Для обогрева помещения температура в котором равна тп 20 через радиатор отопления пропускают горячую воды. Задача о температуре воды в радиаторе отопления

Для обогрева помещения, температура в котором равна Tп = С, через радиатор отопления пропускают горячую воду температурой Тв = С. Расход проходящей через трубу воды кг/c. Проходя по трубе расстояние (м), вода охлаждается до температуры Т (), причём (Tв-Тп/T-Tп), (м), где Дж/кг — теплоёмкость воды, Вт/м -коэффициент теплообмена, а — постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы м?

Решение задачи

Данный урок представляет решение типовой арифметической задача В12. Условием задачи задается формула определения расстояния , которое проходит вода по трубе радиатора отопления, охлаждаясь при этом до температуры . В ходе решения в данную формулу подставляются все известные значения. Решив полученное логарифмическое уравнение с одним неизвестным , будет найден ответ на поставленный в задаче вопрос. Сначала при решении уравнения используется основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов. Это выполняется для того, чтобы выразить неизвестный логарифм. Затем в правой части уравнения выполняется многократное сокращение дроби. При этом применяется основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то величина дроби не изменится. Далее в ходе решения используется определение логарифма, согласно которому равенства и равносильны. Выполнив преобразования, из полученного дробно рационального уравнения выражается температура , что и является окончательным ответом на поставленный в задаче вопрос.

Следует отметить, что приведенное решение может быть использовано учащимися для результативной подготовки к ЕГЭ по математике.

Решения задач из открытого банка заданий ЕГЭ по математике.

1. Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре С = 3 × 10 -6 Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением R = 8 × 10 6 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U 0 = 4 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением t = aRC × log 2 (U 0 / U ) (с), где a = 1,4 — постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 33,6 с. Ответ дайте в кВ (киловольтах).

2. Для обогрева помещения, температура в котором равна T П = 20 ° С , через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой T В = 68 ° С . Расход проходящей через трубу воды m = 0,2 кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры T ( ° С ) , причём x = acm / g log 2 (( T В - T П )/( T - T П )) (м), где c = 4200 Дж/(кг × ° С ) — теплоёмкость воды, g = 21В т/(м × ° С ) — коэффициент теплообмена, а a = 1,7 — постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 136 м?

3. Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неё проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Н м) определяется формулой M = NIBl 2 sin a , где I = 10 A — сила тока в рамке, B = 3 × 10 -3 Тл — значение индукции магнитного поля, l = 0,4 м — размер рамки, N = 1200 — число витков провода в рамке, a — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла a (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 2,88 Н м?

4. Очень лёгкий заряженный металлический шарик зарядом q = 5 × 10 -6 Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет v = 6 м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол a с направлением движения шарика. Значение индукции поля, B = 4 × 10 -3 Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная F Л = qvB sin a (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла a , лежащего на отрезке шарик оторвётся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила F Л была не менее чем 6 × 10 -8 Н? Ответ дайте в градусах.

5. Небольшой мячик бросают под острым углом a к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле L = ( v 0 ) 2 sin 2 a / g (м), где v 0 =10 м/с — начальная скорость мячика, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 10 м?

1. Решение. Чтобы ответить на вопрос, мы должны подставить все значения в формулу и решить неравенство 1,4 × 8 × 10 6 × 3 × 10 -6 × log 2 (4/ U ) ³ 33,6 . После умножения получаем 33,6 × log 2 (4/ U ) ³ 33,6, или log 2 (4/ U ) ³ 1. Отсюда 4/ U ³ 1, 4 ³ U . Ответ 4.

2. Решение.

136 = 1,7 × 4200 × 0,2 × log 2 ((68 - 20)/(T - 20))/21,

136 = 68 × log 2 (48 /( T - 20)), делим обе чсти уравнения на 68,

2 = log 2 (48 /(T - 20)),

48 /(T - 20)=4, T – 20=12, T =32.

