Как найти производную функции в точке? Из формулировки следуют два очевидных пункта этого задания:

1) Необходимо найти производную.

2) Необходимо вычислить значение производной в заданной точке.

Пример 1

Справка: Следующие способы обозначения функции эквивалентны:


В некоторых заданиях бывает удобно обозначить функцию «игреком», а в некоторых через «эф от икс».

Сначала находим производную:

Надеюсь, многие уже приноровились находить такие производные устно.

На втором шаге вычислим значение производной в точке :

Небольшой разминочный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

В точке

Полное решение и ответ в конце урока.

Необходимость находить производную в точке возникает в следующих задачах: построение касательной к графику функции (следующий параграф), исследование функции на экстремум , исследование функции на перегиб графика , полное исследование функции и др.

Но рассматриваемое задание встречается в контрольных работах и само по себе. И, как правило, в таких случаях функцию дают достаточно сложную. В этой связи рассмотрим еще два примера.

Пример 3

Вычислить производную функции в точке .
Сначала найдем производную:

Производная, в принципе, найдена, и можно подставлять требуемое значение . Но что-то делать это не сильно хочется. Выражение очень длинное, да и значение «икс» у нас дробное. Поэтому стараемся максимально упростить нашу производную. В данном случае попробуем привести к общему знаменателю три последних слагаемых:

Ну вот, совсем другое дело. Вычислим значение производной в точке :

В том случае, если Вам не понятно, как найдена производная, вернитесь к первым двум урокам темы. Если возникли трудности (недопонимание) с арктангенсом и его значениями, обязательно изучите методический материал Графики и свойства элементарных функций – самый последний параграф. Потому-что арктангенсов на студенческий век ещё хватит.

Пример 4

Вычислить производную функции в точке .

Это пример для самостоятельного решения.

Производная функции одной переменной.

Введение.

Настоящие методические разработки предназначены для студентов факультета промышленное и гражданское строительство. Они составлены применительно к программе курса математики по разделу «Дифференциальное исчисление функций одного переменного».

Разработки представляют собой единое методическое руководство, включающее в себя: краткие теоретические сведения; «типовые» задачи и упражнения с подробными решениями и пояснениями к этим решениям; варианты контрольной работы.

В конце каждого параграфа дополнительные упражнения. Такая структура разработок делает их пригодными для самостоятельного овладения разделом при самой минимальной помощи со стороны преподавателя.

§1. Определение производной.

Механический и геометрический смысл

производной.

Понятие производной является одним из самых важных понятий математического анализа.Оно возникло еще в 17 веке. Формирование понятия производной исторически связано с двумя задачами: задачей о скорости переменного движения и задачей о касательной к кривой.

Эти задачи, несмотря на их различное содержание, приводят к одной и той же математической операции, которую нужно провести над функцией.Эта операция получила в математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования функции. Результат операции дифференцирования называется производной.

Итак, производной функцииy=f(x) в точкеx0 называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента
при
.

Производную принято обозначать так:
.

Таким образом, по определению

Для обозначения производной употребляются также символы
.

Механический смысл производной.

Если s=s(t) – закон прямолинейного движения материальной точки, то
есть скорость этой точки в момент времениt.

Геометрический смысл производной.

Если функция y=f(x) имеет производную в точке, то угловой коэффициент касательной к графику функции в точке
равен
.

Пример.

Найдите производную функции
в точке=2:

1) Дадим точке =2 приращение
. Заметим, что.

2) Найдем приращение функции в точке =2:

3) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

Найдем предел отношения при
:

.

Таким образом,
.

§ 2. Производные от некоторых

простейших функций.

Студенту необходимо научиться вычислять производные конкретных функций: y=x,y=и вообщеy=.

Найдем производную функции у=х.

т.е. (x)′=1.

Найдем производную функции

Производная

Пусть
тогда

Легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции
приn=1,2,3.

Следовательно,

. (1)

Эта формула справедлива для любых действительных n.

В частности, используя формулу (1), имеем:

;

.

Пример.

Найдите производную функции

.

.

Данная функция является частным случаем функции вида

при
.

Используя формулу (1), имеем

.

Производные функций y=sin x и y=cos x.

Пусть y=sinx.

Разделим на ∆x, получим

Переходя к пределу при ∆x→0, имеем

Пусть y=cosx .

Переходя к пределу при ∆x→0, получим

;
. (2)

§3. Основные правила дифференцирования.

Рассмотрим правила дифференцирования.

Теорема 1 . Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)"=u"+v".(3)

Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).

Приращению ∆x аргумента x соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v. Тогда функция y получит приращение

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Следовательно,

Итак, (u+v)"=u"+v".

Теорема 2. Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx, то в той же точке дифференцируемо и их произведение.При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)"=u"v+uv". (4)

Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.

Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Отсюда

Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, чтоuиvне зависят от ∆x, будем иметь

Теорема 3 . Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель- разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя, т.е.

Если
то
(5)

Теорема 4. Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где С=const, то y"=0.

Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если y=Cu(x), где С=const, то y"=Cu"(x).

Пример 1.

Найдите производную функции

.

Данная функция имеет вид
, гдеu=x,v=cosx. Применяя правило дифференцирования (4), находим

.

Пример 2.

Найдите производную функции

.

Применим формулу (5).

Здесь
;
.

Задачи.

Найдите производные следующих функций:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Исследование функций. В этой статье мы поговорим о задачах, в которых рассматриваются функции и в условии стоят вопросы связанные с их исследованием. Рассмотрим основные теоретические моменты, которые необходимо знать и понимать для их решения.

Это целая группа задач входящих в ЕГЭ по математике. Обычно ставится вопрос о нахождении точек максимума (минимума) или определения наибольшего (наименьшего) значения функции на заданном интервале. Рассматриваются:

— Степенные и иррациональные функции.

— Рациональные функции.

— Исследование произведений и частных.

— Логарифмические функции.

— Тригонометрические функции.

Если вы поняли теорию пределов, понятие производной, свойства производной для исследования графиков функций и её , то такие задачи никакого затруднения у вас не вызовут и вы решите их с лёгкостью.

Информация ниже — это теоретические моменты, понимание которых позволит осознать, как решать подобные задачи. Постараюсь изложить их именно так, чтобы даже тот, кто эту тему пропустил или изучил слабо, смог без особых затруднений решать подобные задачи.

В задачах данной группы, как уже сказано, требуется найти либо точку минимума (максимума) функции, либо наибольшее (наименьшее) значение функции на интервале.

Точки минимума, максимума. Свойства производной.

Рассмотрим график функции:

Точка А – это точка максимума, на интервале от О до А функция возрастает, на интервале от А до В убывает.

Точка В – это точка минимума, на интервале от А до В функция убывает, на интервале от В до С возрастает.

В данных точках (А и В) производная обращается в нуль (равна нулю).

Касательные в этих точках параллельны оси ox .

Добавлю, что точки, в которых функция меняет своё поведение с возрастания на убывание (и наоборот, с убывания на возрастание), называются экстремумами.

Важный момент:

1. Производная на интервалах возрастания имеет положительный знак (п ри подстановке значения из интервала в производную получается положительное число).

Значит, если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет положительное значение, то график функции на этом интервале возрастает.

2. На интервалах убывания производная имеет отрицательный знак (при подстановке значения из интервала в выражение производной получается отрицательное число).

Значит, если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет отрицательное значение, то график функции на этом интервале убывает.

Это надо чётко уяснить!!!

Таким образом, вычислив производную и приравняв её к нулю, можно найти точки, которые разбивают числовую ось на интервалы. На каждом из этих интервалов можно определить знак производной и далее сделать вывод о её возрастании или убывании.

*Отдельно следует сказать о точках, в которых производая не существует. Например, можем получить производную, знаменатель которой при определённом х обращается в нуль. Понятно, что при таком х производная не существует. Так вот, данную точку также необходимо учитывать при определени интервалов возрастания (убывания).

Функция в точках, где производная равна нулю меняет свой знак не всегда. Об этом будет отдельная статья. На самом ЕГЭ таких задач не будет.

Вышеизложенные свойства необходимы для исследования поведения функции на возрастание и убывание.

Что ещё необходимо знать для решения оговоренных задач: таблицу производных и правила дифференцирования. Без этого никак. Это базовые знания, в теме производной. Производные элементарных функций вы должны знать на отлично.

Вычисляя производную сложной функции f (g (x )), представьте, что функция g (x ) это переменная и далее вычисляйте производную f ’(g (x )) по табличным формулам как обычную производную от переменной. Затем полученный результат умножьте на производную функции g (x ) .

Посмотрите видеоурок Максима Семенихина о сложной функции:

Задачи на нахождение точек максимума и минимума

Алгоритм нахождения точек максимума (минимума) функции:

1. Находим производную функции f ’(x ).

2. Находим нули производной (приравниванием производную к нулю f ’(x )=0 и решаем полученное уравнение). Также находим точки в которых производная не существует (в частности это касается дробно-рациональных функций).

3. Отмечаем полученные значения на числовой прямой и определяем знаки производной на этих интервалах путём подстановки значений из интервалов в выражение производной.

Вывод будет один из двух:

1. Точка максимума это точка, в которой производная меняет значение с положительного на отрицательное.

2. Точка минимума это точка, в которой производная меняет значение с отрицательного на положительное.

Задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения

функции на интервале.

В другом типе задач требуется найти наибольшее или наименьшее значение функции на заданном интервале.

Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции:

1. Определяем, есть ли точки максимума (минимума). Для этого находим производную f ’(x ) , затем решаем f ’(x )=0 (пункты 1 и 2 из предыдущего алгоритма).

2. Определяем, принадлежат ли полученные точки заданному интервалу и записываем лежащие в его пределах.

3. Подставляем в исходную функцию (не в производную, а в данную в условии) границы данного интервала и точки (максимума-минимума), лежащие в пределах интервала (п.2).

4. Вычисляем значения функции.

5. Выбираем из полученных наибольшее (наименьше) значение, в зависимости от того, какой вопрос был поставлен в задаче и далее записываем ответ.

Вопрос: для чего в задачах на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции необходимо искать точки максимума (минимума)?

Ответ лучше всего это проиллюстрировать, посмотрите схематичное изображение графиков, задаваемых функций:

В случаях 1 и 2 достаточно подставить границы интервала, чтобы определить наибольшее или наименьшее значение функции. В случаях 3 и 4 необходимо найти нули функции (точки максимума-минимума). Если мы подставим границы интервала (не находя нули функции), то получим неверный ответ, это видно по графикам.

И всё дело в том, что мы по заданной функции не можем увидеть как выглядит график на интервале (имеет ли он максимум или минимум в пределах интервала). Потому находите нули функции обязательно!!!

Если уравнение f’(x )=0 не будет иметь решения, это значит, что точек максимума-минимума нет (рисунок 1,2), и для нахождения поставленной задачи в данную функцию подставляем только границы интервала.

Ещё один важный момент. Помните, что ответом должно быть целое число или конечная десятичная дробь. При вычислении наибольшего и наименьшего значения функции вы будете получать выражения с числом е и Пи, а также выражения с корнем. Запомните, что до конца вам их вычислять не нужно, и так понятно, что результат таких выражений ответом являться не будет. Если возникнет желание вычислить такое значение, то сделайте это (числа: е ≈ 2,71 Пи ≈ 3,14).

Много написал, запутал наверное? По конкретным примерам вы увидите, что всё просто.

Далее хочу открыть вам маленький секрет. Дело в том, что многие задания можно решить без знания свойств производной и даже без правил дифференцирования. Об этих нюансах я вам обязательно расскажу и покажу как это делается? не пропустите!

Но тогда зачем же я вообще изложил теорию и ещё сказал, что её нужно знать обязательно. Всё верно – знать надо. Если её поймёте, тогда никакая задача в этой теме в тупик вас не поставит.

Те «хитрости», о которых вы узнаете, помогут вам при решении конкретных (некоторых) прототипов задач. К ак дополнительный инструмент эти приёмы использовать, конечно, удобно. Задачу можно решить в 2-3 раза быстрее и сэкономить время на решение части С.

Всего доброго!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажите о сайте в социальных сетях.

В промежутке (а, b ), а х - является случайно выбранной точкой данного промежутка. Дадим аргументу х приращение Δх (положительное или отрицательное).

Функция у =f(x) получит приращение Δу равное:

Δy = f(x + Δx)-f(x).

При бесконечно малом Δх приращение Δу тоже бесконечно мало.

Например:

Рассмотрим решение производной функции на примере свободного падения тела.

Так как t 2 = t l + Δt, то

.

Вычислив предел, найдем:

Обозначение t 1 вводится с целью подчеркивания постоянства t при вычислении предела функции. Так как t 1 является произвольным значением времени, то индекс 1 можно отбросить; тогда получаем:

Видно, что скорость v, как и путь s , есть функция времени. Вид функции v всецело зависит от вида функции s , так что функция s как бы «производит» функцию v . Отсюда название «производная функция ».

Рассмотри еще один пример .

Найти значение производной функции:

у = х 2 при х = 7 .

Решение. При х = 7 имеем у=7 2 = 49 . Дадим аргументу х приращение Δ х . Аргумент станет равным 7 + Δ х , а функция получит значение (7 + Δ х) 2 .

В задаче B9 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:

1. Значение производной в некоторой точке x 0 ,
2. Точки максимума или минимума (точки экстремума),
3. Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.

Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.

Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.

Вычисление значения производной. Метод двух точек

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x 0 , и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x 2 − x 1 и приращение функции Δy = y 2 − y 1 .
3. Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.

Вычисление точек максимума и минимума

Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:

1. Точка x 0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≥ f(x).
2. Точка x 0 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

1. Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x 0 известно, что f’(x 0) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x 0) ≥ 0 или f’(x 0) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:

1. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
2. Функция f(x) называется убывающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

1. Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
2. Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.

Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:

1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
3. Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l 2 = 5.