Для того, чтобы вычислить сумму ряда , нужно просто сложить элементы ряда, заданное количество раз. Например:

В приведённом выше примере это удалось сделать очень просто, поскольку суммировать пришлось конечное число раз. Но что делать, если верхний предел суммирования бесконечность? Например, если нам нужно найти сумму вот такого ряда:

По аналогии с предыдущим примером, мы можем расписать эту сумму вот так:

Но что делать дальше?! На этом этапе необходимо ввести понятие частичной суммы ряда . Итак, частичной суммой ряда (обозначается S n ) называется сумма первых n слагаемых ряда. Т.е. в нашем случае:

Тогда сумму исходного ряда можно вычислить как предел частичной суммы:

Таким образом, для вычисления суммы ряда , необходимо каким-либо способом найти выражение для частичной суммы ряда (S n ). В нашем конкретном случае ряд представляет собой убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем 1/3. Как известно сумма первых n элементов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

здесь b 1 - первый элемент геометрической прогрессии (в нашем случае это 1) и q - это знаменатель прогрессии (в нашем случае 1/3). Следовательно частичная сумма S n для нашего ряда равна:

Тогда сумма нашего ряда (S ) согласно определению, данному выше, равна:

Рассмотренные выше примеры являются достаточно простыми. Обычно вычислить сумму ряда гораздо сложнее и наибольшая трудность заключается именно в нахождении частичной суммы ряда. Представленный ниже онлайн калькулятор, созданный на основе системы Wolfram Alpha, позволяет вычислять сумму довольно сложных рядов. Более того, если калькулятор не смог найти сумму ряда, вероятно, что данный ряд является расходящимся (в этом случае калькулятор выводит сообщение типа "sum diverges"), т.е. данный калькулятор также косвенно помогает получить представление о сходимости рядов.

Для нахождения суммы Вашего ряда, необходимо указать переменную ряда, нижний и верхний пределы суммирования, а также выражение для n -ого слагаемого ряда (т.е. собственно выражение для самого ряда).

Ряд, в математике

1. Определения. Р. есть последовательность элементов, составленных по какому-нибудь закону. Если дан Р., то это значит, что указан закон, при помощи которого можно составить сколько угодно элементов Р. По свойству элементов различают Р. чисел, Р. функций и Р. действий. Приведем несколько примеров.

1, 2, 3, 4,..., n,...

есть Р. натуральных чисел;

1, 4, 9, 16,..., п 2 ...

Р. квадратов;

а 0 , а 1 х, а 2 а 2 ,..., а n x n ,...

Р. степенных функций или степенной Р.

1, x, x 2 /(1.2), x 3 /(1.2.3),... x n /(1.2...n),...

0, x, x 2 /2, x 3 /3, x 4 /4... (-1) n-1 x n /n..

Для того, чтобы вычислить числовое значение некоторого выражения надо выполнить Р. действий. Напр.

√[(35 - 3)/2] = √ = √16 = 4.

При помощи Р. действий отыскивается наибольший делитель двух данных чисел.

Р. u 0 , u 1 , u 2 ,... u n ...

назыв. бесконечным, если после всякого элемента u k найдется элемент u k+1 ; в противном же случае Р. назыв. конечным. Напр.

1. 2, 3,... 9, 10

есть конечный Р., потому что не существует элементов после элемента 10.

2. Число, определяемое рядом.

Особенное значение имеют бесконечные Р. вида

(1)... а 1 /10, а 2 /10 2 , ... а n /10 n ,...,

где а 1 , а 2 , а 3 , ... а n ,... целые положительные числа, a 0 как угодно велико; каждое же из остальных чисел а 1 , а 2 , а 3 , ... меньше 10. Такой ряд можно назвать числом, так как возможно сравнивать этот ряд с рациональными числами (см.), можно установить понятия о равенстве, сумме, произведении, разности и частном таких рядов.

Р. (1) обозначим для краткости одною буквою а .

Говорят, что а больше рационального числа p /q , если при достаточно большом n имеет место неравенство

а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + а n /10 n > p /q

Если же при всяком n

а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + а n /10 n не > p /q

но при достаточно большом n

а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + а n /10 n > r /s

где r/s произвольно взятое число, меньшее p /q , то считают а равным p /q .

На этом основании Р.

9/10, 9/10 2 , 9/10 3 ,...

равен единице. Это равенство обозначают так: 0, 999... = 1.

Если а не равно 9, а все последующие числа

a k +1 , a k +2 , a k +3 ,... равны 9, то число а , определяемое Р. (1), равно

а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + (а k + 1)/10 k .

Если же не все числа а k+1 , а k+2 , а k+3 ...равны 9, то

а = а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + а k /10 k

Может случиться, что все элементы ряда (1), начиная с а k+1 , равны нулю. В таком случае согласно с высказанным определением

а а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + (а k +1)/10 k

Такого рода число наз. конечною десятичною дробью.

