Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Во многих случаях бывает удобно строить не искомую фигуру, а начать с построения фигуры, ей подобной, после чего нетрудно перейти к требуемой. В этом случае данные для построения фигуры разделяются на два класса: одни дают возможность построить фигуру, подобную искомой, а другие служат для того, чтобы от этой фигуры перейти к требуемой. Этот прием особенно удобен в тех случаях, когда только одна из данных величин определяет какой-нибудь линейный элемент искомой фигуры, а все другие представляют собой углы или отношения сторон. Например, если для построения треугольника даны два угла или угол и отношение сторон, заключающих этот угол, или отношение трех сторон и, кроме того, один линейный элемент: сторона, высота, медиана, биссектриса, радиус вписанной или описанной окружности и т.д., то вначале, не обращая внимания на данный линейный элемент, строят фигуру, подобную искомой, а потом, вводя требуемую линию, переходят к искомой фигуре. Метод подобия успешно применяется при решении задач на вписывание одних фигур в другие.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 12. Построить треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла.

Анализ. Пусть треугольник АВС искомый (рис.22). Треугольники подобны, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, в подобных треугольниках сходственные медианы пропорциональны. Построим произвольный треугольник МВК, два угла которого равны данным; он будет подобен искомому. В этом треугольнике проведем медиану из вершины третьего угла. Пусть ВТ – медиана. Тогда коэффициент подобия – отношение данной медианы к получившейся при построении треугольника МВК, подобного искомому.

Построение . Построим произвольный треугольник МВК, два угла которого равны данным; он будет подобен искомому. В этом треугольнике проведем медиану из вершины третьего угла. Пусть ВТ – медиана. На ВТ от точки В отложим отрезок, равный длине данной медианы – получим точку О. Через О проведем прямую параллельную l прямой МК. Пусть А – точка пересечения продолжения ВМ за точку М с прямой l , а С – точка пересечения продолжения ВК за точку К с прямой l . Треугольник АВС искомый.

Доказательство . Из построения следует, что треугольник МВК подобен треугольнику АВС. Значит, два угла А и В последнего равны заданным. Кроме того, медиана ВО имеет заданную длину, т.е. треугольник обладает всем заданным условиям.

Исследование . Задача всегда имеет решение и притом одно, если сумма заданных углов меньше 180 о.

ПРИМЕР 13 . В данный треугольник вписать квадрат так, чтобы две его вершины лежали на основании треугольника, а две другие – на сторонах треугольника.

Решение . Пусть АВС – данный треугольник (рис.24). Построим произвольный квадрат МКРН так, чтобы М и К лежали на АС, а Р лежала на АВ. Проведем луч АН. Пусть Т – точка пересечения этого луча со стороной ВС. Проведем отрезки ТЕ ║АС, ТХ ║РК, ЕО║ТХ. Четырехугольник ОЕТХ – искомый.

Доказательство . DАНМ¥DАТХ, значит ТХ^АС и . DАРН¥DАЕТ, значит ЕТ║РН и . Отсюда ЕТ=ТХ и ÐЕТХ=90 о. Аналогично показывается, что ЕТ=ЕО, т.е. ОЕТХ – квадрат.

ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 93. ПОСТРОЕНИЕ ПОДОБНЫХ ФИГУР.

1. Построение подобных треугольников.

Мы уже знаем, что для построения треугольника, подобного данному, достаточно из какой-нибудь точки, взятой на стороне треугольника, провести прямую, параллельную стороне треугольника. Получим треугольник, подобный данному (черт. 382):

/\ AСВ /\ A"С"B"

2. Построение подобных многоугольников.

Для построения многоугольника, подобного данному, мы можем поступить таким образом: разобьём данный многоугольник диагоналями, проведёнными из какой-либо его вершины, на треугольники (черт. 383). На какой-нибудь стороне данного многоугольника ABCDE, например на стороне АЕ, возьмём какую-нибудь точку E" и проведём прямую, параллельную стороне ED, до пересечения её с диагональю AD, например, в точке D".

Из точки D" проведём прямую, параллельную стороне DC, до пересечения её с диагональю АС в точке С". Из точки С" проведём прямую, параллельную стороне СВ, до пересечения со стороной АВ в точке В". Полученный многоугольник AB"C"D"E" подобен данному многоугольнику ABCDE.