3. Решение. Чтобы ответить на вопрос, мы должны подставить все значения в формулу и решить уравнение

2,88 = 1200 × 10 × 3 × 10 -3 × (0,4) 2 × sin a , перемножив числа в правой части, получаем

2,88 = 5,76 × sin a , отсюда sin a =0,5, a =30 ° .

4. Решение. Чтобы ответить на вопрос, мы должны подставить все значения в формулу и решить уравнение

6 × 10 -8 = 5 × 10 -6 × 6 × 4 × 10 -3 × sin a , перемножив числа в правой части, получаем

2. Решение.

136 = 1,7 × 4200 × 0,2 × log 2 ((68 - 20)/(T - 20))/21,

136 = 68 × log 2 (48 /( T - 20)), делим обе чсти уравнения на 68,

2 = log 2 (48 /(T - 20)),

48 /(T - 20)=4, T – 20=12, T =32.

3. Решение. Чтобы ответить на вопрос, мы должны подставить все значения в формулу и решить уравнение

2,88 = 1200 × 10 × 3 × 10 -3 × (0,4) 2 × sin a , перемножив числа в правой части, получаем

2,88 = 5,76 × sin a , отсюда sin a =0,5, a =30 ° .

4. Решение. Чтобы ответить на вопрос, мы должны подставить все значения в формулу и решить уравнение

6 × 10 -8 = 5 × 10 -6 × 6 × 4 × 10 -3 × sin a , перемножив числа в правой части, получаем

28. Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени v =3 моля воздуха объёмом V 1 =8 л, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объема V 2 . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением (Дж), где a =5,75 постоянная, а T =300 К - температура воздуха. Какой объем V 2 (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10350 Дж?

Ответ: 2

29. Находящи йся в воде водолазный колокол, содержащий v =2 моля воздуха при давлении p 1 =1,5 атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением (Дж), где a =5,75 - постоянная, T =300 К - температура воздуха, p 1 (атм.) - начальное давление, а p 2 (атм.) - конечное давление воздуха в колоколе. До какого наибольшего давления p 2 можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более чем 6900 Дж? Ответ приведите в атмосферах.

Ответ: 6

30. Для обогрева помещения, температура в котором равна T п =20°С, через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой T в =60°С. Расход проходящей через трубу воды m=0,3 кг/c. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры T(°C), прочем (м), где с =4200 Дж/кг°С - теплоёмкость воды, γ =21 Вт/м∙°С - коэффициент теплообмена, а a = 0,7 - постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 84 м?

Ответ: 30

31. Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре C =2∙10 -6 Ф. Параллельно c конденсатором подключен резистор c сопротивлением R =5∙10 6 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U 0 =16 кв. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кв.) за время, определяемое выражением (c), где a =0,7 - постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 21 c?

Ответ: 2

32. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону v(t)= 5sinπt (см/c), где t - время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/c? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Ответ: 0,67

33. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону v(t )=0,5sinπt , где t - время в секундах. Кинетическая энергия груза, измеряемая в джоулях, вычисляется по формуле , где m - масса груза (в кг), v - скорость груза (в м/c). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 5∙10 -3 Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых .

Ответ: 0,5

34. Небольшой мячик бросают под острым углом a к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле (м), где v 0 g - ускорение свободного падения (считайте g=10). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 20 м?

Ответ:15

35. Небольшой мячик бросают под острым углом a к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полете мячика, выраженная в метрах, определяется формулой , где v 0 =20 м/c - начальная скорость мяча, а g - ускорение свободного падения (считайте g =10). При каком наименьшем значении угла a (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?

Ответ: 30

36. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U=U 0 sin(ωt+φ), где t - время в секундах, амплитуда U 0 =2, частота ω=120°/c, фаза φ= -30°. Датчик настроен так, что, если напряжение в нем не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Ответ: 50

37. Некоторая компания продает свою продукцию по цене p =500 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v =300 руб., постоянные расходы предприятия f =700000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле π(q)=q(p-v)-f . Определите наименьший месячный объем производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 300000 руб.