Из арифметики известно, что при обращении обыкновенной дроби в десятичную получается конечная дробь или бесконечная периодическая. Всякая периодическая десятичная дробь может быть обращена в обыкновенную дробь. Отсюда следует, что бесконечная непериодическая десятичная дробь не может равняться рациональному числу и потому представляет число особого рода, называемое иррациональным (см.).

3. Сходимость и расходимость рядов. Р. чисел

(2)... u 0 , u 1 , u 2 ,... u n ,...

наз. сходящимся, если существует такое число а (рациональное или иррациональное), что при возрастании n численное значение разности

а - (u 0 + u 1 + u 2 +... u n- 1)

становится и остается сколь угодно малым. Такое число a наз. суммою Р. В этом случае пишут

(3)... а = u 0 + u 1 + u 2 +...

и это равенство наз. разложением числа a в бесконечный Р. Если такого числа а не существует, то Р. (2) наз. расходящимся.

Важнейший пример сходящегося Р. представляет геометрическая прогрессия (см.).

1, q, q 2 ,...,

знаменатель которой q по численному значению меньше единицы. В этом случае имеет место разложение

1/(1 - q ) = 1 + q + q 2 +...

Примером расходящегося Р. может служить

1/1, 1/2, 1/3,...

1 + 1/2 + 1/3 +...

не имеет никакого смысла.

Если же члены гармонического Р. взять попеременно со знаками + и -, то получим сходящийся Р. Выражение

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...

равно логарифму 2, взятому при основании е (см.).

Не имея возможности излагать подробно признаки сходимости, отметим только следующие теоремы.

Данный Р. - сходящийся, если Р. модулей (см.) его членов сходящийся.

Р. v 0 , -v 1 , v 2 , -v 3 ...,

в котором числа v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ... положительные, сходящийся, если при возрастании n

lim v n = 0.

Р. с положительными членами

u 0 , u 1 , u 2 ,..., u n ,...

сходящийся, если

lim (u n + 1)/u n

lim (u n + 1)/u n > 1

Если для Р. с положительными членами

но, и 0 , и 1 , u 2 , .., и n ...

отношение

lim (u n + 1)/u n = 1 - r /n + θ ( n ) /n α ,

где r не зависят от n , α > 1 и θ (n ) по численному значению остается постоянно меньше некоторого положительного числа, то Р. сходящийся при r > 1 и расходящийся при r меньше или = 1 (Tannery, "Introduction à la theorie des fonctions d"une variable", p. 84).

4. Условная и абсолютная сходимость. Если Р. (4) v 0 , v 1 , v 2 ,... v n ,...

сходящийся, но Р. модулей его членов расходящийся, то говорят, что Р. (4) условно сходящийся. Напр.

1, -1/2, 1/3, -1/4,...

Р. наз. абсолютно сходящимся, если Р. модулей его членов сходящийся.

Сумма условно-сходящегося Р. изменяется с изменением порядка его членов. Напр.

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +... = log2,

но 1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 +...

1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 +.... = 1/2 log 2.

Сумма абсолютно-сходящегося Р. не зависит от порядка его членов.

Если числа а и b разлагаются в абсолютно-сходящиеся Р.

а = a 0 + a 1 + a 2 +.....,

b = b 0 + b 1 + b 2 +..... .,

a 0 b 0 , a 0 b 1 + a 1 b 0 , a 0 b 2 + a 1 b 2 + a 2 b 0 ,...

абсолютно-сходящийся и, кроме того,

a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0) + (a 0 b 2 + a 1 b 2 + a 2 b 0) +... = ab .

5. Равномерная сходимость. Предположим, что дан Р.

(5)... f 0 (x ), f 1 (x ), f 2 (x ), ..., f n (x ), ...

члены которого суть функции от одной переменной x , которая может принимать как вещественные, так и мнимые (см.) значения. Совокупность значений х, при которых этот Р. сходящийся, образует так называемую область сходимости.

Р. 1, х, 1.2x 2 , 1.2.3x 3 ,...... .,

сходящийся только при x = 0.

Р. 1, х, (1/2 + 1.2x 2), (1/3 + 1.2.3x 3),...

расходящийся при всяком х.

Р. 1, х/ 1, (x 2 /1.2), (x 3 /1.2.3),...

сход. при всяком значении х. Если степенной Р. α 0 , α 1 x, α 2 x 2 ,...

сход. при каком-нибудь значении х, не равном нулю, то этот Р. сход. и при всяком x , модуль которого меньше некоторого числа R . Если воспользоваться геометрическим представлением мнимых величин (см.), то можно сказать, что область сходимости этого Р. есть круг радиуса R .

Примером может служить геометрическая прогрессия

1, x , x 2 , x 3 ,...., у которой радиус круга сходимости равен единице.

Если х принадлежит к области сход. Р. (5), то при всяком n , большем некоторого числа т

mod [f n (x ) + f n+ 1 (x ) + f n+ 2 (x ) +...]

Вообще т зависит от х и от ε, но возможно, в особых случаях, что т зависит только от ε, если значения х принадлежат к некоторой области (S). В таком случае Р. (5) наз. равномерно-сходящимся в области (S ).

Для примера рассмотрим Р.