Справедливость этого утверждения доказать самостоятельно.

Если требуется построить многоугольник, подобный данному, с указанным коэффициентом подобия, то исходная точка Е" берётся на стороне АЕ или её продолжении соответственно данному коэффициенту подобия.

3. Съёмка плана земельного участка.

а) Съёмка плана производится с помощью особого прибора, называемого мензулой (черт. 384).

Мензула представляет собой квадратную доску, помещённую на треножнике. При вычерчивании плана доска приводится в горизонтальное положение, что проверяется с помощью уровня. Для проведения прямых линий по нужному направлению употребляется алидада, снабжённая диоптрами. В каждом диоптре имеется прорезь, в которой натянут волосок, что позволяет достаточно точно наводить алидаду в нужном направлении. На мензулу кнопками укрепляют лист белой бумаги, на котором и вычерчивается план.

Для того чтобы снять план с земельного участка ABCDE, выбирают внутри участка какую-нибудь точку О так, чтобы из неё были видны все вершины земельного участка (черт. 385).

С помощью вилки с отвесом (черт. 386) устанавливают мензулу так, чтобы точка О, отмеченная на листе бумаги, приходилась против избранной на участке точки О.

Затем из точки О на листе бумаги, прикреплённом к мензуле, прочерчивают при помощи алидады лучи в направлениях на точки А, В, С, D и Е; измеряют расстояния
ОА, ОВ, ОС, OD и ОЕ и откладывают на этих лучах в принятом масштабе отрезки
ОА", ОВ", ОС, OD" и ОЕ".

Точки А", В", С, D" и Е" соединяют. Получается многоугольник A"B"C"D"E", представляющий собой план данного земельного участка в принятом масштабе.

Описанный нами способ мензульной съёмки называется п о л я р н ы м.

Существуют и другие способы съёмки плана с помощью мензулы, о которых можно прочитать в специальных руководствах по мензульной съёмке.

На каждом плане обыкновенно даётся масштаб, по которому можно установить истинные размеры снятого участка, а также и его площадь.

На плане также указывается направление стран света.

Практическая работа.

а) Сделать в школьной мастерской простейшую модель мензулы и снять с её помощью план какого-нибудь небольшого земельного участка.

б) Съёмку плана земельного участка можно произвести с помощью астролябии.

Пусть надо снять план земельного участка ABCDE. Возьмём одну из вершин участка, например А, за исходную и с помощью астролябии измерим углы при вершине А, т. е.
/ 1, / 2, / 3 (черт. 387).

Потом с помощью мерной цепи измерим расстояния АЕ, AD, АС и АВ. В зависимости от размеров участка и размеров листа бумаги, на который наносится план, выбирается масштаб для вычерчивания плана.

При точке А, которую принимаем за вершину многоугольника, строим три угла, соответственно равные / 1, / 2 и / 3; затем в выбранном масштабе на сторонах этих углов от точки А" откладываем отрезки А"Е", A"D", А"С" и А"В". Соединив отрезками точки А" и Е", Е" и D", D" и С, С" и В", В" и А", получим многоугольник A"B"C"D"E", подобный многоугольнику ABCDE. Это будет план данного земельного участка, начерченный в избранном масштабе.

Задача 1. Построить треугольник, зная два его угла и периметр.

Решение. Знание углов треугольника уже определяет его с точностью до преобразования подобия. Поэтому для решения задачи строим любой треугольник ЛС, с данными углами (рис. 277). Остается подобно преобразовать треугольник так, чтобы периметр его стал равен данной величине.

Для этого отложим стороны его на продолжениях стороны отрезок будет равен периметру треугольника . Возьмем любой отрезок KL, параллельный отрезку но равный заданному периметру. Соединим концы обоих параллельных отрезков и примем точку О пересечения линий за центр подобия. Построение вершин А и С искомого треугольника видно из рис. 277, стороны его АВ и СВ параллельны соответствующим сторонам треугольника .

В случае треугольник - уже искомый.

Задача 2. Дан угол, образованный лучами ОА и ОВ, и точка N внутри этого угла. Построить окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через данную точку N (рис. 278).

