Как найти объем наклонной треугольной призмы. Урок «Объем наклонной призмы

Определение призмы:

А1А2…АnВ1В2Вn– призма
Многоугольники А1А2…Аn и В1В2…Вn – основания призмы
Параллелограммы А1А2В2В1, А1А2В2В1,… АnА1В1Вn – боковые грани
Отрезки А1В1, А2В2…АnBn – боковые ребра призмы

Виды призм

Шестиугольная Треугольная Четырехугольная призма призма призма

Наклонная и прямая призма

Если боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям то призма называется прямой , в противном случае – наклонной .

Правильная призма

Призма называется правильной , если она прямая и ее основания - правильные многоугольники.

Площадь полной поверхности призмы

Площадь боковой поверхности призмы

Теорема
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна половине произведения периметра основания на высоту призмы.

Объем наклонной призмы

Теорема
Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

Доказательство

Доказательство
Докажем сначала теорему для треугольной призмы, а затем - для произвольной призмы.

1. Рассмотрим треугольную призму с объемом V, площадью основания S и высотой h. Отметим точку О на одном из оснований призмы и направим ось Ох перпендикулярно к основаниям. Рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим буквой х абсциссу точки пересечения этой плоскости с осью Ох, а через S (х) - площадь получившегося сечения.

Докажем, что площадь S (х) равна площади S основания призмы. Для этого заметим, что треугольники ABC (основание призмы) и А1B1С1 (сечение призмы рассматриваемой плоскостью) равны. В самом деле, четырехугольник АA1BB1 - параллелограмм (отрезки АА1 и ВВ1 равны и параллельны), поэтому А1В1=АВ. Аналогично доказывается, что В1С1=ВС и А1С1=АС. Итак, треугольники А1В1С1 и ABC равны по трем сторонам. Следовательно, S(x)=S. Применяя теперь основную формулу для вычисления объемов тел при а=0 и b=h, получаем

2. h h h, S S * h. Теорема доказана.

2. Докажем теперь теорему для произвольной призмы с высотой h и площадью основания S. Такую призму можно разбить на треугольные призмы с общей высотой h . Выразим объем каждой треугольной призмы по доказанной нами формуле и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т. е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем исходной призмы равен S * h. Теорема доказана.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Объем наклонной призмы

Все призмы делятся на прямые и наклонные .

Прямая призма, основанием

которой служит правильный

многоугольник, называется

правильной призмой.

Свойства правильной призмы:

1. Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками. 2. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками. 3. Боковые ребра правильной призмы равны .

Сечение ПРИЗМЫ.

Ортогональное сечение призмы - это сечение, образованное плоскостью, перпендикулярной к боковому ребру.

Боковая поверхность призмы равна произведению периметра ортогонального сечения на длину бокового ребра.

S б =P орт.сеч C

1. Расстояния между ребрами наклонной

треугольной призмы равны: 2см, 3 см и 4см

Боковая поверхность призмы- 45см 2 .Найдите ее боковое ребро.

Решение:

В перпендикулярном сечении призмы треугольник, периметр которого 2+3+4=9

Значит боковое ребро равно 45:9=5(см)

Найдите неизвестные элементы

правильной треугольной

Призмы

по элементам, заданным в таблице.

ОТВЕТЫ.

Спасибо за урок.

Домашнее задание.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Сегодня мы выведем формулу объема наклонной призмы с помощью интеграла.

Вспомним, что такое призма и какая призма называется наклонной?

ПРИЗМА — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а другие грани (боковые) — параллелограммы.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны плоскости основания, то призма прямая, в противном случае призма называется наклонной.

Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

1) Рассмотрим треугольную наклонную призму ВСЕВ2С2Е2. Объем данной призмы равен V, площадь основания — S, высота — h.

Воспользуемся формулой: объем равен интеграл от 0 до h S от икс дэ икс.

V= , где площадь перпендикулярного оси Ох сечения. Выберем ось Ох, причем точка О — начало координат и лежит в плоскости ВСЕ (нижнее основание наклонной призмы). Направление оси Ох перпендикулярно плоскости ВСЕ. Тогда ось Ох пересечет плоскость в точке h, и проведем плоскость Е1 параллельную основаниям наклонной призмы и перпендикулярную оси Ох. Поскольку плоскости параллельны и боковые грани — это параллелограммы, то ВЕ= , СЕ=С1Е1=С2Е2; ВС=В1С1=В2С2

Откуда следует, что треугольники ВСЕ = E2 равны по трем сторонам. Если треугольники равны, значит, равны их площади. Площадь произвольного сечения S(х) равна площади основания Sосн.

В данном случае площадь основания является постоянной. В качестве пределов интегрирования возьмем 0 и h. Получаем формулу: объем равен интеграл от 0 до h S от икс дэ икс или интеграл от 0 до h площади основания от икс дэ икс, площадь основания - это константа (постоянная величина), мы можем вынести ее за знак интеграла и получится, что интеграл от 0 до h дэ икс равен аш минус 0:

Получается, что объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

2) Докажем эту формулу для произвольной n- угольной наклонной призмы. Для доказательства возьмем пятиугольную наклонную призму. Выполним разбиения наклонной призмы на несколько треугольных призм, в данном случае — на три (так же, как при доказательстве теоремы об объеме прямой призмы). Обозначим объем наклонной призмы за V. Тогда объем наклонной призмы будет состоять из суммы объемов трех треугольных призм (по свойству объемов).