(6)... (1 - х ), х (1 - х ), х 2 (1 - х )....

ограничиваясь вещественными и положительными значениями х.

Для того, чтобы имело место неравенство

(7)... х n (1 - x ) + x n+ 1 (1 - x ) +... x n

надо взять n > Log ε /Logx

След., в рассматриваемом случае

т = Log ε /Logx.

Как видим, т зависит от х. Как бы велико ни было m , найдутся такие значения х в промежутке (0, 1), что неравенство (7) не будет удовлетворено при всяком n, большем т. Если х = 1, то неравенство (7) удовлетворяется при n больше или = 1

Предположим, что

т = Log ε /Log (1 - α) и n больше или = m

След. Р. (6) равномерно сход. в промежутке (0, 1 - α).

Если в области равномерной сходимости члены ряда

f 0 (x ), f 1 (x ), f 2 (x )...

суть непрерывные функции от x , то и сумма этого Р. - непрерывная функция (см. Разрывность).

Равномерно сход. Р. можно почленно интегрировать или дифференцировать.

Степенные Р.

a 0 , а 1 х, а 2 х 2 ...

обладают равномерною сходимостью внутри круга сходимости.

6. Разложение функций в ряды. В дальнейшем будем предполагать, что независимая переменная вещественная. При помощи формулы Маклорена (см.) получаются следующие разложения:

(эти формулы справедливы при всяком x ).

Для того, чтобы при помощи формулы (9) вычислить, напр., cos 2°, надо вместо x подставить отношение к радиусу длины дуги, содержащей 2 градуса.

В форм. (11) логарифм взят при основании е . Эта форм. неудобна для вычисления логарифмов, так как надо брать очень много членов Р. для получения даже незначительной точности. Более удобна для вычисления формула 13-я, которая выводится из формулы (11), полагая

(1 + х )/(1 - х ) = (a + z)/z

в разложении функции log(1 + x ) - log(l - x ).

Полагая а = 1, z = 1, найдем log2;

" а = 1, z = 1, " log5;

а + z = 3 4 , а = 80, " log3;

а + z = 7 4 , а = 2400, " log7;

Умножив найденные натуральные логарифмы этих чисел на

М= 1/log10 = 0,43429 44819 03251 82765...,

получим обыкновенные логарифмы (при основании 10) тех же чисел (см.).

Форм. (12) справедлива при х = 1, если m > -1, и при x = -1, если m > 0 (Abel, "Oeuvres complètes", 1881, p. 245).

При помощи непосредственного деления разлагаются в степенные Р. рациональные функции. Можно воспользоваться для этой цели и способом неопределенных коэффициентов. Полагая, напр.

1/(1 + 2t + 5t 3 + 3t 3) = y 0 + y 1 t + y 2 t 2 + y 3 t 3 +...,

y 0 = 1, y 1 + 2y 0 = 0, y 2 + 2y 1 + 5y 0 = 0,

y 3 + 2y 2 + 5 у 1 + 3 у 0 = 0,

y 4 + 2y 3 + 5 у 2 + 3 у 1 = 0 и т. д.

Р. коэффициентов y 0 , у 1 , y 2 ... обладает тем свойством, что четыре последовательных коэфф. связаны соотношением y n +3 + 2y n +2 + 5 у n +1 + 3 у n = 0.

Такого рода Р. наз. возвратными. Из написанных уравнений последовательно определяется y 0 , у 1 , y 2 ...

Разложение данной функции в Р. найдется при помощи интегрального исчисления, если известно разложение в Р. производной. Таким путем получаются разложение

(14)... arc tgx = x - (x 3 /3) + (x 5 /5) -...

(15)... arc sin х = x /1 + 1/2(x 3 /3) + (1.2/2.4)(x 5 /5) +...

справедливые для значений х, удовлетворяющих условиям

Р. (14) при помощи формулы Мэчена (Machin)

π /4 = 4arc tg(1/5) - arc tg(1/239)

дает возможность очень быстро вычислить π с большим числом десятичных знаков. Таким образом Шенкс (Shanks) вычислил π с 707 десятичными знаками. Разложение функций в тригонометрические Р. и разложение эллиптических функций будет изложено впоследствии.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. - С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон . 1890-1907 .

Смотреть что такое "Ряд, в математике" в других словарях:

РЯД, бесконечный ряд, выражение члены которого a1, a2,..., an,... числа (числовой ряд) или функции (функциональный ряд). Если сумма первых n членов ряда (частная сумма): Sn= a1+ a2+ ... + an при неограниченном возрастании n стремится к… … Энциклопедический словарь

Содержание. 1) Определение. 2) Число, определяемое рядом. 3) Сходимость и расходимость рядов. 4) Условная и абсолютная сходимость. 5) Равномерная сходимость. 6) Разложение функций в ряды. 1. Определения. Р. есть последовательность элементов,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Имеет несколько значений: Ряд совокупность однородных, похожих предметов, расположенных в одну линию. Ряд совокупность каких нибудь явлений, следующих одно за другим в определённом порядке. Ряд некоторое, немалое количество, например «ряд стран» … Википедия

