Нечеткое множество является неправильным. Нечеткие множества

Лекция 4. Моделирование и принятие решений в ГИС.

1. Нечеткие множества

2. Методы оптимизации

Нечеткие множества

Наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в компьютерных системах представляет сегодня одну из важных задач развития ГИС, особенно по применению их в различных сферах управления.

Значительное продвижение в этом направлении сделано 30 лет тому назад про- ром Калифорнийского университета (Беркли) Лотфи А. Заде. Его работа «Fuzzy Sets», появившаяся в 1965 г. в журнале Information and Control, №8, заложила основы моделирования интеллектуальной деятельности человека и явилась начальным толчком к развитию новой математической теории.

Что же предложил Заде? Во-первых, он расширил классическое канторовское понятиемножества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале (0,1)), а не как в классической теории только значения 0 либо 1. Такие множества были названынечеткими(fuzzy).

Им были также определены операции над нечеткими множествами и предложены обобщения известных методов логического вывода.

Рассмотрим некоторые основные положения теории нечетких множеств.

Пусть Е - универсальное множество, х - элементЕ, аК - некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножествоА универсального множестваЕ, элементы которого удовлетворяют свойству R , определяется как множество упорядоченных пар , где - характеристическая функция , принимающая значение 1 , если х удовлетворяет свойству R , и 0 - в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да - нет» относительно свойства R . В связи с этим нечеткое подмножество А универсального множестваЕ определяется как множество упорядоченных пар , где - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М (например, М = ). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А . Множество М называют множеством принадлежностей . Если М = {0,1} , то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Пусть М = и А - нечеткое множество с элементами из универсального множества Е и множеством принадлежностей М .

Величина называется высотой нечеткого множества А . Нечеткое множество А нормально , если его высота равна 1 , т. е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 ( =1 ). При < 1 нечеткое множество называется субнормальным.

Нечеткое множество пусто , если Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле

В приведенных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого значение , либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т. д., или когда выделяются полярные значения.

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например то попарные сравнения можно представить матрицей отношений , где (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу А , при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов, симметричных относительно диагонали, =1/ , т. е. если один элемент оценивается в а раз выше чем другой, то этот последний должен быть в 1/ раз сильнее. В общем случае задача сводится к поиску вектора , удовлетворяющего уравнению вида , где - наибольшее собственное значение матрицы А .

Введение понятия лингвистической переменной, и допущение, что в качестве ее значений (термов) выступают нечеткие множества, фактически позволяет создать аппарат описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.

Поскольку матрица А положительно-определенная по построению, решение данной задачи существует при принятом значении () и является положительным. С(Т), где С(Т) - множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;

М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой С, в нечеткую переменную, т. е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

Введя понятие лингвистической переменной и допуская, что в качестве ее значений (термов) выступают нечеткие множества, фактически позволяет создать аппарат описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.

Нечеткое множество - ключевое понятие нечеткой логики. Пусть Е — универсальное множество, х — элемент Е, a R — некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество А универ-сального множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар

А = { μ A (x ) / x },

где μ А (х) —характеристическая функция, принимающая значе-ние 1, если х удовлетворяет свойству R, и 0 - в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R. В связи с этим нечеткое подмножество А универсаль-ного множества Е определяется как множество упорядоченных пар

А = { μ A (x ) / x },

где μ А (х) — характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности) , принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М (например, М = ).

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М назы-вают множеством принадлежностей. Если М = {0, 1}, то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть Е = {x 1 , x 2 , х з, x 4 , x 5 }, М = ; А — нечеткое множество, для которого μ A (x 1 )= 0,3; μ A (х 2 )= 0; μ A (х 3) = 1; μ A (x 4) = 0,5; μ A (х 5 )= 0,9.

