Интеграл и его применение в жизни человека. Курсовая работа по математике. Вычисление работы, производимой при поднятии груза

HTML-версии работы пока нет.

Подобные документы

Ознакомление с историей понятия интеграла. Распространение интегрального исчисления, открытие формулы Ньютона–Лейбница. Символ суммы; расширение понятия суммы. Описание необходимости выражения всех физических явлений в виде математической формулы.

презентация , добавлен 26.01.2015

Идеи интегрального исчисления в работах древних математиков. Особенности метода исчерпывания. История нахождения формулы объема тора Кеплера. Теоретическое обоснование принципа интегрального исчисления (принцип Кавальери). Понятие определенного интеграла.

презентация , добавлен 05.07.2016

История интегрального исчисления. Определение и свойства двойного интеграла. Его геометрическая интерпретация, вычисление в декартовых и полярных координатах, сведение его к повторному. Применение в экономике и геометрии для вычисления объемов и площадей.

курсовая работа , добавлен 16.10.2013

Определение криволинейного интеграла по координатам, его основные свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Использование формулы Грина.

контрольная работа , добавлен 23.02.2011

Условия существования определенного интеграла. Приложение интегрального исчисления. Интегральное исчисление в геометрии. Механические приложение определенного интеграла. Интегральное исчисление в биологии. Интегральное исчисление в экономике.

курсовая работа , добавлен 21.01.2008

История интегрального и дифференциального исчисления. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики. Моменты и центры масс плоских кривых, теорема Гульдена. Дифференциальные уравнения. Примеры решения задач в MatLab.

реферат , добавлен 07.09.2009

Понятие интеграла Стилтьеса. Общие условия существования интеграла Стилтьеса, классы случаев его существования и предельный переход под его знаком. Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана. Применение в теории вероятностей и квантовой механике.

дипломная работа , добавлен 20.07.2009

Определение неопределенного интеграла, первообразной от непрерывной функции, дифференциала от неопределенного интеграла. Вывод формулы замены переменного в неопределенный интеграл и интегрирования по частям. Определение дробнорациональной функции.

шпаргалка , добавлен 21.08.2009

Ознакомление с понятием и основными свойствами определенного интеграла. Представление формулы расчета интегральной суммы для функции y=f(x) на отрезке [а, b]. Равенство нулю интеграла при условии равенства нижнего и верхнего пределов интегрирования.

презентация , добавлен 18.09.2013

Некоторые применения производной. Использование основных теорем дифференциального исчисления к доказательству неравенств. Первообразная и интеграл в задачах элементарной математики. Монотонность интеграла. Некоторые классические неравенства.

Слайд 2

Историческая справка

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур, т.е. задачами на вычисление площадей. Вычислениями площадей поверхностей и объемов тел занимались еще математики Древней Греции и Рима. Первым европейским математиком, получившим новые формулы для площадей фигур и объемов тел, был знаменитый астроном И. Кеплер. После исследований ряда ученых (П.Ферма, Д.Валлиса) И. Барроу открыл связь между задачами отыскания площадей и проведением касательной (т.е. между интегрированием и дифференцированием). Исследование связи между этими операциями, свободное от геометрического языка, было дано И.Ньютоном и Г. Лейбницем. Современное обозначение интеграла восходит к Лейбницу, у которого оно выражало мысль, что площадь криволинейной трапеции есть сумма площадей бесконечно тонких полосок шириной d и высоты f(x). Сам знак интеграла является стилизованной латинской буквой S (summa). Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений.

Слайд 3

Краткая история интегрального исчисления

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение площадей, а также объемов тел связаны с именем Архимеда(287-212 до н. э.) Развивая идеи предшественников Архимед определил длину окружности и площадь круга, объем и поверхность шара. В работах «О шаре и цилиндре», «О спиралях», «О коноидах и сферах», он показал, что определение объемов шара, эллипсоида, гиперболоида и параболоида вращения сводится к определению объема конуса и цилиндра. Архимед разработал и применил методы, предвосхитившие созданное в XVII в. интегральное исчисление. Потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем идеи Архимеда нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления. В XVII в. математики уже умели вычислять площади многих фигур с кривыми границами и объемы многих тел. А общая теория была создана во второй половине XVII в. в трудах великого английского математика Иссака Ньютона(1643-1716) и великого немецкого математика Готфрида Лейбница(1646-1716). Ньютон и Лейбниц являются основателями интегрального исчисления. Они открыли важную теорему, носящую их имя: где f(x) – функция, интегрируемая на отрезке , F(x) – одна из ее первообразных. Рассуждения, которые приводили Ньютон и Лейбниц, несовершенны с точки зрения современного математического анализа. В XVIII в. крупнейший представитель математического анализа Леонард Эйлер эти понятия обобщил в своих трудах. Только в начале XIX в. были окончательно созданы понятия интегрального исчисления. Обычно при этом отмечают заслуги французского математика Огюстена Коши и немецкого математика Георга Римана. Само слово интеграл придумал Я.Бернулли(1690г.). Оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. В1696г. появилось и название новой ветви математики – интегральное исчисление, которое ввел И.Бернулли. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Обозначение определенного интеграла ввел Иосиф Бернулли, а нижние и верхние пределы Леонард Эйлер.

