Кто придумал необычные способы вычисления. Нетрадиционные способы умножения многозначных чисел. Умножение способом «маленький замок»

В древней Индии применяли два способа умножения: сетки и галеры.
На первый взгляд они кажутся очень сложными, но если ты будешь следовать шаг за шагом в предлагаемых упражнениях, то увидишь, что это довольно просто.
Умножаем, например, числа 6827 и 345:
1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем один из номеров над колонками, а второй по высоте. В предложенном примере можно использовать одну из этих сеток.

2. Выбрав сетку, умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки. В этом случае последовательно умножаем 3 на 6, на 8, на 2 и на 7. Посмотри на этой схеме, как пишется произведение в соответствующей клетке.

3. Посмотри, как выглядит сетка со всеми запоненными клетками.

4. В заключение складываем числа, следуя диагональным полосам. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к следующей диагонали.

Посмотри, как из результатов сложения цифр по диагоналям (они выделены жёлтым фоном) составляется число 2355315, которое и является произведение чисел 6827 и 345.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

“Счёт и вычисления – основа порядка в голове”.
Песталоцци

Цель:

Познакомиться со старинными приемами умножения.
Расширить знания по различным приемам умножения.
Научиться выполнять действия с натуральными числами, используя старинные способы умножения.

Старинный способ умножение на 9 на пальцах
Умножение методом Ферроля.
Японский способ умножения.
Итальянский способ умножения (“Сеткой”)
Русский способ умножения.
Индийский способ умножения.

Ход занятия

Актуальность использования приемов быстрого счета.

В современной жизни каждому человеку часто приходится выполнять огромное количество расчётов и вычислений. Поэтому цель моей работы – показать лёгкие, быстрые и точные методы счёта, которые не только помогут вам во время каких-либо расчётах, но вызовут немалое удивление у знакомых и товарищей, ведь свободное выполнение счётных операций в значительной степени может свидетельствовать о незаурядности вашего интеллекта. Основополагающим элементом вычислительной культуры являются сознательные и прочные вычислительные навыки. Проблема формирования вычислительной культуры актуальна для всего школьного курса математики, начиная с начальных классов, и требует не простого овладения вычислительными навыками, а использования их в различных ситуациях. Владение вычислительными умениями и навыками имеет большое значение для усвоения изучаемого материала, позволяет воспитывать ценные трудовые качества: ответственное отношение к своей работе, умение обнаруживать и исправлять допущенные в работе ошибки, аккуратное исполнение задания, творческое отношение к труду. Однако, в последнее время уровень вычислительных навыков, преобразований выражений имеет ярко выраженную тенденцию к снижению, учащиеся допускают массу ошибок при подсчетах, все чаще используют калькулятор, не мыслят рационально, что отрицательно сказывается на качестве обучения и уровне математических знаний учащихся в целом. Одной из составляющих вычислительной культуры является устный счёт , который имеет большое значение. Умение быстро и правильно произвести несложные вычисления “в уме” необходимо для каждого человека.

Старинные способы умножения чисел.

1. Старинный способ умножение на 9 на пальцах

Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 9 x 3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9 x 3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ – 27.

2. Умножение методом Ферроля.

Для умножения единиц произведения переумножения перемножают единицы множителей, для получения десятков, умножают десятки одного на единицы другого и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Методом Ферроля легко перемножать устно двухзначные числа от 10 до 20.

Например: 12х14=168

а) 2х4=8, пишем 8

б) 1х4+2х1=6, пишем 6

в) 1х1=1, пишем 1.

3. Японский способ умножения

Такой прием напоминает умножение столбиком, но проводится довольно долго.

Использование приема. Допустим, нам надо умножить 13 на 24. Начертим следующий рисунок:

Этот рисунок состоит из 10 линий (количество может быть любым)

Эти линии обозначают число 24 (2 линии, отступ, 4 линии)
А эти линии обозначают число 13 (1 линия, отступ, 3 линии)

(пересечения на рисунке указаны точками)

Количество пересечений:

Верхний левый край: 2
Нижний левый край: 6
Верхний правый: 4
Нижний правый: 12

1) Пересечения в верхнем левом крае (2) – первое число ответа

2) Сумма пересечений нижнего левого и верхнего правого краев (6+4) – второе число ответа

3) Пересечения в нижнем правом крае (12) – третье число ответа.

Получается: 2; 10; 12.

Т.к. два последних числа – двузначные и мы не можем их записать, то записываем только единицы, а десятки прибавляем к предыдущему.

4. Итальянский способ умножения (“Сеткой”)

В Италии, а также во многих странах Востока, этот способ приобрел большую известность.

Использование приема:

Например, умножим 6827 на 345.

1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем одно из чисел над колонками, а второе по высоте.

2. Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки.

6*3 = 18. Записываем 1 и 8
8*3 = 24. Записываем 2 и 4

Если при умножении получается однозначное число, записываем вверху 0, а внизу это число.

(Как у нас в примере при умножении 2 на 3 получилось 6. Вверху мы записали 0, а внизу 6)

3. Заполняем всю сетку и складываем числа, следуя диагональным полосам. Начинаем складывать справа налево. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к единицам следующей диагонали.