Тогда А можно представить в виде

А = {0,3/x 1 ; 0/х 2 ; 1/х 3 ; 0,5/х 4 ; 0,9/х 5 },

или

А ={0,3/x 1 +0/х 2 +1/х 3 +0,5/х 4 +0,9/х 5 },

или

Замечание . Здесь знак «+» не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Основные характеристики нечетких множеств

Пусть М = и А — нечеткое множество с элементами из универсаль-ного множества Е и множеством принадлежностей М.

Величина называется высотой нечеткого множества А. Нечеткое множество А нормально, если его высота рав-на 1,т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 (= 1). При < 1нечеткое множество называется субнормальным.

Нечеткое множество пусто, если ∀x ϵ E μ A (x ) = 0. Непу-стое субнормальное множество можно нормализовать по формуле

Нечеткое множество унимодально, если μ A (x ) = 1 только на одном х из Е.

. Носителем нечеткого множества А является обычное под-множество со свойством μ A (x )>0, т.е. носитель А = {x /x ϵ E, μ A (x )>0}.

Элементы x ϵ E , для которых μ A (x ) = 0,5 , называются точками перехода множества А.

Примеры нечетких множеств

1. Пусть Е = {0, 1, 2, . . ., 10}, М = . Нечеткое множество «Несколько» можно определить следующим образом:

«Несколько» = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; его характеристики: высота = 1, носитель = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, точки перехода — {3, 8}.

2. Пусть Е = {0, 1, 2, 3,…, n ,… }. Нечеткое множество «Малый» можно определить:

3. Пусть Е = {1, 2, 3, . . ., 100} и соответствует понятию «Возраст», тогда нечеткое множество «Молодой» может быть определено с помощью

Нечеткое множество «Молодой» на универсальном множестве Е" = {ИВАНОВ, ПЕТРОВ, СИДОРОВ,...} задается с помощью функции при-надлежности μ Молодой (x ) на Е = {1, 2, 3, . . ., 100} (возраст), называемой по отношению к Е" функцией совместимости, при этом:

где х — возраст СИДОРОВА.

4. Пусть Е = {ЗАПОРОЖЕЦ, ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,… } - множе-ство марок автомобилей, а Е" = — универсальное множество «Сто-имость», тогда на Е" мы можем определить нечеткие множества типа:

Рис. 1.1. Примеры функций принадлежности

«Для бедных», «Для среднего класса», «Престижные», с функциями при-надлежности вида рис. 1.1.

Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из Е в данный момент времени, мы тем самым определим на Е" нечеткие множества с этими же названиями.

Так, например, нечеткое множество «Для бедных», заданное на уни-версальном множестве Е = { ЗАПОРОЖЕЦ, ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,...}, выглядит так, как показано на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Пример задания нечеткого множества

Аналогично можно определить нечеткое множество «Скоростные», «Средние», «Тихоходные» и т. д.

5. Пусть Е — множество целых чисел:

Е = {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Тогда нечеткое подмножество чисел, по абсолютной величине близких к нулю, можно определить, например, так:

А = {0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

О методах построения функций принадлежности нечет-ких множеств

В приведенных выше примерах использованы пря-мые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого х ϵ Е значение μ А (х), либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности ис-пользуются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выде-лить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1.

Например, в задаче распознавания лиц можно выделить шкалы, приведенные в табл. 1.1.

Таблица 1.1. Шкалы в задаче распознавания лиц


x 1	высота лба
x 2	профиль носа	курносый	горбатый
	длина носа	короткий
x 4	разрез глаз
	цвет глаз
	форма подбородка	остроконечный	квадратный
x 7	толщина губ
	цвет лица
	очертание лица	овальное	квадратное

Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шка-лы, задает μ A (х) ϵ , формируя векторную функцию принад-лежности { μ A (х 1 ) , μ A (х 2 ),…, μ A (х 9) }.

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкрет-ное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: «этот че-ловек лысый» или «этот человек не лысый», тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение μ лысый (данного лица). (В этом примере можно действо-вать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц.)

