Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Современная экономическая теория включает в качестве необходимого инструмента математические модели и методы. Использование математики в экономике позволяет решить комплекс взаимосвязанных проблем.

Во-первых, выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи экономических переменных и объектов. Это положение имеет принципиальный характер, поскольку изучение любого явления или процесса ввиду определенной степени сложности предполагает высокую степень абстракции.

Во-вторых, из сформулированных исходных данных и соотношений методами дедукции можно получать выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки.

В-третьих, методы математики и статистики позволяют путем индукции получать новые знания об объекте, например, оценивать форму и параметры зависимостей его переменных в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям.

В-четвертых, использование математической терминологии позволяет точно и компактно излагать положения экономической теории, формулировать ее понятия и выводы.

Развитие макроэкономического планирования в современных условиях связано с ростом уровня его формализации. Основу для этого процесса заложил прогресс в области прикладной математики, а именно: теории игр, математического программирования, математической статистики и других научных дисциплин. Большой вклад в математическое моделирование экономики бывшего СССР внесли известные советские ученые В.С. Немчинов, В.В. Новожилов, Л.В. Канторович, Н.П. Федоренко. С. С. Шаталин и др. Развитие экономико-математического направления было связано в основном с попытками формально описать так называемую «систему оптимального функционирования социалистической экономики» (СОФЭ), в соответствии с которой строились многоуровневые системы моделей народнохозяйственного планирования, оптимизационные модели отраслей и предприятий.

Экономико-математические методы имеют следующие направления:

Экономико-статистические методы , включают методы экономической и математической статистики. Экономическая статистика занимается статистическим изучением народного хозяйства в целом и отдельных его отраслей на основе периодической отчетности. Инструментарием математической статистики, используемым для экономических исследований, являются дисперсионный и факторный анализ корреляции и регрессии.

Моделирование экономических процессов заключается в построении экономико-математических моделей и алгоритмов, проведении расчетов по ним с целью получения новой информацию о моделируемом объекте. С помощью экономико-математического моделирования могут решаться задачи анализа экономических объектов и процессов, прогнозирования возможных путей их развития (проигрывание различных сценариев), подготовки информации для принятия решений специалистами.

При моделировании экономических процессов широкое распространение получили: производственные функции, модели экономического роста, межотраслевой баланс, методы имитационного моделирования и др.

Исследование операций – научное направление, связанное с разработкой методов анализа целенаправленных действий и количественного обоснования решений. Типовые задачи исследования операций включают: задачи массового обслуживания, управления запасами, ремонта и замены оборудования, календарного планирования, распределительные задачи и др. Для их решения используются методы математического программирования (линейного, дискретного, динамического и стохастического), методы теории массового обслуживания, теории игр, теории управления запасами, теории расписаний и др., а также программно-целевые методы и методы сетевого планирования и управления.

Экономическая кибернетика – научное направление, занимающееся исследованием и совершенствованием экономических систем на основе общей теории кибернетики. Основные ее направления: теория экономических систем, теория экономической информации, теория систем управления в экономике. Рассматривая управление народным хозяйством как информационный процесс, экономическая кибернетика служит научной основой разработки автоматизированных систем управления.

В основе экономико-математических методов лежит описание наблюдаемых экономических процессов и явлений посредством моделей.

Математическая модель экономического объекта - его гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков, объединяющее группы отношений элементов изучаемого объекта в аналогичные отношения элементов модели. Модель – это условный образ экономического объекта, построенная для упрощения исследования последнего. Предполагается, что изучение модели имеет двоякий смысл: с одной стороны, оно дает новые знания об объекте, с другой - позволяет определить наилучшее решение применительно к различным ситуациям.

Математические модели, используемые в экономике, можно подразделить на классы по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемого объекта, цели моделирования и используемого инструментария. Это модели макро- и микроэкономические, теоретические и прикладные, равновесные и оптимизационные, описательные, матричные, статические и динамические, детерминированные и стохастические, имитационные и др.

1. Экономико-математические методы, применяемые в анализе хозяйственной деятельности

Список использованных источников

1. Экономико-математические методы, применяемые в анализе хозяйственной деятельности

Одним из направлений совершенствования анализа хозяйственной деятельности является внедрение экономико-математических методов и современных ЭВМ. Их применение повышает эффективность экономического анализа за счет расширения изучаемых факторов, обоснования принимаемых управленческих решений, выбора оптимального варианта использования хозяйственных ресурсов, выявления и мобилизации резервов повышения эффективности производства.

Математические методы опираются на методологию экономико-математического моделирования и научно обоснованную классификацию задач анализа хозяйственной деятельности. В зависимости от целей экономического анализа различают следующие экономико-математические модели: в детерминированных моделях - логарифмирование, долевое участие, дифференцирование; в стохастических моделях - корреляционно-регрессивный метод, линейное программирование, теорию массового обслуживания, теорию графов и др.

Стохастический анализ - это метод решения широкого класса задач статистического оценивания. Он предполагает изучение массовых эмпирических данных путем построения моделей изменения показателей за счет факторов, не находящихся в прямых связях, в прямой взаимозависимости и взаимообусловленности. Стохастическая связь существует между случайными величинами и проявляется в том, что при изменении одной из них меняется закон распределения другой.

В экономическом анализе выделяются следующие наиболее типичные задачи стохастического анализа:

Изучение наличия и тесноты связи между функцией и факторами, а также между факторами;

Ранжирование и классификация факторов экономических явлений;

Выявление аналитической формы связи между изучаемыми явлениями;

Сглаживание динамики изменения уровня показателей;

Выявление параметров закономерных периодических колебаний уровня показателей;

Изучение размерности (сложности, многогранности) экономических явлений;

Количественное изменение информативных показателей;

Количественное изменение влияния факторов на изменение анализируемых показателей (экономическая интерпретация полученных уравнений).

Стохастическое моделирование и анализ связей между изученными показателями начинаются с корреляционного анализа. Корреляция состоит в том, что средняя величина одного из признаков изменяется в зависимости от значения другого. Признак, от которого зависит другой признак, принято называть факторным. Зависимый признак именуют результативным. В каждом конкретном случае для установления факторного и результативного признаков в неодинаковых совокупностях необходим анализ природы связи. Так, при анализе различных признаков в одной совокупности заработная плата рабочих в связи с их производственным стажем выступает как результативный признак, а в связи с показателями жизненного уровня или культурными потребностями - как факторный. Часто зависимости рассматривают не от одного факторного признака, а от нескольких. Для этого применяется совокупность методов и приемов выявления и количественной оценки взаимосвязей и взаимозависимостей между признаками.

При исследовании массовых общественно-экономических явлений между факторными признаками проявляется корреляционная связь, при которой на величину результативного признака влияет, помимо факторного, множество других признаков, действующих в разных направлениях одновременно или последовательно. Часто корреляционную связь называют неполной статистической или частичной в отличие от функциональной, которая выражается в том, что при определенном значении переменной (независимая переменная - аргумент) другая (зависимая переменная - функция) принимает строгое значение.

Корреляционную связь можно выявить только в виде общей тенденции при массовом сопоставлении фактов. Каждому значению факторного признака будет соответствовать не одно значение результативного признака, а их совокупность. В этом случае для вскрытия связи необходимо найти среднее значение результативного признака для каждого значения факторного.

Если зависимость прямолинейная:

.

Значения коэффициентов а и b находится из системы уравнений, полученных по способу наименьших квадратов по формуле:

, n - число наблюдений.

В случае прямолинейной формы связи между изучаемыми показателями коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

.

Если коэффициент корреляции возвести в квадрат, то получим коэффициент детерминации.

Дисконтирование - это процесс пересчета будущей стоимости капитала, денежных потоков или чистого дохода в настоящую. Ставка, по которой производится дисконтирование, называется ставкой дисконтирования (ставкой дисконта). Основная посылка, лежащая в основе понятия дисконтированного потока реальных денег, состоит в том, что деньги имеют временную цену, то есть сумма денег, имеющаяся в наличии в настоящее время, обладает большей ценностью, чем такая же сумма в будущем. Эта разница может быть выражена как процентная ставка, характеризующая относительные изменения за определенный период (обычно равный году).