Ответ: 2355315.

5. Русский способ умножения.

Этот прием умножения использовался русскими крестьянами примерно 2-4 века назад, а разработан был еще в глубокой древности. Суть этого способа та:“На сколько мы делим первый множитель, на столько умножаем второй”.Вот пример: Нам нужно 32 умножить на 13. Вот как бы решили этот пример 3-4 века назад наши предки:

32 * 13 (32 делим на 2, а 13 умножаем на 2)
16 * 26 (16 делим на 2, а 26 умножаем на 2)
8 * 52 (и т.д.)
4 * 104
2 * 208
1 * 416 =416

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение

Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам число нечетное? Народный способ легко выходит из этого затруднения. Надо, - гласит правило, - в случае нечётного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число. Приведем пример (звездочки указывают, что данную строку надо зачеркнуть):

19*17
4 *68*
2 *136*
1 *272

Сложив незачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат:

17 + 34 + 272 = 323.

Ответ: 323.

6. Индийский способ умножения.

Такой способ умножения использовали в Древней Индии.

Для умножения, например, 793 на 92 напишем одно число как множимое и под ним другое как множитель. Чтобы легче ориентироваться, можно использовать сетку (А) как образец.

Теперь умножаем левую цифру множителя на каждую цифру множимого, то есть, 9х7, 9х9 и 9х3. Полученные произведения пишем в сетку (Б), имея в виду следующие правила:

Правило 1. Единицы первого произведения следует писать в той же колонке, что и множитель, то есть в данном случае под 9.
Правило 2. Последующее произведения надо писать таким образом, чтобы единицы помещались в колонке непосредственно справа от предыдущего произведения.

Повторим весь процесс с другими цифрами множителя, следуя тем же правилам (С).

Затем складываем цифры в колонках и получаем ответ: 72956.

Как можно видеть, мы получаем большой список произведений. Индийцы, имевшие большую практику, писали каждую цифру не в соответствующую колонку, а сверху, насколько это было возможно. Затем они складывали цифры в колонках и получали результат.

Заключение

Мы вступили в новое тысячелетие! Грандиозные открытия и достижения человечества. Мы много знаем, многое умеем. Кажется чем-то сверхъестественным, что с помощью чисел и формул можно рассчитать полёт космического корабля, “экономическую - ситуацию” в стране, погоду на “завтра”, описать звучание нот в мелодии. Нам известно высказывание древнегреческого математика, философа, жившего в 4 веке д. н.э.- Пифагора - “Всё есть число!”.

Согласно философскому воззрению этого учёного и его последователей, числа управляют не только мерой и весом, но также всеми явлениями, происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в мире, душой космоса.

Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попытался показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.

“Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели”. (А.Маркушевич)

Литература.

Энциклопедия для детей. “T.23”. Универсальный энциклопедический словарь \ ред. коллегия: М. Аксёнова, Е.Журавлёва, Д.Люри и др. – М.: Мир энциклопедий Аванта +, Астрель, 2008. – 688 с.
Ожегов С. И. Словарь русского языка: ок. 57000 слов/ Под ред. чл. – корр. АНСИР Н.Ю. Шведовой. – 20 – е изд.– М. : Просвещение, 2000. – 1012 с.
Xочу всё знать! Большая иллюстрированная энциклопедия интеллекта / Пер. с англ. А. Зыковой, К. Малькова, О.Озёровой. – М.: Изд-во ЭКМО, 2006. – 440 с.
Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка 5-6 кл./ О.С.Шейнина, Г.М. Соловьева – М.: Изд-во НЦЭНАС, 2007. – 208 с.
Кордемский Б. А., Ахадов А. А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986.
Минских Е. М. “От игры к знаниям”, М., “Просвещение” 1982г.
Свечников А. А. Числа, фигуры, задачи М., Просвещение, 1977г.
http://matsievsky. newmail. ru/sys-schi/file15.htm
http://sch69.narod. ru/mod/1/6506/hystory. html

второй способ умножения:

НА Руси крестьяне не применяли таблицы умножения, но прекрасно считали произведение многозначных чисел.

На Руси, начиная с глубокой древности и почти до восемнадцатого века, русские люди в своих вычислениях обходились без умножения и деления. Они применяли лишь два арифметических действия – сложение и вычитание. Да еще так называемое «удвоение» и «раздвоение». Но потребности торговой и иной деятельности требовали производить умножение достаточно больших чисел, как двузначных так и трехзначных. Для этого существовал свой особый способ умножения таких чисел.

Сущность старинного русского способа умножения состоит в том, что умножение любых двух чисел сводилось к ряду последовательных делений одного числа пополам (последовательное раздвоение) при одновременном удвоении другого числа.

Например, если в произведении 24 ∙ 5 множимое 24 уменьшить в два раза (раздвоить), а множимое увеличить в два раза (удвоить), т.е. взять произведение 12 ∙ 10, то произведение остается равным числу 120. Это свойство произведения заметили наши далекие предки и научились применять его при умножении чисел своим особым старинным русским способом умножения.