Косвенные методы определения значений функции принад-лежности используются в случаях, когда нет элементарных из-меримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравне-ний. Если бы значения функций принадлежности были нам из-вестны, например, μ A (х- i ) = ω i , i = 1, 2, ..., n ,то попарные срав-нения можно представить матрицей отношений А = { a ij }, где a ij = ω i / ω j (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу А , при этом пред-полагается, что диагональные элементы равны 1, а для элемен-тов симметричных относительно диагонали a ij = 1/a ij , т.е. если один элемент оценивается в α раз сильнее, чем другой, то этот по-следний должен быть в 1/α раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора ω, удовлетворяющего уравнению вида Aw = λ max w , где λ max — наибольшее собствен-ное значение матрицы А . Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является поло-жительным.

Можно отметить еще два подхода:

использование типовых форм кривых для задания функций принадлежности (в форме (L-R)-Типа - см. ниже) с уточнением их параметров в соответствии с данными эксперимента;
использование относительных частот по данным экспе-римента в качестве значений принадлежности.

Нечеткое множество - это множество пар , где x принимает некоторое информативное значение, а m(x) отображает x в единичный отрезок, принимая значения от 0 до 1. При этом m(x) представляет собой степень принадлежности x к чему-либо (0 - не принадлежит, 1 - принадлежит на все 100%).

Так, на пример, можно задать для числа 7 множество:

<0/1>,<0.4/3>,<1/7> Это множество говорит о том, что 7 - это на 0% единица, на 40% тройка и на 100% семерка.

Нечеткая переменная определяется как .

A - наименование переменной,

X={x} - область определения переменной, набор возможных значений x,

Ca={} - нечеткое множество, описывающее ограничения на возможные значения переменной A (семантику).

Пример: <"Семь",{1,3,7},{<0/1>,<0.4/3>,<1/7>}>. Этой записью мы определили соответствия между словом и некоторыми цифрами. Причем, как в названии переменной, так и в значениях x можно было использовать любые записи, несущие какую-либо информацию.

Лингвистическая переменная определяется как .

B - наименование переменной.
T - множество её значений (базовое терм-множество), состоит из наименований нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X.
G - синтаксическая процедура (грамматика), позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности - генерировать новые осмысленные термы. T`=T U G(T) задает расширенное терм-множество (U - знак объединения).
M - семантическая процедура, позволяющая приписать каждому новому значению лингвистической переменной нечеткую семантику, путем формирования нового нечеткого множества.

Нечеткое множество (или нечеткое число), описывает некотоpые понятия в фyнкциональном виде, т. е. такие понятия как "пpимеpно pавно 5", "скоpость чyть больше 300 км/ч" и т. д., как видно эти понятия невозможно пpедставить одним числом, хотя в pеальности люди очень часто пользyются ими.

Hечеткая пеpеменная это тоже самое, что и нечеткое число, только с добавлением имени, котоpым фоpмализyется понятие описуемое этим числом.

Лингвистическая пеpеменная это множество нечетких пеpеменных, она использyется для того чтобы дать словесное описание некотоpомy нечеткомy числy, полyченномy в pезyльтате некотоpых опеpаций. Т. е. пyтем некотоpых опеpаций подбиpается ближайшее по значению из лингвистической пеpеменной.

Хочy дать несколько советов для твоей пpоги. Hечеткие числа лyчше хpанить как отсоpтиpованное множество паp (соpтиpyется по носителям), за счет этого можно yскоpить выполнения всех логических и математических опеpаций. Когда pеализyешь аpифметические опеpации, то нyжно yчитывать погpешность вычислений, т. е. 2/4 <> 1/2 для компьютеpа, когда я с этим столкнyлся, мне пpишлось несколько yсложнить сpавнение паp, а сpавнений пpиходится делать много. Hосители в нечетких числах должны быть кpатными какому-нибуть числy, иначе pезyльтаты аpиф. опеpаций бyдyт "некpасивыми", т. е. pезyльтат бyдет неточным, особенно это видно пpи yмножении.

