Когда жил ричард львиное сердце. Ричард I Львиное Сердце. Кто он был на самом деле? А был ли гей
Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками.
У данного многогранника есть множество различных свойств:
- Его боковые ребра и прилегающие к ним двугранные углы равны между собой;
- Площади боковых граней одинаковы;
- В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат;
- Высота, опущенная из вершины пирамиды, пересекается с точкой пересечения диагоналей основания.
Все эти свойства помогают легко находить . Однако довольно часто помимо нее требуется рассчитать объем многогранника. Для этого применяется формула объема четырехугольной пирамиды:
То есть объем пирамиды равен одной третьей произведения высоты пирамиды на площадь основания. Так как равна произведению его равных сторон, то мы сразу вписываем в выражение объема формулу площади квадрата.
Рассмотрим пример расчета объема четырехугольной пирамиды.
Пусть дана четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной a
= 6 см. Боковая грань пирамиды равна b
= 8 см. Найдите объем пирамиды.
Чтобы найти объем заданного многогранника, нам потребуется длина его высоты. Поэтому мы найдем ее, применив теорему Пифагора. Для начала рассчитаем длину диагонали. В синем треугольнике она будет гипотенузой. Стоит также помнить, что диагонали квадрата равны между собой и в точке пересечения делятся пополам:
Теперь из красного треугольника найдем необходимую нам высоту h
. Она будет равна:
Подставим необходимые значения и найдем высоту пирамиды:
Теперь, зная высоту, можем подставлять все значения в формулу объема пирамиды и рассчитывать необходимую величину:
Вот таким образом, зная несколько простых формул, мы смогли рассчитать объем правильной четырехугольной пирамиды. Не забывайте, что данная величина измеряется в кубических единицах.
Данный видеоурок поможет пользователям получить представление о теме Пирамида. Правильная пирамида. На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение. Рассмотрим, что такое правильная пирамида и какими свойствами она обладает. Затем докажем теорему о боковой поверхности правильной пирамиды.
На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение.
Рассмотрим многоугольник А 1 А 2 ...А n , который лежит в плоскости α, и точку P , которая не лежит в плоскости α (рис. 1). Соединим точку P с вершинами А 1 , А 2 , А 3 , … А n . Получим n треугольников: А 1 А 2 Р , А 2 А 3 Р и так далее.
Определение . Многогранник РА 1 А 2 …А n , составленный из n -угольника А 1 А 2 ...А n и n треугольников РА 1 А 2 , РА 2 А 3 …РА n А n -1 , называется n -угольной пирамидой. Рис. 1.
Рис. 1
Рассмотрим четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 2).
Р - вершина пирамиды.
ABCD - основание пирамиды.
РА - боковое ребро.
АВ - ребро основания.
Из точки Р опустим перпендикуляр РН на плоскость основания АВСD . Проведенный перпендикуляр является высотой пирамиды.
Рис. 2
Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности боковой, то есть площади всех боковых граней, и площади основания:
S полн = S бок + S осн
Пирамида называется правильной, если:
- ее основание - правильный многоугольник;
- отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.
Пояснение на примере правильной четырехугольной пирамиды
Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 3).
Р - вершина пирамиды. Основание пирамиды АВСD - правильный четырехугольник, то есть квадрат. Точка О , точка пересечения диагоналей, является центром квадрата. Значит, РО - это высота пирамиды.
Рис. 3
Пояснение : в правильном n -угольнике центр вписанной и центр описанной окружности совпадает. Этот центр и называется центром многоугольника. Иногда говорят, что вершина проектируется в центр.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой и обозначается h а .
1. все боковые ребра правильной пирамиды равны;
2. боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.
Доказательство этих свойств приведем на примере правильной четырехугольной пирамиды.
Дано : РАВСD - правильная четырехугольная пирамида,
АВСD - квадрат,
РО - высота пирамиды.
Доказать :
1. РА = РВ = РС = РD
2. ∆АВР = ∆ВCР =∆СDР =∆DAP См. Рис. 4.
