Как доказать, что последовательность сходится? Основные свойства сходящихся последовательностей. Числовая последовательность
Введение………………………………………………………………………………3
1.Теоретическая часть……………………………………………………………….4
Основные понятия и термины…………………………………………………....4
1.1 Виды последовательностей…………………………………………………...6
1.1.1.Ограниченные и неограниченные числовые последовательности…..6
1.1.2.Монотонность последовательностей…………………………………6
1.1.3.Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности…….7
1.1.4.Свойства бесконечно малых последовательностей…………………8
1.1.5.Сходящиеся и расходящиеся последовательности и их свойства..…9
1.2Предел последовательности………………………………………………….11
1.2.1.Теоремы о пределах последовательностей……………………………15
1.3.Арифметическая прогрессия…………………………………………………17
1.3.1. Свойства арифметической прогрессии…………………………………..17
1.4Геометрическая прогрессия…………………………………………………..19
1.4.1. Свойства геометрической прогрессии…………………………………….19
1.5. Числа Фибоначчи……………………………………………………………..21
1.5.1 Связь чисел Фибоначчи с другими областями знаний…………………….22
1.5.2. Использование ряда чисел Фибоначчи для описания живой и неживой природы…………………………………………………………………………….23
2. Собственные исследования…………………………………………………….28
Заключение……………………………………………………………………….30
Список использованной литературы…………………………………………....31
Введение.
Числовые последовательности это очень интересная и познавательная тема. Эта тема встречается в заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на ЕГЭ. Мне интересно узнать связь математических последовательностей с другими областями знаний.
Цель исследовательской работы: Расширить знания о числовой последовательности.
1. Рассмотреть последовательность;
2. Рассмотреть ее свойства;
3. Рассмотреть аналитическое задание последовательности;
4. Продемонстрировать ее роль в развитии других областей знаний.
5. Продемонстрировать использование ряда чисел Фибоначчи для описания живой и неживой природы.
1. Теоретическая часть.
Основные понятия и термины.
Определение. Числовая последовательность– функция вида y = f(x), x О N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y1, y2,…, yn,…. Значения y1, y2, y3,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.
Число a называется пределом последовательности x = {x n }, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |x n - a| < ε.
Если число a есть предел последовательности x = {x n }, то говорят, что x n стремится к a, и пишут
.Последовательность {yn} называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:
y1 < y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….
Последовательность {yn} называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:
y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.
Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство yn = yn+T . Число T называется длиной периода.
Арифметическая прогрессия- это последовательность {an}, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.
Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность {an}, заданная рекуррентно соотношениями
a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)
Геометрическая прогрессия- это последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q.
Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {bn}, заданная рекуррентно соотношениями
b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).
1.1 Виды последовательностей.
1.1.1 Ограниченные и неограниченные последовательности.
Последовательность {bn} называют ограниченной сверху, если существует такое число М, что для любого номера n выполняется неравенство bn≤ M;
Последовательность {bn} называют ограниченной снизу, если существует такое число М, что для любого номера n выполняется неравенство bn≥ М;
Например:
1.1.2 Монотонность последовательностей.