Решение. Окружность, касающаяся сторон угла, должна иметь центр на биссектрисе этого угла. Возьмем на этой биссектрисе произвольную точку и построим окружность с центром в касающуюся сторон угла (ее радиус просто равен расстоянию точки от сторон угла). Если теперь преобразовать эту окружность подобно с центром подобия в вершине угла О, то вновь получится окружность с центром на биссектрисе; такая окружность снова будет касаться сторон угла, так как ее радиус, ведущий в точку касания, перейдет в силу сохранения углов в радиус, перпендикулярный к стороне угла. Остается обеспечить выполнение второго условия: преобразованная окружность должна пройти через точку N. Отсюда вытекает решение задачи. Проведем луч ON до пересечения с окружностью в точках и построим ее радиусы , ведущие в эти точки. Через данную точку N проведем прямые NC и NC, параллельные этим радиусам; точки их пересечения С, С с биссектрисой и дают возможные положения центра искомой окружности. Задача имеет два решения. Как изменится решение, если точка N лежит на биссектрисе угла?

Упражнения

1. Периметр треугольника равен 10 см, а его площадь Чему равен периметр подобного треугольника, если его площадь ?

2. Доказать, что равнобедренные треугольники, имеющие равные углы при вершине, подобны.

3. Построить треугольник, подобный данному и вписанный в окружность данного радиуса.

4. В данный треугольник ABC вписать квадрат так, чтобы одна его сторона лежала на стороне ВС треугольника, а две вершины находились на двух других сторонах треугольника.

252. Понятие о подобии треугольников распространяется и на многоугольники. Пусть дан многоугольник ABCDE (чер. 245); выполним построение аналогичное п. 206. Построим диагонали AC и AD и, выбрав какую-либо точку K на стороне AB между точками A и B или вне отрезка AB, построим KL || BC до пересечения с диагональю AC, затем LM || CD до пересечения с AD и, наконец, MN || DE до пересечения с AE. Тогда получится многоугольник AKLMN, который связан с ABCD следующими зависимостями:

1) Углы одного многоугольника равны попарно углам другого: угол A у них общий, ∠K = ∠B (как соответственные), ∠KLM = ∠BCD, ибо ∠KLA = ∠BCA и ∠ALM = ∠ACD и т. д.

2) Сходственные стороны этих многоугольников пропорциональны, т. е. отношение одной пары сходственных сторон равно отношению другой пары, равно отношению третьей пары и т. д.

«Сходственные» стороны здесь надо понимать несколько иначе, чем для треугольников: здесь считаем сходственными сторонами те, которые заключены между равными углами, например, BC и KL.

Справедливость указанной пропорциональности видна следующим образом:

∆AKL ~ ∆ABC, следовательно, AK/AB = KL/BC = AL/AC
∆ALM ~ ∆ACD, следовательно, AL/AC = LM/CD = AM/AD
∆AMN ~ ∆ADE, следовательно, AM/AD = MN/DE = AN/AE

Мы видим, что среди первых трех равных отношений и среди вторых трех равных отношений имеется одно одинаковое AL/AC; также и последние три отношения связываются с предыдущими отношением AM/AD. Поэтому, пропуская отношения диагоналей, получим:

AK/AB = KL/BC = LM/CD = MN/DE = AN/AE

Все это остается, как легко видеть, справедливым и для многоугольника с большим, чем у нас, числом сторон.

Если мы многоугольник AKLMN перенесем в другое место плоскости, то найденные выше 2 соотношения этого многоугольника с ABCDE останутся в силе; такие многоугольники называются подобными. Итак, два многоугольника называются подобными, если углы одного равны попарно углам другого и если сходственные стороны их пропорциональны .

Мы, следовательно, умеем строить многоугольник, подобный данному. Мы построили AKLMN ~ ABCDE.

Мы видим еще, что в многоугольниках ABCDE и AKLMN построены диагонали из их соответственных вершин,причем получилось два ряда подобных треугольников: ∆AKL ~ ∆ABC, ∆ALM ~ ∆ACD и ∆AMN ~ ∆ADE - треугольники эти одинаково расположены в обоих многоугольниках.

Возникает вопрос, останется ли в силе последнее свойство, если мы построим многоугольник, подобный данному, каким-либо еще способом, не тем, которым мы пользовались здесь.