Многие задачи, с которыми приходится сталкиваться экономисту в повседневной практике при анализе хозяйственной деятельности предприятий, многовариантны. Так как не все варианты одинаково хороши, среди множества возможных приходится отыскивать оптимальный. Значительная часть подобных задач на протяжении долгого времени решалась исходя из здравого смысла и опыта. При этом не было никакой уверенности, что найденный вариант является наилучшим.

В современных условиях даже незначительные ошибки могут привести к огромным потерям. В связи с этим возникла необходимость привлечения к анализу и синтезу экономических систем оптимизационных экономико-математических методов и ЭВМ, что создает основу для принятия научно обоснованных решений. Такие методы объединяются в одну группу под общим названием "оптимизационные методы принятия решений в экономике". Чтобы решить экономическую задачу математическими методами, прежде всего, необходимо построить адекватную ей математическую модель, то есть формализовать цель и условия задачи в виде математических функций, уравнений и (или) неравенств.

В общем случае математическая модель оптимизационной задачи имеет вид:

max (min): Z = Z(x),

при ограничениях

f i (x) Rb i , i =

,

где R - отношения равенства, меньше или больше.

Если целевая функция и функции, входящие в систему ограничений, линейны относительно входящих в задачу неизвестных, такая задача называется задачей линейного программирования. Если же целевая функция или система ограничений не линейна, такая задача называется задачей нелинейного программирования.

В основном, на практике, задачи нелинейного программирования путем линеаризации сводятся к задаче линейного программирования. Особый практический интерес среди задач нелинейного программирования представляют задачи динамического программирования, которые из-за своей многоэтапности нельзя линеаризовать. Поэтому мы рассмотрим только эти два вида оптимизационных моделей, для которых в настоящее время имеется хорошее математическое и программное обеспечение.

Метод динамического программирования представляет собой особый математический прием оптимизации нелинейных задач математического программирования, который специально приспособлен к многошаговым процессам. Многошаговым обычно считают процесс, развивающийся во времени и распадающийся на ряд "шагов", или "этапов". Однако метод динамического программирования используется и для решения задач, в которых время не фигурирует. Некоторые процессы распадаются на шаги естественным образом (например, процесс планирования хозяйственной деятельности предприятия на отрезок времени, состоящий из нескольких лет). Многие процессы можно расчленить на этапы искусственно.

Суть метода динамического программирования состоит в том, что вместо поиска оптимального решения сразу для всей сложной задачи предпочитают находить оптимальные решения для нескольких более простых задач аналогичного содержания, на которые расчленяется исходная задача.

Метод динамического программирования также характеризуется тем, что выбор оптимального решения на каждом шаге должен производиться с учетом последствий в будущем. Это означает, что, оптимизируя процесс на каждом отдельном шаге, ни в коем случае нельзя забывать обо всех последующих шагах. Таким образом, динамическое программирование - это дальновидное планирование с учетом перспективы.

Принцип выбора решения в динамическом программировании является определяющим и носит название принципа оптимальности Беллмана. Сформулируем его следующим образом: оптимальная стратегия обладает тем свойством, что, каковы бы ни были первоначальное состояние и решение, принятое в начальный момент, последующие решения должны вести к улучшению ситуации относительно состояния, являющегося результатом первоначального решения.

Таким образом, при решении оптимизационной задачи методом динамического программирования необходимо на каждом шаге учитывать последствия, к которым приведет в будущем решение, принимаемое в данный момент. Исключением является последний шаг, которым заканчивается процесс. Здесь можно принимать такое решение, чтобы обеспечить максимальный эффект. Спланировав оптимальным образом последний шаг, можно "пристраивать" к нему предпоследний так, чтобы результат этих двух шагов был оптимальным, и т.д. Именно таким образом - от конца к началу - можно развернуть процедуру принятия решений. Оптимальное решение, найденное при условии, что предыдущий шаг закончился определенным образом, называют условно-оптимальным решением.

Экономико-математические методы основаны на использовании корреляционного и регрессионного анализа, позволяющего устанавливать тесноту связи и вид зависимости среднего значения какой-либо величины от некоторой другой или от нескольких величин. В нашем случае - это установление зависимости развития спроса от влияния наиболее главных факторов. в практике прогнозирования товарно-групповой структуры спроса чаще всего применяются трендовые и регрессионные модели:

Трендовые модели прогнозирования спроса представляют собой уравнения, формализующие устойчивые процессы его развития. Они применяются для прогнозирования наиболее стабильных закономерностей по крупным товарным подотраслям (например, соотношение спроса на продовольственные и непродовольственные товары). Основной параметр трендовых моделей -время, то есть по существу речь также идет об экстраполяции на прогнозируемый период тенденций и закономерностей базисного периода.

Регрессионные (факторные) модели отражают количественную связь одного показателя с другим или с группой других (множественная регрессия). В качестве переменных выступают факторы, определяющие динамику спроса. Математическую основу построения моделей составляют важнейшие положения теории вероятности, математической статистики и высшей математики. Процесс построения подобных моделей состоит из нескольких последовательных этапов.

Первым и важнейшим этапом моделирования развития товарно-групповой структуры спроса населения является отбор факторов. Они должны отражать объективные процессы изучаемого явления, быть количественно измеримыми и независимыми друг от друга.

На втором этапе рассчитывается сила влияния или теснота связи между факторами и спросом в базисном периоде. Она определяется с помощью коэффициентов корреляции и критериев согласия.

На третьем этапе выявляется математическая форма связи или вид зависимости спроса от факторов, подбираются функции, наиболее точно описывается процесс развития спроса.

Четвертый этап: расчет параметров уравнения. Параметры уравнений выражают степень и направление воздействия каждого фактора на спрос и рассчитываются методом наименьших квадратов.

Пятый этап: оценка прогностической ценности модели на основе ретроспективных расчетов.

Экономико-математические методы эффективно используется при краткосрочном прогнозировании. Так как объективная реальность нашей экономики состоит в том, что довольно трудно выявить и определить количественно более менее стабильные факторы, влияющие на прогнозируемый процесс. Поэтому составление среднесрочных и, тем более, долгосрочных прогнозов представляется довольно затруднительным в современных условиях. И как правило, преобладает прогнозирование на краткосрочные периоды. Экономико-математическое моделирование является основой экономической прогностики. Оно позволяет на строго количественной основе выявить характер связей между отдельными элементами рынка и теми факторами, которые влияют на его развитие. Что особенно важно - математические модели дают возможность наблюдать, как станут развиваться события при тех или иных начальных допущениях

При экономико-математическом моделировании спроса может также использоваться группа методов - экспоненциальное сглаживание и прогнозирование, основанные на использовании уже сделанных прогнозов тенденций развития спроса и самых последних данных о продаже товаров.

Математические методы помогают вскрыть количественные явления и взаимосвязи. Но они лишь продолжение экономического анализа, конечный результат в первую очередь зависит от выбора базисного периода, отбора факторов, от того, правильно ли определена степень устойчивости явления.

Графические методы связаны геометрическим изображением функциональной зависимости при помощи линий на плоскости. С помощью координатной сетки строятся графики зависимости, например, уровня издержек от объема произведенной и реализованной продукции, а также графики, на которых можно изображать корреляционные связи между показателями (диаграммы сравнения, кривые распределения, диаграммы временных рядов, статистические картограммы).

Пример: построение сетевого графика при строительстве и монтаже предприятий. Составляется таблица работ и ресурсов, где в технологической последовательности указываются их характеристика, объем, исполнитель, сменность, потребность в материалах. Продолжительность выполнения задания и другая информация. Исходя из данных показателей, подготавливают сетевой график. Оптимизация графика осуществляется посредством сокращения критического пути, т.е. минимизации сроков выполнения работ при заданных уровнях ресурсов, минимизации уровня потребления ресурсов при фиксированных сроках выполнения работ.

Метод корреляционно-регрессивного анализа используют для определения тесноты связи между показателями, не находящимися в функциональной зависимости. Теснота связи измеряется корреляционным отношением (для криволинейной зависимости). Для прямолинейной зависимости исчисляется коэффициент корреляции. Метод применяют при решении задач на «запуск-выпуск».

Пример: определить зависимость выпуска изделий в среднем от их запуска, составив соответствующее управление регрессии.