Слайд 4

Неопределенный интеграл

Математические операции образуют пары двух взаимно обратных действий, например, сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня. Дифференцирование дает возможность для заданной функции F(х) находить ее производную F´(х). Существует действие, обратное дифференцированию – это интегрирование – нахождение функции F(х) по известной ее производной f(x) = F´(х)или дифференциалу f(x)dx. Функция F(х) называется первообразной для функции f(x), если F´(х) = f(x) или dF(x)=f(x)dx.Если функция f(x) имеет первообразную F(х), то она имеет бесконечное множество первообразных, причем все ее первообразные содержатся в выражении F(х) +С, где С – постоянная. Неопределенным интегралом от функции f(x)(или от выражения f(x)dx) называется совокупность всех ее первообразных. Обозначение ∫f(x)dx = F(х) +С. Здесь ∫ – знак интеграла, f(x) - подынтегральная функция, f(x)dx - подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования. Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции. Свойства неопределенного интеграла Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: (∫ f(x)dx)´ = f(x) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: d (∫ f(x)dx) = f(x) dx Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной и дополнительному слагаемому С:∫d (F(x)) = F(х) +С Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: ∫a f(x) dx =a ∫f(x) dx Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых: ∫ dx = ∫ dx ± ∫ dx

Слайд 5

Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла выводится через криволинейную трапецию. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная линиями y = f(x), y = 0, x=a, x=b.Площадь криволинейной трапеции выражается интегральной суммой или числом, которое называется определенным интегралом. Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница. = F (x)|ba= F(b) – F(a) Общность обозначения определенного и неопределенного интегралов подчеркивает тесную связь между ними: определенный интеграл – это число, а неопределенный интеграл – совокупность первообразных функций. Связь между определенным и неопределенным интегралом выражается формулой Ньютона – Лейбница. Свойства определенного интеграла: Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определенный интеграл сохранит абсолютную величину, но изменит свой знак на противоположный. Если верхняя и нижняя границы интегрирования равны, то определенный интеграл равен нулю. Если отрезок интегрирования разбить на несколько частей, определенный интеграл на отрезке будет равен сумме определенных интегралов этих отрезков. Определенный интеграл от суммы функций, заданных на отрезке равен сумме определенных интегралов от слагаемых функций. Постоянный множитель к подынтегральной функции можно выносить за знак определенного интеграла. Оценка определенного интеграла: если m ≤ f(x) ≤ M на , то m (b – a)

Слайд 6

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке и f(x) ≥ 0. Фигура, ограниченная графиком АВ функции y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Ох (см. рисунок), называется криволинейной трапецией. Интегральная сумма и ее слагаемые имеют простой геометрический смысл: произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой, а сумма представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры, изображенной на рисунке. Очевидно, что эта площадь зависит от разбиенияотрезка на частичные отрезки и выбора количества точек разбиения. Чем меньше ∆ х, тем площадь ступенчатой фигуры ближе к площади криволинейной трапеции. Следовательно, за точную площадь S криволинейной трапеции принимается предел интегральной суммы. Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Слайд 7

Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование Непосредственным интегрированием принято называть вычисление неопределенных интегралов путем приведения их к табличным с применением основных свойств. Здесь могут представиться следующие случаи: 1) данный интеграл берется непосредственно по формуле соответствующего табличного интеграла; 2) данный интеграл после применения свойств приводится к одному или нескольким табличным интегралам; 3) данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применением свойств приводится к одному или нескольким табличным интегралам. 2. Интегрирование методом замены переменной (способом подстановки) Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: х = φ (t), где φ (t) – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае имеет вид ∫f(x) = ∫f [φ (t)] φ΄ (t) d(t); 2) u = ψ(x), где u – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке: ∫f [ψ(х)] ψ ΄(х) d(х) = ∫f (u) du 3. Интегрирование по частям Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле ∫udv = uv - ∫v du, где u = φ (x), v = ψ(х) – непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы нахождение интеграла ∫udv сводится к отысканию другого интеграла ∫v du; ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен. При этом за u берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которого известен или может быть найден.