253. Пусть как-либо построен многоугольник A"B"C"D"E" подобный многоугольнику ABCDE (чер. 246), т. е. так, что

∠A" = ∠A, ∠B" = ∠B, ∠C" = ∠C, ∠D" = ∠D, ∠E" = ∠E (1)

A"B"/AB = B"C"/BC = C"D"/CD = D"E"/DE = E"A"/EA (2)

Вопрос конца предыдущего п. равносилен другому: можно ли привести эти два многоугольника в положение, чтобы, например, точка A" совпала с A, а остальные вершины были бы расположены попарно на прямых, идущих из этой общей точки, и чтобы сходственные стороны их или были параллельны, или сторона одного многоугольника расположилась бы на стороне другого.

Решим этот вопрос. Для этого отложим на стороне AB от точки A отрезок AK = A"B" и, пользуясь предыдущим п., построим многоугольник AKLMN ~ ABCDE.

Остается выяснить, может ли многоугольник A"B"C"D"E" совпасть при наложении с AKLMN.

Мы имеем: AK/AB = KL/BC = LM/CD = MN/DE = NA/EA.

Сравнивая эти равенства с равенствами (2) и принимая во внимание, что AK = A"B", легко получаем KL = B"C", LM = C"D" и т. д., т. е. все стороны многоугольников A"B"C"D"E" и AKLMN попарно равны. Наложим многоугольник A"B"C"D"E" на AKLMN так, чтобы A" попала в A и сторона A"B" совпала бы с AK (мы ведь строили AK = A"B"); тогда, в силу равенства углов B" и K, сторона B"C" пойдет по KL, в силу равенства сторон KL и B"C", точка C" попадет в L и т. д.

Итак, A"B"C"D"E" совпадает с AKLMN, а следовательно, если построим диагонали A"C" и A"D", получим ряд треугольников, подобных и одинаково расположенных с ∆ABC, ∆ACD и т. д.

Поэтому заключаем: Если построить в подобных многоугольниках диагонали из соответственных вершин, то получим 2 ряда подобных и одинаково расположенных треугольников.

Легко увидать справедливость и обратного заключения: если, ∆A"B"C" ~ ABC, ∆A"C"D" ~ ∆ACD и ∆A"D"E" ~ ∆ADE, то многоугольник A"B"C"D"E" ~ многоугольнику ABCDE. Тогда ∆A"B"C" = ∆AKL, ∆A"C"D" = ∆ALM и ∆A"D"E" = ∆AMN, откуда следует равенство многоугольников A"B"C"D"E" и AKLMN и, следовательно, подобие A"B"C"D"E" и ABCDE.

254. То положение (две соответственных вершины сливаются в одной точке, остальные вершины попарно лежат на прямых, проходящих чрез эту точку, а сходственные стороны параллельны), в которое нам удалось привести два подобных многоугольника, является частным случаем другого более общего положения двух подобных многоугольников.

Пусть имеем KLMN ~ ABCD (чер. 247). Возьмем какую-либо точку S и соединим ее со всеми вершинами A, B, C и D первого многоугольника. Постараемся построить многоугольник, равный многоугольнику KLMN, так, чтобы его вершины лежали на прямых SA, SB, SC и SD и стороны были бы параллельны сторонам многоугольника ABCD.

Для этого отложим на стороне AB отрезок AP = KL (полагаем, что KL и AB сходственные стороны) и построим PB" || AS (на чертеже точка P и прямая PB" не даны). Чрез точку B", где SB пересекается с PB", построим B"A" || AB. Тогда A"B" = AP = KL, затем построим B"C" || BC, чрез точку C", где B"C" пересекается с SC, проведем C"D" || CD и точку D", где C"D" пересекается с SD, соединим с A". Получим многоугольник A"B"C"D", который, как это сейчас увидим, подобен многоугольнику ABCD.

Так как A"B" || AB, то ∆SA"B" ~ ∆SAB, откуда

SA"/SA = A"B"/AB = SB"/SB (1)

Так как B"C" || BC, то ∆SB"C" ~ ∆SBC, откуда

SB"/SB = B"C"/BC = SC"/SC (2)

Так как C"D" || CD, то ∆SC"D" ~ ∆SCD, откуда

SC"/SC = C"D"/CD = SD"/SD (3)

Отсюда можно вывести, что SA"/SA = SD"/SD, а следовательно ∆SA"D" ~ ∆SAD, так как две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы между ними равны (∠S общий), - A"D" || AD и

SD"/SD = D"A"/DA = SA"/SA (4)

Из равенств отношений (1), (2), (3) и (4) легко получаем:

A"B"/AB = B"C"/BC = C"D"/CD = D"A"/DA (5)

Кроме того, ∠A" = ∠A, ∠B" = ∠B и т. д., как углы с параллельными сторонами. Следовательно, A"B"C"D" ~ ABCD.