Метод линейного программирования сводится к нахождению крайних значений (максимума и минимума) некоторых функций переменных величин. Основано на решение системы линейных уравнений, когда зависимость между явлениями строго функциональна.

Пример: задачи рациональности использования времени работы производственного оборудования.

Методы динамического программирования применяют при решении оптимизационных задач, в которых целевая функция и ограничения характеризуют нелинейными зависимостями.

Пример: заполнить транспортное средство грузоподъемностью Х грузом, состоящим из определенных предметов так, чтобы стоимость всего груза оказалась максимальной.

Математическая теория игр исследует оптимальные стратегии в ситуациях игрового характера. Решение требует определенности в формулировке условий: установления количества игроков, возможных выигрышей, определения стратегии.

Пример: максимизировать среднюю величину дохода от реализации выпущенной продукции, учитывая капризы погоды.

Математическая теория массового обслуживания.

Пример: обеспечение рабочих необходимым инструментом.

Матричный метод основан на линейной и векторно-матричной алгебре, применяется для изучения сложных и высокоразмерных структур на отраслевом уровне, ан уровне предприятий.

Пример: выявить распределение между цехами продукции, идущей на внутреннее потребление, и общие объемы выпускаемой продукции, если заданы параметры прямых затрат и конечного продукта.

Рассмотрим особенности методики экономического анализа применительно к изучению спроса на товар.

Прогнозирование спроса может осуществляться различными методами, в частности можно выделить три основные группы: методы экономико-математического моделирования (экстрополяционные методы), нормативные методы, методы экспертных оценок.

Методы простой (формальной) экстраполяции заключаются в перенесении на будущий период прошлых и настоящих тенденций в развитии товарно-групповой структуры спроса на базе анализа динамического ряда.

Для экстраполяции информацию о динамике рынка представляют в той или иной форме - графической, статистической, математической, логической. В любом случае считают, что экономическим процессам присуща «инерция» или обязательное продолжение направления их течения в ближайшем будущем. Экстраполяции требуют от исследователя рынка крайней осмотрительности. Мало изучить прошлые тенденции рынка - необходимо принять в расчет новые условия и факторы, которые не были характерны для прошлого, но возможно появятся в будущем. Одновременно необходимо избавляться от учета факторов и обстоятельств, которые потеряли свою актуальность и уже не оказывают влияния на ход развития событий на данном рынке.

Данный метод достаточно прост и доступен, однако использование его целесообразно только на такой период, в котором маловероятно изменение тенденций, то есть на краткосрочный, и для укрупненных товарных групп.

К методам простой экстраполяции относятся и расчеты эластичности спроса в зависимости от изменения какого-либо фактора.

Экономико-математические методы и модели

Методически указания и контрольные задания для студентов

очной и заочной формы обучения.

г. Ставрополь 2007г.

Настоящее пособие предназначено для студентов экономических специальностей. Учебный план изучения курса рассчитан на 75 часов и предусматривает выполнение контрольной работы для заочной формы обучения.

В пособии приведены решения задач по темам, соответствующим учебному плану, даны необходимые методические указания и приведены задания для контрольной работы. Это пособие может быть использовано студентами очного и заочного отделения для самостоятельной работы и подготовки к зачёту.

Введение

В настоящее время процессы принятия решений в экономике опираются на достаточно широкий круг экономико-математических методов и моделей. Ни одно серьёзное решение, затрагивающее управление деятельностью отраслей и предприятий, распределения ресурсов, изучение рыночной конъюнктуры, прогнозирование, планирование и т.п., не осуществляется без предварительного математического исследования конкретного процесса или его частей.

В этой связи изучение дисциплины «Экономико-математические методы и модели» направлено как на формирование у студентов понимания роли современной математики в экономике, так и на изучение наиболее важных экономико-математических методов исследования моделей и задач оптимизации.

Задачи данной дисциплины состоят в изучении математических методов СЭП, применения базовых методов математического моделирования СЭП при решении оптимизационных задач и выработке навыков решения трудоёмких прикладных экономико-математических задач с помощью компьютерных технологий.

Цель изучения данной дисциплины – подготовка специалиста экономического профиля к сознательному использованию математических методов исследования СЭП на основе соответствующих базовых моделей.

Изучение дисциплины предусматривает сочетание лекций, практических занятий и самостоятельную работу студентов. На лекциях излагается содержание дисциплины, проводится анализ основных математических понятий и методов. Практические занятия ориентированны на выработку у студентов умения и навыков решения типовых экономических задач. Руководствуясь принципом повышения уровня фундаментальной математической подготовки студентов с усилением её прикладной экономической направленности, автором предлагаются наиболее экономически значимые задачи, представляющие самостоятельный интерес и дающие возможность относительно продуктивно освоить алгоритм их решения при отсутствии учебника.

После изучения дисциплины «Экономико-математические методы и модели» студент должен:

Иметь представление о методах системного анализа и управления СЭП;

Знать основные понятия, определения и базовые математические методы, используемые для построения моделей СЭП;

Уметь проводить расчёты и делать оценки параметров для базовых математических моделей СЭП;

Уметь решать прикладные экономико-математические задачи, опираясь на базовые знания по математике,соответствующие Государственному образовательному стандарту.

Общие методические указания

Для более полного, уверенного освоения студентами навыков решения задач по дисциплине «Экономико-математические методы и модели» предлагаются данные методические указания. Автор руководствовался общими целеполагающими принципами изучения данной дисциплины, а также принципом повышения уровня фундаментальной математической подготовки студентов для понимания значимости построения и исследования математических моделей в экономике.

Приведённые методические указания могут быть использованы при проведении самостоятельных и контрольных работ, собеседований при сдаче зачёта.

При выполнении контрольной работы студентам заочного отделения необходимо руководствоваться следующими указаниями:

На обложке указываются фамилия и инициалы студента, полный шифр специальности, группа, дата регистрации, фамилия и инициалы преподавателя-рецензента;

Решение всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными; вычисления и чертежи – полными и аккуратными.

Номер контрольной работы соответствует последней цифре его учебного шифра.

Контрольная работа предоставляется в деканат не позднее 10 дней до начала сессии. При сдаче зачёта студент должен дать пояснения к решённым заданиям.

1. Исследование операций в экономике: Учеб. пособ. / под ред. Н.Ш.Кремера./ – М.: ЮНИТИ, 2000. - 407 с.

2. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие для вузов / Кремер Н.Ш. и др.; под ред. проф. Н.Ш.Кремера – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2005. – 423 с.

3. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособ. М..: Высшая школа, 1986. - 319 с.

4. Морозов В.В., Сухарев А.Т., Фёдоров В.В. Исследование операций в примерах и задачах.: Учеб. пособие. М.: Высшая школа, 1986. – 287 с.

5. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. Учеб. пособие для студентов втузов. – М.: Высшая школа, 2001. – 208 с.

6. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник.2-е изд. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Издательство «Дело и Сервис», 1999. – 368 с.

7. Монахов А.В. Математические методы анализа экономики. – Спб: Питер, 2002. – 176 с.

8. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов /В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др., Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999. -391 с.

Глоссарий терминов.

Аддитивность - свойство величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значе­ний величин, соответствующих его частям при любом разбие­нии объекта на части. Характеристика системы аддитивна, если она равна сумме тех же характеристик для всех составляющих систему подсистем и элементов.

Адекватность модели - ее соответствие моделируемому объекту или процессу. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам мо­дели, которые для исследования считаются существенными.

Аппроксимация - приближенное выражение сложной функции с помощью более простых, что часто значительно упрощает реше­ние задачи.

Вариантные прогнозы - прогнозы, основанные на сопоставлении различных вариантов возможного развития экономики при раз­ных предположениях относительно того, как будет развиваться техника, какие будут приниматься экономические меры и т. д.

Векторная оптимизация - решение задач математического программи­рования, в которых критерий оптимальности представляет собой вектор, компонентами которого являются в свою очередь различ­ные несводимые друг к другу критерии оптимальности подсистем, входящих в данную систему, например критерии разных социаль­ных групп в социально-экономическом планировании.

Верификация имитационной модели - проверка соответствия ее по­ведения предположениям экспериментатора.

Вероятностная модель - модель, которая в отличие от детерминиро­ванной модели содержит случайные элементы. Таким образом, при задании на входе модели некоторой совокупности значе­ний, на ёе выходе могут получаться различающиеся между со­бой результаты в зависимости от действия случайного фактора.

