрерывными функциями, заменяются алгебраическими операциями над значениями функций в сетке.

Целью курса "Численные методы" является изучение теоретических основ и получение практических навыков решения вычислительных задач и проведения вычислительного эксперимента.

Cтраница 1

Методы численного моделирования играют важную роль в анализе и разработке технических устройств, характеризующихся переносом тепла и течением жидкости. Такие методы, воплощенные в удобных вычислительных программах, представляют собой реальную альтернативу экспериментальным измерениям благодаря быстрой реализации и экономичности. Численный анализ может содержать реальные данные о геометрических характеристиках, свойствах материалов, граничных условиях и предоставлять полную и подробную информацию о полях температуры, скорости и других величинах, а также о связанных с ними потоках. На практике в некоторых случаях анализ и проектирование устройств могут быть целиком выполнены с использованием вычислительной программы. В ситуациях, когда желательно провести некоторые экспериментальные исследования, численное моделирование может быть использовано в планировании и разработке экспериментов для существенного уменьшения их стоимости, а также для расширения и обогащения результатов.  

Методы динамического численного моделирования имитируют поведение модельных систем в заданных условиях и в этом отношении численное моделирование сходно с реальным экспериментом.  

Методы численного моделирования молекулярных систем (численного эксперимента) находят все более широкое применение в практике физико-химических исследований. Однако даже при помощи самой совершенной вычислительной техники невозможно детально моделировать поведение систем, состоящих более чем из нескольких тысяч взаимодействующих частиц. Наиболее удобными объектами моделирования являются системы, состоящие из сравнительно небольшого числа молекул. В настоящей работе пойдет речь о моделировании кластеров из молекул воды, причем основное внимание будет уделено структурным характеристикам таких кластеров.  

Глава 5 посвящена методам численного моделирования течений в пограничных слоях, струях и каналах.  

В монографии излагаются научная концепция, вычислительные технологии и методы численного моделирования, предназначенные для решения проблем повышения безопасности и эффективности функционирования магистральных трубопроводных систем с использованием современных достижений вычислительной механики и математической оптимизации. Изложенный в монографии материал позволяет читателю детально изучить предлагаемые основы численного моделирования магистральных трубопроводов.  

Ни в одну область физики так глубоко не проникли методы численного моделирования, как в физику плазмы. Сегодня просто немыслимо достаточно полно описать плазменные процессы, опираясь только на аналитические методы современной теоретической физики, не прибегая к методам численного моделирования. Это объясняется, с одной стороны, сложностью и многообразием плазменных процессов, а с другой - наличием хорошо обоснованной модели динамики плазмы - модели Власова - Максвелла, с помощью которой можно количественно с любой степенью точности описать эти процессы. Поэтому, чтобы избежать проведения инженерно очень сложных и дорогостоящих физических экспериментов, исследователи в области физики плазмы уже давно, более 25 лет назад, начали разрабатывать эффективные численные методы анализа плазменных процессов, исходя из модели Власова - Максвелла, и достигли огромных успехов в численных экспериментах.  

Кроме указанных экспериментальных, существуют способы вычисления коэффициентов самодиффузии методами численного моделирования. Чрезвычайно плодотворным является метод молекулярной динамики. И хотя он оперирует с модельными системами, полученные результаты являются полезными для выяснения механизмов молекулярной подвижности и закономерностей влияния параметров состояния. В случае правильного подбора межмолекулярных потенциальных функций получают результаты, близкие к экспериментальным.  

В период подготовки данной книги в печать появилось много новых публикаций, относящихся к методам численного моделирования процессов гидродинамики, тепло - и массообмепа на основе уравнений Навье - Стокса. Мы сделаем лишь некоторые добавления, ближе всего относящиеся к рассматриваемым здесь вопросам. В работе для решения стационарных задач для уравнения четвертого порядка относительно функции тока применяется попеременно-треугольный метод.  

Закономерности поведения потоков солнечного излучения в зависимости от свойств облаков и облачной атмосферы изучались методами численного моделирования (метод Монте-Карло), численных решений уравнений переноса и применением асимптотических соотношений.  

Книга переведена высококвалифицированными специалистами, хорошо владеющими как методами теории физики плазмы, так и методами численного моделирования, в особенности методом крупных частиц, наиболее распространенным в физике плазмы. Она рассчитана на довольно широкий круг читателей, начиная от студентов, изучающих физику плазмы, и кончая учеными, которые в этой книге найдут много полезного и интересного для себя.  