Ряд, бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +... + un +... или, короче, . (1) Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 + q + q 2 +... + q… … Большая советская энциклопедия

Ряд Тейлора разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а… … Википедия

Ряд Тейлора разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды… … Википедия

Разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды Тейлора… … Википедия

Ряд Мёбиуса функциональный ряд вида Этот ряд был исследован Мёбиусом, который нашел для этого ряда формулу обращения: где функция Мёбиуса … Википедия

I м. 1. Совокупность однородных предметов, расположенных в одну линию. отт. Строй в одну линию; шеренга. 2. Линейная последовательность мест для сидения в театре, кино и т.п. отт. Лица, занимающие такие места. 3. Расположенные в одну линию ларьки … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

Книги

• Математика наблюдателей и ее приложения к квантовой механике, теории относительности и классической математике , Б. С. Хоц, Д. Б. Хоц. В этой книге представлены результаты авторов, относящиеся к Математике наблюдателей (авторское назввание Observer s Mathematics). Эта математика была впервые введена авторами, были изучены ее…

Ряды для чайников. Примеры решений

Всех выживших приветствую на втором курсе! На этом уроке, а точнее, на серии уроков, мы научимся управляться с рядами. Тема не очень сложная, но для ее освоения потребуются знания с первого курса, в частности, необходимо понимать, что такое предел , и уметь находить простейшие пределы. Впрочем, ничего страшного, по ходу объяснений я буду давать соответствующие ссылки на нужные уроки. Некоторым читателям тема математических рядов, приемы решения, признаки, теоремы могут показаться своеобразными, и даже вычурными, нелепыми. В этом случае не нужно сильно «загружаться», принимаем факты такими, какими они есть, и просто учимся решать типовые, распространенные задания.

1) Ряды для чайников , и для самоваров сразу содержание:)

Для сверхбыстрой подготовки по теме есть экспресс-курс в pdf формате , с помощью которого реально «поднять» практику буквально за день.

Понятие числового ряда

В общем виде числовой ряд можно записать так: .
Здесь:
– математический значок суммы;
– общий член ряда (запомните этот простой термин);
– переменная-«счётчик». Запись обозначает, что проводится суммирование от 1 до «плюс бесконечности», то есть, сначала у нас , затем , потом , и так далее – до бесконечности. Вместо переменной иногда используется переменная или . Суммирование не обязательно начинается с единицы, в ряде случаев оно может начинаться с нуля , с двойки либо с любого натурального числа .

В соответствии с переменной-«счётчиком» любой ряд можно расписать развёрнуто:
– и так далее, до бесконечности.

Cлагаемые – это ЧИСЛА , которые называются членами ряда. Если все они неотрицательны (больше либо равны нулю) , то такой ряд называют положительным числовым рядом .

Пример 1

Это уже, кстати, «боевое» задание – на практике довольно часто требуется записать несколько членов ряда.

Сначала , тогда:
Затем , тогда:
Потом , тогда:

Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать первые три члена ряда, поэтому записываем ответ:

Обратите внимание на принципиальное отличие от числовой последовательности ,
в которой члены не суммируются, а рассматриваются как таковые.

Пример 2

Записать первые три члена ряда

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока

Даже для сложного на первый взгляд ряда не составляет трудности расписать его в развернутом виде:

Пример 3

Записать первые три члена ряда

На самом деле задание выполняется устно: мысленно подставляем в общий член ряда сначала , потом и . В итоге:

Ответ оставляем в таком виде, полученные члены ряда лучше не упрощать , то есть не выполнять действия: , , . Почему? Ответ в виде гораздо проще и удобнее проверять преподавателю.

Иногда встречается обратное задание

Пример 4

Здесь нет какого-то четкого алгоритма решения, закономерность нужно просто увидеть .
В данном случае:

Для проверки полученный ряд можно «расписать обратно» в развернутом виде.

А вот пример чуть сложнее для самостоятельного решения:

Пример 5

Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда

Выполнить проверку, снова записав ряд в развернутом виде

Сходимость числовых рядов

Одной из ключевых задач темы является исследование ряда на сходимость . При этом возможны два случая:

1) Ряд расходится . Это значит, что бесконечная сумма равна бесконечности: либо суммы вообще не существует , как, например, у ряда
(вот, кстати, и пример ряда с отрицательными членами). Хороший образец расходящегося числового ряда встретился в начале урока: . Здесь совершенно очевидно, что каждый следующий член ряда больше, чем предыдущий, поэтому и, значит, ряд расходится. Ещё более тривиальный пример: .

2) Ряд сходится . Это значит, что бесконечная сумма равна некоторому конечному числу : . Пожалуйста: – этот ряд сходится и его сумма равна нулю. В качестве более содержательного примера можно привести бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, известную нам ещё со школы: . Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии рассчитывается по формуле: , где – первый член прогрессии, а – её основание, которое, как правило, записывают в виде правильной дроби. В данном случае: , . Таким образом: Получено конечное число, значит, ряд сходится, что и требовалось доказать.