За счет хpанения нечетких чисел в отсоpтиpованном виде, я добился того что аpифметические опеpации y меня выполняются по почти линейной зависимости (во вpемени), т. е. пpи yвеличении количества паpа, скоpость вычислений падала линейно. Я пpидyмал и pеализовал точные аpиф. опеpации пpи котоpых не имеет значение кол-во и кpатность носителей, pезyльтат всегда бyдет точным и "кpасивым", т. е. если пеpвоначальные числа были похожи на пеpевеpнyтyю параболу, то и pезyльтат бyдет похожим, а пpи обычных опеpациях он полyчается стyпенчатым. Я так же ввел понятие "обpатные нечеткие числа" (хотя не до конца pеализовал), для чего они нyжны? Как ты знаешь пpи вычитании или делении число из котоpого вычитается дpyгое должно быть шиpе, а это большая пpоблема пpи pешении сложных ypавнений, вот "обpатные нечеткие числа" позволяют это делать.

Базовые операции над нечеткими множествами.

ОБЪЕДИНЕНИЕ: создается новое множество из элементов исходных множеств, причем для одинаковых элементов принадлежность берется максимальной.

A U B = {} Maub(x) = max {Ma(x), Mb(x)} ПЕРЕСЕЧЕНИЕ: создается новое множество из одинаковых элементов исходных множеств, принадлежность которых берется минимальной. A П B = {} Maпb(x) = min {Ma(x), Mb(x)} ДОПОЛНЕНИЕ: инвертируется принадлежность каждого элемента. C = ~A = {} Mc(x) = 1-Ma(x) СТЕПЕНЬ: принадлежность каждого элемента возводится в степень. CON - концентрация, степень=2 (уменьшает степень нечеткости) DIN - растяжение, степень=1/2 (увеличивает степень нечеткости) РАЗНОСТЬ: новое множество состоит из одинаковых элементов исходных множеств. A - B = {} Ma-b(x) = Ma(x)-Mb(a), если Ma(x)>Mb(x) иначе 0 НОСИТЕЛЬ: состоит из элементов исходного множества, принадлежности которых больше нуля. Supp(A) = {x|x?X /\ Ma(x)>0} УМНОЖЕНИЕ НА ЧИСЛО: принадлежности элементов домножаются на число. q*A = {} СУПРЕМУМ: Sup - точная верхняя грань (максимальное значение принадлежности, присутствующее в множестве).

НОРМАЛИЗАЦИЯ: нечеткое множество нормально если супремум множества равен единице. Для нормализации перечитывают принадлежности элементов:

M"a(x) = Ma(x)/(Sup Ma(x)) АЛЬФА-СРЕЗ: множество альфа уровня - те элементы исходного множества, принадлежность которых выше или равна заданного порога. Порог, равный 1/2, называют точкой перехода. Aq = {x|x?X /\ Ma(x)>q} НЕЧЕТКОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ: степень включения нечеткого множества V(A1,A2) = (Ma1(x0)->Ma2(x0))&(Ma1(x1)->Ma2(x1))&.. По Лукасевичу: Ma1(x)->Ma2(x) = 1&(1-Ma1(x)+Ma2(x)) По Заде: Ma1(x)->Ma2(x) = (1-Ma1(x)) \/ Ma2(x) НЕЧЕТКОЕ РАВЕНСТВО: степень нечеткого равенства R(A1,A2) = V(A1,A2) & V(A2,A1)

Словарь

АДАПТАЦИЯ - Любое изменение в структуре или функции организма, которое позволяет ему выживать во внешней среде.

АЛЛЕЛИ - Возможные значения генов.

ГА - Генетический алгоритм. Интеллектуальное исследование произвольного поиска. . Представлен Holland 1975.

ГА МОДЕЛЬ ОСТРОВА (IMGA) - Популяция ГА разделена в несколько подсовокупностей, каждая из которых беспорядочно инициализирована и выполняет независимый последовательный ГА на собственной подпопуляции. Иногда, пригодные ветви решений мигрируют между подсовокупностями. [Например. Levine 1994].