Умножим этим способом 32 ∙ 17..
32 ∙ 17
16 ∙ 34
8 ∙ 68
4 ∙ 136
2 ∙ 272
1 ∙544 Ответ: 32 ∙ 17 = 544.

В разобранном примере деление на два – "раздвоение" происходит без остатка. А как быть, если множитель не делится на два без остатка? И это казалось по плечу древним вычислителям. В этом случае поступали так:
21 ∙ 17
10 ∙ 34
5 ∙ 68
2 ∙ 136
1 ∙ 272
357 Ответ: 357.

Из примера видно, что если множимое не делится на два, то от него сначала отнимали единицу, потом полученный результат раздваивали» и так 5 до конца. Затем все строчки с четными множимыми вычеркивали (2-я, 4-ая, 6-ая и т.д.), а все правые части оставшихся строчек складывали и получали искомое произведение.

Как же рассуждали древние вычислители, обосновывая свой способ вычисления? А вот как: 21 ∙ 17 = 20 ∙ 17 + 17.
Число 17 запоминается, а произведение 20 ∙ 17 = 10∙ 34 (раздваиваем – удваиваем) и записываем. Произведение 10 ∙ 34 = 5 ∙ 68 (раздваиваем – удваиваем), а как бы лишнее произведение 10∙34 вычеркиваем. Так как 5 * 34 = 4 ∙ 68 + 68, то число 68 запоминается, т.е. третья строка не вычеркивается, а 4 ∙ 68 = 2 ∙ 136 = 1 ∙ 272 (раздваиваем – удваиваем), при этом четвертая строка, содержащая как бы лишнее произведение 2 ∙ 136, вычеркивается, а число 272 запоминается. Вот и получается, что, чтобы умножить 21 на 17, надо сложить числа 17, 68 и 272 – это как раз и есть равые части строк именно с нечетными множимыми.
Русский способ умножения и элегантен и экстравагантен одновременно

Предлагаю Вашему вниманию три примера в цветных картинках (в правом верхнем углу проверочный столбик ).

Пример №1 : 12 × 321 = 3852
Рисуем первое число сверху вниз, слева на право: одна зелёненькая палочка (1 ); две оранжевых палочки (2 ). 12 нарисовали.
Рисуем второе число снизу вверх, слева на право: три голубеньких палочки (3 ); две красненькие (2 ); одну сиреневенькую (1 ). 321 нарисовали.

Теперь простым карандашиком по рисунку прогуляемся, точечки пересечения чисел-палочек на части разделим и приступим к подсчёту точечек. Двигаемся справа налево (по часовой стрелке): 2 , 5 , 8 , 3 . Число-результат будем «собирать» слева направо (против часовой стрелки) и… вуаля, получили 3852

Пример №2 : 24 × 34 = 816
В этом примере есть нюансы. При подсчёте точечек в первой части получилось16 . Единичку отправляем-прибавляем к точечкам второй части (20 + 1 )…

Пример №3 : 215 × 741 = 159315
Без комментариев

На первых порах показался мне несколько вычурным, но при этом интригующим и удивительно гармоничным. На пятом примере поймала себя на мысли, что умножение идёт в лёт и работает в режиме автопилота : рисуем, точечки считаем, про таблицу умножения не вспоминаем, вроде как мы её вообще не знаем.

Если честно, то осуществляя проверку рисовательного способа умножения и обратившись к умножению столбиком, и не раз, и не два к своему стыду отметила некоторые притормаживания, свидетельствовавшие о том, что таблица умножения у меня проржавела в некоторых местах и забывать её таки не стоит. При работе с более «серьёзными» числами рисовательный способ умножения стал чересчур громоздким, а умножение столбиком пошло в радость.

P.S. : Слава и хвала родному столбику!
В плане построения способ непритязательный и компактный, очень даже скоростной, память тренирует – таблицу умножения забывать не дозволяет.

И посему, настоятельно рекомендую и себе и Вам по возможности забывать про калькуляторы в телефонах и на компьютерах; и периодически баловать себя умножением столбиком. А то не ровен час и сюжет из фильма «Восстание машин» развернётся не на экране кинотеатра, а на нашей с Вами кухне или лужайке рядом с домом…

Три раза через левое плечо…, стучим по дереву… …и главное не забываем про гимнастику для ума!

УЧИМ ТАБЛИЦУ УМНОЖЕНИЯ!!!

Исследовательская работа по математике в начальной школе

Краткая аннотация исследовательской работы
Каждый школьник умеет умножать многозначные числа «столбиком». В данной работе автор обращает внимание на существование альтернативных способов умножения, доступных младшим школьникам, которые могут «нудные» вычисления превратить в весёлую игру.
В работе рассматриваются шесть нетрадиционных способов умножения многозначных чисел, используемые в различные исторические эпохи: русский крестьянский, решетчатый, маленький замок, китайский, японский, по таблице В.Оконешникова.
Проект предназначен для развития познавательного интереса к изучаемому предмету, для углубления знаний в области математики.
Оглавление
Введение 3
Глава 1. Альтернативные способы умножения 4
1.1. Немного истории 4
1.2. Русский крестьянский способ умножения 4
1.3. Умножение способом «Маленький замок» 5
1.4. Умножение чисел методом «ревность» или «решётчатое умножение» 5
1.5. Китайский способ умножения 5
1.6. Японский способ умножения 6
1.7. Таблица Оконешникова 6
1.8.Умножение столбиком. 7
Глава 2. Практическая часть 7
2.1. Крестьянский способ 7
2.2. Маленький замок 7
2.3. Умножение чисел методом «ревность» или «решётчатое умножение» 7
2.4. Китайский способ 8
2.5. Японский способ 8
2.6. Таблица Оконешникова 8
2.7. Анкетирование 8
Заключение 9
Приложение 10

«Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным».
Б. Паскаль
Введение
Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики нас в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе. Возник вопрос: а есть ли еще какие-нибудь альтернативные способы вычислений? Мне захотелось изучить их более подробно. В поисках ответа на возникшие вопросы было проведено данное исследование.
Цель исследования: выявление нетрадиционных способов умножения для изучения возможности их применения.
В соответствии с поставленной целью нами были сформулированные следующие задачи:
- Найти как можно больше необычных способов умножения.
- Научиться их применять.
- Выбрать для себя самые интересные или более легкие, чем те, которые предлагаются в школе, и использовать их при счете.
- Проверить на практике умножения многозначных чисел.
- Провести анкетирование учащихся 4-х классов
Объект исследования: различные нестандартные алгоритмы умножения многозначных чисел
Предмет исследования: математическое действие «умножение»
Гипотеза: если существуют стандартные способы умножения многозначных чисел, возможно, есть и альтернативные способы.
Актуальность : распространение знаний об альтернативных способах умножения.
Практическая значимость . В ходе работы было решено множество примеров и создан альбом, в который включены примеры с различными алгоритмами умножениями многозначных чисел несколькими альтернативными способами. Это может заинтересовать одноклассников для расширения математического кругозора и послужит началом новых экспериментов.

Глава 1. Альтернативные способы умножения

1.1. Немного истории
Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы современный школьник мог отправиться на пятьсот лет назад, он поразил бы всех быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.
Особенно трудны в старину были действия умножения и деления.
В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках». И все эти приемы умножения соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.
Рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.
1.2. Русский крестьянский способ умножения
В России 2-3 века назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название крестьянского.
Чтобы перемножить два числа, их записывали рядом, а затем левое число делили на 2, а правое умножали на 2. Результаты записывать в столбик, пока слева не останется 1. Остаток отбрасывается. Вычёркиваем те строки, в которых слева стоят чётные числа. Оставшиеся числа в правом столбце - складываем.
1.3. Умножение способом «Маленький замок»
Итальянский математик Лука Пачоли в своём трактате «Сумма знаний по арифметике, отношениям и пропорциональности» (1494г.) приводит восемь различных методов умножения. Первый из них носит название «Маленький замок».
Преимущество способа умножения «Маленький замок» в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов, а это бывает важно, если требуется быстро оценить величину.
Цифры верхнего числа, начиная со старшего разряда, поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа нулей. Затем результаты складываются.
1.4. Умножение чисел методом «ревность» или «решётчатое умножение»
Второй способ Лука Пачоли носит название «ревность» или «решётчатое умножение».
Сначала рисуется прямоугольник, разделённый на квадраты. Затем квадратные клетки делятся по диагонали и «…получается картинка, похожая на решётчатые ставни-жалюзи, - пишет Пачоли. – Такие ставни вешались на окна венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть, сидящих у окон дам и монахинь».
Перемножая каждую цифру первого множителя с каждой цифрой второго, записываются произведения в соответствующие клетки, располагая десятки над диагональю, а единицы под ней. Цифры произведения получают сложением цифр в косых полосах. Результаты сложений записываются под таблицей, а также справа от неё.
1.5. Китайский способ умножения
Теперь представим метод умножения, бурно обсуждаемый в Интернете, который называют китайским. При умножении чисел считаются точки пересечения прямых, которые соответствуют количеству цифр каждого разряда обоих множителей.
1.6. Японский способ умножения
Японский способ умножения – это графический способ с использованием кругов и линий. Не менее забавный и интересный чем китайский. Даже чем-то на него похож.
1.7. Таблица Оконешникова
Кандидат философских наук Василий Оконешников, по совместительству изобретатель новой системы устного счёта, считает, что школьники смогут научиться устно складывать и умножать миллионы, биллионы и даже секстиллионы с квадриллионами. По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.
По мысли учёного, прежде чем стать вычислительным «компьютером», необходимо вызубрить созданную им таблицу.
Таблица разделена на 9 частей. Расположены они по принципу мини калькулятора: слева в нижнем углу «1», справа в верхнем углу «9». Каждая часть – таблица умножения чисел от 1 до 9 (по той же «кнопочной» система). Для того, чтобы умножить любое число, например, на 8, мы находим большой квадрат, соответствующий числу 8 и выписываем из этого квадрата числа, соответствующие цифрам многозначного множителя. Полученные числа складываем особо: первая цифра остаётся без изменения, а все остальные попарно складываются. Получившееся число и будет результатом умножения.
Если при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.
Новая методика была опробована в нескольких российских школах и университетах. Минобразования РФ разрешило публиковать в тетрадях в клеточку вместе с привычной таблицей Пифагора новую таблицу умножения – пока просто для знакомства.
1.8. Умножение столбиком.
Не многие знают, что автором нашего привычного способа умножения столбиком многозначного числа на многозначное следует считать Адама Ризе (Приложение 7). Этот алгоритм считается самым удобным.
Глава 2. Практическая часть
Осваивая перечисленные способы умножения, было решено множество примеров, оформлен альбом с образцами различных алгоритмов вычислений. (Приложение). Рассмотрим алгоритм вычислений на примерах.
2.1. Крестьянский способ
Умножим 47 на 35 (Приложение 1),
-запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;
-левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
-деление заканчивается, когда слева появится единица;
-вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;
-оставшиеся справа числа складываем – это результат.
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.