Однако в подавляющем большинстве случаев найти сумму ряда не так-то просто, и поэтому на практике для исследования сходимости ряда используют специальные признаки, которые доказаны теоретически.

Существует несколько признаков сходимости ряда: необходимый признак сходимости ряда, признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши , признак Лейбница и некоторые другие признаки. Когда какой признак применять? Это зависит от общего члена ряда , образно говоря – от «начинки» ряда. И очень скоро мы всё разложим по полочкам.

! Для дальнейшего усвоения урока необходимо хорошо понимать , что такое предел и хорошо уметь раскрывать неопределенность вида . Для повторения или изучения материала обратитесь к статье Пределы. Примеры решений .

Необходимый признак сходимости ряда

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю: .

Обратное в общем случае неверно, т.е., если , то ряд может как сходиться, так и расходиться. И поэтому этот признак используют для обоснования расходимости ряда:

Если общий член ряда не стремится к нулю , то ряд расходится

Или короче: если , то ряд расходится. В частности, возможна ситуация, когда предела не существует вообще, как, например, предела . Вот сразу и обосновали расходимость одного ряда:)

Но гораздо чаще предел расходящегося ряда равен бесконечности, при этом в качестве «динамической» переменной вместо «икса» выступает . Освежим наши знания: пределы с «иксом» называют пределами функций , а пределы с переменной «эн» – пределами числовых последовательностей . Очевидное отличие состоит в том, что переменная «эн» принимает дискретные (прерывные) натуральные значения: 1, 2, 3 и т.д. Но данный факт мало сказывается на методах решения пределов и способах раскрытия неопределенностей.

Докажем, что ряд из первого примера расходится.
Общий член ряда:

Вывод : ряд расходится

Необходимый признак часто применяется в реальных практических заданиях:

Пример 6

В числителе и знаменателе у нас находятся многочлены. Тот, кто внимательно прочитал и осмыслил метод раскрытия неопределенности в статье Пределы. Примеры решений , наверняка уловил, что когда старшие степени числителя и знаменателя равны , тогда предел равен конечному числу .

Делим числитель и знаменатель на

Исследуемый ряд расходится , так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Пример 7

Исследовать ряд на сходимость

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока

Итак, когда нам дан ЛЮБОЙ числовой ряд, в первую очередь проверяем (мысленно или на черновике): а стремится ли его общий член к нулю? Если не стремится – оформляем решение по образцу примеров № 6, 7 и даём ответ о том, что ряд расходится.

Какие типы очевидно расходящихся рядов мы рассмотрели? Сразу понятно, что расходятся ряды вроде или . Также расходятся ряды из примеров № 6, 7: когда в числителе и знаменателе находятся многочлены, и старшая степень числителя больше либо равна старшей степени знаменателя . Во всех этих случаях при решении и оформлении примеров мы используем необходимый признак сходимости ряда.

Почему признак называется необходимым ? Понимайте самым естественным образом: для того, чтобы ряд сходился, необходимо , чтобы его общий член стремился к нулю. И всё бы было отлично, но этого ещё не достаточно . Иными словами, если общий член ряда стремится к нулю, ТО ЭТО ЕЩЕ НЕ ЗНАЧИТ, что ряд сходится – он может, как сходиться, так и расходиться!

Знакомьтесь:

Данный ряд называется гармоническим рядом . Пожалуйста, запомните! Среди числовых рядов он является прима-балериной. Точнее, балеруном =)

Легко заметить, что , НО. В теории математического анализа доказано, что гармонический ряд расходится .

Также следует запомнить понятие обобщенного гармонического ряда:

1) Данный ряд расходится при . Например, расходятся ряды , , .
2) Данный ряд сходится при . Например, сходятся ряды , , . Еще раз подчеркиваю, что почти во всех практических заданиях нам совершенно не важно, чему равна сумма , например, ряда , важен сам факт его сходимости .

Это элементарные факты из теории рядов, которые уже доказаны, и при решении какого-нибудь практического примера можно смело ссылаться, например, на расходимость ряда или сходимость ряда .

Вообще, рассматриваемый материал очень похож на исследование несобственных интегралов , и тому, кто изучал эту тему, будет легче. Ну а тому, кто не изучал – легче вдвойне:)

Итак, что делать, если общий член ряда СТРЕМИТСЯ к нулю? В таких случаях для решения примеров нужно использовать другие, достаточные признаки сходимости / расходимости:

Признаки сравнения для положительных числовых рядов

Заостряю ваше внимание , что здесь речь уже идёт только о положительных числовых рядах (с неотрицательными членами) .

Существуют два признака сравнения, один из них я буду называть просто признаком сравнения , другой – предельным признаком сравнения .

Сначала рассмотрим признак сравнения , а точнее, первую его часть:

Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если известно , что ряд – сходится , и, начиная с некоторого номера , выполнено неравенство , то ряд тоже сходится .

Иными словами: Из сходимости ряда с бОльшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами . На практике неравенство часто выполнено вообще для всех значений :

Пример 8

Исследовать ряд на сходимость

Во-первых, проверяем (мысленно либо на черновике) выполнение :
, а значит, «отделаться малой кровью» не удалось.