Последовательность {bn} называют невозрастающие (неубывающей), если для любого номера n справедливо неравенство bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1);
Последовательность {bn} называют убывающей (возрастающей), если для любого номера n справедливо неравенство bn> bn+1 (bn Убывающие и возрастающие последовательности называют строго монотонными, невозрастающие- монотонными в широком смысле. Последовательности, ограниченные одновременно сверху и снизу, называются ограниченными. Последовательность всех этих типов носят общее название- монотонные. 1.1.3 Бесконечно большие и малые последовательности. Бесконечно малая последовательность- это числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Последовательность an называется бесконечно малой, если Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если ℓimx→x0 f(x)=0. Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если ℓimx→.+∞ f(x)=0 либо ℓimx→-∞ f(x)=0 Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если ℓimx→.+∞ f(x)=а, то f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0. Бесконечно большая последовательность- числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности. Последовательность an называется бесконечно большой, если ℓimn→0 an=∞. Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если ℓimx→x0 f(x)= ∞. Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ либо ℓimx→-∞ f(x)= ∞ . 1.1.4 Свойства бесконечно малых последовательностей. Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью. Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Любая бесконечно малая последовательность ограничена. Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю. Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы - нули. Если {xn} - бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность {1/xn} , которая является бесконечно малой. Если же всё же {xn} содержит нулевые элементы, то последовательность {1/xn} всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно малой. Если {an} - бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность {1/an}, которая является бесконечно большой. Если же всё же {an}содержит нулевые элементы, то последовательность {1/an} всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно большой. 1.1.5 Сходящиеся и расходящиеся последовательности и их свойства. Сходящаяся последовательность- это последовательность элементов множества Х, имеющая предел в этом множестве. Расходящаяся последовательность- это последовательность, не являющаяся сходящейся. Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю. Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности. Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится. Если последовательность {xn} сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность {1/xn}, которая является ограниченной. Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью. Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью. Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью. Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность. Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела. Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней. Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй. Числовые последовательности представляют собой бесконечные множества чисел. Примерами последовательностей могут служить: последовательность всех членов бесконечной геометрической прогрессии, последовательность приближенных значений (x 1
= 1, х 2
= 1,4, х 3
= 1,41, ...), последовательность периметров правильных n
-угольников, вписанных в данную окружность. Уточним понятие числовой последовательности. Определение 1.
Если каждому числу n
из натурального ряда чисел 1, 2, 3,..., п,...
поставлено в соответствие вещественное число x п,
то множество вещественных чисел x 1 , x 2 , x 3 , …, x n , …
(2.1) называется числовой последовательностью,
или просто последовательностью. . Числа х 1 , x 2
, x 3
, ..., x п,
... будем называть элементами,
или членами
последовательности (2.1), символ x п
- общим
элементом, или членом последовательности, а число п -
его номером.
Сокращенно последовательность (2.1) будем обозначать символом {х п }.
Например, символ {1/n
} обозначает последовательность чисел Иными словами, под последовательностью можно понимать бесконечное множество занумерованных элементов или множество пар чисел (п, x п),
в которых первое число принимает последовательные значения 1, 2, 3, ... . Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента. Например, формула x п =
-1 + (-1) n
определяет последовательность 0, 2, 0, 2,... . Геометрически последовательность изображается на числовой оси в виде последовательности точек, координаты которых равны соответствующим членам последовательности. На рис. 2.1 изображена последовательность {х п
} =
{1/n
} на числовой прямой. Понятие сходящейся последовательности
Определение 2.
Число а
называется пределом последовательности
{x n
},
если для любого положительного числа ε
существует такой номер N
, что при всех п > N
выполняется неравенство Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Если последовательность имеет своим пределом число а
, то это записывается так: Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Определение 3.
Последовательность, имеющая своим пределом число а
= 0, называется бесконечно малой последовательностью.
Замечание 1.
Пусть последовательность {х п
} имеет своим пределом число а
. Тогда последовательность {α n
}=
{x n - a
} есть бесконечно малая, т.е. любой элемент x п
сходящейся последовательности, имеющей предел а
, можно представить в виде где α n -
элемент бесконечно малой последовательности {α n
}.
Замечание 2.
Неравенство (2.2) эквивалентно неравенствам (см. свойство 4 модуля числа из п. 1.5) Это означает, что при п > N
все элементы последовательности {x n
} находятся в ε-окрестности
точки а
(рис. 2.2), причем номер N
определяется по величине ε. Интересно дать геометрическую интерпретацию этого определения. Поскольку последовательность представляет собой бесконечное множество чисел, то если она сходится, в любой ε-окрестности точки а
на числовой прямой находится бесконечное число точек - элементов этой последовательности, тогда как вне ε-окрестности остается конечное число элементов. Поэтому предел последовательности часто называют точкой сгущения.
Замечание 3.
Неограниченная последовательность не имеет конечного
предела. Однако она может иметь бесконечный
предел, что записывается в следующем виде: Если при этом начиная с некоторого номера все члены последовательности положительны (отрицательны), то пишут Если {x n
} - бесконечно малая последовательность, то {1/x п
} - бесконечно большая последовательность,
имеющая бесконечный предел в смысле (2.3), и наоборот. Приведем примеры сходящихся и расходящихся последовательностей. Пример 1.