Вывод. Способ удобен тем, что достаточно знать таблицу только на 2. Однако при работе с большими числами он очень громоздкий. Удобен для работы с двузначными числами.
2.2. Маленький замок
(Приложение 2). Вывод. Способ очень похож на наш современный «столбик». Да еще и сразу определяются цифры старших разрядов. Это бывает важно, если нужно быстро оценить величину.
2.3. Умножение чисел методом «ревность» или «решётчатое умножение»
Умножим, например, числа 6827 и 345 (Приложение 3):
1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем один из множителей над колонками, а второй - по высоте.
2. Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки. Последовательно умножаем 3 на 6, на 8, на 2 и на 7 и т.д.
4. Складываем числа, следуя диагональным полосам. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к следующей диагонали.
Из результатов сложения цифр по диагоналям составляется число 2355315, которое и является произведением чисел 6827 и 345, то есть 6827 ∙ 345 = 2355315.
Вывод. Способ «решетчатое умножение» ничуть не хуже, чем общепринятый. Он даже проще, поскольку в клетки таблицы заносятся числа прямо из таблицы умножения без одновременного сложения, присутствующего в стандартном методе.
2.4. Китайский способ
Предположим надо умножить 12 на 321(Приложение 4). На листе бумаги поочередно рисуем линии, количество которых определяется из данного примера.
Рисуем первое число – 12. Для этого сверху вниз, слева на право, рисуем:
одну зелёную палочку (1)
и две оранжевых (2).
Рисуем второе число – 321, снизу вверх, слева на право:
три голубых палочки (3);
две красные (2);
одну сиреневую (1).
Теперь простым карандашом отделяем точки пересечения и приступим к их подсчёту. Двигаемся справа налево (по часовой стрелке): 2, 5, 8, 3.
Полученный результат прочитаем слева направо – 3852
Вывод. Интересный способ, но проводить 9 прямых при умножении на 9 как-то долго и неинтересно, а потом еще точки пересечения считать. Без сноровки сложно разобраться в делении числа на разряды. В общем, без таблицы умножения не обойтись!
2.5. Японский способ
Умножим 12 на 34 (Приложение 5). Так как второй множитель двузначное число, а первая цифра первого множителя 1, строим два одиночных круга в верхней строке и два двоичных круга в нижней строке, так как вторая цифра первого множителя равна 2.
Так как первая цифра второго множителя 3, а вторая 4, делим круги первого столбца на три части, второго столбца на четыре части.
Количество частей, на которые разделились круги и является ответом, то есть 12 х 34 = 408.
Вывод. Способ очень похож на китайский графический. Только прямые заменены кругами. Легче определять разряды у числа, однако рисовать круги – менее удобно.
2.6. Таблица Оконешникова
Требуется умножить 15647 х 5. Сразу вспоминаем большую «кнопку» 5 (она посередине) и на ней мысленно находим маленькие кнопочки 1, 5, 6, 4, 7 (они также расположены, как на калькуляторе). Им соответствуют числа 05, 25, 30, 20, 35. Полученные числа складываем: первая цифра 0 (остаётся без изменения), 5 мысленно складываем с 2, получаем 7 – это вторая цифра результата, 5 складываем с 3, получаем третью цифру - 8, 0+2=2, 0+3=3 и остаётся последняя цифра произведения – 5. В результате получилось 78 235.
Вывод. Способ очень удобный, но нужно выучить наизусть или всегда иметь под рукой таблицу.
2.7. Анкетирование учащихся
Было проведено анкетирование четвероклассников. Приняли участие 26 человек (Приложение 8). На основании анкетирования выявлено, что все опрошенные умеют умножать традиционным способом. А вот о нетрадиционных способах умножения большинство ребят не знают. И есть желающие познакомиться с ними.
После первичного анкетирования было проведено внеклассное занятие «Умножение с увлечением», на котором ребята познакомились с альтернативными алгоритмами умножения. После чего был проведен опрос с целью выявить наиболее понравившиеся способы. Безусловным лидером стал самый современный метод Василия Оконешникова. (Приложение 9)
Заключение
Научившись считать всеми представленными способами, я считаю, что наиболее удобный метод умножения является способ «Маленький замок» - ведь он так похож на наш нынешний!
Из всех найденных мною необычных способов счета более интересным показался способ «Японский». Самым простым мне показался метод «удвоения и раздвоения», который использовали русские крестьяне. Я его использую при умножении не слишком больших чисел. Очень удобно его использовать при умножении двузначных чисел.
Таким образом, я достигла цели моего исследования – изучила и научилась применять нетрадиционные способы умножения многозначных чисел. Моя гипотеза подтвердилась – я овладела шестью альтернативными способами и выяснила, что это еще не все возможные алгоритмы.
Изученные мною нетрадиционные методы умножения очень интересны и имеют право на существование. А в некоторых случаях ими даже проще пользоваться. Считаю, что о существовании этих методов можно рассказывать в школе, дома и удивить своих друзей и знакомых.
Пока мы только изучали и анализировали уже известные способы умножения. Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы умножения. Также я не хочу останавливаться на достигнутом и продолжить изучение нетрадиционных способов умножения.
Список источников информации
1. Список литературы
1.1. Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика. - М.: АСТ - ПРЕСС, 1999. - 368 с.
1.2. Беллюстина В. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. - ЛКИ,2012.-208 с.
1.3. Депман И. Рассказы о математике. – Ленинград.: Просвещение, 1954. – 140 с.
1.4. Ликум А. Все обо всем. Т. 2. - М.: Филологическое общество «Слово», 1993. - 512 с.
1.5. Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К.. Старинные занимательные задачи. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 160 с.
1.6. Перельман Я.И. Занимательная арифметика. - М.: Русанова, 1994 – 205с.
1.7. Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Л.: Лениздат, 1941 - 12 с.
1.8. Савин А.П. Математические миниатюры. Занимательная математика для детей. - М.: Детская литература, 1998 - 175 с.
1.9. Энциклопедия для детей. Математика. – М.: Аванта +, 2003. – 688 с.
1.10. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/ сост. Савин А.П., Станцо В.В., Котова А.Ю. - М.: ООО «Издательство АСТ», 2000. - 480 с.
2. Другие источники информации
Интернет – ресурсы:
2.1. Корнеев А.А. Феномен русского умножения. История. [Электронный ресурс]