Ответ: 5000

38. Зависимость объем спроса q (тыс. руб.) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задается формулой q =100-10p . Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=q∙p. Определите наибольшую цену p , при которой месячная выручка r (p ) составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Ответ: 6

39. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In , оперативности Op , объективности публикаций Tr , а также качества сайта Q . Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от -2 до 2. Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций - впятеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид . Если по всем четырем показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число А, при котором это условие будет выполняться.

Ответ: 10

40. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In , оперативности Op , объективности публикаций Tr , а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от 1 до 5. Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций - вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид . Каким должно быть число А, чтобы издание, у которого все оценки наибольшие, получило бы рейтинг 1?

Ответ: 35

41. Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле , где r пок - средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1), r экс - оценка магазина экспертами (от 0 до 0,7) и K - число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина «Бета», если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно 20, их средняя оценка равна 0,65, а оценка экспертов равна 0,37.

Ответ: 0,625

42. Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле г де, , r экс - средняя оценка, данная экспертами, r пок - средняя оценка, данная покупателями, K - число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно 24, их средняя оценка равна 0,86, а оценка экспертов равна 0,11.

Ответ: 0,71

43. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v 0 =57 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a =12 км/ч 2 . Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением . Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее, чем в 30 км от города. Ответ выразите в минутах.

Ответ: 30

44. Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v 0 =20 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a =5 м/с 2 . За t – секунд после начала торможения он прошёл путь (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ выразите в секундах.

Ответ: 2

45. Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч 2 . Скорость v вычисляется по формуле , где l - пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость 100 км/ч. Ответ выразите в км/ч 2 .

Ответ: 5000

46. Автомобиль, масса которого равна m = 2160 кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаeтся неизменным, и проходит за это время путь S =500 метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно . Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдeт указанный путь, если известно, что сила F , приложенная к автомобилю, не меньше 2400 Н. Ответ выразите в секундах.

Ответ: 30

47. Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле , где m = 1200 кг – общая масса навеса и колонны, D – диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения g =10 м/с 2 , а π=3, определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 400 000 Па. Ответ выразите в метрах.

Ответ: 0,2

48. Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Нм) определяется формулой , где I = 2 A – сила тока в рамке, B = 310 -3 Тл – значение индукции магнитного поля, l = 0,5 м – размер рамки, N = 1000 – число витков провода в рамке, a – острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла a (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 0,75 Нм?

Ответ: 30 °

49. Очень лeгкий заряженный металлический шарик зарядом q = 210 -6 Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет v =5 м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол a с направлением движения шарика. Значение индукции поля B =410 -3 Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная F л =q v B sin α (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла a ϵ шарик оторвeтся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила F л была не менее чем 210 -8 Н? Ответ дайте в градусах.

Ответ: 30 °

50. Плоский замкнутый контур площадью S =0,5 м 2 находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой ε i = a S cos α , где α – острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, a = 410 -4 Тл/с – постоянная, S – площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м). При каком минимальном угле α (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать 10 -4 В?

Ответ: 60 °

51. Два тела массой m = 2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v = 10 м/с под углом 2α друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении вычисляется по формуле Q = m v 2 sin 2 α. Под каким наименьшим углом 2α (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?

Ответ: 60 °

52. Катер должен пересечь реку шириной L =100 м и со скоростью течения u =0,5 м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением , где a – острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом a (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?

Ответ: 45 °

53. Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью v =3 м/с под острым углом a к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью (м/с), где m =80 кг – масса скейтбордиста со скейтом, а M =400 кг – масса платформы. Под каким максимальным углом a (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?

Ответ: 60 °

54. Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу m =1260 тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной l =18 метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой , где m – масса экскаватора (в тоннах), l – длина балок в метрах, s – ширина балок в метрах, g – ускорение свободного падения (считайте g=10 м/с 2 ). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 140 кПа. Ответ выразите в метрах .

Ответ: 2,5

55. При нормальном падении света с длиной волны λ=400 нм на дифракционную решeтку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол φ (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением d sin φ = k λ. Под каким минимальным углом φ (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1600 нм?

Ответ: 30 °