ГЕНЫ - Переменные в хромосоме.

ГЕНЕТИЧЕСКИЙ ДРЕЙФ - Члены популяции сходятся к некоторой отметке пространства решения вне оптимума из-за накопления стохастических ошибок.

ГЕНОТИП - Фактическая структура. Кодированная хромосома.

ГП - Генетическое программирование. Прикладные программы использующие принципы эволюционной адаптации к конструкции процедурного кода.

ДИПЛОИД - В каждом участке хромосомы имеется пара генов. Это позволяет сохраняться долгосрочной памяти.

КГА - Компактный ГА (CGA). В CGA, две или больше совокупности ген постоянно взаимодействуют и взаимно развиваются.

КРОССИНГОВЕР - Обмен отрезками хромосом родителей. В диапазоне от 75 до 95% появляются самые лучшие особи.

ЛОКУС - Позиция гена в хромосоме.

МУТАЦИЯ - Произвольная модификация хромосомы.

СИНАПС - Вход нейрона.

СХЕМА (шемма) - Подмножество подобных хромосом, содержащих модель значений гена.

СХОДИМОСТЬ - Прогрессия к увеличивающейся однородности. Ген, как считают, сходится когда 95% популяции имеет то же самое значение .

УНС - Унифицированная нейронная сеть.

ФИТНЕС-ФУНКЦИЯ - Значение являющееся целевым функциональным значением решения. Оно также называется функцией оценки или функцией цели в проблемах оптимизации.

ФЕНОТИП - Физическое выражение структуры. Декодированный набор ген.

ХРОМОСОМА - Составляющий вектор, строка, или решение.

Д. -Э. Бэстенс, В. .М. Ван Ден Берг, Д. Вуд. .Hейронные сети и финансовые рынки.., Москва, научное издательство.ТВП., 1997.
Галушкин А. И. .Hейрокомпьютеры и их применение. Книга 1. Теория нейронных сетей.. Москва, Издательское предприятие редакции журнала.Радиотехника.,2000.
Тейво Кохонен, Гвидо Дебок.Анализ финансовых данных с помощью самоорганизующихся карт., Москва, издательский дом.Альпина., 2001.
Ф. Уоссерман. .Hейрокомпьютерная техника., Москва, издательство.Мир., 1992.
Шумский C. A. .Hейрокомпьютинг и его применение в экономике и бизнесе., Москва, издательство МИФИ, 1998.
А. И. Змитрович Интеллектуальные информационные системы. - Минск.: HТООО "Тетра Системс", 1997. - 368с.
В. В. Корнеев, А. Ф. Гарев, С. В. Васютин, В. В. Райх Базы данных. Интеллектуальная обработка информации. - М.: "Hолидж", 2000. - 352с.

А = { μ A (x ) / x },

Примеры записи нечеткого множества

Тогда А можно представить в виде

А = {0,3/x 1 ; 0/х 2 ; 1/х 3 ; 0,5/х 4 ; 0,9/х 5 },

или

А ={0,3/x 1 +0/х 2 +1/х 3 +0,5/х 4 +0,9/х 5 },

или

Замечание . Здесь знак «+» не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Основные характеристики нечетких множеств

Нечеткое множество унимодально, если μ A (x ) = 1 только на одном х из Е.

Элементы x ϵ E , для которых μ A (x ) = 0,5 , называются точками перехода множества А.

Примеры нечетких множеств

1. Пусть Е = {0, 1, 2, . . ., 10}, М = . Нечеткое множество «Несколько» можно определить следующим образом:

2. Пусть Е = {0, 1, 2, 3,…, n ,… }. Нечеткое множество «Малый» можно определить:

где х — возраст СИДОРОВА.

Рис. 1.1. Примеры функций принадлежности

«Для бедных», «Для среднего класса», «Престижные», с функциями при-надлежности вида рис. 1.1.