Третьякова Анастасия, Тёмкина Алина

Цель и задачи проекта:

Цель: ознакомление с различными способами умножения натуральных чисел, не используемых на уроках, и их применение при вычислениях числовых выражений.

Задачи:

Найти и разобрать различные способы умножения.
Научиться демонстрировать некоторые способы умножения.
Рассказать о новых способах умножения и научить ими пользоваться учащихся.
Развить навыки самостоятельной работы: поиск информации, отбор и оформление найденного материала.

Гипотеза: «Знания лишь тем открываются.

Кто с разными числами знается!!!»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №35 городского округа Самара

Проект на тему:

«Способы умножения

Натуральных чисел»

Работу выполнили: ученицы 5 «А» класса

Третьякова Анастасия,

Тёмкина Алина.

Научный руководитель:

учитель математики

Рузанова И.М.

Самара, 2014г.

Цель и задачи проекта:

Цель: ознакомление с различными способами умножения натуральных чисел, не используемых на уроках, и их применение при вычислениях числовых выражений.

Задачи:

Найти и разобрать различные способы умножения.
Научиться демонстрировать некоторые способы умножения.
Рассказать о новых способах умножения и научить ими пользоваться учащихся.
Развить навыки самостоятельной работы: поиск информации, отбор и оформление найденного материала.

Гипотеза: «Знания лишь тем открываются.

Кто с разными числами знается!!!»

Пифагор.

Введение. 4 стр.
Основная часть. 5 – 13 стр.

Русско-крестьянский способ умножения. 5 – 6 стр.
Квадрат Пифагора. 6 – 7 стр.
Таблица Оконешникова. 7 – 9 стр.
Индийский способ умножения. 9 – 11 стр.
Египетский способ умножения. 11 – 12 стр.
Китайский способ умножения. 12 стр.
Японский способ умножения. 13 стр.

Заключение. 14 стр.
Литература. 14 стр.

Введение.

….. Вы не сможете выполнить умножения многозначных чисел - хотя бы даже двузначных - если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, т. е. того, что называется таблицей умножения. В старинной «Арифметике» Магницкого необходимость твердого знания таблицы умножения воспета в таких - надо сознаться, чуждых для современного слуха - стихах:

Аще кто не твердит

таблицы и гордит,

Не может познати

числом что множати

И во всей науки, несвобод от муки,

Колико не учиттуне ся удручит

И в пользу не будет аще ю забудет.

Сам Магницкий, автор этих стихов, очевидно, не знал или упустил из виду, что существуют способы перемножать числа и без знания таблицы умножения. Способы эти, не похожи на наши школьные приемы, некоторые употреблялись в обиходе великорусских крестьян и унаследованы ими от глубокой древности, некоторые используются и в наше время.

В школе изучают таблицу умножения, а затем учат детей умножать числа в столбик. Разумеется, это не единственный способ умножения. На самом деле, существует несколько десятков способов умножения многозначных чисел. В данной работе мы приведём несколько способов умножения, возможно они покажутся более простыми и вы будете ими пользоваться.

