В результате изучения раздела студент должен:

знать:

¾ основные понятия комбинаторики;

¾ классическое определение вероятности;

¾ определение случайной величины;

¾ математические характеристики случайной величины: математическое ожидание и дисперсию;

уметь:

¾ решать задачи на нахождение вероятности события;

¾ решать задачи на нахождение математического ожидания и дисперсии случайной величины.

Основные понятия комбинаторики

В разделе математики, который называется комбинаторикой, решаются некоторые задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. Например, если взять 10 различных цифр 0, 1, 2, …, 9 и составлять из них комбинации, то будем получать различные числа, например, 345, 534, 1036, 5671, 45 и т.п.

Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр (345 и 534), другие – входящими в них цифрами (1036, 5671), третьи различаются и числом цифр (345 и 45).

Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: размещения, перестановки и сочетания. Однако предварительно познакомимся с понятием факториала.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n – факториалом.

1. Размещения . Размещениями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Пример . Сколько двузначных чисел можно составить из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна из них не повторяется?

Решение. Так как двузначные числа отличаются друг от друга или самими цифрами, или их порядком, то искомое количество равно числу размещений из пяти элементов по два:

Задание. Сколькими способами из восьми кандидатов можно выбрать три лица на три должности?

Ответ: 336.

2. Перестановки . Перестановками из n элементов называются такие соединения из всех n элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов.

Пример. Пусть даны три буквы А, В, С. Сколько можно составить комбинаций из этих букв?

Решение. Число перестановок из трех элементов можно вычислить по формуле: 3! = = 6.

Задание. Сколькими способами можно рассадить 7 человек по 7 местам?

Решение. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: 5040.

3. Сочетания . Сочетаниями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Пример .Сколькими способами можно выбрать трех дежурных, если в классе 30 учащихся?

Решение. Так как из 30 учащихся нужно выбрать 3, то можно составить комбинации, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом, т.е. сочетания из 30 по 3:

Ответ: 4060.

Задание. Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ответ: 3003.

Вопросы для самоконтроля

1. Перечислите основные задачи комбинаторики.

2. Что называется перестановками?

3. Запишите формулу для перестановок из n элементов.

4. Что называется размещениями?

5. Запишите формулу числа размещений из n элементов по m.

6. Что называется сочетаниями?

7. Запишите формулу для числа сочетаний из n элементов по m.

Контрольное задание

Основные понятия комбинаторики

В разделе математики, который называется комбинаторикой, решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. Например, если взять 10 различных цифр 0, 1, 2, 3, …, 9 и составлять из них комбинации, то будем получать различные числа, например 345, 534, 1036, 45 и т. п.

Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр (например, 345 и 534), другие входящими в них цифрами (например, 1036 и 5671), третьи различаются и числом цифр (например, 345 и 45).

Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания. Рассмотрим их отдельно. Однако предварительно познакомиться с понятием факториала.

1. Понятие факториала

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут n! = 1 · 2 · 3 · ... · (n – 1) · n.

Пример 1. Вычислить:

а) 3!; б) 7! – 5!; в)

Решение. а) 3! = 1 · 2 · 3 = 6.

б) Так как 7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 и 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5, то можно вынести за скобки 5!. Тогда получим 5! (6 · 7 – 1) = 5! · 41 = 120 · 41 = 4920.

в)

Пример 2. Упростить:

Решение. а) Учитывая, что (n + 1)! = 1 · 2 · 3 · … · n · (n + 1), а n! = 1 · 2 · 3 ... · n, сократим дробь;

б) Так как (n + 1)! = 1 · 2 · 3 · ... · (n – 1) · n · (n + 1), то после сокращения получим

(n + 1)! = 1 · 2 · 3 · ... · n · (n + 1), n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

Приведем дробь к общему знаменателю, за который примем (n + 1)!. Тогда получим

1 – 3. Вычислите:

1. 2. 3.

4 – 9. Упростите выражения:

4. 6. 8.

5. 7. 9. -

2. Перестановки

Пусть даны три буквы А, В, С. Составим все возможные комбинации из этих букв: АВС, АСВ, ВСА, ВАС, САВ, СВА (всего 6 комбинаций). Мы видим, что они отличаются друг от друга только порядком расположения букв.

Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.

Перестановки обозначаются символом Рn, где n – число элементов, входящих в каждую перестановку.