Заглядываем в «пачку» обобщенного гармонического ряда и, ориентируясь на старшую степень, находим похожий ряд: Из теории известно, что он сходится.

Для всех натуральных номеров справедливо очевидное неравенство:

а бОльшим знаменателям соответствуют мЕньшие дроби:
, значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Если у вас есть какие-то сомнения, то неравенство всегда можно расписать подробно! Распишем построенное неравенство для нескольких номеров «эн»:
Если , то
Если , то
Если , то
Если , то
….
и теперь-то уж совершенно понятно, что неравенство выполнено для всех натуральных номеров «эн».

Проанализируем признак сравнения и решенный пример с неформальной точки зрения. Все-таки, почему ряд сходится? А вот почему. Если ряд сходится, то он имеет некоторую конечную сумму : . И поскольку все члены ряда меньше соответствующих членов ряда , то ясен пень, что сумма ряда не может быть больше числа , и тем более, не может равняться бесконечности!

Аналогично можно доказать сходимость «похожих» рядов: , , и т.д.

! Обратите внимание , что во всех случаях в знаменателях у нас находятся «плюсы». Наличие хотя бы одного минуса может серьёзно осложнить использование рассматриваемого признака сравнения . Например, если ряд таким же образом сравнить со сходящимся рядом (выпишите несколько неравенств для первых членов), то условие не будет выполняться вообще! Здесь можно извернуться и подобрать для сравнения другой сходящийся ряд, например, , но это повлечёт за собой лишние оговорки и другие ненужные трудности. Поэтому для доказательства сходимости ряда гораздо проще использовать предельный признак сравнения (см. следующий параграф).

Пример 9

Исследовать ряд на сходимость

И в этом примере я предлагаю вам самостоятельно рассмотреть вторую часть признака сравнения :

Если известно , что ряд – расходится , и, начиная с некоторого номера (часто с самого первого), выполнено неравенство , то ряд тоже расходится .

Иными словами: Из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с бОльшими членами .

Что нужно сделать?
Нужно сравнить исследуемый ряд с расходящимся гармоническим рядом . Для лучшего понимания постройте несколько конкретных неравенств и убедитесь в справедливаости неравенства .

Решение и образец оформления в конце урока.

Как уже отмечалось, на практике только что рассмотренный признак сравнения применяют редко. Настоящей «рабочей лошадкой» числовых рядов является предельный признак сравнения , и по частоте использования с ним может конкурировать разве что признак Даламбера .

Предельный признак сравнения числовых положительных рядов

Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу : , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно .

Когда применяется предельный признак сравнения? Предельный признак сравнения применяется тогда, когда «начинкой» ряда у нас являются многочлены. Либо один многочлен в знаменателе, либо многочлены и в числителе и в знаменателе. Опционально многочлены могут находиться под корнями.

Разделаемся с рядом, для которого забуксовал предыдущий признак сравнения.

Пример 10

Исследовать ряд на сходимость

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения. Известно, что ряд – сходится. Если нам удастся показать, что равен конечному, отличному от нуля числу, то будет доказано, что ряд – тоже сходится.

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Почему для сравнения был выбран именно ряд ? Если бы мы выбрали любой другой ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда, то у нас не получилось бы в пределе конечного, отличного от нуля числа (можете поэкспериментировать).

Примечание : когда мы используем предельный признак сравнения, не имеет значения , в каком порядке составлять отношение общих членов, в рассмотренном примере отношение можно было составить наоборот: – это не изменило бы сути дела.

Ответ : ряд расходится.

Пример №3

Найти сумму ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac{2}{3\cdot 5}+\frac{2}{5\cdot 7}+\frac{2}{7\cdot 9}+\frac{2}{9\cdot 11}+\ldots+\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}. $$

Почему я пишу именно $\frac{2}{3\cdot 5}$, а не $\frac{2}{15}$, будет ясно из дальнейшего повествования. Однако запись частичной суммы ни на йоту не приблизила нас к цели. Нам ведь нужно найти $\lim_{n\to\infty}S_n$, но если мы просто запишем:

$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3\cdot 5}+\frac{2}{5\cdot 7}+\frac{2}{7\cdot 9}+\frac{2}{9\cdot 11}+\ldots+\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}\right), $$

то эта запись, совершенно верная по форме, ничего нам не даст по сути. Чтобы найти предел, выражение частичной суммы предварительно нужно упростить.

Для этого есть стандартное преобразование, состоящее в разложении дроби $\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$, которая представляет общий член ряда, на элементарные дроби. Вопросу разложения рациональных дробей на элементарные посвящена отдельная тема (см., например, пример №3 на этой странице). Раскладывая дробь $\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$ на элементарные дроби, будем иметь:

$$ \frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{A}{2n+1}+\frac{B}{2n+3}=\frac{A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)}. $$

Приравниваем числители дробей в левой и правой частях полученного равенства:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Чтобы найти значения $A$ и $B$ есть два пути. Можно раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые, а можно просто подставить вместо $n$ некие подходящие значения. Сугубо для разнообразия в этом примере пойдём первым путём, а следующем - будем подставлять частные значения $n$. Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получим:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

В левой части равенства перед $n$ стоит ноль. Если угодно, левую часть равенства для наглядности можно представить как $0\cdot n+ 2$. Так как в левой части равенства перед $n$ стоит ноль, а в правой части равества перед $n$ стоит $2A+2B$, то имеем первое уравнение: $2A+2B=0$. Сразу разделим обе части этого уравнения на 2, получив после этого $A+B=0$.