Показать, используя определение предела последовательности, что . Решение. Возьмем любое число ε > 0. Так как то чтобы выполнялось неравенство (2.2), достаточно решить неравенство 1 / (n
+ 1) < ε, откуда получаем n
> (1 - ε) / ε. Достаточно принять N
= [(1 - ε)/ε] (целая часть числа (1 - ε)/ ε)* , чтобы неравенство |x п
- 1| < ε выполнялосьпривсех п > N.
* Символ [a
] означает целую часть числа а
, т.е. наибольшее целое число, не превосходящееа
. Например, = 2, = 2, = 0, [-0, 5] = -1, [-23,7] = -24. Пример 2.
Показать, что последовательность {х п
} = (-1) n
, или -1, 1, -1, 1,... не имеет предела. Решение. Действительно, какое бы число мы ни предположили в качестве предела: 1 или -1, при ε < 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетворяется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов x п
: все элементы с нечетными номерами равны -1, элементы с четными номерами равны 1. Основные свойства сходящихся последовательностей
Приведем основные свойства сходящихся последовательностей, которые в курсе высшей математики сформулированы в виде теорем. 1. Если все элементы бесконечно малой последовательности
{х п
} равны одному и тому же числу с, то с = 0.
2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
3. Сходящаяся последовательность ограничена.
4. Сумма (разность) сходящихся последовательностей
{х п
} и
{у п
} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательностей
{x п
} и
{y п
}. 5. Произведение сходящихся последовательностей
{х п
} и
{у п
} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей
{х п
} и
{у п
}.
6. Частное двух сходящихся последовательностей
{х п
} и
{у п
} при условии, что предел последовательности
{у п
} отличен от нуля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей
{х п
} и
{y п
}.
7. Если элементы сходящейся последовательности
{х n
} удовлетворяют неравенству x п ≥ b (х п ≤ b) начиная с некоторого номера, то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству а ≥ b (а ≤ b).
8. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность или на число есть бесконечно малая последовательность.
9. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Рассмотрим применение этих свойств на примерах. Пример 3. Найти предел . Решение. При n
числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, т.е. применить сразу теорему о пределе частного нельзя, так как она предполагает существование конечных пределов последовательностей. Преобразуем данную последовательность, разделив числитель и знаменатель на n
2 . Применяя затем теоремы о пределе частного, пределе суммы и снова пределе частного, последовательно находим Пример 4.
x п
} = при п
. Решение. Здесь, как и в предыдущем примере, числитель и знаменатель не имеют конечных пределов, и потому сначала необходимо выполнить соответствующие преобразования. Поделив числитель и знаменатель на n
, получаем Поскольку в числителе стоит произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность,то в силу свойства 8 окончательно получаем Пример 5.
Найти предел последовательности {х п
} = при п
. Решение. Здесь применить непосредственно теорему о пределе суммы (разности) последовательностей нельзя, так как не существует конечных пределов слагаемых в формуле для {х п
}.
Умножим и разделим формулу для {х n
} на сопряженное выражение : Число е
Рассмотрим последовательность {х п
},
общий член которой выражается формулой В курсе математического анализа доказывается, что эта последовательность монотонно возрастает
и имеет предел. Этот предел называют числом е
. Следовательно, по определению Число е
играет большую роль в математике. Далее будет рассмотрен способ его вычисления с любой требуемой точностью. Отметим здесь, что число е
является иррациональным; его приближенное значение равно е
= 2,7182818... . Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность x1, х2, …, хn = {xn} Общий элемент последовательности является функцией от n. Таким образом последовательность может рассматриваться как функция. Задать последовательность можно различными способами - главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности. Пример. {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; … {xn} = {sinn/2} или {xn} = 1; 0; 1; 0; … Для последовательностей можно определить следующие операции: Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т.е. mx1, mx2, … Сложение (вычитание) последовательностей: {xn} {yn} = {xn yn}. Произведение последовательностей: {xn}{yn} = {xnyn}. Частное последовательностей: при {yn} 0. Ограниченные и неограниченные последовательности. Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство: т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M). Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что xn M. Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что xn M Пример. {xn} = n - ограничена снизу {1, 2, 3, … }. Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного >0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие: Это записывается: lim xn = a. В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходится к а при n. Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая. Пример. Доказать, что предел последовательности lim . Пусть при n > N верно, т.е. . Это верно при, таким образом, если за N взять целую часть от, то утверждение, приведенное выше, выполняется. Пример. Показать, что при n последовательность 3, имеет пределом число 2. Итого: {xn}= 2 + 1/n; 1/n = xn - 2 Очевидно, что существует такое число n, что, т.е. lim {xn} = 2. Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела. Доказательство. Предположим, что последовательность {xn}имеет два предела a и b, не равные друг другу. Приводится определение числовой последовательности. Рассмотрены примеры неограниченно возрастающих, сходящихся и расходящихся последовательностей. Рассмотрена последовательность, содержащая все рациональные числа. Определение
. Последовательность обозначается в виде n
-го члена, заключенного в фигурные скобки: .