Далее легко увидать, что KLMN = A"B"C"D". В самом деле, ∠K = ∠A, но ∠A = ∠A", следовательно, ∠K = ∠A"; также ∠L = ∠B" и т. д. - углы у наших многоугольников равны. Креме того, из подобия KLMN ~ ABCD получаем:

KL/AB = LM/BC = MN/CD = NK/DA.

Сравнивая эти равные отношения с равенствами (5) и имея в виду, что A"B" = KL, находим: B"C" = LM, C"D" = MN, D"A" = NK. Теперь легко, как это делали выше, увидать, что KLMN при наложении совместится с A"B"C"D". Следовательно, нам удалось поместить данные подобные многоугольники в такое положение, что их вершины расположены попарно на прямых, проходящих чрез точку S и их сходственные стороны параллельны, к чему мы и стремились.

Заметим еще, что соответственные вершины в наших многоугольниках следуют друг за другом в одном направлении (см. стрелки около многоугольников ABCD, KLMN и A"B"C"D") - по часовой стрелке.

Если бы вершины одного многоугольника, соответствующие последовательным вершинам другого, шли друг за другом в направлении, обратном тому, как они расположены в другом, то удалось бы поместить наши многоугольники так, чтобы соответствующие вершины располагались по разные стороны от точки S (см. чер. 248).

Точка S, где сходятся прямые, соединяющие пары соответственных вершин многоугольников, называется центром подобия ; в первом случае (чер. 247), когда обе соответственные вершины (например, A и A") расположены в одной стороне от S, центр подобия называется внешним , а во втором (чер. 248), когда соответствующие вершины расположены по разные стороны точки S, центр подобия называется внутренним . Если подобные многоугольники расположены так, что они имеют центр подобия, то говорят, что они подобно расположены .

255. Если нам дан многоугольник ABCD (чер. 247 или 248), - будем данный многоугольник называть оригиналом , - мы можем, выбрав произвольную точку S, получать его изображения, подобные ему в каком угодно масштабе , - этим именем называют отношение какого-либо отрезка изображения к соответствующему отрезку в оригинале (в данном многоугольнике). Это отношение называют еще коэффициентом подобия - обозначим его через k. Пока еще для нас коэффициентом подобия является отношение стороны изображения к стороне оригинала, т. е.

A"B/AB = B"C/BC = … = k.

В дальнейшем мы распространим это понятие на отношение всяких двух отрезков изображения и оригинала, сходственных между собою.

Из равенства (1), (2), (3) и (4) предыдущего п., имеем:

SA"/SA = SB"/SB = SC"/SC = SD"/SD = A"B"/AB = k,

т. е. отношение расстояний от центра подобия соответственных вершин изображения и оригинала = коэффициенту подобия.

Под именем фигура (плоская) мы понимаем совокупность точек и линий плоскостей. Многоугольники ABCD - есть фигура. Присоединим еще одну точку (выбранную по произволу) E - получим новую фигуру состоящую из многоугольника ABCD и точки E, - найдем изображение точки E. Для этого построим прямую SE и на ней отложим отрезок SE так, чтобы SE"/SE = k (такой отрезок легко построить, пользуясь п. 214); этот отрезок мы можем отложить по направлению SE (чер. 247); или в обратном направлении (чер. 248). Полученная точка E" и есть изображение точки E - другими словами точки E" и E суть соответственные точки в наших двух подобных и подобно расположенных фигурах.

Соединив точку E, например, с B и точку E" с B" (B и B" суть тоже соответственные точки), получим два соответствующих друг другу отрезка BE и B"E".

Легко увидать, что ∆SBE ~ ∆SB"E" (так как ∠BSE = ∠B"SE и стороны, составляющие эти углы, пропорциональны: SB"/SB = k и SE"/SE = k, - следовательно, SB"/SB = SE"/SE), отсюда вытекает:

1) B"E" || BE и 2) B"E"/BE = SB"/SB = k

т. е. соответствующие друг другу отрезки в изображении и оригинале 1) параллельны между собою и 2) их отношение равно коэффициенту подобия .