Рис. 1.2. Пример задания нечеткого множества

Аналогично можно определить нечеткое множество «Скоростные», «Средние», «Тихоходные» и т. д.

5. Пусть Е — множество целых чисел:

Е = {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Тогда нечеткое подмножество чисел, по абсолютной величине близких к нулю, можно определить, например, так:

А = {0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

О методах построения функций принадлежности нечет-ких множеств

Например, в задаче распознавания лиц можно выделить шкалы, приведенные в табл. 1.1.

Таблица 1.1. Шкалы в задаче распознавания лиц


x 1	высота лба
x 2	профиль носа	курносый	горбатый
	длина носа	короткий
x 4	разрез глаз
	цвет глаз
	форма подбородка	остроконечный	квадратный
x 7	толщина губ
	цвет лица
	очертание лица	овальное	квадратное

Можно отметить еще два подхода:

использование типовых форм кривых для задания функций принадлежности (в форме (L-R)-Типа - см. ниже) с уточнением их параметров в соответствии с данными эксперимента;
использование относительных частот по данным экспе-римента в качестве значений принадлежности.

Аннотация: В лекции представлены методы моделирования экономических задач с использованием нечетких множеств в среде Mathcad. Введены основные понятия теории нечетких множеств. На примерах показаны операции над множествами, расчет свойств. Рассмотрены оригинальные задачи, в которых применен нечетко-множественный подход в процессе принятия решения. Техника моделирования реализована с помощью матриц программы Mathcad.

Цель лекции. Познакомить с нечеткими множествами. Научить ставить задачу для построения нечетко-множественной модели. Показать, как строить нечеткие множества и производить действия над ними в Mathcad. Представить методы решения нечетко-множественной модели в процессе решения задач.

6.1 Нечетко-множественное моделирование

При моделировании широкого класса реальных объектов возникают необходимость принимать решения в условиях неполной нечеткой информации. Современным перспективным направлением моделирования различного вида неопределенностей является теория нечетких множеств. В рамках теории нечетких множеств разработаны методы формализации и моделирования рассуждений человека, таких понятий как "более или менее высокий уровень инфляции", "устойчивое положение на рынке", "более ценный" и т.д.

Впервые понятие нечетких множеств предложил американский ученый Л.А.Заде (1965 г). Его идеи послужили развитию нечеткой логики. В отличие от стандартной логики с двумя бинарными состояниями (1/0, Да/Нет, Истина/Ложь), нечеткая логика позволяет определять промежуточные значения между стандартными оценками. Примерами таких оценок являются: "скорее да, чем нет", "наверное да", "немного вправо", "резко влево" в отличие от стандартных: "вправо" или "влево", "да". В теории нечетких множеств введены нечеткие числа как нечеткие подмножества специализированного вида, соответствующих высказываниям типа " значение переменной примерно равно а". В качестве примера рассмотрим треугольное нечеткое число , где выделяются три точки: минимально возможное, наиболее ожидаемое и максимально возможное значение фактора. Треугольные числа – это самый часто используемый на практике тип нечетких чисел, причем, чаще всего их используют в качестве прогнозных значений параметра. Например, ожидаемое значение инфляции на следующий год. Пусть наиболее вероятное значение – 10%, минимально возможное – 5%, а максимально возможное – 20%, тогда все эти значения могут быть сведены к виду нечеткого подмножества или нечеткого числа A: А: (5, 10, 20)

С введением нечетких чисел оказалось возможным прогнозировать будущие значения параметров, которые меняются в установленном расчетном диапазоне. Вводится набор операций над нечеткими числами, которые сводятся к алгебраическим операциям с обычными числами при задании определенного интервала достоверности (уровня принадлежности). Применение нечетких чисел позволяет задавать расчетный коридор значений прогнозируемых параметров. Тогда ожидаемый эффект оценивается экспертом также как нечеткое число со своим расчетным разбросом (степенью нечеткости).