Также возможны следующие обозначения: .
В них явно указывается, что индекс n
принадлежит множеству натуральных чисел и сама последовательность имеет бесконечное число членов. Вот несколько примеров последовательностей: Другими словами числовая последовательность - это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Число элементов последовательности бесконечно. Среди элементов могут встречаться и члены, имеющие одинаковые значения. Также последовательность можно рассматривать как нумерованное множество чисел, состоящее из бесконечного числа членов. Главным образом нас будет интересовать вопрос - как ведут себя последовательности, при n
стремящемся к бесконечности: .
Этот материал излагается в разделе Предел последовательности – основные теоремы и свойства . А здесь мы рассмотрим несколько примеров последовательностей. Рассмотрим последовательность .
Общий член этой последовательности .
Выпишем несколько первых членов: Теперь рассмотрим последовательность с общим членом .
Вот ее несколько первых членов: Рассмотрим последовательность .
Ее общий член .
Первые члены имеют следующий вид: Далее рассмотрим последовательность .
Ее общий член .
Вот несколько ее первых членов: Рассмотрим последовательность со следующим общим членом: Теперь рассмотрим более интересную последовательность. На числовой прямой возьмем отрезок . Поделим его пополам. Получим два отрезка. Пусть В результате получим последовательность, элементы которой распределены в открытом интервале (0; 1)
.
Какую бы мы ни взяли точку из закрытого интервала
,
мы всегда можем найти члены последовательности, которые окажутся сколь угодно близко к этой точке, или совпадают с ней. Тогда из исходной последовательности можно выделить такую подпоследовательность, которая будет сходиться к произвольной точке из интервала
.
То есть с ростом номера n
,
члены подпоследовательности будут все ближе подходить к наперед выбранной точке. Например, для точки a = 0
можно выбрать следующую подпоследовательность: Для точки a = 1
выберем такую подпоследовательность: Поскольку существуют подпоследовательности, сходящиеся к различным значениям, то сама исходная последовательность не сходится ни к какому числу. Теперь построим последовательность, которая содержит все рациональные числа. Причем каждое рациональное число будет входить в такую последовательность бесконечное число раз. Рациональное число r
можно представить в следующем виде: Для этого на плоскости проводим оси p
и q
.
Проводим линии сетки через целые значения p
и q
.
Тогда каждый узел этой сетки с будет соответствовать рациональному числу. Все множество рациональных чисел будет представлено множеством узлов. Нам нужно найти способ пронумеровать все узлы, чтобы не пропустить ни один узел. Это легко сделать, если нумеровать узлы по квадратам, центры которых расположены в точке (0; 0)
(см. рисунок). При этом нижние части квадратов с q < 1
нам не нужны. Поэтому они не отображены на рисунке. Итак, для верхней стороны первого квадрата имеем: Таким способом мы получаем последовательность, содержащую все рациональные числа. Можно заметить, что любое рациональное число входит в эту последовательность бесконечное число раз. Действительно, наряду с узлом ,
в эту последовательность также будут входить узлы ,
где - натуральное число. Но все эти узлы соответствуют одному и тому же рациональному числу .