Основная часть.

Русско-крестьянский способ умножения.

Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоений другого числа. Пример: 32 х 13

Множимое =32	Множитель = 13

Таблица 1.

Деление пополам (см. левую половину Табл.1) продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число (правая часть Табл.1). Последнее удвоенное число и дает искомый результат.

Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение: (32 х 13) = (1 х 416)

Особо внимательные заметят "А как быть с нечетными числами, которые не кратны 2-м?".

Итак, пусть нам необходимо умножить два числа: 987 и 1998. Одно запишем слева, а второе - справа на одной строчке. Левое число будем делить на 2, а правое - умножать на 2 и результаты записывать в столбик. Если при делении возникнет остаток, то он отбрасывается.

Операцию продолжаем, пока слева не останется 1. Затем вычеркнем те строчки, в которых слева стоят четные числа и сложим оставшиеся числа в правом столбце. Это и есть искомое произведение. Дана графическая иллюстрация по данному описанию. (см. Таблицу 2.)

Таблица 2.

Квадрат Пифагора.

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Это всем известный Квадрат Пифагора, отражающий мировую систему счисления, состоящую из девяти цифр: от 1 до 9. Выражаясь современным языком – это девяти разрядная числовая матрица, в которой цифры, являющиеся основой для дальнейших вычислений любой сложности расположены в порядке возрастания. Квадрат Пифагора называют и Эннеадой, а тройку цифр - триада. Можно рассматривать тройки цифр расположенные по горизонтали (123, 456, 789) и по вертикали(147, 258, 369). Причем, записанные таким образом, тройки цифр начинают обозначать уже особые числа, подчиняющиеся законам математической пропорции и гармонии.

Вспомним главное правило древнеегипетской математики, в котором сказано, что умножение производится при помощи удвоения и сложения полученных результатов; то есть каждое удвоение есть сложение числа с самим собой. Поэтому интересно посмотреть на результат подобного удвоения цифр и чисел, но полученному современным методом складывания « в столбик», известному даже в начальных классах школы. Это будет напоминать египетскую систему счисления, по сути, с разницей в том, что все цифры либо числа записываются в один столбик (без указания того или иного действия в соседнем столбике - как у египтян).

Начнем с цифр, составляющих Квадрат Пифагора: от 1 – до 9.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81

10 20 30 40 50 60 70 80 90

Цифра 1: обычный последовательный ряд цифр.

Цифра 9: левый столбик - четкий восходящий ряд («поток»).

правый столбик - четкий нисходящий ряд последовательных цифр. Условимся называть восходящим ряд, значения чисел в котором увеличиваются сверху вниз; в нисходящем же – наоборот: уменьшаются значения чисел сверху вниз.

Цифра 2: в правом столбике повторяются четные цифры 2,4,6,8 («в периоде»).

Цифра 8: такой же повтор - только в обратном порядке- 8,6,4,2.

Цифры 4 и 6: четные цифры «в периоде» 4,8,2,6 и 6,2,8,4.

Цифра 5: подчиняется правилу сложения цифры 5- чередование 5 и 0.

Цифра 3: правый столбик - нисходящий ряд уже не цифр, а чисел, образующих тройки вертикальных рядов в квадрате Пифагора- 369, 258, 147. Причем, отсчет идет «из правого угла квадрата» или справа налево. Здесь также действует принятое выше правило восходящего - нисходящего ряда. Но восходящий ряд – это движение от тройки чисел 147 до тройки 369; нисходящий - от 369 до 147.

Цифра 7: восходящий ряд чисел 147,258,369 из «левого угла» или слева направо. Впрочем, все зависит от того, как изображена сама девятиразрядная числовая матрица - где поставить цифру 1.

Таблица Оконешникова.

Школьники смогут научиться устно складывать и умножать миллионы, биллионы и даже секстиллионы с квадриллионами. А поможет им в этом кандидат философских наук Василий Оконешников, по совместительству изобретатель новой системы устного счёта. Учёный утверждает, что человек способен запоминать огромный запас информации, главное – как эту информацию расположить.
По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.

По мысли учёного, прежде чем стать вычислительным «компьютером», необходимо вызубрить созданную им таблицу. Цифры в ней распределены в девяти клетках непросто. Как утверждает Оконешников, глаз человека и его память так хитро устроены, что информация, расположенная по его методике, запоминается во-первых, быстрее, а во-вторых – намертво.
Таблица разделена на 9 частей. Расположены они по принципу мини калькулятора: слева в нижнем углу «1», справа в верхнем углу «9». Каждая часть – таблица умножения чисел от 1 до 9 (опять же в левом нижнем углу на 1, рядом правее на 2 и т.д., по той же «кнопочной» система). Как ими пользоваться?
Например , требуется умножить 9 на 842 . Сразу вспоминаем большую «кнопку» 9 (она вверху справа и на ней мысленно находим маленькие кнопочки 8,4,2 (они также расположены как на калькуляторе). Им соответствуют числа 72, 36, 18. Полученные числа складываем особо: первая цифра 7 (остаётся без изменения), 2 мысленно складываем с 3, получаем 5 – это вторая цифра результата, 6 складываем с 1, получаем третью цифру -7, и остаётся последняя цифра искомого числа – 8. В результате получилось 7578.
Если при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.
С помощью матричной таблицы Оконешникова по утверждению самого автора, можно изучать и иностранные языки, и даже таблицу Менделеева. Новая методика была опробована в нескольких российских школах и университетах. Минобразования РФ разрешило публиковать в тетрадях в клеточку вместе с привычной таблицей Пифагора новую таблицу умножения – пока просто для знакомства.