Слайд 8

Таблица неопределенных интегралов

Слайд 9

Повторение теоретического материала

Как найти площади изображенных фигур?

Слайд 10

Продолжаем повторять

Слайд 11

Применение интеграла

Кроме этого определенный интеграл используется для вычисления площадей плоских фигур, объемов тел вращения, длин дуг кривых.

Слайд 12

Вычисление объемов тел

Пусть задано тело объемом V, причем имеется такая прямая, что, какую бы плоскость, перпендикулярную этой прямой, мы ни взяли, нам известна площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпендикулярная оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х. Следовательно, каждому числу х (из отрезка [а; b]) поставлено в соответствие единственное число S (х) - площадь сечения тела этой плоскостью. Тем самым на отрезке [а; b] задана функция S(x). Если функция S непрерывна на отрезке [а; b] то справедлива формула:

Слайд 13

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

Найдите площадь изображенных фигур 1 – 5. Ответы: 1) S = 2/3 (четность функции); 2) S = 1 (площадь прямоугольного треугольника); 3) S = 4 (равенство фигур); 4) S = 2π (площадь полукруга); 5) S = 1 (площадь треугольника).

Слайд 14

Найди ошибку!

Найти сумму площадей бесконечного количества фигур, заштрихованных на рисунках. (Аргумент каждой следующей функции увеличивается в 2 раза) Интересная задача! Ответ: sin nx=0 ; x=π/n; где n=1,2,4,8,16…; S=2+1+1/2+1/4+1/8+…=2/(1-1/2)=4 Ответ: 4.

Слайд 15

Программированный контроль

Верные ответы: I вариант: 2,3,1 ; II вариант: 2,4,2.

Слайд 16

Самостоятельная работа

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (схематично изобразив графики функций). 1) y = 6 + x – x2 и y = 6 – 2x; 2) y = 2x2 и y = x + 1 ; 3) y = 1 – x и y = 3 – 2x – x2 ; 4) y = x2 и y = . Ответ: 1) 4,5 ; 2) 9/8 ; 3) 4,5 ; 4) 1/3 .

Слайд 17

Задачи на вычисление объемов

Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: 1) y = x2 + 1, x = 0, x = 1, y = 0 ; 2) y = , x = 1 , x = 4 , y = 0 ; 3) y = 2x , y = x + 3, x = 0 , x = 1 ; 4) y = x + 2 , y = 1 , x = 0 , x = 2 ; 5) у2 – 4 х = 0, х – 2 = 0, х – 4 = 0, у = 0; 6) у2 – х + 1 = 0, х – 2 = 0, у = 0; 7) y = - x2 + 2х, у = 0; 8) у2 = 2 х, х – 2 = 0, у = 0; 9) y = , x = 3 , y = 0 ; 10) у = 1 – x2 , у = 0. Ответ: 1) ; 2) 7,5  ; 3) 11 ; 4) 16 ⅔; 5) 24 ; 6) /2; 7) 16/15; 8) 4 ; 9) 2 ; 10) 16/15.

Слайд 18

Задачи из ЕГЭ

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 2) Фигура, ограниченная линиями y=x+6, x=1, y=0 делится параболой y=x 2+2x+4 на две части. Найти площадь каждой части. 3) Найти ту первообразную F(x) функции f(x)=2x+4, график которой касается прямой у=6х+3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми у=6х+3 и у=0.

Слайд 19

Контрольные вопросы

Какое действие называется интегрированием? Какая функция называется первообразной для функции f(x)? Чем отличаются друг от друга различные первообразные функции для данной функции f(x)? Дайте определение неопределенного интеграла. Как проверить результат интегрирования? Чему равна производная от неопределенного интеграла? Чему равен ∫ d(lnx8 – sin 3x)? Перечислите методы интегрирования. Дайте определение определенного интеграла. Сформулируйте теорему Ньютона – Лейбница. Перечислите свойства определенного интеграла. Как вычислить площадь плоской фигуры с помощью интеграла (составьте словесный алгоритм)? Перечислите области применения интеграла, назовите величины, которые можно вычислить с помощью интеграла.

