Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Понятие выпуклости функции

Рассмотрим функцию \(y = f\left(x \right),\) которая предполагается непрерывной на отрезке \(\left[ {a,b} \right].\) Функция \(y = f\left(x \right)\) называется выпуклой вниз (или просто выпуклой ), если для любых точек \({x_1}\) и \({x_2}\) из \(\left[ {a,b} \right]\) выполняется неравенство \ Если данное неравенство является строгим при любых \({x_1},{x_2} \in \left[ {a,b} \right],\) таких, что \({x_1} \ne {x_2},\) то функцию \(f\left(x \right)\) называют строго выпуклой вниз

Аналогично определяется выпуклая вверх функция. Функция \(f\left(x \right)\) называется выпуклой вверх (или вогнутой ), если для любых точек \({x_1}\) и \({x_2}\) отрезка \(\left[ {a,b} \right]\) справедливо неравенство \ Если это неравенство является строгим при любых \({x_1},{x_2} \in \left[ {a,b} \right],\) таких, что \({x_1} \ne {x_2},\) то функцию \(f\left(x \right)\) называют строго выпуклой вверх на отрезке \(\left[ {a,b} \right].\)

Геометрическая интерпретация выпуклости функции

Введенные определения выпуклой функции имеют простую геометрическую интерпретацию.

Для функции, выпуклой вниз (рисунок \(1\)), середина \(B\) любой хорды \({A_1}{A_2}\) лежит выше

Аналогично, для функции, выпуклой вверх (рисунок \(2\)), середина \(B\) любой хорды \({A_1}{A_2}\) лежит ниже соответствующей точки \({A_0}\) графика функции или совпадает с этой точкой.

Выпуклые функции обладают еще одним наглядным свойством, которое связано с расположением касательной к графику функции. Функция \(f\left(x \right)\) является выпуклой вниз на отрезке \(\left[ {a,b} \right]\) тогда и только тогда, когда ее график лежит не ниже касательной проведенной к нему в любой точке \({x_0}\) отрезка \(\left[ {a,b} \right]\) (рисунок \(3\)).

Соответственно, функция \(f\left(x \right)\) является выпуклой вверх на отрезке \(\left[ {a,b} \right]\) тогда и только тогда, когда ее график лежит не выше касательной проведенной к нему в любой точке \({x_0}\) отрезка \(\left[ {a,b} \right]\) (рисунок \(4\)). Данные свойства представляют собой теорему и могут быть доказаны с использованием определения выпуклости функции.

Достаточные условия выпуклости

Пусть для функции \(f\left(x \right)\) первая производная \(f"\left(x \right)\) существует на отрезке \(\left[ {a,b} \right],\) а вторая производная \(f""\left(x \right)\) − на интервале \(\left({a,b} \right).\) Тогда справедливы следующие достаточные признаки выпуклости:

Если \(f""\left(x \right) \ge 0\) при всех \(x \in \left({a,b} \right),\) то функция \(f\left(x \right)\) выпукла вниз на отрезке \(\left[ {a,b} \right];\)

Если \(f""\left(x \right) \le 0\) при всех \(x \in \left({a,b} \right),\) то функция \(f\left(x \right)\) выпукла вверх на отрезке \(\left[ {a,b} \right].\)

В тех случаях, когда вторая производная строго больше (меньше) нуля, говорят, соответственно, о строгой выпуклости вниз (или вверх ).

Докажем приведенную теорему для случая выпуклой вниз функции. Пусть функция \(f\left(x \right)\) имеет неотрицательную вторую производную на интервале \(\left({a,b} \right):\) \(f""\left(x \right) \ge 0.\) Обозначим через \({x_0}\) середину отрезка \(\left[ {{x_1},{x_2}} \right].\) Предположим, что длина этого отрезка равна \(2h.\) Тогда координаты \({x_1}\) и \({x_2}\) можно записать в виде: \[{x_1} = {x_0} - h,\;\;{x_2} = {x_0} + h.\] Разложим функцию \(f\left(x \right)\) в точке \({x_0}\) в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Получаем следующие выражения: \[ {f\left({{x_1}} \right) = f\left({{x_0} - h} \right) } = {f\left({{x_0}} \right) - f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _1}} \right){h^2}}}{{2!}},} \] \[ {f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) } = {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},} \] где \({x_0} - h
Сложим оба равенства: \[ {f\left({{x_1}} \right) + f\left({{x_2}} \right) } = {2f\left({{x_0}} \right) + \frac{{{h^2}}}{2}\left[ {f""\left({{\xi _1}} \right) + f""\left({{\xi _2}} \right)} \right].} \] Поскольку \({\xi _1},{\xi _2} \in \left({a,b} \right),\) то вторые производные в правой части неотрицательны. Следовательно, \ или \ то есть, в соответствии с определением, функция \(f\left(x \right)\) выпукла вниз .