Число перестановок можно вычислить по формуле

Рn = n (n – 1) (n – 2) · ... · 3 · 2 · 1 (1)

или с помощью факториала:

Pn = n!. (2)

Так, число перестановок из трех элементов согласно формуле (2) составляет

Р3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6, что совпадает с результатом рассмотренного выше примера.

Действительно, на первое место в комбинации (перестановке) можно поставить три буквы. На второе место уже можно поставить только две буквы из трех (одна заняла первое место), а на третьем окажется только одна из оставшихся. Значит, 3 · 2 · 1 = 6 = Р3.

10. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?

11. В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?

12 – 14. Вычислите:

12. 13. 14.

Пусть имеются четыре буквы А, В, С, D. Составив все комбинации только из двух букв, получим:

Мы видим, что все полученные комбинации отличаются или буквами, или их порядком (комбинации ВА и АВ считаются различными).

Комбинации из m элементов по n элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами, называются размещениями.

Размещения обозначаются символом А, где m – число всех имеющихся элементов, n – число элементов в каждой комбинации. При этом полагают, что n m. Число размещений можно вычислить по формуле

n множителей

А = (3)

т. е. число всех возможных размещений из m элементов по n равно произведено n последовательных целых чисел, из которых большее есть m.

Так, А = 4 · 3 = 12, что совпадает с результатом приведенного примера: поскольку число строк соответствует числу всех имеющихся букв, т. е. m = 4, а число столбцов равно 3, всего имеется 12 различных комбинаций.

Пример 3. Вычислить: а) А; б)

Решение. а) А = 6 · 5 · 4 = 120.

б) Так как А = 15 · 14 · 13, А = 15 · 14 · 13 · 12, А = 15 · 14 · 13 · 12 · 11, то

Пример 4. Сколько двузначных чисел можно составить из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна из них не повторяется?

Решение. Так как двузначные числа отличаются друг от друга или самими цифрами, или их порядком, то искомое количество равно числу размещений из пяти элементов по два: А = 5 · 4 = 20. Итак, можно составить 20 различных двузначных чисел.

При нахождении числа размещений мы перемножаем n последовательно убывающих целых чисел, т. е. до полного факториала не хватает (m – n) последовательно убывающих целых множителей.

m множителей

Поэтому формулу числа размещений можно записать в виде

А =

Отсюда, учитывая, что числитель равен m!, а знаменатель равен (m – n)!, запишем эту формулу в факториальной форме:

А = (4)

Пример 5. Вычислить в факториальной форме А.

Решение. А =

15-20. Вычислите любым способом:

15. А; 16. А; 17. А; 18. А; 19. А; 20.

21. Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?

22. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, …, 8, 9?

23. Сколько вариантов расписания можно составить на один день, если всего имеется 8 учебных предметов, а в расписание на день могут быть включены только три из них?

24. Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов?

4. Сочетания

Сочетаниями называются все комбинации из m элементов по n, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь m и n – натуральные числа, причем n m).

Так, из четырех различных букв А, В, С, D можно составить следующие комбинации, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом: АВ, АС, AD, ВС, ВD, СD. Значит, число сочетаний из четырех элементов по два равно 6. Это кратко записывается так: С = 6.

В каждой комбинации сделаем перестановки элементов:

АВ, АС, AD, BC, BD, CD;

BA, CA, DA, CB, DB, DC.

В результате мы получили размещения из четырех элементов по два. Следовательно, СР2 = А, откуда С =

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
Комбинаторика
Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?

Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?

Сколькими способами можно выбрать двух студентов на конференцию, если в группе 33 человека?

Решить уравнения
а) 13 EMBED Equation.3 1415. б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 2, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?

Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не более пяти символов?

Сколькими способами можно составить четырехцветные ленты из семи лент различных цветов.

Сколькими способами можно выбрать четырех лиц на четыре различные должности из девяти кандидатов?

Сколькими способами можно выбрать 3 из 6 открыток?

Перед выпуском группа учащихся в 30 человек обменялась фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек.

Сколькими способами можно рассадить 10 гостей по десяти местам за праздничным столом?

Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в однокруговом чемпионате?

Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?

Теория вероятностей
В урне находиться 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара красные (событие А)?

Девять различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что четыре определенные книги окажутся поставленными рядом (событие С).

Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов, один выигрышный.

из колоды карт (52 карты) наудачу извлекают 3 карты. Найти вероятность того, что это тройка, семерка, туз.

