Фонетика примеры. Озвончение согласных: примеры. Фонетика русского языка. Правописание безударных гласных в корне слова
В некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции.
Эта статья предназначена тем, кто столкнулся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Теория построена так, что с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях, вы сможете справиться со своей задачей.
Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие метод решения с подробными пояснениями и решениями характерных примеров и задач. Вам остается лишь определить вид дифференциального уравнения Вашей задачи, найти подобный разобранный пример и провести аналогичные действия.
Для успешного решения дифференциальных уравнений с Вашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) различных функций. При необходимости рекомендуем обращаться к разделу .
Сначала рассмотрим виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производной, далее перейдем к ОДУ второго порядка, следом остановимся на уравнениях высших порядков и закончим системами дифференциальных уравнений.
Напомним, что , если y является функцией аргумента x .
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида .
Запишем несколько примеров таких ДУ .
Дифференциальные уравнения можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x) . В этом случае приходим к уравнению , которое будет эквивалентно исходному при f(x) ≠ 0 . Примерами таких ОДУ являются .
Если существуют значения аргумента x , при которых функции f(x) и g(x) одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения при данных x являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести .
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения . При различных p и q возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися , действительными и совпадающими или комплексно сопряженными . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как , или , или соответственно.
Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Корнями его характеристического уравнения являются k 1 = -3
и k 2 = 0
. Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y ищется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, . Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , посвящен предыдущий пункт. А частное решение определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x) , стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем
Разобраться в теории и ознакомиться с подробными решениями примеров мы Вам предлагаем на странице линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .
Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.
Общее решение ЛОДУ на некотором отрезке представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, .
Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:
Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.
Примером ЛОДУ является .
Общее решение ЛНДУ ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении мы только что говорили, а можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примера ЛНДУ можно привести .
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Порядок дифференциального уравнения , которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка, может быть понижен до n-k заменой .
В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y .
Например, дифференциальное уравнение после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.
Чтобы решить однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка, используют подстановку u=y/x, то есть u — новая неизвестная функция, зависящая от икса. Отсюда y=ux. Производную y’ находим с помощью правила дифференцирования произведения:y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (так как x’=1). Для другой формы записи: dy=udx+xdu.После подстановки уравнение упрощаем и приходим к уравнению с разделяющимися переменными.
Примеры решения однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка.
1) Решить уравнение
Проверяем, что это уравнение является однородным (см. Как определить однородное уравнение). Убедившись, делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Так как логарифм произведения равен сумме логарифмов, ln(ux)=lnu+lnx. Отсюда
u’x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). После приведения подобных слагаемых: u’x+u=u(1+lnu). Теперь раскрываем скобки
u’x+u=u+u·lnu. В обеих частях стоит u, отсюда u’x=u·lnu. Поскольку u — функция от икса, u’=du/dx. Подставляем,
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные, для чего обе части умножаем на dx и делим на x·u·lnu, при условии, что произведение x·u·lnu≠0
Интегрируем:
В левой части — табличный интеграл. В правой — делаем замену t=lnu, откуда dt=(lnu)’du=du/u
ln│t│=ln│x│+C. Но мы уже обсуждали, что в таких уравнениях вместо С удобнее взять ln│C│. Тогда
ln│t│=ln│x│+ln│C│. По свойству логарифмов: ln│t│=ln│Сx│. Отсюда t=Cx. (по условию, x>0). Пора делать обратную замену: lnu=Cx. И еще одна обратная замена:
По свойству логарифмов:
Это — общий интеграл уравнения.
Вспоминаем условие произведение x·u·lnu≠0 (а значит, x≠0,u≠0, lnu≠0, откуда u≠1). Но x≠0 из условия, остается u≠1, откуда x≠y. Очевидно, что y=x (x>0) входят в общее решение.
2) Найти частный интеграл уравнения y’=x/y+y/x, удовлетворяющий начальным условиям y(1)=2.
Сначала проверяем, что это уравнение является однородным (хотя наличие слагаемых y/x и x/y уже косвенно указывает на это). Затем делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем полученные выражения в уравнение:
u’x+u=1/u+u. Упрощаем:
u’x=1/u. Так как u — функция от икса, u’=du/dx:
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Чтобы разделить переменные, умножаем обе части на dx и u и делим на x (x≠0 по условию, отсюда u≠0 тоже, значит, потери решений при этом не происходит).
Интегрируем:
и поскольку в обеих частях стоят табличные интегралы, сразу же получаем
Выполняем обратную замену:
Это — общий интеграл уравнения. Используем начальное условие y(1)=2, то есть подставляем в полученное решение y=2, x=1:
3) Найти общий интеграл однородного уравнения:
(x²-y²)dy-2xydx=0.