Нечеткая логика , как модель человеческих мыслительных процессов, встроена в системы искусственного интеллекта и в автоматизированные средства поддержки принятия решений (в частности, в системы управления технологическими процессами).

6.2 Основные понятия теории нечетких множеств

Множество - неопределяемое понятие математики. Георг Кантор (1845 – 1918) – немецкий математик, чьи работы лежат в основе современной теории множеств, дает такое понятие: "…множество - это многое, мыслимое как единое".

Множество, включающее в себя все объекты, рассматриваемые в задаче, называют универсальным множеством. Универсальное множество принято обозначать буквой . Универсальное множество является максимальным множеством в том смысле, что все объекты являются его элементами, т.е. утверждение в рамках задачи всегда истинно. Минимальным множеством является пустое множество – , которое не содержит ни одного элемента. Все остальные множества в рассматриваемой задаче являются подмножествами множества . Напомним, что множество называют подмножеством множества , если все элементы являются также элементами . Задание множества - это правило, позволяющее относительно любого элемента универсального множества однозначно установить, принадлежит множеству или не принадлежит. Другими словами, это правило, позволяющее определить, какое из двух высказываний, или , является истинным, а какое ложным. Одним из способов задания множеств является задание с помощью характеристической функции.

Характеристической функцией множества называют функцию , заданную на универсальном множестве и принимающую значение единица на тех элементах множества , которые принадлежат , и значение нуль на тех элементах, которые не принадлежат :

(6.1)

В качестве примера рассмотрим универсальное множество и два его подмножества: - множество чисел, меньших 7, и - множество чисел, немного меньших 7. Характеристическая функция множества имеет вид

(6.2)

Множество в данном примере является обычным множеством.

Записать характеристическую функцию множества , используя лишь 0 и 1, невозможно. Например, включать ли в числа 1 и 2? "намного" или "ненамного" число 3 меньше 7? Ответы на эти и подобные им вопросы могут быть получены в зависимости от условий задачи, в которой используются множества и , а также от субъективного взгляда того, кто решает эту задачу. Множество называется нечетким множеством. При составлении характеристической функции нечеткого множества решающий задачу (эксперт) может высказать свое мнение относительно того, в какой степени каждое из чисел множества принадлежит множеству . В качестве степени принадлежности можно выбрать любое число с отрезка . При этом означает полную уверенность эксперта в том, что - столь же полную уверенность, что говорит о том, что эксперт затрудняется в ответе на вопрос, принадлежит ли множеству или не принадлежит. Если , то эксперт склонен отнести к множеству , если же , то не склонен.

Функцией принадлежности нечеткого множества называют функцию , которая

Такую функцию называют функцией принадлежности нечеткому множеству . - Максимальное значение функции принадлежности , присутствующее в множестве - верхняя грань - называется супремум. Функция принадлежности отражает субъективный взгляд специалиста на задачу, вносит индивидуальность в ее решение.

Характеристическую функцию обычного множества можно рассматривать как функцию принадлежности этому множеству, но в отличие от нечеткого множества , принимает лишь два значения: 0 или 1.

Нечетким множеством называют пару , где - универсальное множество , - функция принадлежности нечеткого множества .

Несущим множеством или носителем нечеткого множества называют подмножество множества , состоящее из элементов, на которых .

Точкой перехода нечеткого множества называют элемент множества , на котором .

В рассматриваемом примере, где , - множество чисел, меньших 7, - множество чисел, немного меньших 7, субъективно выбираем значения для множества , которые будут составлять функцию принадлежности . В таблице 6.1 представлены функции принадлежности и для и .

Таблица 6.1.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	1	1	1	1	0	0	0	0
0	0	0,5	0,6	0,8	0,9	0	0	0	0

Часто используется более компактная запись конечных или счетных нечетких множеств. Так, вместо приведенного выше табличного представления подмножеств и , эти подмножества можно записать следующим образом.