Именно слабости информационной базы сделали аналитические подходы вполне дееспособной, по нашему мнению, альтернативой или эффективным дополнением к методам численного моделирования прогнозных задач. Что же касается важнейшего элемента прогноза - схематизации, то здесь аналитическим методам должно обычно отдаваться явное предпочтение.  

Связь уравнения переноса космических лучей с реалистичной гидродинамикой сначала была установлена с помощью автомодельного гидродинамического решения, однако теперь эта связь получается методами численного моделирования. Кроме того, удалось вычислить реалистичный спектр ожидаемых космических лучей в предположении, что ускорение на ударной волне происходит во время так называемой автомодельной фазы Седова, когда энергия Сверхновой сохраняется и остается внутри ударного фронта.  

Следует отметить, что количество частиц, моделирующих пучок, составляет по порядку 102, что на два порядка меньше необходимого числа частиц в методе полного численного моделирования. Таким образом, релаксация моноэнергетического пучка электронов малой плотности в плазме приводит к довольно быстрому расширению функции распределения в пространстве скоростей до значений vTb, достаточных для применения квазилинейного приближения, а фазы волн успевают хаотизироваться.  

Здесь очень полезно использовать методы численного моделирования.  

Модели образования структуры Вселенной, основанные на теории гравитационной неустойчивости, в общих чертах неплохо описывают образование С. Более подробное изучение этого процесса методами численного моделирования затруднено из-за большого объема вычислений.  

В современном мире математика все больше и больше становится одним из важных инструментов познания человеком окружающего мира. Математика является основным методом теоретического исследования и практическим орудием в естествознании и технике, без математики совершенно невозможно проводить серьезные научные и инженерные расчеты. Недаром родоначальник немецкой классической философии Иммануил Кант (1742 – 1804 гг.) утверждал, что «в каждой отдельной естественной науке можно найти собственно науку лишь постольку, поскольку в ней можно найти математику». Математика, как наука, возникла в связи с необходимостью решения практических задач: измерений на местности, навигации и т.д. Вследствие этого математика всегда была численной математикой, ее целью являлось получение решения задач в виде числа. Создание ЭВМ дало новый толчок развитию математики, появились новые дисциплины «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д. Возникло понятие «математическое моделирование». Слово «модель » происходит от латинскогоmodus (копия, образ, очертание). Моделирование – это замещение некоторого объекта А (оригинала) другим объектом Б (моделью).

Математическая модель - это упрощенное описание реальности с помощью математических понятий. Математическое моделирование - процесс построения и изучения математических моделей реальных процессов и явлений, т.е. метод исследования объектов и процессов реального мира с помощью их приближенных описаний на языке математики– математических моделей. Крупнейшие ученые прошлого сочетали в своих трудах как построение математического описания явлений природы (математические модели), так и его исследования. Анализ усложненных моделей требовал создания новых, как правило, численных методов решения задач.

Основоположником отечественного математического моделирования справедливо считают академика А.А.Самарского. Он выразил методологию математического моделирования знаменитой триадой « модель – алгоритм – программа ».

1 этап. Модель . Выбирается или строится модель исследуемого объекта, которая в математической форме отражает его важнейшие свойства. Обычно математические модели реальных процессов достаточно сложны и включают в себя системы нелинейных функционально-дифференциальных уравнений. Ядром математической модели, как правило, являются уравнения с частными производными. Для получения предварительных знаний об объекте построенная модель исследуется традиционными аналитическими средствами прикладной математики.

этап. Алгоритм . Выбирается или разрабатывается вычислительный алгоритм для реализации построенной модели на компьютере, который не должен искажать основные свойства модели, должен быть адаптирующимся к особенностям решаемых задач и используемым вычислительным средствам. Проводится изучение построенной математической модели методами вычислительной математики.