Взаимозаменяемость ресурсов - возможность использования разных ресурсов для достижения оптимума. Именно этим обусловлена проблема выбора: там, где нет заменяемости, нет и выбора, и тогда фундаментальное понятие оптимальности теряет смысл.

Генетический прогноз («поисковый») - прогноз, показывающий, к каким состояниям придет прогнозируемый объект в заданное время при определенных начальных условиях.

Глобальное моделирование или моделирование глобального разви­тия - область исследований, посвященная разработке моделей наиболее масштабных социальных, экономических и экологиче­ских процессов, охватывающих земной шар.

Градиентные методы решения задач математического программиро­вания - методы, основанные на поиске экстремума (максимума или минимума) функции путем последовательного перехода к нему с помощью градиента этой функции.

Декомпозиционные методы решения оптимальных задач - основан­ные на рациональном расчленении сложной задачи и решении отдельных подзадач с последующим согласованием частых ре­шений для получения общего оптимального решения.

Дескриптивная модель - модель, предназначенная для описания и объяснения наблюдаемых фактов или прогноза поведения объ­ектов - в отличие от нормативных моделей, предназначенных для нахождения желательного состояния объекта (например, оптимального).

Детерминированная модель - аналитическое представление законо­мерности, операции и т. п., при которых для данной совокупно­сти входных значений на выходе системы может быть получен единственный результат. Такая модель может отображать как вероятностную систему (тогда она является некоторым ее упро­щением), так и детерминированную систему.

Детерминированная система - такая система, выходы которой (ре­зультаты действия, конечные состояния и т.п.) однозначно оп­ределяются оказанными на нее управляющими воздействиями.

Динамическая система - всякая система, которая изменяется во времени (в отличие от статической системы). Математически это принято выражать через переменные (координаты), изме­няющиеся во времени. Процесс изменения характеризуется тра­екторией (т. е. наборами координат, каждая из которых является функцией времени).

Динамические модели межотраслевого баланса - частный случай ди­намических моделей экономики, основаны на принципе межотраслевого баланса, в который дополнительно вводятся урав­нения, характеризующие изменения отраслевых связей во вре­мени.

Итеративные (итерационные) методы решения задач - заключаются в том, что вычислительный процесс начинают с некоторого пробного (произвольного) допустимого решения, а затем при­меняют алгоритм, обеспечивающий последовательное улучше­ние этого решения.

Итерация - повторное применение математической операции (с из­мененными данными) при решении вычислительных задач для постепенною приближения к нужному результату. Итеративные расчеты на ЭВМ характерны для решения экономических (осо­бенно оптимизационных и балансовых) задач. Чем меньше тре­буется пересчетов, тем быстрее сходится алгоритм.

Коэффициенты прямых затрат (технологические коэффициенты) в межотраслевом балансе - средние величины непосредственных затрат продукции одной отрасли (в качестве средств производ­ства) на выпуск единицы продукции другой отрасли. Они могут быть выражены в натуральной форме (кВт/ч и т. д.) или стоимо­стной (руб.).

Критерий оптимальности - показатель, выражающий меру экономи­ческого эффекта принимаемого хозяйственного решения для сравнительной оценки возможных решений (альтернатив) и вы­бора наилучшего из них (например, максимум прибыли, минимум трудовых затрат, кратчайшее время дости­жения цели и т. д.)

Коэффициенты полных материальных затрат в межотраслевом балан­се - средние затраты i-го продукта на производство конечного продукта j по всей цепи сопряженных производств. Таким обра­зом, они складываются из прямых затрат каждой отрасли на данный продукт и косвенных затрат.

Коэффициенты прямых затрат (технологические коэффициенты) в межотраслевом балансе - средние величины непосредственных затрат продукции одной отрасли (в качестве средств производ­ства) на выпуск единицы продукции другой отрасли. Они могут быть выражены в натуральной форме (кВт/ч и т. д.) или стоимо­стной (руб.).

Математическое программирование (оптимальное программирова­ние) - область математики, объединяющая различные матема­тические методы и дисциплины: линейное программирование, нелинейное программирование, динамическое программирова­ние, выпуклое программирование и др. Общая задача матема­тического программирования состоит в нахождении оптималь­ного (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.

Матричные модели - модели, построенные в виде таблиц (матриц). Они отображают соотношения между затратами на производст­во и его результатами, нормативы затрат, производственную и экономическую структуру хозяйства. Применяются в межотрас­левом балансе, матричном плане предприятия и др.

Машинная имитация - экспериментальный метод изучения объекта с помощью электронных вычислитель­ных машин, Процесс имитации заключается в следующем: сна­чала строится математическая модель изучаемого объекта (имитационная модель), затем эта модель преобразуется в программу работы ЭВМ.

Межотраслевой баланс (МОБ ) - каркасная модель экономики, таб­лица, в которой показываются многообразные натуральные и стоимостные связи в народном хозяйстве. Анализ МОБ дает ком­плексную характеристику процесса формирования и использова­ния совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе.

Объективно обусловленные (оптимальные) оценки - одно из основ­ных понятий линейного программирования. Это оценки про­дуктов, ресурсов, работ, вытекающие из условий решаемой оптимизационной задачи. Их называют также двойственными оценками, разрешающими множителями, множителями Лагранжа и целым рядом других терминов.

Ограничения модели - запись условий, в которых действительны расчеты, использующие эту модель. Обычно представляя собою систему уравнений и неравенств, они в совокупности определя­ют область допустимых решений (допустимое множество). Рас­пространены линейные и нелинейные ограничения (на графике первые изображаются прямыми, вторые - кривыми линиями).

Определенность в системе - ситуация, когда имеется точная инфор­мация о возможных состояниях системы в случае принятия тех или иных решений.

Оптимальное планирование - комплекс методов, позволяющих вы­брать из многих возможных (альтернативных) вариантов плана или программы один оптимальный вариант, т. е. наилучший с точки зрения заданного критерия оптимальности и определен­ных ограничений.

Оптимальное программирование - применение в экономике методов математического программирования.

Оптимальное управление - основное понятие математической тео­рии оптимальных процессов (принадлежащей разделу математики под тем же названием: оптимальное управление); означает выбор таких управляющих параметров, которые обеспечивали бы наилучшее, с точки зрения заданного критерия, протекание процесса, или, иначе, наилучшее поведение системы, ее разви­тие к цели по оптимальной траектории.

Оптимизационная задача - экономико-математическая задача, цель которой состоит в нахождении наилучшего (с точки зрения ка­кого-то критерия) распределения наличных ресурсов. Решается с помощью оптимизационной модели методами математическо­го программирования.

Оптимизация - 1) процесс нахождения экстремума функции, т. е. выбор наилучшего варианта из множества возможных; 2) про­цесс приведения системы в наилучшее (оптимальное) состояние. Очередь - в теории массового обслуживания - последовательность требований или заявок, которые, заставая систему обслужива­ния занятой, не выбывают, а ожидают ее освобождения (затем они обслуживаются в том или ином порядке). Очередью можно назвать также и совокупность ожидающих (простаивающих) ка­налов или средств обслуживания.

Пассивный (безусловный) статистический прогноз - прогноз разви­тия, основанный на изучении статистических данных за про­шлый период и переносе выявленных закономерностей на буду­щее. При этом внешние факторы, воздействующие на систему, принимаются неизменными и считается, что ее развитие осно­вывается только на собственных, внутренних тенденциях.

Предельные и приростные величины в экономике . Предельная вели­чина характеризует не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение. Поскольку в экономике боль­шинство процессов (например, рост производства или измене­ние его эффективности) являются функциями ряда аргументов (факторов), то предельные величины здесь обычно выступают как частные производные процесса по каждому из факторов.

Прогнозирование - система научных исследований качественного и количественного характера, направленных на выяснение тен­денций развития народного хозяйства и поиск оптимальных пу­тей достижения целей этого развития.

Прогнозирование спроса - исследование будущего (возможного) спроса на товары и услуги в целях лучшего обоснования соот­ветствующих производственных планов. Прогнозирование под­разделяется на краткосрочное (конъюнктурное), среднесрочное и долгосрочное.

