Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

§ 56. Трехгранные и многогранные углы

Пусть даны /\ АВС и точка S, не принадлежащая плоскости треугольника (рис. 168).
Объединение всех лучей, имеющих общее начало в точке S и пересекающих данный треугольник (рис. 169), называется трехгранным углом .

Точка S называется вершиной трехгранного угла, лучи SA, SB, SC - его ребрами . Углы ASB, BSC, CSA называются гранями трехгранного угла или его плоскими углами . Величина каждого из них принадлежит интервалу ]0°; 180°[.

Вообще, если даны многоугольник ABC ... N и точка S, не принадлежащая плоскости многоугольника, то объединение всех лучей, имеющих общее начало в точке S и пересекающих данный многоугольник (рис. 170), называется многогранным углом .

Точка S называется вершиной многогранного угла, лучи SA, SB, SN - его ребрами. Углы ASB, BSC, ... называются гранями многогранного угла или его плоскими углами ; величина каждого его плоского угла принадлежит интервалу ]0°; 180°[. Многогранные углы называются трехгранными, четырехгранными и т. д. в зависимости от числа граней. Обозначают многогранный угол или одной буквой, обозначающей вершину, или несколькими буквами, отмечая вершину и точки на каждом ребре.

Многогранный угол называется выпуклым, если он находится по одну сторону от плоскости каждой его грани. В противном случае многогранный угол называется невыпуклым. На рис. 171 изображен невыпуклый пятигранный угол.

Выпуклый многогранный угол называется правильным , если все его грани конгруэнтны и все его двугранные углы конгруэнтны.

Рассмотрим свойства плоских углов трехгранных и многогранных углов.

Теорема 1. Величина каждого плоского угла трехгранного угла меньше суммы величин двух других его плоских углов.

Пусть дан трехгранный угол SABC. Величины его плоских углов обозначим α , β , γ
(рис. 172).

Пусть γ - большая из них. Достаточно доказать, что γ < α + β.

В плоскости грани ASB проведем луч SM так, чтобы . Пусть N - точка пересечения отрезка АВ и луча SM. На луче SC отложим отрезок SD такой, что
|SD| = |SN|. Тогда /\ ASD /\ ASN по двум сторонам и углу между ними.

В /\ ABD

|AD| + |DB| > |AB|,

а по построению

|AB| = |AN| + |NB| и |AD| = |AN|,

следовательно, |DB| > |NB|.

Выразим теперь |DB| и |BN| из треугольников BSD и BSN при помощи теоремы косинусов:

|BD| 2 = |BS| 2 + |DS| 2 - 2|BS| |DS| cos α,
|ВN| 2 = | BS| 2 + |NS| 2 - 2|BS| |NS| cos .

Так как |DS| = |NS| , а | DB |> |NB|, то cos α < cos , и поэтому < α. Тогда

< α + β, или γ < α + β.

Из доказанной теоремы непосредственно следует, что величина каждого плоского угла трехгранного угла больше разности величин двух других его плоских углов, например

α > γ - β, β > γ - α

Теорема 2. Сумма величин всех трех плоских углов трехгранного угла меньше 360° .

Пусть дан трехгранный угол SABC (рис. 173).

Если через точки А, В, С проведем плоскость, то получим еще три трехгранных угла: ASBC, BSAC и CSAB. Применим к каждому из них теорему о сумме величин двух плоских углов трехгранного угла:

Сложив почленно эти неравенства, получим

а- так как сумма величин внутренних углов треугольника равна 180°, то

Обозначим , тогда из треугольников ASC, ASB, BSC имеем

Теперь неравенство (1) принимает вид

180° - α + 180° - β + 180° - γ > 180°,

откуда и следует, что

α + β + γ <360°.

Разбивая выпуклый многогранный угол на трехгранные углы, можно доказать следующее утверждение.

Сумма величин всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°, а каждый плоский угол меньше суммы остальных плоских углов .