Слайд 20

Для любителей математики

1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями:y=x2 при x0, y=1, y=4, x=0 Решение: Данная фигура симметрична криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=1, х=4, у=0, графиком функции, обратной у=х2, x0. Поэтому эти фигуры имеют равные площади и 2) Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми у=3х+1, у=9-х, у=х+1. Решение: Вершины полученного ABC имеют координаты: А(0;1), В(2;7), С(4;5). Можно заметить, что ABC - прямоугольный (произведение угловых коэффициентов прямых у=х+1 у=9-х равно -1). Поэтому применение интеграла для вычисления S(ABC) не рационально. Её всегда можно найти как разность площадей треугольников, у которых известны высота и основание или же можно использовать координатный метод.

Слайд 21

Домашнее задание

Найти площади фигур, ограниченных линиями (1-7) у=х2 (х0), у=1, у=4, х=0 у= х2-4х+8, у=3х2-х3, если х [-2;3] у=х2-4х+sin2(x/2), y=-3-cos2(x/2), если х у=3х+1, у=9-х, у=х+1 у=|x-2|, x|y|=2;x=1;x=3 y= arcsin x; у=0; x=0,5; x=1 При каком значении а прямая х=а делит площадь фигуры, ограниченной линиями у=2/х; х=1; х=3 в отношении 1:3? Вычислить исходя из его геометрического смысла.

Слайд 22

Список литературы

Н. А. Колмогоров, «Алгебра и начала анализа», Москва, Просвещение,2000г. М. И. Башмаков, «Алгебра и начала анализа», Москва, ДРОФА,2002г. Ш.А.Алимов, «Алгебра и начала анализа», 11 кл., Москва, ДРОФА, 2004г. Л. В. Киселева, Пособие по математике для студентов медицинских училищ и колледжей, Москва, ФГОУ«ВУНМЦ Росздрава», 2005г. http://www.nerungri.edu.ru http://tambov.fio.ru http://www.zachetka.ru http://edu.of.ru http://festival.1september.ru

Посмотреть все слайды

Cлайд 1

МКОУ «Большеатлымская средняя общеобразовательная школа» Тема: «Интеграл и его практическое применение» Сближение теории с практикой дает самые благоприятные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает, сами науки развиваются под влиянием ее. П. Л. Чебышев

Cлайд 2

Выполнил: Ершов Николай, ученик 11 класса. Руководитель: Дедовец Надежда Артемовна, учитель математики С. Большой Атлым 2012-2013 уч. год

Cлайд 3

Цель работы: Расширить область математических знаний. Развивать логическое мышление. Вывести общие формулы, позволяющие решать задачи интегрирования. Показать, что интеграл широко применяется в различных сферах жизнедеятельности.

Cлайд 4

Задачи исследования: - собрать, изучить и систематизировать материал об интеграле; - рассмотреть, как интеграл используется при решении различных жизненных ситуаций; - использование интеграла в различных сферах жизнедеятельности. Объект исследования: область математики – интегрирование.

Cлайд 5

Немного истории -1675 г, опубликовано в 1686 г ввел Г.Лейбниц - 1675 г, Ж Лагранж 5 век до н.э. др.гр. ученый Демокрит 3-4 век до н.э. Архимед ввел метод исчерпывания

Cлайд 6

Cлайд 7

«Интеграл» придумал Я.Бернулли (1690) «восстанавливать» от латинского integro «целый» от латинского integer

Cлайд 8

Cлайд 9

Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716) « Общее искусство знаков представляет чудесное пособие, так как оно разгружает воображение… Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Обозначения коротко выражают и отображают сущность вещей. Тогда поразительным образом сокращается работа мысли.» Лейбниц

Cлайд 10

Cлайд 11

Cлайд 12

Площадь фигуры Объем тела вращения Работа электрического заряда Работа переменной силы Масса Перемещение Дифференциальное уравнение Давление Количество теплоты

Cлайд 13

Задача.Найти объём наклонной треугольной призмы с основанием S и высотой h. 1. Введём ось ОХ перпендикулярно основаниям призмы. 2. (АВС) OX=a, a=0, (A1B1C1) OX=b, b=h 3. Проведём плоскость перпендикулярно ОХ через точку с абсциссой х. А2В2С2-треугольник, равный основаниям. Площадь А2В2С2 равна S. Ответ: V=Sh 4. S(x) непрерывна на

Cлайд 14

Из эксперимента известно, что скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. За какое время количество бактерий увеличится в m раз по сравнению с начальным? Решение: Пусть x(t) – количество бактерий в момент времени t. x(0) = x0. Изменение количества бактерий со временем описывается уравнением x´(t) = kx(t), k>0, ln|x| = kt+ln|C|, x=ekteln|C| , x=Cekt - общее решение уравнения. ЗАДАЧА

Cлайд 15

Уже Архимед успешно находил площади фигур, несмотря на то, что в математике его времени не было понятия интеграла Но лишь интегральное исчисление дает общий метод решения задач из различных областей наук. Недаром даже поэты воспевали интеграл. Смысл- там, где змеи интеграла Меж цифр и букв, меж d и f. Там – власть, там творческие горны! Пред волей чисел все – рабы. И солнца путь вершат, покорны Немым речам и ворожбы. В.Брюсов.