Производственная функция - экономико-математическое уравне­ние, связывающее переменные величины затрат (ресурсов) с ве­личинами продукции (выпуска). Математически производственные функции (ПФ) могут быть представлены в различных фор­мах - от столь простых, как линейная зависимость результата производства от одного исследуемого фактора, до весьма слож­ных систем уравнений, включающих рекуррентные соотноше­ния, которыми связываются состояния изучаемого объекта в разные периоды времени. Широко распространены мультипли­кативные формы ПФ.

Равновесие - состояние экономической системы, которое характе­ризуется равенством спроса и предложения всех ресурсов.

Регрессия - зависимость среднего значения какой-либо случайной величины от некоторой другой величины или нескольких вели­чин. Распределение этих значений называется условным распределением у при дан­ном х. Множественная регрессия в определенных условиях по­зволяет исследовать влияние причинных факторов.

Рекурсия - в общем смысле вычисление функции по определенно­му алгоритму. Примерами таких алгоритмов являются рекур­рентные формулы, выводящие вычисление заданного члена по­следовательности (чаще всего числовой) из вычисления не­скольких предыдущих ее членов.

Статистическое моделирование - способ исследования процессов повеления вероятностных систем в условиях, когда неизвестны внутренние взаимодействия в этих системах.

Стохастическая имитация - вид машинной имитации, отличающий­ся от детерминированной тем, что включает в модель в том или ином виде случайные возмущения, отражающие вероятностный характер моделируемой системы.

Устойчивость решения - обычно, говоря об устойчивости решения задачи, имеют в виду, что малые изменения каких-либо характе­ристик, например, начальных условий, ограничений или целе­вого функционала, не приводят к качественному изменению ре­шения.

Целевая функция в экстремальных задачах - функция, минимум или максимум которой нужно найти. Это ключевое понятие оптимального программирования. Найдя экстремум целевой функции и, следовательно, определив значения управляемых переменных, которые k нему приводят, мы тем самым находим оптимальное решение задачи.

Шкалы - системы чисел или иных элементов, принятых для оцен­ки или измерения каких-либо величин. Шкалы используются для оценки и выявления связей и отношений между элементами систем. Особенно широко их применение для оценки величин, выступающих в роли критериев качества функционирования систем, в частности, критериев оптимальности при решении экономико-математических задач.

Практическое занятие.

Тема . Методы линейной алгебры в экономическом анализе.

Цель . Решение экономических задач с элементами моделирования, опирающиеся на базовую основу линейной алгебры.

1. Справочный материал.

Понятие матрицы часто используется в практической деятельности, например, данные о выпуске продукции нескольких видов в каждом квартале года или нормы затрат нескольких видов ресурсов на производство продукции нескольких типов и т.д. удобно записывать в виде матрицы.

Задача 1. В некоторой отрасли m заводов выпускают n видов продукции. Матрица задаёт объёмы продукции на каждом заводе в первом квартале, матрица - соответственно во втором; (а ij , в ij) – объёмы продукции j –го типа на i –м заводе в 1-м и 2-м кварталах соответственно:

; .

а) объёмы продукции;

б) прирост объёмов производства во втором квартале по сравнению с первым по видам продукции и заводам;

в) стоимостное выражение выпущенной продукции за полгода (в долларах), если λ – курс доллара по отношению к рублю.

Решение:

а) Объёмы продукции за полугодие определяются суммой матриц, т.е. С=А+В=, где с ij – объём продукции j-го типа, произведённый за полугодие i-м заводом.

б) Прирост во втором квартале по сравнению с первым определяется разностью матриц, т.е.

Д=В-А= . Отрицательные элементы показывают, что на данном заводе объём производства уменьшился, положительные – увеличился, нулевые – не изменился.

в) Произведение λC= λ(А+В) даёт выражение стоимости объёмов производства за квартал в долларах по каждому заводу и каждому предприятию.

Задача 2. Предприятие производит n типов продукции, используя m видов ресурсов. Нормы затрат ресурса i-го товара на производство единицы продукции j-го типа заданы матрицей затрат . Пусть за определённый отрезок времени предприятие выпустило количество продукции каждого типа , записанное матрицей .

Определить S – матрицу полных затрат ресурсов каждого вида на производство всей продукции за данный период времени, если

, . Решение . Матрица полных затрат ресурсов S определяется как произведение матриц, т.е. S=AX.

, т.е за данный период времени будет израсходовано 930 ед. ресурса 1-го вида, 960 ед. ресурса 2-го вида, 450 ед. ресурса 3-го вида, 630 ед. ресурса 4-го вида.

Задача 3. Завод производит двигатели, которые могут либо сразу потребовать дополнительной регулировки (в 40% случаев), либо сразу могут быть использованы (в 60% случаев). Как показывают статистические исследования, те двигатели, которые изначально требовали регулировки, потребуют дополнительной регулировки через месяц в 65% случаев, а в 35% случаев через месяц будут работать хорошо. Те же двигатели, которые не требовали первоначальной регулировки, потребуют её через месяц в 20% случаев и продолжат хорошо работать в 80% случаев. Какова доля двигателей, которые будут работать хорошо или потребуют регулировки через 2 месяца после выпуска? Через 3 месяца?

Решение.

В момент после выпуска доля хороших двигателей составляет 0,6, а доля требующих регулировки – 0,4. Через месяц доля хороших составит: 0,6 . 0,8+0,4 . 0,35=0,62. Доля требующих регулировки: 0,6 . 0,2+0,4 . 0,65=0,38. введём строку состояния X t в момент t; X t =(x 1 t ; x 2 t), где x 1 t – доля хороших двигателей, x 2 t – доля двигателей, требующих регулировки в момент t.

Матрица перехода , где - доля двигателей, которые в настоящее время находятся в состоянии (1- «хороший», 2- «требует регулировки»), а через месяц – в состоянии .

Очевидно, что для матрицы перехода сумма элементов каждой строки равна 1, все элементы неотрицательны.

Очевидно, =(0,6 0,4), .

Тогда через месяц ,

через 2 месяца ; через 3 месяца .

Найдём матрицы ;

Отметим, что если - матрица перехода, то - тоже матрица перехода при любом натуральном t. Теперь

,

Очевидно, .

Задача 3. Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в минувшем году составила 12 млн. усл. ед. На этот год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 70%, второго – на 40%. В результате суммарная прибыль должна вырасти в 1,5 раза. Какова величина прибыли каждого из отделений: а) в минувшем году; б) в текущем году?

Решение.

Пусть и - прибыли первого и второго отделений в минувшем году. тогда условие задачи можно записать в виде системы: Решив систему, получим Следователь, а) прибыль в минувшем году первого отделения -4 млн. усл. ед., а второго – 8 млн. усл. ед.; б) прибыль в этом году первого отделения 1,7 . 4=6,8 млн. усл. ед., второго 1,4 . 8=11,2 млн. усл. ед.

2.1. Три завода выпускают четыре вида продукции. Необходимо: а) найти матрицу выпуска продукции за квартал, если заданы матрицы помесячных выпусков А 1, А 2 , А 3 ; б) найти матрицы приростов выпуска продукции за каждый месяц В 1 и В 2 и проанализировать результаты:

; ; .

2.2. Предприятие производит мебель трёх видов и продаёт её в четырёх регионах. Матрица задаёт цену реализации единицы мебели i-го типа в j-м регионе. Определить выручку предприятия в каждом регионе, если реализация мебели за месяц задана матрицей .

2.3 . По условию задачи 2 определить:1) полные затраты ресурсов 3-х видов на производство месячной продукции, если заданы нормы затрат матрицей и объём выпуска каждого из двух типов продукции ;

2) стоимость всех затраченных ресурсов, если задана стоимость единиц каждого ресурса .

2.4 . В ремонтную мастерскую поступают телефонные аппараты, 70 % которых требуют малого ремонта, 20 % - среднего ремонта, 10% - сложного ремонта. Статистически установлено, что 10% аппаратов прошедших малый ремонт, через год требуют малого ремонта, 60% - среднего, 30% -сложного ремонта. Из аппаратов, прошедших средний ремонт, 20% требуют через год малого ремонта, 50% - среднего, 30% - сложного ремонта. Из аппаратов, прошедших сложный ремонт, через год 60% требуют малого ремонта, 40% - среднего. Найти доли из отремонтированных в начале года аппаратов, которые будут требовать ремонта того или иного вида: через 1 год; 2 года;3 года.