Отсюда вытекает возможность следующего построения для нахождения точки, соответствующей данной в оригинале точке, если уже имеем одну пару соответствующих точек и известен центр подобия: пусть имеем пару соответствующих точек B и B" и требуется найти точку, соответствующую точке E, - строим прямые SE и BE и чрез B" строим прямую, параллельную BE, ее точка пересечения E" с SE и даст искомую точку.

256. Построим для какой-либо фигуры, одна точка которой есть A (чер. 249), ее изображения, принимая две произвольных точки S 1 и S 2 за внешние центры подобия и числа k 1 и k 2 за коэффициенты подобия. Пусть в первом изображении точке A соответствует точка A" и во втором изображении этой же точке соответствует точка A"".

Присоединим еще к данной фигуре какую-либо точку B, лежащую на прямой S 1 S 2 ; тогда этой точке B соответствуют в первом изображении точка B" и во втором точка B"", причем точки B" и B"" должны лежать на той же прямой S 1 S 2 и прямые AB, A"B" и A""B"" должны быть параллельны и одинаково направлены.

Тогда имеем:

A"B"/AB = k 1 и A""B""/AB = k 2 .

Отсюда находим:

A"B"/A""B"" = k 1 /k 2 .

Соединим точки A" и A"", найдем точку пересечения S 3 прямых A""A" и S 2 S 1 . Тогда из подобия треугольников S 3 A"B" и S 2 A""B"" находим:

Соединив точки A" и A"", найдем точку пересечения S 3 прямых A""A" и S 2 S 1 . Тогда из подобия треугольников S 3 A"B" и S 2 A""B"" находим:

S 3 B"/S 3 B"" = A"B"/A""B"" = k 1 /k 2 ,

т. е. точка S 2 должна делить отрезок B"B"" внешним образом в отношении, равном данному числу k 1 /k 2 . Мы знаем (п. 217), что существует только одна точка, которая делит данный отрезок B"B"" в данном отношении внешним образом. Если мы возьмем какую-либо еще точку C данной фигуры и построим ее изображения C" и C"", то, соединив точки C" и C"" и взяв точку пересечения, назовем ее опять S 3 , прямой C"C"" с прямой S 1 S 2 , получим, что ∆S 3 B"C" ~ ∆S 3 B""C"" (B""C"" || BC и B"C" || BC, следовательно, B""C"" || B"C"), откуда опять найдем, что S 3 B"/S 3 B"" = k 1 /k 2 , т. е. новая точка S 3 совпадает с прежнею. Следовательно, S 3 есть центр подобия фигур (A"B"C"...) и (A""B""C""...) и притом внешний, ибо направления, в котором следуют друг за другом соответствующие точки в обеих фигурах, одинаковы. Из этого заключаем, что фигуры (A"B"C"...) и (A""B""C""...) также имеют внешний центр подобия и он расположен на одной прямой с центрами S 1 и S 2 .

Если одни из центров подобия S1 взять внешний, а другой S2 внутренний (чер. 250), то направления соответствующих отрезков таковы: A"B" одинаково с направлением AB, но A""B"" обратно направлению AB, - следовательно, направление A""B"" обратно A"B" и S3 является внутренним центром подобия фигур (A"B"...) и (A""B""...).

Если взять оба центра подобия внутренними (например, S 2 и S 3 на чер. 250), то легко увидать, что третий центр подобия окажется внешним. Итак, вообще:

Если три фигуры попарно подобно расположены, то три центра подобия расположены на одной прямой, причем или все три они внешние, или два из них внутренних, а один внешний.

257. .
Пусть имеем два подобных многоугольника ABCDEF и A"B"C"D"E"F" (чер. 251). Назовем коэффициент подобия чрез k.

A"B"/AB = k, B"C"/BC = k и т. д.,

A"B" = k · AB, B"C" = k · BC, C"D" = k · CD, …

Сложив эти равенства по частям и вынеся множитель k во второй части за скобку, получим:

A"B" + B"C" + C"D" + … = k(AB + BC + CD + …),

(A"B" + B"C" + C"D" …) / (AB + BC + CD + …) = k = A"B"/AB,

т. е. отношение периметров подобных треугольников равно отношению сходственных сторон (или равно коэффициенту подобия) .