Cлайд 18

Заключение Применение физических моделей при введении понятия интеграла, рассмотрении его свойств, отработке техники интегрирования и изучении приложений способствует осознанному качественному усвоению материала, развитию правильного представления об изучаемом понятии, его огромной значимости в различных науках, формированию мировоззрения, таких специальных качеств, как умение строить математические модели реальных процессов и явлений, исследовать и изучать их, а, следовательно, способствует развитию мышления, памяти, внимания и речи.

Представьте, что у нас есть какая-то функция зависимости чего-то от чего-то.

Например, вот так примерно можно на графике представить скорость моей работы в зависимости от времени суток:

Скорость я измеряю в строках кода в минуту, в реальной жизни я программист.

Объем работы - это скорость работы умножить на время. То есть если я пишу 3 строки в минуту, то в час получается 180. Если у нас есть такой график, можно узнать, сколько работы я сделал за день: это площадь под графиком. Но как это посчитать?

Разделим график на столбики равной ширины величиной в час. А высоту этих столбиков сделаем равной скорости работы в середине этого часа.

Площадь каждого столбика по отдельности легко посчитать, надо умножить его ширину на высоту. Получается, что площадь каждого столбика - это сколько примерно я работы сделал за каждый час. А если просуммировать все столбики, то получится примерная моя работа за день.

Проблема в том, что результат получится примерный, а нам нужно точное число. Разобьем график на столбики по полчаса:

На картинке видно, что это уже гораздо ближе к тому, что мы ищем.

Так уменьшать отрезки на графике можно до бесконечности, и каждый раз мы все ближе и ближе будем подходить к площади под графиком. А когда ширина столбиков будет стремиться к нулю, тогда сумма их площадей будет стремиться к площади под графиком. Это и называется интегралом и обозначается вот так:

В этой формуле f(x) означает функцию, которая зависит от величины x, а буквы a и b - это отрезок на котором мы хотим найти интеграл.

Зачем это нужно?

Ученые стараются все физические явления выразить в виде математической формулы. Как только у нас есть формула, дальше уже можно при помощи нее посчитать что угодно. А интеграл - это один из основных инструментов работы с функциями.

Например, если у нас есть формула круга, мы можем при помощи интеграла посчитать его площадь. Если у нас есть формула шара, то мы можем посчитать его объем. При помощи интегрирования находят энергию, работу, давление, массу, электрический заряд и многие другие величины.

Нет, зачем мне это нужно?

Да низачем - просто так, из любопытства. На самом деле интегралы входят даже в школьную программу, но не так много людей вокруг помнят, что это такое.

Иванов Сергей, студент гр.14-ЭОП-33Д

Работа может быть использована на обобщающем уроке по темам "Производная", "Интеграл".

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

ГБПОУ КНТ им. Б. И. Корнилова Исследовательская работа по теме: « применение Производных и интегралов в физике, математике и электротехнике.» Студента гр. 2014-эоп-33д иванова сергея.

1 .История появления производной. В конце 17 века великий английский учёный Исаак Ньютон доказал что Путь и скорость связаны между собой формулой: V (t)= S ’(t) и такая связь существует между количественными характеристиками самых различных процессов исследуемых: физикой, (a = V ’= x ’’ , F = ma = m * x ’’ , импульс P = mV = mx ’ , кинетическая E = mV 2 /2= mx ’ 2 /2), химией, биологией, и техническими науками. Это открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания.

1 .История появления производной. Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном принадлежит немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу. К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой, т.е. сформулировал геометрический смысл производной, что значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной или tg угла наклона касательной с положительным направлением оси О X . Термин производная и современные обозначения y ’ , f ’ ввёл Ж.Лагранж в 1797г.