3 этап. Программа . Создается программное обеспечение для реализации модели и алгоритма на компьютере. Создаваемый программный продукт должен учитывать важнейшую специфику математического моделирования, связанную необходимостью использования набора математических моделей и многовариантностью расчетов. В результате исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который сначала отлаживается, тестируется и калибруется на решении набора пробных задач. Затем проводится широкомасштабное исследование математической модели для получения необходимых качественных и количественных свойств и характеристик исследуемого объекта. Предложенная методология получила свое развитие в виде технологии «вычислительного эксперимента ». Вычислительный эксперимент– это информационная технология, предназначенная для изучения явлений окружающего мира, когда натурный эксперимент оказывается либо невозможен (например, при изучении здоровья человека), либо слишком опасен (например, при изучении экологических явлений), либо слишком дорог и сложен (например, при изучении астрофизических явлений). Широкое применение ЭВМ в математическом моделировании, разработанная теория и значительные практические результаты позволяют говорить о вычислительном эксперименте как о новой технологии и методологии научных и практических исследований. Серьезное внедрение вычислительного эксперимента в инженерную деятельность еще не очень широко, но там, где оно происходит реально (в авиационной и космической промышленности) его плоды весьма весомы. Отметим некоторые достоинства вычислительного эксперимента по сравнению с натурным. Вычислительный эксперимент, как правило, дешевле физического. В этот эксперимент можно легко и безопасно вмешиваться. Его можно повторить еще раз, если это необходимо, и прервать в любой момент. В ходе этого эксперимента можно смоделировать условия, которые нельзя создать в лаборатории. В ряде случаев проведение натурного эксперимента затруднено, а иногда и невозможно. Часто проведение полномасштабного натурного эксперимента сопряжено с губительными или непредсказуемыми последствиями (ядерная война, поворот сибирских рек) или с опасностью для жизни или здоровья людей. Нередко требуется исследование и прогнозирование катастрофических явлений (авария ядерного реактора АЭС, глобальное потепление или похолодание климата, цунами, землетрясение). В этих случаях вычислительный эксперимент может стать основным средством исследования. С его помощью оказывается возможным прогнозировать свойства новых, еще не созданных конструкций и материалов на стадии их проектирования. В то же время нужно помнить, что применимость результатов вычислительного эксперимента ограничена рамками принятой математической модели. В отличие от натурных исследований вычислительный эксперимент позволяет накапливать результаты, полученные при исследовании какого- либо круга задач, а затем эффективно применять их к решению задач в других областях. Например, уравнение нелинейной теплопроводности описывает не только тепловые процессы, но и диффузии вещества, движения грунтовых вод, фильтрации газа в пористых средах. Изменяется только физический смысл величин, входящих в это уравнение. После проведения первого этапа вычислительного эксперимента может возникнуть необходимость в уточнении модели. На втором этапе учитываются дополнительные эффекты и связи в изучаемом явлении, либо возникает необходимость пренебречь некоторыми закономерностями и связями. Затем этот процесс повторяют до тех пор, пока не убеждаются, что модель адекватна изучаемому объекту. Обычно в процессе математического моделирования и вычислительного эксперимента участвуют помимо профессиональных математиков и программистов специалисты в конкретной предметной области (биологии, химии, медицине и др.). Первый серьезный вычислительный эксперимент был проведен в СССР в 1968 году группой ученых под руководством академиков А. Н. Тихонова и А.А. Самарского. Это было открытие, так называемого, эффекта Т-слоя (температурного токового слоя в плазме, которая образуется в МГД- генераторах) – явления, которого на самом деле никто не наблюдал. И только через несколько лет Т-слой был зарегистрирован в экспериментальных физических лабораториях и технологам и инженерам окончательно стал ясен принцип работы МГД-генератора с Т-слоем. В последние годы ряд Нобелевских премий по химии, медицине, экономике, физике элементарных частиц были присуждены работам, методологическую основу которых составляло именно математическое моделирование. Математические модели для описания изучаемых явлений в механике, физике и других точных науках естествознания использовались издавна. 3-4 тысячи лет назад решали задачи прикладной математики, связанные с вычислением площадей и объёмов, расчетами простейших механизмов, т.е. с несложными задачами арифметики, алгебры и геометрии. Вычислительными средствами служили собственные пальцы, а затем – счёты. Большинство вычислений выполнялось точно, без округлений. В 17 веке Исаак Ньютон полностью описал закономерности движения планет вокруг Солнца, решал задачи геодезии, проводил расчёты механических конструкций. Задачи сводились к обыкновенным дифференциальным уравнениям, либо к алгебраическим системам с большим числом неизвестных, вычисления проводились с достаточно высокой точностью до 8 значащих цифр. При вычислениях использовались таблицы элементарных функций, арифмометр, логарифмическая линейка; к концу этого периода появились неплохие клавишные машины с электромотором. В это время были разработаны алгоритмы численных методов, которые до сих пор занимают почетное место в арсенале вычислительной математики. Так Ньютон предложил эффективный численный метод решения алгебраических уравнений, а Эйлер – численный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Классическим примером