Практическое занятие.

Тема . Методы математического анализа для построения моделей СЭП.

Цель . Решение экономических задач с элементами моделирования, в которых применяются методы математического анализа.

1. Справочный материал.

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определённому алгоритму с помощью рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Наиболее часто используемые в экономике следующие функции:

1. Функция полезности (функция предпочтения) – зависимость результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

2. Производственная функция – зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

3. Функция выпуска – зависимость объёма производства от наличия или потребления ресурсов.

4. Функция издержек – зависимость издержек производства от объёма продукции.

5. Функции спроса, потребления и предложения – зависимость объёма спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

Учитывая, что экономические явления и процессы обуславливаются действием различных факторов, для их исследований широко используются функции нескольких переменных. Среди этих функций выделяют мультипликативные функции, позволяющие представить зависимую переменную в виде произведения факторных переменных, обращающих его в нуль при отсутствии действия хотя бы одного фактора.

Используются также сепарабельные функции, которые дают возможность выделить влияние различных факторов переменных на зависимую переменную, и в частности, аддитивные функции, представляющие одну и ту же зависимую переменную как при суммарном, но раздельном воздействии нескольких факторов, так и при одновременном их воздействии.

Кроме геометрического и механического существует ещё и экономический смысл производной. Во-первых, производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент . Во-вторых, существует ещё одно понятие, характеризующее экономический смысл производной. Если издержки производства y рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции x , - прирост продукции, - приращение издержек производства, а - среднее приращение издержек производства на единицу продукции, тогда производная равная выражает предельные издержки производства и характеризует приближённо дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) x и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырьё, топливо ит.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность и др.предельные величины.

Предельные величины характеризуют не состояние, а процесс, то есть изменение экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора. Следует учесть, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих объектов экономических расчётов и прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных ит.д.). Вместе с тем в ряде случаев можно отвлечься от дискретности показателей и эффективно предельные величины.

Для исследования экономических процессов и решения прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.

Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при :

. (1)

Эластичность функции показывает приближённо, на сколько процентов изменится функция y = f ( x ) при изменении независимой переменной x на 1%. Это мера реагирования одной переменной величины на изменение другой.

Отметим свойства эластичности функции.

1. Эластичность функции равна произведению независимой переменной x на темп изменения функции , т.е. .

2. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций: , .

Эластичность функций применяется при анализе спроса и потребления. Например, эластичность спроса y относительно цены x – коэффициент, определяемый по формуле (1) и показывающий приближённо, на сколько процентов изменится спрос (объем потребления) при изменении цены (или дохода) на 1%.

Если эластичность спроса (по абсолютной величине) , то спрос считают эластичным, если - нейтральным, если - неэластичным относительно цены (или дохода).

В практической деятельности часто приходится сталкиваться с такими задачам, которые рационально решать методами математического анализа. Это задачи на нахождение объёма продукции при известном значении прибыли, определении уровня потребления товаров при известном доходе, определение момента времени рентабельности производства, определение размеров вклада при известных начальных вложениях и т.п.

Задача 1. Издержки y (в руб.) на изготовление партии деталей определяются по формуле , где - объём партии. Для первого варианта технологического процесса . Для второго варианта известно, что (руб.) при (дет.) и (руб.) при (дет.). Провести оценку двух вариантов технологического процесса и найти себестоимость продукции для обоих вариантов при (дет.)

Решение .

Для второго варианта определяем параметры и из системы уравнений:

откуда и , т.е. .

Точка (х 0 ,y 0) пересечения двух прямых находится из системы их уравнений:

откуда , .Очевидно, при объёме партии выгоднее второй вариант технологического процесса, при - первый вариант. Себестоимость продукции (руб.) при по первому варианту составляет , а по второму - .

Задача 2. Постоянные издержки составляют 125 тыс.руб. в месяц, а переменные издержки - 700 руб. за каждую единицу продукции. Цена единицы продукции 1200 руб. Найти объём продукции , при котором прибыль равна: а) нулю (точка безубыточности); б) 105 тыс.руб. в месяц.

Решение:

а) Издержки производства единиц продукции составят: (тыс.руб.). Совокупный доход (выручка) от реализации этой продукции , а прибыль (тыс.руб.). Точка безубыточности, в которой , равна (ед.).

б) Прибыль (тыс.руб.), т.е. при (ед.).

Задача 3. Продолжительность выполнения (мин.) при повторных операциях связана с числом этих операций зависимостью . Вычислить, сколько минут выполняется работа при 50 операциях, если известно, что при , а при .

Решение . Найдём параметры и , учитывая, что , . Получаем систему: решая которую найдём , .

Итак, при , (мин.)

Задача 4. Объём продукции u, произведённый бригадой рабочих, может быть описан уравнением (ед.), , где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп её изменения через час после начала работы и за час до её окончания.

Решение. Производительность труда выражается производной (ед./час), а скорость и темп изменения производительности – соответственно производной и логарифмической производной : (ед./ч 2),

(ед./ч).

В заданные моменты времени и соответственно имеем: z(t)=112,5 (ед./ч), z’(t)=-20(ед./ч 2), T z (7)=-0,24 (ед./ч).

Итак, к концу работы производительность труда существенно снижается; при этом изменение знака z’(t) и T z (t) с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется её снижением в последние часы.

Задача 5. Опытным путём установлены функции спроса и предложения , где q и s – количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, p – цена товара.

Найти: а) равновесную цену, т.е.цену при которой спрос равен предложению;

б) эластичность спроса и предложения для этой цены;

в) изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.

Решение. а) Равновесная цена находится из условия q = s , тогда , откуда p = 2, т.е равновесная цена 2 ден.ед.

б) Найдём эластичность по спросу и предложению по формуле (1)

; . Для равновесной цены p =2 имеем ; . Так как полученные значения эластичностей по абсолютной величине меньше 1, то и спрос и предложение данного товара при равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведёт к резкому изменению спроса и предложения. Так, при увеличении цены p на 1% спрос уменьшится на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%.

в) При увеличении цены p на 5% от равновесной спрос уменьшится на 5 . 0,3=1,5%, следовательно, доход возрастёт на 3,5%.

Задача 6. Зависимость между издержками производства y и объёмом выпускаемой продукции x выражается функцией (ден.ед.). Определить средние и предельные издержки при объёме продукции 10 ед.

Решение. Функция средних издержек выражается соотношением ; при x = 10средние издержки (на единицу продукции) равны (ден. ед.). Функция предельных издержек выражается производной ; при x = 10 предельные издержки составят (ден.ед.). Итак, если средние издержки на производство единицы продукции составляют 45 ден.ед., то предельные издержки, т.е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном уровне производства (объёме выпускаемой продукции 10 ед.) , составляют 35 ден.ед.

Задача 7. Выяснить, чему равны предельные и средние полные затраты предприятия, если эластичность полных затрат равна 1?

Решение . Пусть полные затраты предприятия y выражаются функцией , где x – объём выпускаемой продукции. Тогда средние затраты y 1 на производство единицы продукции . Эластичность частного двух функции равна разности их эластичностей, т.е. .

По условию , следовательно, . Это означает, что с изменением объёма продукции средние затраты на единицу продукции не меняются, т.е., откуда .

предельные издержки предприятия определяются производной . Итак, т.е предельные издержки равны средним издержкам(полученное утверждение справедливо только для линейных функций издержек).

2. Задания для самостоятельной работы.

2.1. Издержки перевозки двумя видами транспорта выражаются уравнениями: и , где - расстояния в сотнях километров, - транспортные расходы. Начиная с какого расстояния более экономичен второй вид транспорта?

2.2. Зная, что изменение объёма производства с изменением производительности труда происходит по прямой линии, составить её уравнение, если при =3 =185, а при =5 =305. Определить объём производства при =20.

2.3 . Предприятие купило автомобиль стоимостью 150 тыс.руб. Ежегодная норма амортизации составляет 9%. Полагая зависимость стоимости автомобиля от времени линейной, найти стоимость автомобиля через 4,5 года.