№1 Дата05.09.14

Предмет Геометрия

Класс 11

Тема урока: Понятие о многогранном угле. Трехгранный угол.

Цели урока:

ввести понятия: “трехгранные углы”, “многогранные углы”, “многогранник”;

ознакомить учащихся с элементами трехгранного и многогранного углов, многогранника, а также определениями выпуклого многогранного угла и свойствами плоских углов многогранного угла;

продолжить работу по развитию пространственных представлений и пространственного воображения, а также логического мышления учащихся.

Тип урока: изучения нового материала

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.

2. Формирование новых понятий и способов действия.

Задачи: Обеспечить восприятие, осмысление и запоминание учащимися изучаемого материала. Обеспечить усвоение учащимися методики воспроизведения изученного материала, содействовать философскому осмыслению усваиваемых понятий, законов, правил, формул. Установить правильность и осознанность учащимися изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления, провести коррекцию. Обеспечить соотнесение учащимися своего субъективного опыта с признаками научного знания.

Пусть даны три луча а, b и с с общим началом точкой О (рис. 1.1). Эти три луча не обязательно лежат в одной плоскости. На рисунке 1.2 лучи b и с лежат в плоскости р, а луч а не лежит в этой плоскости.

Лучи а, b и с попарно задают три выделенных дугами плоских угла (рис. 1.3).

Рассмотрим фигуру, состоящую из трех указанных выше углов и части пространства, ограниченной этими плоскими углами. Эту пространственную фигуру называют трехгранным углом (рис. 2).

Лучи а, b и с называются ребрами трехгранного угла, а углы: = AOC, = AOB,

= BOC , ограничивающие трехгранный угол, - его гранями. Эти углы-грани образуют поверхность трехгранного угла. Точка О называется вершиной трехгранного угла. Трехгранный угол можно обозначать так: OABC

Рассмотрев внимательно все многогранные углы, изображенные на рисунке 3, мы можем заключить, что у каждого из многогранных углов одинаковое число ребер и граней:

4 грани и одна вершина;

у пятигранного угла - 5 ребер, 5 граней и одна вершина;

• 
  у шестигранного угла - 6 ребер, 6 граней и одна вершина и т. д.

Многогранные углы бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Представьте себе, что мы взяли четыре луча с общим началом, как на рисунке 4. В этом случае мы получили невыпуклый многогранный угол.

Определение 1. Многогранный угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Другими словами, выпуклый многогранный угол всегда можно положить любой его гранью на некоторую плоскость. Вы видите, что в случае, изображенном на рисунке 4, так поступить не всегда удается. Четырехгранный угол, изображенный на рисунке 4, является невыпуклым.

Отметим, что в нашем учебнике, если мы говорим “многогранный угол”, то имеем в виду, что он выпуклый. Если рассматриваемый многогранный угол невыпуклый, об этом будет сказано отдельно.

Свойства плоских углов многогранного угла

Теорема 1. Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других плоских углов.

Теорема 2. Сумма величин всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

3. Применение. Формирование умений и навыков.

Задачи: Обеспечить применение учащимися знаний и способов действий, которые им необходимы для СР, создать условия для выявления школьниками индивидуальных способов применения изученного.

6.Этап информации о домашнем задании.

Задачи: Обеспечить понимание учащимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

§1(1.1, 1.2) стр. 4, № 9.

7.Подведение итогов урока.

Задача: Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся.

8.Этап рефлексии.

Задачи: Инициировать рефлексию учащихся на самооценку своей деятельности. Обеспечить усвоение учащимися принципов само регуляции и сотрудничества.

Беседа по вопросам:

Что тебе на уроке было интересно?

Что не понятно?

На что обратить внимание учителю на следующем уроке?

Как ты оценишь свою работу на уроке?

20. Разноуровневое изучение многогранных углов, свойств плоских углов трехгранного угла и многогранного угла.

Базовый уровень:

Атанасян

Рассматривает только Двугранный угол.

Погорелов

Сначала рассматривает двугранный угол и затем сразу трехгранный и многогранный.