Так как в левой части равенства свободный член равен 2, а в правой части равенства свободный член равен $3A+B$, то $3A+B=2$. Итак, имеем систему:

$$ \left\{\begin{aligned} & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end{aligned}\right. $$

Доказательство будем проводить методом математической индукции. На первом шаге нужно проверить, выполнено ли доказываемое равенство $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ при $n=1$. Мы знаем, что $S_1=u_1=\frac{2}{15}$, но даст ли выражение $\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ значение $\frac{2}{15}$, если подставить в него $n=1$? Проверим:

$$ \frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2\cdot 1+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15}. $$

Итак, при $n=1$ равенство $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ выполнено. На этом первый шаг метода математической индукции закончен.

Предположим, что при $n=k$ равенство выполнено, т.е. $S_k=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}$. Докажем, что это же равенство будет выполнено при $n=k+1$. Для этого рассмотрим $S_{k+1}$:

$$ S_{k+1}=S_k+u_{k+1}. $$

Так как $u_n=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$, то $u_{k+1}=\frac{1}{2(k+1)+1}-\frac{1}{2(k+1)+3}=\frac{1}{2k+3}-\frac{1}{2(k+1)+3}$. Согласно сделанному выше предположению $S_k=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}$, поэтому формула $S_{k+1}=S_k+u_{k+1}$ примет вид:

$$ S_{k+1}=S_k+u_{k+1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{2k+3}-\frac{1}{2(k+1)+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2(k+1)+3}. $$

Вывод: формула $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ верна при $n=k+1$. Следовательно, согласно методу математической индукции, формула $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ верна при любом $n\in N$. Равенство доказано.

В стандартном курсе высшей математики обычно довольствуются "вычёркиванием" сокращающихся слагаемых, не требуя никаких доказательств. Итак, мы получили выражение для n-й частичной суммы: $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$. Найдём значение $\lim_{n\to\infty}S_n$:

Вывод: заданный ряд сходится и сумма его $S=\frac{1}{3}$.

Второй способ упрощения формулы для частичной суммы.

Честно говоря, я сам предпочитаю именно этот способ:) Давайте запишем частичную сумму в сокращённом варианте:

$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)}. $$

Мы получили ранее, что $u_k=\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}$, поэтому:

$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right). $$

Сумма $S_n$ содержит конечное количество слагаемых, поэтому мы можем переставлять их так, как нам заблагорассудится. Я хочу сначала сложить все слагаемые вида $\frac{1}{2k+1}$, а уж затем переходить к слагаемым вида $\frac{1}{2k+3}$. Это означает, что частичную сумму мы представим в таком виде:

$$ S_n =\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\ldots+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}=\\ =\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{2n+1}-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{2n+3}\right). $$

Конечно, развёрнутая запись крайне неудобна, поэтому представленное выше равенство можно оформить более компактно:

$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}. $$

Теперь преобразуем выражения $\frac{1}{2k+1}$ и $\frac{1}{2k+3}$ к одному виду. Я полагаю удобным приводить к виду большей дроби (хотя можно и к меньшей, это дело вкуса). Так как $\frac{1}{2k+1}>\frac{1}{2k+3}$ (чем больше знаменатель, тем меньше дробь), то будем приводить дробь $\frac{1}{2k+3}$ к виду $\frac{1}{2k+1}$.

Выражение в знаменателе дроби $\frac{1}{2k+3}$ я представлю в таком виде:

$$ \frac{1}{2k+3}=\frac{1}{2k+2+1}=\frac{1}{2(k+1)+1}. $$

И сумму $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}$ теперь можно записать так:

$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$

Если равенство $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$ не вызывает вопросов, то пойдём далее. Если же вопросы есть, то прошу развернуть примечание.

Как мы получили преобразованную сумму? показать\скрыть

У нас был ряд $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}$. Давайте вместо $k+1$ введём новую переменную, - например, $t$. Итак, $t=k+1$.

Как изменялась старая переменная $k$? А изменялась она от 1 до $n$. Давайте выясним, как же будет изменяться новая переменная $t$. Если $k=1$, то $t=1+1=2$. Если же $k=n$, то $t=n+1$. Итак, выражение $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}$ теперь стало таким: $\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}$.

$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}. $$

У нас есть сумма $\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}$. Вопрос: а не всё ли равно, какую букву использовать в этой сумме? :) Банально записывая букву $k$ вместо $t$, получим следующее:

$$ \sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$

Вот так и получается равенство $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$.