применения численных методов является открытие планеты Нептун. Уран планета, следующая за Сатурном, который много веков считался самой из далеких планет. К 40-м годам XIX в. Точные наблюдения показали, что Уран едва заметно уклоняется от того пути, по которому он должен следовать с учетом возмущений со стороны всех известных планет. Леверье (во Франции) и Адамс (в Англии) высказали предположение, что, если возмущения со стороны известных планет не объясняют отклонение в движении Урана, значит, на него действует притяжение еще не известного тела. Они почти одновременно рассчитали, где за Ураном должно быть неизвестное тело, производящее своим притяжением эти отклонения. Они вычислили орбиту неизвестной планеты, ее массу и указали место на небе, где в данное время должна была находиться неведомая планета. Эта планета и была найдена в телескоп на указанном ими месте в 1846 г. Ее назвали Нептуном. Для расчета траектории Нептуна Леверье понадобилось полгода. Численное решение прикладных задач всегда интересовало математиков. Разработкой численных методов занимались крупнейшие ученые своего времени: Ньютон, Эйлер, Лобачевский, Гаусс, Эрмит, Чебышев и др. Численные методы, разработанные ими, носят их имена. Развитие численных методов способствовало постоянному расширению сферы применения математики в других научных дисциплинах и прикладных разработках. Появление ЭВМ дало мощный импульс еще более широкому внедрению численных методов в практику научных и технических расчетов. Скорость выполнения вычислительных операций выросла в миллионы раз, что позволило решить широкий круг математических задач, бывших до этого практически не решаемыми. Разработка и исследование вычислительных алгоритмов, их применение к решению конкретных задач составляет содержание огромного раздела современной математики – вычислительной математики. Вычислительная математика как самостоятельная математическая дисциплина сформировалась в начале двадцатого века. Вычислительную математику определяют в широком смысле как раздел математики, исследующий широкий круг вопросов, связанных с использованием ЭВМ. В узком смысле вычислительную математику определяют как теорию численных методов и алгоритмов решения поставленных математических задач. В нашем курсе вычислительную математику будем понимать в узком смысле этого термина. Современные компьютерно-ориентированные численные методы должны удовлетворять многообразным и зачастую противоречивым требованиям. Обычно построение численного метода для заданной математической модели разбивается на два этапа: дискретизацию исходной математической задачи и разработку вычислительного алгоритма, позволяющего отыскать решение дискретной задачи. Выделяют две группы требований к численным методам. Первая группа связана с адекватностью дискретной модели исходной математической задаче, вторая – с реализуемостью численного метода на имеющейся вычислительной технике. К первой группе относятся такие требования, как сходимость численного метода, выполнение дискретных аналогов законов сохранения, качественно правильное поведение решения дискретной задачи. Предположим, что дискретная модель математической задачи представляет собой систему большого числа алгебраических уравнений. Обычно, чем точнее мы хотим получить решение, тем больше уравнений приходится брать. Говорят, что численный метод сходится, если при неограниченном увеличении числа уравнений решение дискретной задачи стремится к решению исходной задачи. Поскольку реальный компьютер может оперировать лишь с конечным числом уравнений, на практике сходимость, как правило, не достигается. Следовательно, очень важно уметь оценивать погрешность метода в зависимости от числа уравнений, составляющих дискретную модель. По этой же причине стараются строить дискретную модель таким образом, чтобы она правильно отражала качественное поведение решения исходной задачи даже при сравнительно небольшом числе уравнений. Так при дискретизации задач математической физики приходят к разностным схемам, представляющим собой системы линейных или нелинейных алгебраических уравнений. Дифференциальные уравнения математической физики являются следствиями интегральных законов сохранения. Поэтому естественно требовать, чтобы для разностной схемы выполнялись аналоги таких законов сохранения. Разностные схемы, удовлетворяющие этому требованию, называются консервативными. Оказалось, что при одном и том же числе уравнений в дискретной задаче консервативные разностные схемы более правильно отражают поведение решения исходной разностной задачи, чем неконсервативные схемы. Сходимость численного метода тесно связана с его корректностью. Пусть исходная математическая задача поставлена корректно, т.е. ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от входных данных. Тогда дискретная модель этой задачи должна быть построена таким образом, чтобы свойство корректности сохранялось. Следовательно, в понятие корректности численного метода включаются свойства однозначной разрешимости соответствующей системы уравнений и ее устойчивости. Под устойчивостью понимается непрерывная зависимость от входных данных. Вторая группа требований, предъявляемых к численным методам, связана с возможностью реализации данной дискретной модели на данном компьютере, т.е. с возможностью получить численное решение за приемлемое время. Обычно сложные вычислительные задачи, возникающие при исследовании физических и технических проблем, разбиваются на ряд элементарных. Многие элементарные задачи являются несложными, они хорошо изучены, для них уже разработаны методы численного решения и имеются стандартные программы решения. Целью данной главы является знакомство с методологией построения и исследования основных численных методов алгебры и математического анализа и проблемами, возникающими при численном решении задач.