Выберем две соответственных вершины, напр., A и A", и построим проходящие чрез них диагонали. Тогда мы знаем: 1) (из п. 253) ∆ABC ~ ∆A"B"C", ∆ACD ~ ∆A"C"D" и т. д. 2) (из п. 212). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон, следовательно,

пл. ∆A"B"C" / пл. ∆ABC = (A"B"/AB) 2 = k 2 ; пл. ∆A"C"D" / пл. ∆ACD = (C"D"/CD) 2 = k 2 и т. д.,

пл. ∆A"B"C" = k 2 · пл. ∆ABC; пл. ∆A"C"D" = k 2 · пл. ∆ACD;
пл. ∆A"D"E" = k 2 · пл. ∆ADE ...

Сложив эти равенства по частям и вынеся общего множителя k 2 во второй части за скобку получим:

пл. ∆A"B"C" + пл. ∆A"C"D" + ∆A"D"E" + … = k 2 (пл. ∆ABC + пл. ∆ACD + пл. ∆ADE + …),

пл. A"B"C"D"E"F" / пл. ABCDEF = k 2 = (A"B"/AB) 2 ,

т. е. отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон (или равно квадрату коэффициента подобия) .

258. Два правильных одноименных многоугольника всегда подобны . В самом деле, углы у одноименных многоугольников одинаковы (п. 248), а так как все стороны каждого равны между собою, то, очевидно, отношение любой стороны одного к любой стороне другого есть число постоянное.

Если в круг впишем какой-либо правильный многоугольник (чер. 252) и чрез середины дуг, стягиваемых его сторонами, построим касательные к кругу, то получим правильный одноименный многоугольник, описанный около этого круга. Не трудно выяснить (предоставляем это желающим), что полученные два правильные многоугольника подобно расположены, и центр круга служит их внешним центром подобия, – внешним потому, что каждая пара соответствующих точек (напр., A и A") расположена в одном направлении от центра (если многоугольник имеет четное число сторон, то центр круга можно считать и внутренним центром подобия, надо лишь считать, что, например, точке A соответствует точка A"").

259. Упражнения .

1. Стороны одного пятиугольника равны соответственно 12, 14, 10, 8 и 16 дм. Найти стороны другого пятиугольника, подобного первому, если его периметр = 80 дм.

2. Сумма площадей двух подобных многоугольников равна 250 кв. дм., а отношение двух сходственных сторон = ¾. Вычислить площадь каждого из них.

3. Показать, что если в круг вписан правильный многоугольник с нечетным числом сторон и в его вершинах построены касательные к кругу, то получится описанный многоугольник, подобно расположенный с вписанным, – центр круга служит их внутренним центром подобия.

4. Дан треугольник; построить другой треугольник, подобно расположенный с первым так, чтобы центр тяжести первого служил внутренним центом подобия и чтобы коэффициент подобия = ½. Выяснить при помощи этого, как расположены точки высот, центр тяжести и центр описанного круга данного треугольника.

5. В данный треугольник вписан квадрат.

Пусть ABC данный треугольник (чер. 253) и DEFK искомый квадрат. Построим еще квадрат MNPQ, чтобы одна сторона MQ лежала на стороне AC треугольника и точка N на стороне AB. Легко видеть, что квадрат MNPQ подобно расположен с искомым квадратом DEFK и внешним их центром подобия является точка A; следовательно, точка F лежит на прямой AP. После нахождения точки F искомый квадрат легко построить.

6. Дан угол и точка внутри его. Найти на одной стороне угла точку, равноудаленную от данной точки и от другой стороны.

Задача решается тем же приемом.

7. Построить треугольник по его высотам.

Легко получить, называя стороны треугольника чрез a, b и c и соответствующие высоты чрез h a , h b и h c , следующую зависимость:

ah a = bh b = ch c , откуда a: b = h b: h a и b: c = h c: h b = h a: (h b h a)/h c

Легко построить отрезок x = (h b h a)/h c (x/h a = h b /h c - построение 4-го пропорционального), после чего построим треугольник со сторонами h b , h a и x. Этот треугольник подобен искомому, так как a: h: c = h b: h a: x; остается построить треугольник подобный только что построенному так, чтобы одна его высота была равна данной.