V=V1+V2+V3, а объем треугольной призмы мы ищем по формуле: объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

Значит, объем наклонной призмы равен сумме произведений площадей основания на высоту, выносим высоту h за скобки (так как она одинаковая у трех призм) и получаем:

Теорема доказана.

Боковое ребро наклонной призмы — 4 см, составляет с плоскостью основания угол 30°.Стороны треугольника, которые лежат в основании, равны 12, 12, и 14 см. Найти объем наклонной призмы.

Дано: — наклонная призма,

АВ = 12 см, ВС = 12 см, АС = 14 см, В = 4 см, BK = 30° .

Найти: V - ?

Дополнительное построение: В наклонной призме проведем высоту Н.

Мы знаем, что объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

В основании наклонной призмы лежит произвольный треугольник, у которого известны все стороны, значит, применим формулу Герона: площадь треугольника равна квадратному корню из произведения пэ на разность пэ и а, на разность пэ и бэ, на разность пэ и цэ, где пэ — полупериметр треугольника, который ищем по формуле: половина суммы всех сторон а, в и с:

считаем полупериметр:

Подставим значение полупериметра в формулу площади основания, упростим и получим ответ: семь корней из 95.

Рассмотрим ΔB H. Он прямоугольный, так как Н - высота наклонной призмы. Из определения синуса, катет равен произведению гипотенузы на синус противолежащего угла

значение синус 30° равен одной второй, значит

Мы узнали, что

А высота Н - высота наклонной призмы — равна 2.

Следовательно, объем равен

Две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях , а остальные грани - параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями.

Призма является частным случаем цилиндра. Параллелепипед является частным случаем призмы.

Призма обладает следующим свойством:

Любое сечение призмы плоскостью, параллельной её основанию, делит данную призму на две призмы так, что отношение боковых поверхностей и отношение объёмов этих призм равно отношению длин их боковых рёбер. Любое сечение призмы плоскостью, параллельной её боковому ребру, делит данную призму на две призмы так, что отношение объёмов этих призм равно отношению длин их боковых рёбер. Любое сечение призмы плоскостью, параллельной её боковому ребру, делит данную призму на две призмы так, что отношение объёмов этих призм равно отношению площадей их основания.

Виды призм

Прямая призма. Боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны плоскости основания.

Наклонная призма. Боковые рёбра наклонной призмы находятся относительно плоскости основания под углом, отличным от $90^\circ$.

Правильная призма. Основанием прямой призмы является правильный многоугольник. Её боковые гран -- равные прямоугольники.

Полуправильным многогранником называется правильная призма, боковые грани которой -- квадраты.

Объём прямой призмы

Для вывода формулы вычисления объёма правильной призмы возьмём призму, в основании которой лежит треугольник. Достроим её до прямоугольного параллелепипеда (рисунок 1).

Рисунок 1. Тетраэдр, достроенный до параллелепипеда

Из предыдущей главы мы знаем, что объём прямоугольного параллелепипеда равен:

Т.к. полученный параллелепипед состоит из исходной призмы и призмы, равной ей по объёму, то объём исходной призмы будет равен

где $a$, $b$, $c$ длины сторон $AB$, $BC$, $AC$ соответственно, и их произведение равно площади основания исходной призмы, то запишем в общем виде формулу нахождения объёма прямой призмы:

где $S_{осн.}$ -- площадь основания призмы, $H$ -- высота, проведённая к основанию призмы.

Данная формула верна для прямой призмы с любым многоугольником в основании.

Объём наклонной призмы

Для вывода формулы нахождения объёма наклонной призмы рассмотрим треугольную наклонную призму $ABCDFE$. Проведём через ребро $DC$ плоскость $\alpha $, перпендикулярную основанию $ABCD$ исходной призмы, и построим треугольную усечённую призму (рисунок 2).

Рисунок 2. Наклонная призма, плоскость $\alpha $

Теперь через ребро $AB$ проведём плоскость $\beta $, параллельную плоскости $\alpha $ (рисунок 3).

Рисунок 3. Наклонная призма, плоскости $\alpha $ и $\beta $

Если применить такое преобразования к наклонным граням ещё раз, то получится призма, у которой все боковые грани перпендикулярны основанию. Снова получился прямая призма.

Если её подвергнуть подобному преобразованию (сначала дополнить первой усечённой призмой, затем отсечь вторую усечённую призму), то достроенная и отсекаемая призмы совмещаются параллельным переносом на отрезок $AB$. Из этого следует, что фигуры имеют одинаковый объём.

Следовательно, объём построенной прямой призмы равен объёму исходной наклонной.

Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту:

Вывод

Объём любой призмы (наклонной и прямой) находится по формуле:

где $a\cdot b$ - площадь основания, $c$ - высота призмы.