Построение модели объекта, явления начинается с выделения его наиболее существенных черт и свойств и описания их с помощью математических соотношений. Затем, после создания математической модели, ее исследуют математическими методами, т.е. решают сфор­мулированную математическую задачу.

Построение математической медали является одним из наиболее сложных и ответственных этапов исследования объекта. Математичес­кая модель никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передает всех его свойств и особенностей. Она основывается на упрощении, идеализации и является приближениям описанием объ­екта. Поэтому, результаты, получаемые на основе этой модели, имеют всегда приближенный характер. Их точность определяется степенью соответствия, адекватности модели и объекта. Вопрос о точности является важнейшим в прикладной математике. Однако, он не являет­ся чисто математическим вопросом и не может быть решен математи­ческими методами. Основным критерием истины является эксперимент, т.е. сопоставление результатов, получаемых на основе математичес­кой модели, с рассматриваемым объектом. Только практика позволяет сравнить различные гипотетические модели и выбрать из них наибо­лее простую и достоверную, указать области применимости различных моделей и направление их совершенствования. Рассмотрим развитие модели на примере известной задачи бал­листики об определении траектории тела, выпущенного с начальной скоростью под угломк горизонту. Для начала, предположим, что скорость и дальность полета тела небольшие. Тогда для данной задачи будет справедлива математическая модель Галилея, основан­ная на следующих допущениях:

1) Земля ‑ инерциальная система;

2) ускорение свободного падения
;

3) Земля ‑ плоское тело;

4) сопротивление воздуха отсутствует.

В этом случав составляющие скорости движения тела по осям х и у равны

а их пути

, (6.2)

где t ‑ время движения.

Определяя t из первого уравнения и подставляя его во второе, получаем уравнение траектории тела, представляющее собой параболу

(6.3)

из условия
получаем дальность полета тела

(6.4)

Однако, как показывает практика, результаты, получаемые на основе этой модели, оказываются справедливыми лишь при малых на­чальных скоростях движения тела v <30м/с. С увеличением скоростидальность полета становится меньше величины, даваемой формулой (6.1).

Такое расхождение эксперимента с расчетной формулой (6.1) го­ворит о неточности модели Галилея, не учитывающей сопротивление воздуха.

Рис. 6.1 ‑ Траектория полета тела

Дальнейшее уточнение модели баллистической задачи в части учета сопротивления воздуха было сделано Ньютоном. Это позволило с достаточной точностью рассчитывать траектории движения пушечных ядер, выстреливаемых со значительными начальными скоростями.

Переход от гладкоствольного к нарезному оружию позволил уве­личить скорость, дальность и высоту полета снарядов, что вызвало дальнейшее уточнение математической модели задачи. В новой математической модели были пересмотрены все допущения, принятые в мо­дели Галилея, т.е. Земля уже не считалась плоской и инерциальной системой, и сила земного притяжения не принималась постоянной.

Последующее совершенствование математической модели задачи связано с использованием методов теории вероятности. Это было вы­звано тем, что параметры снарядов, орудий, зарядов и окружающей среды в силу допусков и других причин не остаются неизменными, а подчиняются случайным колебаниям.

В результате последовательных уточнений и усовершенствований была создана математическая модель наиболее полно и точно описы­вающая задачу внешней баллистики. Сопоставление ее данных с ре­зультатами стрельб показало хорошее их совпадение.

На этом примере показаны этапы создания, развития и уточне­ния математической модели объекта, которые сопровождаются посто­янно сопоставлением и проверкой практикой, т.е. с самим реальным объектом или явлением. Именно недостаточно хорошее совпадение ре­зультатов, предоставляемых моделью, с объектом вызывает дальней­шее совершенствование модели.