Ребенок играет с пятью буквами разрезной азбуки А, К, Р, Ш, Ы. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово «Крыша».

В ящике находятся 6 белых и 4 красных шара. Наудачу берут два шара. Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета?

В первой урне находятся 6 черных и 4 белых шара, во второй – 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной величины
Составить закон распределения числа попаданий в цель при шести выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4.

Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужную ему книгу, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые он посетит, если в городе четыре библиотеки.

Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает делать не более четырех выстрелов. Найти дисперсию числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.

Найти математическое ожидание случайной величины X, если закон ее распределения задан таблицей:

Х
1
2
3
4

р
0,3
0,1
0,2
0,4

На заводе работают четыре автоматические линии. Вероятность того, что в течении рабочей смены первая линия не потребует регулировки, равна 0,9, вторая – 0,8, третья – 0,75, четвертая – 0,7. найти математическое ожидание числа линий, которые в течение рабочей смены не потребуют регулировки.
Найти дисперсию случайной величины Х, зная закон ее распределения:

Х
0
1
2
3
4

р
0,2
0,4
0,3
0,08
0,02

V. ОТВЕТЫ

Комбинаторика
1. 13 EMBED Equation.3 1415. 2. 13 EMBED Equation.3 1415. 3. 13 EMBED Equation.3 1415. 4. а) 13 EMBED Equation.3 1415, 5; б) 13 EMBED Equation.3 1415. 5. 13 EMBED Equation.3 1415. 6.13 EMBED Equation.3 1415. 7. 13 EMBED Equation.3 1415. 8. 13 EMBED Equation.3 1415. 9.13 EMBED Equation.3 1415. 10.13 EMBED Equation.3 1415. 11. 13 EMBED Equation.3 1415. 12. 13 EMBED Equation.3 1415. 13. 190. 14. 924.

Теория вероятностей
1. 13 EMBED Equation.3 1415 2.13 EMBED Equation.3 1415 3. 13 EMBED Equation.3 1415 4. 13 EMBED Equation.3 14155. 13 EMBED Equation.3 14156.13 EMBED Equation.3 1415 7. 13 EMBED Equation.3 1415

Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
1.
0
1
2
3
4
5
6

0,046656
0,186624
0,311040
0,276480
0,138240
0,036864
0,004096

2.
1
2
3
4

0,3
0,21
0,147
0,343

3. 13 EMBED Equation.3 1415 4. 13 EMBED Equation.3 1415 5.13 EMBED Equation.3 1415 6.13 EMBED Equation.3 1415.

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?

2. Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?

3. Сколькими способами можно выбрать двух студентов на конференцию, если в группе 33 человека?

4. Решить уравнения

5. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 2, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

6. Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?

7. Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не более пяти символов?

8. Сколькими способами можно составить четырехцветные ленты из семи лент различных цветов.

9. Сколькими способами можно выбрать четырех лиц на четыре различные должности из девяти кандидатов?

10. Сколькими способами можно выбрать 3 из 6 открыток?

11. Перед выпуском группа учащихся в 30 человек обменялась фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек.

12. Сколькими способами можно рассадить 10 гостей по десяти местам за праздничным столом?

13. Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в однокруговом чемпионате?

14. Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?

Теория вероятностей

1. В урне находиться 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара красные (событие А)?

2. Девять различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что четыре определенные книги окажутся поставленными рядом (событие С).

3. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов, один выигрышный.

4. из колоды карт (52 карты) наудачу извлекают 3 карты. Найти вероятность того, что это тройка, семерка, туз.

5. Ребенок играет с пятью буквами разрезной азбуки А, К, Р, Ш, Ы. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово «Крыша».

6. В ящике находятся 6 белых и 4 красных шара. Наудачу берут два шара. Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета?

7. В первой урне находятся 6 черных и 4 белых шара, во второй – 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной величины

1. Составить закон распределения числа попаданий в цель при шести выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4.

2. Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужную ему книгу, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые он посетит, если в городе четыре библиотеки.

3. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает делать не более четырех выстрелов. Найти дисперсию числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.

4. Найти математическое ожидание случайной величины X , если закон ее распределения задан таблицей:

5. На заводе работают четыре автоматические линии. Вероятность того, что в течении рабочей смены первая линия не потребует регулировки, равна 0,9, вторая – 0,8, третья – 0,75, четвертая – 0,7. найти математическое ожидание числа линий, которые в течение рабочей смены не потребуют регулировки.