2.4. Зависимость уровня потребления некоторого вида товаров от уровня дохода семьи выражается формулой: . Найти уровень потребления товаров при уровне дохода семьи 158 ден.ед. Известно, что при =50 =0; =74 =0,8; =326 =2,3.

2.5. Банк выплачивает ежегодно 5% годовых (сложный процент). Определить: а) размер вклада через 3 года, если первоначальный вклад составил 10 тыс. руб.; б) размер первоначального вклада, при котором через 4 года вклад (вместе с процентными деньгами) составит 10 000 руб.

Указание. Размер вклада через t лет определяется по формуле , где p -процентная ставка за год, Q 0 –первоначальный вклад.

2.6. Затраты на производство продукции (тыс.руб.) выражаются уравнением , где -количество месяцев. Доход от реализации продукции выражается уравнением . Начиная с какого месяца производство будет рентабельным?

2.7. Зависимость между себестоимостью единицы продукции y (тыс. руб.) и выпуском продукции x (млрд.руб.) выражается функцией . Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млрд.руб.

Практическое занятие.

Тема. Предельный анализ экономических процессов.

Цель. Рассмотреть применение математических методов для нахождения предельных величин в оптимизационных задачах.

1.Справочный материал.

Функция издержек С(х) определяет затраты, необходимые для производства x единиц данного продукта. Прибыль , где D ( x ) - доход от производства x единиц продукта.

Средние издержки A ( x ) при производстве x единиц продукта есть .Предельные издержки .

Оптимальным значением выпуска для производителя является то значение x единиц продукта, при котором прибыль P ( x ) оказывается наибольшей.

Задача 1. Функция издержек имеет вид . На начальном этапе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки A ( x ) . В дальнейшем на товар устанавливается цена, равная 4 усл.ед. за единицу. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск?

Решение. Средние издержки принимают минимальное значение при x =10. Предельные издержки . При установившейся цене оптимальное значение P ( x ) выпуска задаётся условием максимизации прибыли: , т.е. 4=M ( x ) , откуда . Таким образом, производство следует увеличить на 10 единиц.

Задача 2. Определить оптимальное для производителя значение выпуска x 0 p =14 , если известен вид функции издержек .

Решение . По формуле прибыли получаем, .

Находим производную прибыли по объёму: , тогда х опт = 2.

Задача 3. Найти максимальную прибыль, которую может получить фирма производитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу р =10,5 и функция издержек имеет вид.

Решение . Находим значение прибыли .

Производная прибыли по объёму имеет вид: . Тогда , . .

2. Задания для самостоятельной работы .

2.1 Определить оптимальное для производителя значение выпуска x 0 , при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p =8 и известен вид функции издержек .

2.2 Найти максимальную прибыль, которую может получить фирма-производитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p =40 и известен вид функции издержек .

2.3 При производстве монополией x единиц товара за единицу . Определить оптимальное для монополии значение выпуска x 0 (предполагается что весь произведённый товар реализуется), если издержки имеют вид .

2.4 Функция издержек имеет вид . Доход от реализации единицы продукции равен 50. Найти максимальное значение прибыли, которое может получить производитель.

2.5 На начальном этапе производства фирма минимизирует средние издержки, причём функция издержек имеет вид . В дальнейшем цена на единицу товара устанавливается равной р =37. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск? На сколько при этом изменятся средние издержки?

Задания для контрольной работы.

Задача 1.

Даны зависимости спроса D(p) и предложения S(p) от цены.

Найдите: 1) равновесную цену и выручку при равновесной цене;

2) цену, при которой выручка максимальна и саму эту

максимальную выручку.

Построить график зависимостей.

Задача 2.

Рассматривается рынок с тремя участниками, у каждого из которых одна и та же функция полезности . Пусть начальное имущество 1-го, 2-го и 3-го участников заданы векторами, а цены на рынке таковы р=1, р=2, р=3.

Проверить: 1) равновесно ли положение;

2) выполняется ли закон Вальраса об избыточном спросе:

Задача 3.

Пусть модель Леонтьева задана матрицей А.

Найти объем производства, обеспечивающий вектор потребления У.

№ варианта	1 задание	2 задание	3 задание
1		(3,2,3), (2,4,6), (6,4,6)
2		(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)
3		(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)
4		(4,2,3), (2,5,4), (3,4,7)
5		(5,2,3), (2,5,4,), (5,4,5)
6		(6,2,3), (2,3,6), (3,6,5)
7		(4,2,3), (4,3,4), (4,4,5)
8		(4,2,3), (5,3,4), (6,4,2)
9		(3,2,3), (4,3,4), (3,5,2)
10		(3,2,3), (2,4,6), (6,4,6)
11		(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)
12		(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)
13		(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)
14		(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)
15		(4,2,3), (2,5,4), (3,4,7)
16		(4,2,3), (4,3,4),
17		(3,2,3), (4,3,4),
18		(3,2,3), (2,4,6),
19

При построении экономических моделей выявляются существенные факторы и отбрасываются детали несущественные для решения поставленной задачи.

К экономическим моделям могут относится модели:

• экономического роста
• потребительского выбора
• равновесия на финансовом и товарном рынке и многие другие.

Модель — это логическое или математическое описание компонентов и функций, отражающих существенные свойства моделируемого объекта или процесса.

Модель используется как условный образ, сконструированный для упрощения исследования объекта или процесса.

Природа моделей может быть различна. Модели подразделяются на: вещественные, знаковые, словесное и табличное описание и др.

Экономико-математическая модель

В управлении хозяйственными процессами наибольшее значение имеют прежде всего экономико-математические модели , часто объединяемые в системы моделей.

Экономико-математическая модель (ЭММ) — это математическое описание экономического объекта или процесса с целью их исследования и управления ими. Это математическая запись решаемой экономической задачи.

Основные типы моделей

• Экстраполяционные модели
• Факторные эконометрические модели
• Оптимизационные модели
• Балансовые модели, модель МежОтраслевогоБаланса (МОБ)
• Экспертные оценки
• Теория игр
• Сетевые модели
• Модели систем массового обслуживания

Экономико-математические модели и методы, применяемые в экономическом анализе

R a = ЧП / ВА + ОА ,

В обобщенном виде смешанная модель может быть представлена такой формулой:

Итак, вначале следует построить экономико-математическую модель, описывающую влияние отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организации. Большое распространение в анализе хозяйственной деятельности получили многофакторные мультипликативные модели , так как они позволяют изучить влияние значительного количества факторов на обобщающие показатели и тем самым достичь большей глубины и точности анализа.

После этого нужно выбрать способ решения этой модели. Традиционные способы : способ цепных подстановок, способы абсолютных и относительных разниц, балансовый способ, индексный метод, а также методы корреляционно-регрессионного, кластерного, дисперсионного анализа, и др. Наряду с этими способами и методами в экономическом анализе используются и специфически математические способы и методы.

Интегральный метод экономического анализа

Одним из таких способов (методов) является интегральный. Он находит применение при определении влияния отдельных факторов с использованием мультипликативных, кратных, и смешанных (кратно-аддитивных) моделей.

В условиях применения интегрального метода имеется возможность получения более обоснованных результатов исчисления влияния отдельных факторов, чем при использовании метода цепных подстановок и его вариантов. Метод цепных подстановок и его варианты, а также индексный метод имеют существенные недостатки: 1) результаты расчетов влияния факторов зависят от принятой последовательности замены базисных величин отдельных факторов на фактические; 2) дополнительный прирост обобщающего показателя, вызванный взаимодействием факторов, в виде неразложимого остатка присоединяется к сумме влияния последнего фактора. При использовании же интегрального метода этот прирост делится поровну между всеми факторами.

Интегральный метод устанавливает общий подход к решению моделей различных видов, причем независимо от числа элементов, которые входят в данную модель, а также независимо от формы связи между этими элементами.

Интегральный метод факторного экономического анализа имеет в своей основе суммирование приращений функции, определенной как частная производная, умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках.

В процессе применения интегрального метода необходимо соблюдение нескольких условий. Во-первых, должно соблюдаться условие непрерывной дифференцируемости функции, где в качестве аргумента берется какой-либо экономический показатель. Во-вторых, функция между начальной и конечной точками элементарного периода должна изменяться по прямой Г е . Наконец, в третьих, должно иметь место постоянство соотношения скоростей изменения величин факторов

d y / d x = const

При использовании интегрального метода исчисление определенного интеграла по заданной подынтегральной функции и заданному интервалу интегрирования осуществляется по имеющейся стандартной программе с применением современных средств вычислительной техники.