Отметим, что необходимое условие выпуклости функции (т.е. прямая теорема, в которой, к примеру, из условия выпуклости вниз следует, что \(f""\left(x \right) \ge 0\)) выполняется лишь для нестрогого неравенства. В случае строгой выпуклости необходимое условие, вообще говоря, не соблюдается. Например, функция \(f\left(x \right) = {x^4}\) является строго выпуклой вниз. Однако в точке \(x = 0\) ее вторая производная равна нулю, т.е. строгое неравенство \(f""\left(x \right) \gt 0\) в этом случае не выполняется.

Свойства выпуклых функций

Перечислим некоторые свойства выпуклых функций, предполагая, что все функции определены и непрерывны на отрезке \(\left[ {a,b} \right].\)

Если функции \(f\) и \(g\) выпуклы вниз (вверх), то любая их линейная комбинация \(af + bg,\) где \(a\), \(b\) − положительные действительные числа, также выпукла вниз (вверх).

Если функция \(u = g\left(x \right)\) выпукла вниз, а функция \(y = f\left(u \right)\) является выпуклой вниз и неубывающей, то сложная функция \(y = f\left({g\left(x \right)} \right)\) будет также выпуклой вниз.

Если функция \(u = g\left(x \right)\) выпукла вверх, а функция \(y = f\left(u \right)\) является выпуклой вниз и невозрастающей, то сложная функция \(y = f\left({g\left(x \right)} \right)\) будет выпуклой вниз.

Локальный максимум выпуклой вверх функции, заданной на отрезке \(\left[ {a,b} \right],\) является одновременно ее наибольшим значением на этом отрезке.

Локальный минимум выпуклой вниз функции, заданной на отрезке \(\left[ {a,b} \right],\) является одновременно ее наименьшим значением на этом отрезке.

Для определения выпуклости (вогнутости) функции на некотором интервале можно использовать следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть функция определена и непрерывна на интервале и имеет конечную производную . Для того, чтобы функция была выпуклой (вогнутой) в , необходимо и достаточно, чтобы ее производная убывала (возрастала) на этом интервале.

Теорема 2. Пусть функция определена и непрерывна вместе со своей производной на и имеет внутри непрерывную вторую производную . Для выпуклости (вогнутости) функции в необходимо и достаточно, чтобы внутри

Докажем теорему 2 для случая выпуклости функции .

Необходимость. Возьмем произвольную точку . Разложим функцию около точки в ряд Тейлора

Уравнение касательной к кривой в точке, имеющей абсциссу :

Тогда превышение кривой над касательной к ней в точке равно

Таким образом, остаток равен величине превышения кривой над касательной к ней в точке . В силу непрерывности , если , то и для , принадлежащих достаточно малой окрестности точки , а потому, очевидно, и для любого отличного от значения , принадлежащего к указанной окрестности.

Значит, график функции лежит выше касательной и кривая выпукла в произвольной точке .

Достаточность. Пусть кривая выпукла на промежутке . Возьмем произвольную точку .

Аналогично предыдущему разложим функцию около точки в ряд Тейлора

Превышение кривой над касательной к ней в точке, имеющей абсциссу , определяемой выражением равно

Так как превышение положительно для достаточно малой окрестности точки , то положительна и вторая производная . При стремлении получаем, что для произвольной точки .

Пример. Исследовать на выпуклость (вогнутость) функцию .

Ее производная возрастает на всей числовой оси, значит по теореме 1 функция вогнута на .

Ее вторая производная , поэтому по теореме 2 функция вогнута на .

3.4.2.2 Точки перегиба

Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла и вогнута.

Из этого определения следует, что точки перегиба - это точки точки экстремума первой производной. Отсюда вытекают следующие утверждения для необходимого и достаточного условий перегиба.

Теорема (необходимое условие перегиба) . Для того чтобы точка являлась точкой перегиба дважды дифференцируемой функции , необходимо, чтобы ее вторая производная в этой точке равнялась нулю () или не существовала.

Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет знак, то есть точка перегиба.

Отметим, что в самой точке вторая производная может не существовать.

Геометрическая интерпретация точек перегиба иллюстрируется рис. 3.9

В окрестности точки функция выпукла и график ее лежит ниже касательной, проведенной в этой точке. В окрестности точки функция вогнута и график ее лежит выше касательной, проведенной в этой точке. В точке перегиба касательная разделяет график функции на области выпуклости и вогнутости.

3.4.2.3 Исследование функции на выпуклость и наличие точек перегиба

1. Найти вторую производную .

2. Найти точки, в которых вторая производная или не существует.

Рис. 3.9.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости или вогнутости и наличии точек перегиба.

Пример. Исследовать функцию на выпуклость и наличие точек перегиба.

2. Вторая производная равна нулю при .

3. Вторая производная меняет знак при , значит точка - точка перегиба.

На интервале , значит функция выпукла на этом интервале.

На интервале , значит функция вогнута на этом интервале.

3.4.2.4 Общая схема исследования функций и построения графика

При исследовании функции и построении ее графика рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность - нечетность. Напомним, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
3. Найти вертикальные асимптоты.
4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.
5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
7. Найти точки пересечения с осями координат.

Исследование функции проводится одновременно с построением ее графика.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

1. Область определения функции - .

2. Исследуемая функция - четная , поэтому ее график симметричен относительно оси ординат.

3. Знаменатель функции обращается в ноль при , поэтому график функции имеет вертикальные асимптоты и .

Точки являются точками разрыва второго рода, так как пределы слева и справа в этих точках стремятся к .

4. Поведение функции в бесконечности.

Поэтому график функции имеет горизонтальную асимптоту .

5. Экстремумы и интервалы монотонности. Находим первую производную

При , поэтому в этих интервалах функция убывает.

При , поэтому в этих интервалах функция возрастает.

При , поэтому точка является критической точкой.

Находим вторую производную

Так как , то точка является точкой минимума функции .

6. Интервалы выпуклости и точки перегиба.

Функция при , значит на этом интервале функция вогнута.

Функция при , значит на этих интервалах функция выпукла.

Функция нигде не обращается в ноль, значит точек перегиба нет.

7. Точки пересечения с осями координат.

Уравнение , имеет решение , значит точка пересечения графика функции с осью ординат (0, 1).

Уравнение не имеет решения, значит точек пересечения с осью абсцисс нет.

С учетом проведенного исследования можно строить график функции

Схематически график функции изображен на рис. 3.10 .

Рис. 3.10.

3.4.2.5 Асимптоты графика функции

Определение. Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки () до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

1. Понятие выпуклой и вогнутой функции

При исследовании функции бывает полезно установить, на каких промежутках функция выпуклая, а на каких – вогнутая.

Для определения выпуклой и вогнутой функции проведем касательные к графикам функции в произвольных точках х 1 и х 2 (рис. 15.1 и 15.2):

График функции называется вогнутым на интервале , если он расположен выше любой касательной к графику функции на данном интервале.

График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже любой касательной к графику функции на данном интервале.

Точка графика непрерывной функции, в которой меняется характер выпуклости, называется точкой перегиба . В точке перегиба касательная будет пересекать кривую.

Функция может иметь несколько интервалов выпуклости и вогнутости, несколько точек перегиба. При определении промежутков выпуклости и вогнутости в качестве ответа выбирают интервал значений: точки перегиба не относят ни к промежуткам выпуклости, ни к промежуткам вогнутости.

Так, график функции на рис.15.3 является выпуклым на промежутках (- ;х 1) и (х 2 ; + ); вогнутым на (х 1 ;х 2). График функции имеет две точки перегиба: (х 1 ;у 1) и (х 2 ;у 2).

1. Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба.

Интервалы выпуклости и вогнутости функции находят с помощью следующей теоремы:

Теорема . 1. Если функция имеет положительную вторую производную, то график функции на интервале вогнутый.

2. Если функция имеет отрицательную вторую производную, то график функции на интервале выпуклый.

Представим критерий выпуклости-вогнутости функции в виде схемы:

Таким образом, исследовать функцию на выпуклость-вогнутость означает найти те интервалы области определения, в которых вторая производная сохраняет свой знак.

Заметим, что может менять свой знак лишь в тех точках, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Такие точки принято называть критическими точками второго рода .