Рассмотрим три луча а, b, с, исходящие из одной точки лежащие в одной плоскости. Трехгранным углом (abc) называется фигура, составленная из трех плоских углов (ab), (bc) и (ac) (рис. 400). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны - ребрами. Общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.

Аналогично вводится понятие многогранного угла(рис.401).

рис 400 и рис.401

Профильный уровень (А.Д.Алексндров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжих):

Оставляя определение и изучение произвольных многогранных углов до § 31, мы рассмотрим сейчас простейшие из них - трех­гранные углы. Если в стереометрии аналогами плоских углов мож­но считать двугранные углы, то трехгранные углы можно рас­сматривать как аналоги плоских треугольников , а в следующих параграфах увидим, как они естественно связаны со сферически­ми треугольниками.

Построить (а значит, и конструктивно определить) трехгран­ный угол можно так. Возьмем любые три луча а, b,c, имеющие общее начало О и не лежащие в одной плоскости (рис. 150). Эти лучи являются сторонами трех выпуклых плоских углов: угла α со сто­ронамиb, с, угла β со сторонами а, с и угла γ со сторонами а,b. Объединение этих трех углов α, β, γ и называется трехгранным углом Оabc(или, короче, трехгранным углом О). Лучи а,b, с называются ребрами трехгранного угла Оаbс, а плоские углы α, β, γ - его гранями. Точка О называется вершиной трехгран­ного угла.

3 а м е ч а н и е. Можно было бы определить трехгранный угол и с невыпуклой гранью (рис. 151), но мы такие трехгранные углы рассматривать не будем.

При каждом из ребер трехгранного угла определяется соот­ветствующий двугранный угол, такой, ребро которого содержит соответствующее ребро трехгранного угла, а грани которого содер­жат прилежащие к этому ребру грани трехгранного угла.

Величины двугранных углов трехгранного угла Оаbс при реб­рах а,b, с будем соответственно обозначать через а^,b^, с^(крышечки непосредственно над буквами).

Три грани α, β, γ трехгранного угла Оаbс и три его двугранных угла при ребрах а,b, с, а также велbчины α, β, γ и а^,b^, с^ будем называть элементами трехгранного угла. (Вспомните, что элемен­ты плоского треугольника - это его стороны и его углы.)

Наша задача - Выразить одни элементы трехгранного угла через другие его элементы, т. е. построить «тригонометрию» трех­гранных углов.

1) Начнем с вывода аналога теоремы косинусов. Сначала рассмотрим такой трехгранный угол Оаbс, у которого хотя бы две грани, например α и β являются острыми углами. Возьмем на его ребре с точку С и проведем из нее в гранях α и β перпендикуля­ры СВ и СА к ребру с до пересечения с ребрами а иbв точках А и В (рис. 152). Выразим расстояние АВ из треугольников ОАВ и САВ по теореме косинусов.

АВ 2 =АС 2 +ВС 2 -2АС*ВС*Cos(c^) и АВ 2 =ОА 2 +ОВ 2 -2АО*ВО*Cosγ.

Вычитая из второго равенства первое, получим:

ОА 2 -АС 2 +ОВ 2 -ВС 2 +2АС*ВС*Cos(c^)-2АО*ВО*Cosγ=0 (1). Т.к. треугольники ОСВ и ОСА прямоугольные, то АС 2 -АС 2 =ОС 2 и ОВ 2 -ВС 2 =ОС 2 (2)

Поэтому из (1) и (2) следует, что ОА*ОВ*Cosγ=ОС 2 +АС*ВС*Cos(c^)

т.е.

Но
,
,
,
. Поэтому

(3) – аналог теоремы косинусов для трехгранных углов-формула косинусов .

Обе грани α и β – тупые углы.

Один из углов α и β, например α, острый, а другой – β- тупой.

Хоты бы 1 из углов α или β прямой.