Тогда из построенной нами последовательности, мы можем выделить подпоследовательность (имеющую бесконечное число элементов), все элементы которой равны наперед заданному рациональному числу. Поскольку построенная нами последовательность имеет подпоследовательности, сходящиеся к различным числам, то последовательность не сходится ни к какому числу. Здесь мы дали точное определение числовой последовательности. Также мы затронули вопрос о ее сходимости, основываясь на интуитивных представлениях. Точное определение сходимости рассматривается на странице Определение предела последовательности . Связанные с этим свойства и теоремы изложены на странице Постоянное число а
называется пределом
последовательности
{x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа
ε > 0 существует номер N, что все значения x n
, у которых n>N, удовлетворяют неравенству
|x n - a|
<
ε. (6.1)
Записывают это следующим образом: или x n →
a.
Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству
a-
ε < x n < a +
ε, (6.2)
которое означает, что точки x n
, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-
ε, a+
ε), т.е. попадают в какую угодно малую
ε-окрестность точки а
.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся
, в противном случае - расходящейся
.
Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n
.
Пусть дана функция f(x) и пусть a
- предельная точка
области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a
. Точка a
может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.
Определение 1.
Постоянное число А называется предел
функции
f(x) при
x→
a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а
, соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.
Это определение называют определением предел функции по Гейне,
или “на языке последовательностей
”.
Определение 2
. Постоянное число А называется предел
функции
f(x) при
x→
a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число ε
, можно найти такое δ
>0 (зависящее от ε
), что для всех x
, лежащих в
ε-окрестности числа а
, т.е. для x
, удовлетворяющих неравенству Это определение называют определением предел функции по Коши,
или “на языке ε - δ
“.
Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x →
a имеет предел
, равный А, это записывается в виде
. (6.3)
В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x
к своему пределу а
, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел,
и записывать это в виде:
Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.
Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной
.
Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.
Теорема 1
. Если существует каждый предел
Замечание
. Выражения вида 0/0,
∞/∞, ∞-∞
, 0*∞
,
-
являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.
Теорема 2.
(6.7)
т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, (6.8)
(6.9)
Теорема 3.
(6.10)
где e
»
2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело
и второй замечательный предел.
Используются на практике и следствия формулы (6.11):
в частности предел,
Eсли x
→ a и при этом x > a, то пишут x
→a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→
a и при этом x Условие (6.15) можно переписать в виде:
то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.
Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при
x = x o функция
f(x) имеет
разрыв.
Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R
, кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.
Функция f(x) называется непрерывной справа в точке
x o , если предел
и непрерывной слева в точке
x o, если предел
Непрерывность функции в точке x o
равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.
Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o
, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.
1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция
f(x) в точке
x o имеет разрыв первого рода,
или скачок
.
2. Если предел равен
+∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке
x o функция имеет разрыв
второго рода
.
Например, функция y = ctg x при x
→ +0 имеет предел, равный +∞
, значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x
) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.
Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной
в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.
Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.
Рассмотрим пример Я. И. Перельмана
, дающий интерпретацию числа e
в задаче о сложных процентах. Число e
есть предел 100
×
(1 +1/10) 10
»
259 (ден. ед.),
100
×
(1+1/100) 100
»
270 (ден. ед.),
100
×
(1+1/1000) 1000
»
271 (ден. ед.).
При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел
Пример 3.1.
Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.
Решение.
Нам надо доказать, что, какое бы
ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n N имеет место неравенство
|x n -1|
< ε.
Возьмем любое
e
> 0. Так как
;
x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n<
e
. Отсюда n>1/
e
и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/
e
, N = E(1/
e
). Мы тем самым доказали, что предел .
Пример 3
.2
. Найти предел последовательности, заданной общим членом Решение.
Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n
→ ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n
, разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2
, а второго на n
. Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:
Пример 3.3
. Решение.
Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.
Пример 3
.4
. Найти ( Решение.
Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида
∞-∞
. Преобразуем формулу общего члена:
.
Пример 3
.5
. Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.
Решение.
Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел Пример 3
.6
. Доказать, что предел не существует.
Решение.
Пусть x 1 , x 2 ,..., x n ,... - последовательность, для которой Если x n =
p
n, то sin x n = sin
p
n = 0 при всех n
и предел Если же Виджет для вычисления пределов on-line В верхнем окошке вместо sin(x)/x введите функцию, предел которой надо найти. В нижнее окошко введите число, к которому стремится х и нажмите кнопку Calcular, получите искомый предел. А если в окне результата нажмете на Show steps в правом верхнем углу, то получите подробное решение. Правила ввода функций: sqrt(x)- квадратный корень, cbrt(x) - кубический корень, exp(x) - экспонента, ln(x) - натуральный логарифм, sin(x) - синус, cos(x) - косинус, tan(x) - тангенс, cot(x) - котангенс, arcsin(x) - арксинус, arccos(x) - арккосинус, arctan(x) - арктангенс. Знаки: * умножения, / деления, ^ возведение в степень, вместо бесконечности
Infinity. Пример: функция вводится так sqrt(tan(x/2)).