Только критические точки могут быть точками перегиба. Для их нахождения используется следующая теорема:

Теорема (достаточное условие существования точек перегиба ). Если вторая производная при переходе через точку х о меняет знак, то точка графика с абсциссой х о является точкой перегиба.

При исследовании функции на выпуклость-вогнутость и точки перегиба можно использовать следующий алгоритм :

Пример 15.1. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .

Решение . 1. Данная функция определена на множестве R.

2. Найдем первую производную функции: = .

3. Найдем вторую производную функции: =2х -6.

4. Определим критические точки второго рода ( 0): 2х -6= 0 х =3.

5. На числовой оси отметим критическую точку х =3. Она разбивает область определения функции на два интервала (-∞;3) и (3;+∞). Расставим знаки второй производной функции 2х -6 на каждом из полученных интервалов:

при х =0 (-∞;3) (0)=-6<0;

при х =4 (3;+∞) (4)= 2∙4-6=2>0.

т. перегиба

6. Согласно критерию выпуклости-вогнутости график функции выпуклый при х (-∞;3), вогнутый при х (3;+ ∞).

Значение х =3 – абсцисса точки перегиба. Вычислим значение функции при х =3:

2. Итак, точка с координатами (3;2) – точка перегиба.

Ответ : график функции выпуклый при х (-∞;3),

вогнутый при х (3;+ ∞); (3;2) – точка перегиба.

Пример 15.2 . Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .

Решение . 1. Данная функция определена в том случае, когда знаменатель отличен от нуля: х -7≠0 .

2. Найдем первую производную функции:

3. Найдем вторую производную функции: = =

Вынесем в числителе 2∙(х -7) за скобки:

= = = . (7;+∞) (8)= >0.

вогн.

6. Согласно критерию выпуклости-вогнутости график функции является выпуклым при х (-∞;7), вогнутым при х (7;+ ∞).

Точка с абсциссой х =7 не может быть точкой перегиба, т.к. в этой точке функция не существует (терпит разрыв).

Ответ : график функции выпуклый при х (-∞;7), вогнутый при х (7;+ ∞).

Контрольные вопросы:

С помощью онлайн-калькулятора можно найти точки перегиба и промежутки выпуклости графика функции с оформлением решения в Word . Является ли функция двух переменных f(x1,x2) выпуклой решается с помощью матрицы Гессе .

Правила ввода функций :

Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба

Определение : Кривая y=f(x) называется выпуклой вниз в промежутке (a; b), если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

Определение : Кривая y=f(x) называется выпуклой вверх в промежутке (a; b), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Определение : Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции y=f(x) , характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке f’’(x) > 0, то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же f’’(x) < 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Определение: Точка графика функции y=f(x) , разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.

Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции y = f(x) , в которых вторая производная f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения точек перегиба графика функции y = f(x)

1. Найти вторую производную f’’(x) .
2. Найти критические точки II рода функции y=f(x) , т.е. точки, в которой f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
3. Исследовать знак второй производной f’’(x) в промежутка, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x) . Если при этом критическая точка x 0 разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то x 0 является абсциссой точки перегиба графика функции.
4. Вычислить значения функции в точках перегиба.

Пример 1 . Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой: f(x) = 6x 2 –x 3 .
Решение: Находим f ‘(x) = 12x – 3x 2 , f ‘’(x) = 12 – 6x.
Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение 12-6x=0 . x=2 .


f(2) = 6*2 2 – 2 3 = 16
Ответ: Функция выпукла вверх при x∈(2; +∞) ; функция выпукла вниз при x∈(-∞; 2) ; точка перегиба (2;16) .

Пример 2 . Имеет ли точки перегиба функция: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1

Пример 3 . Найти промежутки, на которых график функции является выпуклым и выгнутым: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4

При исследовании функции и построении ее графика на одном из этапов мы определяем точки перегиба и интервалы выпуклости. Эти данные вместе с промежутками возрастания и убывания позволяют схематично представить график исследуемой функции.

Дальнейшее изложение подразумевает, что Вы умеете до некоторого порядка и разных видов.

Изучение материала начнем с необходимых определений и понятий. Далее озвучим связь между значением второй производной функции на некотором интервале и направлением ее выпуклости. После этого перейдем к условиям, которые позводляют определять точки перегиба графика функции. По тексту будем приводить характерные примеры с подробными решениями.

Навигация по странице.