Пример : 15647 х 5

Индийский способ умножения.

В древней Индии применяли два способа умножения: сетки и галеры. На первый взгляд они кажутся очень сложными, но если следовать шаг за шагом в предлагаемых упражнениях, то можно убедиться, что это довольно просто.

Умножаем, например, числа 6827 и 345 :

1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем один из номеров над колонками, а второй по высоте. В предложенном примере можно использовать одну из этих сеток.

Сетка 1 Сетка 2

2. Выбрав сетку, умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки. В этом случае последовательно умножаем 3 на 6, на 8, на 2 и на 7. Посмотри на этой схеме, как пишется произведение в соответствующей клетке.

Сетка 1

3. Посмотри, как выглядит сетка со всеми заполненными клетками.

Сетка 1

4. В заключение складываем числа, следуя диагональным полосам. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к следующей диагонали.

Сетка1

Посмотри, как из результатов сложения цифр по диагоналям (они выделены жёлтым фоном) составляется число 2355315 , которое и является произведение чисел 6827 и 345, то есть 6827 х 345 = 2355315.

Египетский способ умножения.

Древнеегипетское умножение является последовательным методом умножения двух чисел. Чтобы умножать числа, им не нужно было знать таблицы умножения, а достаточно было только уметь раскладывать числа на кратные основания, умножать эти кратные числа и складывать. Египетский метод предполагает раскладывание наименьшего из двух множителей на кратные числа и последующее их последовательное перемножение на второй множитель (см. пример). Этот метод можно и сегодня встретить в очень отдаленных регионах.

Разложение. Египтяне использовали систему разложения наименьшего множителя на кратные числа, сумма которых составляла бы исходное число.

Чтобы правильно подобрать кратное число, нужно было знать следующую таблицу значений:

1 x 2 = 2 2 x 2 = 4 4 x 2 = 8 8 x 2 = 16 16 x 2 = 32

Пример разложения числа 25: Кратный множитель для числа «25» - это 16; 25 - 16 = 9. Кратный множитель для числа «9» - это 8; 9 - 8 = 1. Кратный множитель для числа «1» - это 1; 1 - 1 = 0. Таким образом «25» - это сумма трех слагаемых: 16, 8 и 1.

Пример : умножим « 13 » на « 238 » . Известно, что 13 = 8 + 4 + 1. Каждое из этих слагаемых нужно умножить на 238. Получаем: ✔ 1 х 238 = 238 ✔ 4 х 238 = 952 ✔ 8 х 238 = 1904 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 1904 + 952 + 238 = 3094.

Китайский способ умножения.

А теперь представим метод умножения, бурно обсуждаемый в Интернете, который называют китайским. При умножении чисел считаются точки пересечения прямых, которые соответствуют количеству цифр каждого разряда обоих множителей.

Пример : умножим 21 на 13 . В первом множителе 2 десятка и 1единица, значит строим 2 параллельные прямые и поодаль 1 прямую.

Во втором множителе 1 десяток и 3 единицы. Строим параллельно 1 и поодаль 3 прямые, пересекающие прямые первого множителя.

Прямые пересеклись в точках, количество которых и есть ответ, то есть 21 х 13 = 273

Забавно и интересно, но проводить 9 прямых при умножении на 9 как-то долго и неинтересно, а потом еще точки пересечения считать… В общем, без таблицы умножения не обойтись!

Японский способ умножения.

Японский способ умножения – это графический способ с использованием кругов и линий. Не менее забавный и интересный чем китайский. Даже чем-то на него похож.

Пример: умножим 12 на 34. Так как второй множитель двузначное число, а первая цифра первого множителя 1 , строим два одиночных круга в верхней строке и два двоичных круга в нижней строке, так как вторая цифра первого множителя равна 2 .

12 х 34

Так как первая цифра второго множителя 3 , а вторая 4 , делим круги первого столбца на три части, второго столбца на четыре.

12 х 34

Количество частей, на которые разделились круги и является ответом, то есть 12 х 34 = 408.

Заключение.

Работая над этой темой мы узнали, что существует много различных, забавных и интересных способов умножения. Некоторыми в различных странах пользуются до сих пор. Но не все способы удобны в использовании, особенно при умножении многозначных чисел. В общем, таблицу умножения все-таки знать нужно!

Данная работа может быть использована для занятий на математических кружках, дополнительных занятиях с детьми во внеурочное время, как дополнительный материал на уроке по теме «Умножение натуральных чисел». Материал изложен доступно и интересно, что привлечёт внимание и интерес учащихся к предмету математика.