Рис. 4
Доказательство .
РО - высота пирамиды. То есть, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС , а значит, и прямым АО, ВО, СО и DО , лежащим в ней. Значит, треугольники РОА, РОВ, РОС, РОD - прямоугольные.
Рассмотрим квадрат АВСD . Из свойств квадрата следует, что АО = ВО = СО = DО.
Тогда у прямоугольных треугольников РОА, РОВ, РОС, РОD катет РО - общий и катеты АО, ВО, СО и DО равны, значит, эти треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников вытекает равенство отрезков, РА = РВ = РС = РD. Пункт 1 доказан.
Отрезки АВ и ВС равны, так как являются сторонами одного квадрата, РА = РВ = РС . Значит, треугольники АВР и ВCР - равнобедренные и равны по трем сторонам.
Аналогичным образом получаем, что треугольники АВР, ВCР, СDР, DAP равнобедренны и равны, что и требовалось доказать в пункте 2.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:
Для доказательства выберем правильную треугольную пирамиду.
Дано : РАВС - правильная треугольная пирамида.
АВ = ВС = АС.
РО - высота.
Доказать : . См. Рис. 5.
Рис. 5
Доказательство.
РАВС - правильная треугольная пирамида. То есть АВ = АС = ВС . Пусть О - центр треугольника АВС , тогда РО - это высота пирамиды. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник АВС . Заметим, что .
Треугольники РАВ, РВC, РСА - равные равнобедренные треугольники (по свойству). У треугольной пирамиды три боковые грани: РАВ, РВC, РСА . Значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна:
S бок = 3S РАВ
Теорема доказана.
Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Дано : правильная четырехугольная пирамида АВСD ,
АВСD - квадрат,
r = 3 м,
РО - высота пирамиды,
РО = 4 м.
Найти : S бок. См. Рис. 6.
Рис. 6
Решение .
По доказанной теореме, .
Найдем сначала сторону основания АВ . Нам известно, что радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м.
Тогда, м.
Найдем периметр квадрата АВСD со стороной 6 м:
Рассмотрим треугольник BCD . Пусть М - середина стороны DC . Так как О - середина BD , то (м).
Треугольник DPC - равнобедренный. М - середина DC . То есть, РМ - медиана, а значит, и высота в треугольнике DPC . Тогда РМ - апофема пирамиды.
РО - высота пирамиды. Тогда, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС , а значит, и прямой ОМ , лежащей в ней. Найдем апофему РМ из прямоугольного треугольника РОМ .
Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды:
Ответ : 60 м 2 .
Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен м. Площадь боковой поверхности равна 18 м 2 . Найдите длину апофемы.
Дано : АВСP - правильная треугольная пирамиды,
АВ = ВС = СА,
R = м,
S бок = 18 м 2 .
Найти : . См. Рис. 7.
Рис. 7
Решение .
В правильном треугольнике АВС дан радиус описанной окружности. Найдем сторону АВ этого треугольника с помощью теоремы синусов.
Зная сторону правильного треугольника ( м), найдем его периметр.
По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды , где h а - апофема пирамиды. Тогда:
Ответ : 4 м.
Итак, мы рассмотрели, что такое пирамида, что такое правильная пирамида, доказали теорему о боковой поверхности правильной пирамиды. На следующем уроке мы познакомимся с усечённой пирамидой.
Список литературы
- Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е изд., испр. и доп. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
- Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
- Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с.: ил.
- Интернет портал «Якласс» ()
- Интернет портал «Фестиваль педагогических идей «Первое сентября» ()
- Интернет портал «Slideshare.net» ()
Домашнее задание
- Может ли правильный многоугольник быть основанием неправильной пирамиды?
- Докажите, что непересекающиеся ребра правильной пирамиды перпендикулярны.
- Найдите величину двугранного угла при стороне основания правильной четырехугольной пирамиды, если апофема пирамиды равна стороне ее основания.
- РАВС - правильная треугольная пирамида. Постройте линейный угол двугранного угла при основании пирамиды.