Выпуклость, вогнутость функции, точка перегиба.

Определение.

выпуклой вниз на интервале Х , если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х .

Определение.

Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х , если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х .

Выпуклую вверх функцию часто называют выпуклой , а выпуклую вниз – вогнутой .

Посмотрите на чертеж, иллюстрирующий эти определения.

Определение.

Точка называется точкой перегиба графика функции y=f(x) , если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу ) и существует такая окрестность точки , в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости.

Другими словами, точка М называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касательная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее.

Если необходимо, обратитесь к разделу , чтобы вспомнить условия существования невертикальной и вертикальной касательной.

На рисунке ниже представлены несколько примеров точек перегиба (отмечены красными точками). Заметим, что некоторые функции могут не иметь точек перегиба, а другие могут иметь одну, несколько или бесконечно много точек перегиба.

Нахождение интервалов выпуклости функции.

Сформулируем теорему, которая позволяет определять промежутки выпуклости функции.

Теорема.

Если функция y=f(x) имеет конечную вторую производную на интервале Х и если выполняется неравенство (), то график функции имеет выпуклость направленную вниз (вверх) на Х .

Эта теорема позволяет находитьть промежутки вогнутости и выпуклости функции, нужно лишь на области определения исходной функции решить неравенства и соответственно.

Следует отметить, что точки, в которых функция y=f(x) определена, а вторая производная не существует, будем включать в интервалы вогнутости и выпуклости.

Разберемся с этим на примере.

Пример.

Выяснить промежутки, на которых график функции имеет выпуклость направленную вверх и выпуклость направленную вниз.

Решение.

Область определения функции - это все множество действительных чисел.

Найдем вторую производную.

Область определения второй производной совпадает с областью определения исходной функции, поэтому, чтобы выяснить интервалы вогнутости и выпуклости, достаточно решить и соответственно.

Следовательно, функция выпуклая вниз на интервале и выпуклая вверх на интервале .

Графическая иллюстрация.

Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервале вогнутости – красным цветом.

Сейчас рассмотрим пример, когда область определения второй производной не совпадает с областью определения функции. В этом случае, как мы уже отмечали, точки области определения, в которых не существует конечная вторая производная, следует включать в интервалы выпуклости и (или) вогнутости.

Пример.

Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции .

Решение.

Начнем с области определения функции:

Найдем вторую производную:

Областью определения второй производной является множество . Как видите, x=0 принадлежит области определения исходной функции, но не принадлежит области определения второй производной. Не забывайте про эту точку, ее нужно будет включить в интервал выпуклости и (или) вогнутости.

Теперь решаем неравенства и на области определения исходной функции. Применим . Числитель выражения обращается в ноль при или , знаменатель – при x = 0 или x = 1 . Схематично наносим эти точки на числовую прямую и выясняем знак выражения на каждом из интервалов, входящих в область определения исходной функции (она показана заштрихованной областью на нижней числовой прямой). При положительном значении ставим знак «плюс», при отрицательном – знак «минус».

Таким образом,

и

Следовательно, включив точку x=0 , получаем ответ.

При график функции имеет выпуклость направленную вниз, при - выпуклость направленную вверх.

Графическая иллюстрация.

Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервалах вогнутости – красным цветом, черной пунктирной прямой является вертикальная асимптота.

Необходимое и достаточные условия перегиба.

Необходимое условие перегиба.

Сформулируем необходимое условие перегиба графика функции.

Пусть график функции y=f(x) имеет перегиб в точке и имеет при непрерывную вторую производную, тогда выполняется равенство .

Из этого условия следует, что абсциссы точек перегиба следует искать среди тех, в которых вторая производная функции обращается в ноль. НО, это условие не является достаточным, то есть не все значения , в которых вторая производная равна нулю, являются абсциссами точек перегиба.

Еще следует обратить внимание, что по определению точки перегиба требуется существование касательной прямой, можно и вертикальной. Что это означает? А означает это следующее: абсциссами точек перегиба могут быть все из области определения функции, для которых и . Обычно это точки, в которых знаменатель первой производной обращается в ноль.

Первое достаточное условие перегиба.

После того как найдены все , которые могут быть абсциссами точек перегиба, следует воспользоваться первым достаточным условием перегиба графика функции.

Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке , имеет в ней касательную (можно вертикальную) и эта функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда, если в пределах этой окрестности слева и справа от , вторая производная имеет разные знаки, то является точкой перегиба графика функции.