Если мы осуществляем решение мультипликативной модели, то для расчета влияния отдельных факторов на обобщающий экономический показатель можно использовать следующие формулы:

ΔZ(x) = y 0 * Δ x + 1/2 Δ x * Δ y

Z(y)= x 0 * Δ y +1/2 Δ x * Δ y

При решении кратной модели для расчета влияния факторов воспользуемся такими формулами:

Z=x /y ;

Δ Z(x) = Δ x /Δ y Ln y1/y0

Δ Z(y)= Δ Z - Δ Z(x)

Существует два основных типа задач, решаемых при помощи интегрального метода: статический и динамический. При первом типе отсутствует информация об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. Примерами таких задач могут служить анализ выполнения бизнес-планов либо анализ изменения экономических показателей по сравнению с предыдущим периодом. Динамический тип задач имеет место в условиях наличия информации об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. К этому типу задач относятся вычисления, связанные с изучением временных рядов экономических показателей.

Таковы важнейшие черты интегрального метода факторного экономического анализа.

Метод логарифмирования

Кроме этого метода, в анализе находит применение также метод (способ) логарифмирования. Он используется при проведении факторного анализа, когда решаются мультипликативные модели. Сущность рассматриваемого метода заключается в том, что при его использовании имеет место логарифмически пропорциональное распределение величины совместного действия факторов между последними, то есть эта величина распределяется между факторами пропорционально доле влияния каждого отдельного фактора на сумму обобщающего показателя. При интегральном же методе упомянутая величина распределяется между факторами в одинаковой мере. Поэтому метод логарифмирования делает расчеты влияния факторов более обоснованными по сравнению с интегральным методом.

В процессе логарифмирования находят применение не абсолютные величины прироста экономических показателей, как это имеет место при интегральном методе, а относительные, то есть индексы изменения этих показателей. К примеру, обобщающий экономический показатель определяется в виде произведения трех факторов — сомножителей f = x y z .

Найдем влияние каждого из этих факторов на обобщающий экономический показатель. Так, влияние первого фактора может быть определено по следующей формуле:

Δf x = Δf · lg(x 1 / x 0) / lg(f 1 / f 0)

Каким же было влияние следующего фактора? Для нахождения его влияния воспользуемся следующей формулой:

Δf y = Δf · lg(y 1 / y 0) / lg(f 1 / f 0)

Наконец, для того, чтобы исчислить влияние третьего фактора, применим формулу:

Δf z = Δf · lg(z 1 / z 0)/ lg(f 1 / f 0)

Таким образом, общая сумма изменения обобщающего показателя расчленяется между отдельными факторами в соответствии с пропорциями отношений логарифмов отдельных факторных индексов к логарифму обобщающего показателя.

При применении рассматриваемого метода могут быть использованы любые виды логарифмов — как натуральные, так и десятичные.

Метод дифференциального исчисления

При проведении факторного анализа находит применение также метод дифференциального исчисления. Последний предполагает, что общее изменение функции, то есть обобщающего показателя, подразделяется на отдельные слагаемые, значение каждого из которых исчисляется как произведение определенной частной производной на приращение переменной, по которой определена эта производная. Определим влияние отдельных факторов на обобщающий показатель, используя в качестве примера функцию от двух переменных.

Задана функция Z = f(x,y) . Если эта функция является дифференцируемой, то ее изменение может быть выражено следующей формулой:

Поясним отдельные элементы этой формулы:

ΔZ = (Z 1 - Z 0) - величина изменения функции;

Δx = (x 1 - x 0) — величина изменения одного фактора;

Δ y = (y 1 - y 0) -величина изменения другого фактора;

- бесконечно малая величина более высокого порядка, чем

В данном примере влияние отдельных факторов x и y на изменение функции Z (обобщающего показателя) исчисляется следующим образом:

ΔZ x = δZ / δx · Δx; ΔZ y = δZ / δy · Δy.

Сумма влияния обоих этих факторов — это главная, линейная относительно приращения данного фактора часть приращения дифференцируемой функции, то есть обобщающего показателя.

Способ долевого участия

В условиях решения аддитивных, а также кратно-аддитивных моделей для исчисления влияния отдельных факторов на изменение обобщающего показателя используется также способ долевого участия. Его сущность состоит в том, что вначале определяется доля каждого фактора в общей сумме их изменений. Затем эта доля умножается на общую величину изменения обобщающего показателя.

Предположим, что мы определяем влияние трех факторов — а ,b и с на обобщающий показатель y . Тогда для фактора, а определение его доли и умножение ее на общую величину изменения обобщающего показателя можно осуществить по следующей формуле:

Δy a = Δa/Δa + Δb + Δc*Δy

Для фактора в рассматриваемая формула будет иметь следующий вид:

Δy b =Δb/Δa + Δb +Δc*Δy

Наконец, для фактора с имеем:

Δy c =Δc/Δa +Δb +Δc*Δy

Такова сущность способа долевого участия, используемого для целей факторного анализа.

Метод линейного программирования

См.далее:

Теория массового обслуживания

См.далее:

Теория игр

Находит применение также теория игр. Так же, как и теория массового обслуживания, теория игр представляет собой один из разделов прикладной математики. Теория игр изучает оптимальные варианты решений, возможные в ситуациях игрового характера. Сюда относятся такие ситуации, которые связаны с выбором оптимальных управленческих решений, с выбором наиболее целесообразных вариантов взаимоотношений с другими организациями, и т.п.

Для решения подобных задач в теории игр используются алгебраические методы, которые базируются на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также методы сведения данной задачи к определенной системе дифференциальных уравнений.

Одним из экономико-математических методов, применяемых в анализе хозяйственной деятельности организаций, является так называемый анализ чувствительности. Данный метод зачастую применяется в процессе анализа инвестиционных проектов, а также в целях прогнозирования суммы прибыли, остающейся в распоряжении данной организации.

В целях оптимального планирования и прогнозирования деятельности организации необходимо заранее предусматривать те изменения, которые в будущем могут произойти с анализируемыми экономическими показателями.

Например, следует заранее прогнозировать изменение величин тех факторов, которые влияют на размер прибыли: уровень покупных цен на приобретаемые материальные ресурсы, уровень продажных цен на продукцию данной организации, изменение спроса покупателей на эту продукцию.

Анализ чувствительности состоит в определении будущего значения обобщающего экономического показателя при условии, что величина одного или нескольких факторов, оказывающих влияние на этот показатель, изменится.

Так, например, устанавливают, на какую величину изменится прибыль в перспективе при условии изменения количества продаваемой продукции на единицу. Этим самым мы анализируем чувствительность чистой прибыли к изменению одного из факторов, влияющих на нее, то есть в данном случае фактора объема продаж. Остальные же факторы, влияющие на величину прибыли, являются при этом неизменными. Можно определить величину прибыли также и при одновременном изменении в будущем влияния нескольких факторов. Таким образом анализ чувствительности дает возможность установить силу реагирования обобщающего экономического показателя на изменение отдельных факторов, оказывающих влияние на этот показатель.

Матричный метод

Наряду с вышеизложенными экономико-математическими методами в анализе хозяйственной деятельности находят применение также . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре.

Метод сетевого планирования

См.далее:

Экстраполяционный анализ

Кроме рассмотренных методов, используется также экстраполяционный анализ. Он включает в себя рассмотрение изменений состояния анализируемой системы и экстраполяцию, то есть продление имеющихся характеристик этой системы на будущие периоды. В процессе осуществления этого вида анализа можно выделить такие основные этапы: первичная обработка и преобразование исходного ряда имеющихся данных; выбор типа эмпирических функций; определение основных параметров этих функций; экстраполяция; установление степени достоверности проведенного анализа.

В экономическом анализе используется также метод главных компонент. Они применяется в целях сравнительного анализа отдельных составных частей, то есть параметров проведенного анализа деятельности организации. Главные компоненты представляют собой важнейшие характеристики линейных комбинаций составных частей, то есть параметров проведенного анализа, которые имеют самые значительные величины дисперсии, а именно, наибольшие абсолютные отклонения от средних величин.