Признаки равенства трехгранных углов похожи на признаки равенства треугольников. Но есть отличие: например, два трех­гранных угла равны, если соответственно равны их двугранные углы. Вспомните, что два плоских треугольника, у которых соот­ветственные углы равны, подобны. А для трехгранных углов ана­логичное условие приводит не к подобию, а к равенству.

Трехгранные углы обладают замечательным свойством , кото­рое называется двойственностью. Если в какой-либо теореме о трехгранном угле Оаbс заменить величины а,b, с на π-α, π-β, π-γи, наоборот, заменить α, β, γ на π-a^, π-b^, π-c^, то снова получим верное утверждение о трехгранных углах, двойст­венное исходной теореме. Правда, если такую замену произвести в теореме синусов, то снова придем к теореме синусов (она сама себе двойственна). Но если так сделать в теореме косинусов (3), то получим новую формулу

cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.

Почему имеет место такая двойственность, станет ясно, если для трехгранного угла построить двойственный ему трехгранный угол, ребра которого перпендикулярны граням исходного угла (см. п. 33.3 и рис. 356).

Одними из простейших поверхностей являются многогранные углы . Они составляются из обычных углов (такие углы теперь часто будем называть плоскими углами), подобно тому как замкнутая ломаная составляется из отрезков. А именно дается следующее определение:

Многогранным углом называется фигура, образованная плоскими углами так, что выполнены условия:

1) Никакие два угла не имеют общих точек, кроме их общей вершины или целой стороны.

2) У каждого из этих углов каждая его сторона является общей с одним и только с одним другим таким углом.

3) От каждого угла к каждому можно перейти по углам, имеющим общие стороны.

4) Никакие два угла с общей стороной не лежат в одной плоскости (рис. 324).

При этом условии плоские углы, образующие многогранный угол, называются его гранями, а их стороны - его ребра.

Под данное определение подходит и двугранный угол. Он состав­лен из двух развернутых плоских углов. Вершиной его может считаться любая точка на его ребре, и эта точка разбивает ребро на два ребра, сходящиеся в вершине. Но ввиду этой неопределенности в положении вершины двугранный угол исключают из числа многогранных углов.

П

онятие о многогранном угле важно, в частности, при изуче­нии многогранников - в теории многогранников. Строение много­гранника характеризуется тем, из каких граней он составлен и как они сходятся в вершинах, т. е. какие там оказываются много­гранные углы.

Рассмотрите многогранные углы у разных многогранников.

Обратите внимание, что грани многогранных углов могут быть и невыпуклыми углами.

Трёхгранные и многогранные углы: Трёхгранным углом называется фигура образованная тремя плоскостями, ограни- ченными тремя лучами, исходящими из одной точки и не лежащей в одной плоскости. Рассмотрим какой-нибудь плоский многоугольник и точку лежащую вне плоскости этого многоугольника. Проведём из этой точки лучи, проходящие через вершины многоугольника. Мы получим фигуру, которая называется многогранным углом.

Трёхгранный угол это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих углов называется вершиной трёхгранного угла. Стороны углов называются рёбрами, плоские углы при вершине трёхгранного угла называются его гранями. Каждая из трёх пар граней трёхгранного угла образует двугранный угол плоскими угламидвугранный угол

; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста" title="Основные свойства трехгранного угла 1. Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. + > ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста" class="link_thumb"> 4 Основные свойства трехгранного угла 1. Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. + > ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, составленные плоскостями углов β и γ, α и γ, α и β. 3. Первая теорема косинусов для трёхгранного угла 4. Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста"> ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, составленные плоскостями углов β и γ, α и γ, α и β. 3. Первая теорема косинусов для трёхгранного угла 4. Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла"> ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста" title="Основные свойства трехгранного угла 1. Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. + > ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста"> title="Основные свойства трехгранного угла 1. Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. + > ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста">

Грани многогранника - это многоугольники, которые его образуют. Ребра многогранника - это стороны многоугольников. Вершины многогранника - это вершины многоугольника. Диагональ многогранника - это отрезок, соединяющий 2 вершины, не принадлежащие одной грани.