Как видите первое достаточное условие не требует существования второй производной в самой точке , но требует ее существование в окрестности точки .

Сейчас обобщим всю информацию в виде алгоритма.

Алгоритм нахождения точек перегиба функции.

Находим все абсциссы возможных точек перегиба графика функции ( или и ) и выясняем, проходя через какие вторая производная меняет знак. Такие значения и будут абсциссами точек перегиба, а соответствующие им точки будут точками перегиба графика функции.

Рассмотрим два примера нахождения точек перегиба для разъяснения.

Пример.

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел.

Найдем первую производную:

Областью определения первой производной также является все множество действительных чисел, поэтому равенства и не выполняется ни для каких .

Найдем вторую производную:

Выясним при каких значениях аргумента x вторая производная обращается в ноль:

Таким образом, абсциссами возможных точек перегиба являются x=-2 и x=3 .

Теперь осталось проверить по достаточному признаку перегиба, в каких из этих точек вторая производная меняет знак. Для этого нанесем точки x=-2 и x=3 на числовую ось и, как в обобщенном методе интервалов , расставим знаки второй производной над каждым промежутком. Под каждым интервалом схематично дугами показано направление выпуклости графика функции.

Вторая производная меняет знак с плюса на минус, проходя через точку x=-2 слева направо, и меняет знак с минуса на плюс, проходя через x=3 . Следовательно, и x=-2 и x=3 являются абсциссами точек перегиба графика функции. Им соответствуют точки графика и .

Взглянув еще раз на числовую ось и знаки второй производной на ее промежутках, можно делать вывод об интервалах выпуклости и вогнутости. График функции выпуклый на интервале и вогнутый на интервалах и .

Графическая иллюстрация.

Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервалах вогнутости – красным цветом, точки перегиба показаны черными точками.

Пример.

Найдите абсциссы всех точек перегиба графика функции .

Решение.

Областью определения данной функции является все множество действительных чисел.

Найдем производную.

Первая производная, в отличии от исходной функции, не определена при x=3 . Но и . Следовательно, в точке с абсциссой x=3 существует вертикальная касательная к графику исходной функции. Таким образом, x=3 может быть абсциссой точки перегиба графика функции.

Находим вторую производную, область ее определения и точки, в которых она обращается в ноль:

Получили еще две возможные абсциссы точек перегиба. Отмечаем все три точки на числовой прямой и определяем знак второй производной на каждом из полученных интервалов.

Вторая производная меняет знак, проходя через каждую из точек, следовательно, все они являются абсциссами точек перегиба.

Графическая иллюстрация.

Части графика функции на интервалах выпуклости изображены синим цветом, на интервалах вогнутости – красным цветом, точки перегиба показаны черными точками.

Первое достаточное условие перегиба графика функции позволяет определять точки перегиба и не требуют существования второй производной в них. Поэтому, первое достаточное условие можно считать универсальным и самым используемым.

Сейчас сформулируем еще два достаточных условия перегиба, но они применимы лишь при существовании конечной производной в точке перегиба до некоторого порядка.

Второе достаточное условие перегиба.

Если , а , тогда является абсциссой точки перегиба графика функции y=f(x) x=3 отлично от нуля.

Очевидно, что значение третьей производной отлично от нуля для любых x , в том числе и для x=3 . Поэтому, по второму достаточному условию перегиба графика функции, точка является точкой перегиба.

Графическая иллюстрация.

Третье достаточное условие перегиба.

Пусть , а , тогда если n – четное число, то является абсциссой точки перегиба графика функции y=f(x) .

Пример.

Найдите точки перегиба графика функции .

Решение.

Функция определена на всем множестве действительных чисел.

Найдем ее производную: . Очевидно, что она также определена для всех действительных x , поэтому, в любой из точек ее графика существует невертикальная касательная.

Определим значения х , при которых вторая производная обращается в ноль.

Таким образом, в точке с абсциссой x=3 может быть перегиб графика функции. Чтобы убедиться в том, что х=3 действительно абсцисса точки перегиба, воспользуемся третьим достаточным условием.

По третьему достаточному условию перегиба графика функции имеем n=4 (пятая производная обращается в ноль) – четное, поэтому x=3 является абсциссой точки перегиба и ей соответствует точка графика функции (3;1) .

Графическая иллюстрация.

Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервале вогнутости – красным цветом, точка перегиба показана черной точкой.