Замена u=y/x, откуда y=ux, dy=xdu+udx. Подставляем:
(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Выносим x² за скобки и делим на него обе части (при условии x≠0):
x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0
(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Раскрываем скобки и упрощаем:
xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,
xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Группируем слагаемые с du и dx:
(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Выносим общие множители за скобки:
x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Разделяем переменные:
x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Для этого обе части уравнения делим на xu(u²+1)≠0 (соответственно, добавляем требования x≠0 (уже отметили), u≠0):
Интегрируем:
В правой части уравнения — табличный интеграл, рациональную дробь в левой части раскладываем на простые множители:
(или во втором интеграле можно было вместо подведения под знак дифференциала сделать замену t=1+u², dt=2udu — кому какой способ больше нравится). Получаем:
По свойствам логарифмов:
Обратная замена
Вспоминаем условие u≠0. Отсюда y≠0. При С=0 y=0, значит, потери решений не происходит, и y=0 входит в общий интеграл.
Замечание
Можно получить запись решения в другом виде, если слева оставить слагаемое с x:
Геометрический смысл интегральной кривой в этом случае — семейство окружностей с центрами на оси Oy и проходящих через начало координат.
Задания для самопроверки:
1) (x²+y²)dx-xydy=0
1) Проверяем, что уравнение является однородным, после чего делаем замену u=y/x, откуда y=ux, dy=xdu+udx. Подставляем в условие: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Разделив обе части уравнения на x²≠0, получаем: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Отсюда dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Упростив, имеем: dx-xudu=0. Отсюда xudu=dx, udu=dx/x. Интегрируем обе части:
Приведём примеры простых и сложных случаев фонетических разборов слов. К каждому примеру дано объяснение разбора.
Покажем примеры фонетических разборов для йотированных гласных. Определение йотированных гласных дано на странице звуков . В русском слове много слов с удвоенными согласными: классно, баллон, сумма, ванна и другие. В звуко-буквенном разборе следует обращать особое внимание на позицию удвоенной согласной, так как может образовываться долгий звук. Покажем на примерах два случая.
Пример 1
Йотированная гласная + ь
Слово: е́ль
Транскрипция: [й’эл’]
[э
] — гласный, ударный
л → [л’
] — согласный, звонкий непарный (сонорный), мягкий парный
ь — не обозначает звука
В этом примере гласная е стоит в начале слова, поэтому является йотированной и образует два звука [й’] + [э]. Мягкий знак не означает звука, но смягчает согласную л. В итоге 3 буквы и 3 звука.
Пример 2
Йотированная гласная + чередование согласной
Слово: его́
Транскрипция: [й’иво]
е → [й’
] — согласный, звонкий непарный (сонорный), мягкий непарный
[и
] — гласный, безударный
г → [в
] — согласный, звонкий парный, твёрдый парный
о → [о
] — гласный, ударный
Гласная е является йотированной и обозначает два звука. Но в отличие от первого примера буква не под ударением, поэтому она означает звуки [й’] + [и]. Обратите внимание, что буква г в слове произносится как «в». Так как в слове нет случаев «пропадания» звуков, поэтому 3 буквы и 4 звука.
Пример 3
Сдвоенная согласная — долгий звук
Слово: те́ннис
Транскрипция: [т’эн
ис] или [т’эн:ис]
т → [т’
] — согласный, глухой парный, мягкий парный
е → [э
] — гласный, ударный
н → [н:
] — согласный, глухой парный, твёрдый парный
н — не образует звука
и → [и
] — гласный, безударный
с → [с
] — согласный, глухой парный, твёрдый парный
Сдвоенная согласная н образует долгий звук [н:], так как ударение в слове идёт до этой согласной. Допустимы оба обозначения долгого звука - 1) черта над звуком, 2) двоеточие справа. Долгий звук также называют длинным, тянущимся.
Пример 4
Сдвоенная согласная — обычный звук
Слово: хокке́й
Транскрипция: [хакэй’]
х → [х
] — согласный, глухой непарный, твёрдый парный
о → [а
] — гласный, безударный
к → [к
] — согласный, глухой парный, твёрдый парный
к — не образует звука
е → [э
] — гласный, ударный
й → [й’
] — согласный, звонкий непарный (сонорный), мягкий непарный
В отличие от примера со словом теннис здесь сдвоенная согласная к не образует долгого звука, так как ударение в слове идёт сразу после согласной. Произнесите вслух оба слова и почувствуйте, что в слове хоккей букву к получается произносить быстро, а в слове теннис букву н можно произнести с небольшой задержкой.
На сайте можно сделать фонетический разбор любого русского слова в режиме онлайн — введите слово в форму поиска и нажмите кнопку.