(2.2)
(2.3)
Числовой последовательностью {
x n }
называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, . . .
ставится в соответствие некоторое число x n
.
Элемент x n
называют n-м членом или элементом последовательности.
,
,
.
Примеры последовательностей
Примеры неограниченно возрастающих последовательностей
.
Видно, что с ростом номера n
,
элементы неограниченно возрастают в сторону положительных значений. Можно сказать, что эта последовательность стремится к :
при .
.
С ростом номера n
,
элементы этой последовательности неограниченно возрастают по абсолютной величине, но не имеют постоянного знака. То есть эта последовательность стремится к :
при .
Примеры последовательностей, сходящихся к конечному числу
.
Видно, что с ростом номера n
,
элементы этой последовательности приближаются к своему предельному значению a = 0
:
при .
Так что каждый последующий член ближе к нулю, чем предыдущий. В каком-то смысле можно считать, что есть приближенное значение для числа a = 0
с погрешностью .
Ясно, что с ростом n
эта погрешность стремится к нулю, то есть выбором n
,
погрешность можно сделать сколь угодно малой. Причем для любой заданной погрешности ε > 0
можно указать такой номер N
,
что для всех элементов с номерами большими чем N
:
,
отклонение числа от предельного значения a
не превзойдет погрешности ε
:
.
.
В этой последовательности члены с четными номерами равны нулю. Члены с нечетными n
равны .
Поэтому, с ростом n
,
их величины приближаются к предельному значению a = 0
.
Это следует также из того, что
.
Также как и в предыдущем примере, мы можем указать сколь угодно малую погрешность ε > 0
,
для которой можно найти такой номер N
,
что элементы, с номерами большими чем N
,
будут отклоняться от предельного значения a = 0
на величину, не превышающую заданной погрешности. Поэтому эта последовательность сходится к значению a = 0
:
при .
Примеры расходящихся последовательностей
Вот ее первые члены:
.
Видно, что члены с четными номерами:
,
сходятся к значению a 1 = 0
.
Члены с нечетными номерами:
,
сходятся к значению a 2 = 2
.
Сама же последовательность, с ростом n
,
не сходится ни к какому значению.Последовательность с членами, распределенными в интервале (0;1)
.
Каждый из отрезков снова поделим пополам. Получим четыре отрезка. Пусть
.
Каждый отрезок снова поделим пополам. Возьмем
.
И так далее.
.
= 0
.
.
Члены этой подпоследовательности сходятся к значению a = 1
.
Последовательность, содержащая все рациональные числа
,
где - целое; - натуральное.
Нам нужно каждому натуральному числу n
поставить в соответствие пару чисел p
и q
так, чтобы любая пара p
и q
входила в нашу последовательность.
.
Далее нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:
.
Нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:
.
И так далее.Заключение
0 <
x-a
< ε
, значения функции f(x) будут лежать в
ε-окрестности числа А, т.е.
|f(x)-A|
<
ε.
(6.4)
(6.5)
(6.6)
;
(6.11)
(6.12)
(6.13)
(6.14)
и называются соответственно предел справа
и предел слева
функции
f(x) в точке
а
. Чтобы существовал предел функции f(x) при x→
a необходимо и достаточно, чтобы 
. Функция f(x) называется непрерывной
в точке
x 0 , если предел
. (6.15)
,
,
. В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100
×
1,5 = 150, а еще через полгода - в 150
×
1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100
×
(1 +1/3)
3
»
237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:
.
.
. Найти .
.
).
Выберем теперь в качестве x n
последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. 
Поэтому предел не существует.
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞
x n =2
p
n+
p
/2, то sin x n = sin(2
p
n+
p
/2) = sin
p
/2 = 1 для всех n
и следовательно предел . Таким образом, не существует.