2 .История появления интеграла. Понятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребности вычислять площади (квадратуру) любых фигур и объёмы (кубатуру) произвольных тел. Предыстория интегрального исчисления восходит к древности. Первым известным методом для расчёта интегралов является метод для исследования площади или объёма криволинейных фигур - метод исчерпывания Евдокса (Евдокс Книдский (ок. 408 г. до н.э. - ок. 355 г. до н.э.) - древнегреческий математик, механик и астроном), который был предложен примерно в 370 до н. э. Суть этого метода заключается в следующем: фигура, площадь или объем которой пытались найти, разбивалась на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны.

«Метод исчерпывания» Предположим, что нам надо вычислить объём лимона, имеющего неправильную форму, и поэтому применить какую-либо известную формулу объёма нельзя. С помощью взвешивания найти объём также трудно, так как плотность лимона в разных частях его разная. Поступим следующим образом. Разрежем лимон на тонкие дольки. Каждую дольку приближённо можно считать цилиндриком, радиус основания, которого можно измерить. Объём такого цилиндра вычислить легко по готовой формуле. Сложив объёмы маленьких цилиндров, мы получим приближенное значение объёма всего лимона. Приближение будет тем точнее, чем на более тонкие части мы сможем разрезать лимон.

2 .История появления интеграла. Вслед за Евдоксом метод «исчерпывания» и его варианты для вычисления объёмов и площадей применял древний учёный Архимед. Успешно развивая идеи своих предшественников, он определил длину окружности, площадь круга, объём и поверхность шара. Он показал, что определение объёмов шара, эллипсоида, гиперболоида и параболоида вращения сводится к определению объёма цилиндра.

Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, созданное Лейбницем и Ньютоном. Сам термин «дифференциальное уравнение» был предложен в 1676 году Лейбницем. 3 .История появления дифференциальных уравнений. Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых требовалось определить координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени при различных воздействиях. К дифференциальным уравнениям приводили также некоторые рассмотренные в то время геометрические задачи.

3 .История появления дифференциальных уравнений. Из огромного числа работ XVII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707-1783) и Лагранжа (1736-1813). В этих работах была прежде развита теория малых колебаний, а следовательно - теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в n -мерном случае). Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранж, а позже Гаусс (1777-1855) развивают также методы теории возмущений.

4 .Применение производной и интеграла в математике: В математике производную широко используют в решениях многих задач, уравнений, неравенств, а так же в процессе исследования функции. Пример: Алгоритм исследования функции на экстремум: 1)О.О.Ф. 2) y ′=f ′(x), f ′(x)=0 и решаем уравнение. 3)О.О.Ф. разбиваем на интервалы. 4)Определяем знак производной на каждом интервале. Если f ′(x)>0 , то функция возрастает. Если f ′(x)

4 .Применение производной и интеграла в математике: Интеграл (определенный интеграл) используют в математике (геометрии) для нахождения площади криволинейной трапеции. Пример: Алгоритм нахождения площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла: 1)Строим график указанных функций. 2)Указать фигуру ограниченную этими линиями. 3)Найти пределы интегрирования, записать определенный интеграл и вычислить его.

5 .Применение производной и Интеграла в физике. В физике производную используют в основном для решения задач, например: нахождение скорости или ускорения каких-либо тел. Пример: 1)Закон движения точки по прямой задается формулой s(t)= 10t^2 , где t -время (в секундах), s(t) -отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найди скорость и ускорение в момент времени t, если: t=1,5 с. 2)Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)= 2+20t+5t2. Найдите скорость и ускорение в момент времени t=2с (х – координата точки в метрах, t – время в секундах).

Физическая величина Среднее значение Мгновенное значение Скорость Ускорение Угловая скорость Сила тока Мощность

5 .Применение производной и Интеграла в физике. Интеграл также используется в задачах, например: нахождение скорости или пути. Тело движется со скоростью v(t) = t + 2 (м/с). Найти путь, который пройдет тело за 2 секунды после начала движения. Пример:

6 .Применение производной и Интеграла в электротехнике. Производная также нашла применение в электротехнике. В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени. I=q ′(t) Пример: 1)Заряд, протекающий через проводник, меняется по закону q=sin(2t-10) Найти силу тока в момент времени t=5 cек. Интеграл в электротехнике можно использовать для решения обратных задач, т.е. нахождение электрического заряда зная силу тока и т.д. 2)Электрический заряд протекающий через проводник, начиная с момента t = 0, задаётся формулой q(t) = 3t2 + t + 2.Найдите силу тока в момент времени t = 3с. Интеграл в электротехнике можно использовать для решения обратных задач, т.е. нахождение электрического заряда зная силу тока и т.д.