Таким образом, частичную сумму можно представить в следующем виде:

$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$

Заметьте, что суммы $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}$ и $\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$ отличаются лишь пределами суммирования. Сделаем эти пределы одинаковыми. "Забирая" первый элемент из суммы $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}$ будем иметь:

$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{2\cdot 1+1}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}. $$

"Забирая" последний элемент из суммы $\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$, получим:

$$\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}=\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2(n+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}.$$

Тогда выражение для частичной суммы примет вид:

$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}\right)=\\ =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2n+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$

Если пропустить все пояснения, то процесс нахождения сокращённой формулы для n-й частичной суммы примет такой вид:

$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)} =\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)=\\ =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3} =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}\right)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$

Напомню, что мы приводили дробь $\frac{1}{2k+3}$ к виду $\frac{1}{2k+1}$. Разумеется, можно поступить и наоборот, т.е. представить дробь $\frac{1}{2k+1}$ в виде $\frac{1}{2k+3}$. Конечное выражение для частичной суммы не изменится. Процесс нахождения частичной суммы в этом случае я скрою под примечание.

Как найти $S_n$, если приводить к виду иной дроби? показать\скрыть

$$ S_n =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3} =\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2k+3}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\\ =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k+3}-\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{2n+3}\right) =\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$

Итак, $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$. Находим предел $\lim_{n\to\infty}S_n$:

$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}\right)=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}. $$

Заданный ряд сходится и сумма его $S=\frac{1}{3}$.

Ответ : $S=\frac{1}{3}$.

Продолжение темы нахождения суммы ряда будет рассмотрено во второй и третьей частях.

Вычислить сумму ряда можно только в случае, когда ряд сходится. Если ряд расходится то сумма ряда бесконечна и нет смысла что-то вычислять. Ниже приведены примеры из практики нахождения суммы ряда, которые задавали в Львовском национальном университете имени Ивана Франка. Задания на ряды подобраны так, что условие сходимости выполняется всегда, однако проверку на сходимость мы выполнять будем. Эта и следующие за ней статьи составляют решение контрольной работы по анализе рядов.

Пример 1.4 Вычислить сумму рядов:
а)
Вычисления: Поскольку граница общего члена ряда при номере следующему до бесконечности равна 0

то данный ряд сходится. Вычислим сумму ряда. Для этого преобразуем общий член, разложив его на простейшие дроби I и II типа. Методика разложения на простые дроби здесь приводиться не будет (хорошо расписана при интегрировании дробей), а лишь запишем конечный вид разложения

В соответствии с этим можем сумму расписать через сумму ряда образованного из простейших дробей, а дальше из разницы сумм рядов

Далее расписываем каждый ряд в явную сумму и выделяем слагаемые (подчеркивание), которые превратятся 0 после сложения. Таким образом сумма ряда упростится к сумме 3 слагаемых (обозначены черным), что в результате даст 33/40.

На этом базируется вся практическая часть нахождения суммы для простых рядов.
Примеры на сложные ряды сводятся к сумме бесконечно убывающих прогрессий и рядов, которые находят через соответствующие формулы, но здесь такие примеры рассматривать не будем.
б)
Вычисления: Находим границу n-го члена суммы

Она равна нулю, следовательно заданный ряд сходится и имеет смысл искать его сумму. Если граница отличная от нуля, то сумма ряда равна бесконечности со знаком "плюс" или "минус".
Найдем сумму ряда. Для этого общий член ряда который является дробью превратим методом неопределенных коэффициентов к сумме простых дробей I типа

Далее по инструкции которая приводилась ранее записываем сумму ряда через соответствующие суммы простейших дробей

Расписываем суммы и выделяем слагаемые, которые станут равными 0 при суммировании.

В результате получим сумму нескольких слагаемых (выделенные черным) которая равна 17/6 .

Пример 1.9 Найти сумму ряда:
а)
Вычисления: Вычислениям границы

убеждаемся что данный ряд сходится и можно находить сумму. Далее знаменатель функции от номера n раскладываем на простые множители, а весь дробь превращаем к сумме простых дробей I типа

Далее сумму ряда в соответствии с расписанием записываем через два простые

Ряды записываем в явном виде и выделяем слагаемые, которые после добавления дадут в сумме ноль. Остальные слагаемые (выделенные черным) и представляет собой конечную сумму ряда

Таким образом, чтобы найти сумму ряда надо на практике свести под общий знаменатель 3 простых дроби.
б)
Вычисления: Граница члена ряда при больших значениях номера стремится к нулю

Из этого следует что ряд сходится, а его сумма конечна. Найдем сумму ряда, для этого сначала методом неопределенных коэффициентов разложим общий член ряда на три простейшего типа

Соответственно и сумму ряда можно превратить в сумму трех простых рядов

Далее ищем слагаемые во всех трех суммах, которые после суммирования превратятся в ноль. В рядах, содержащих три простых дроби один из них при суммировании становится равным нулю (выделен красным). Это служит своеобразной подсказкой в вычислениях

Сумма ряда равна сумме 3 слагаемых и равна единице.

Пример 1.15 Вычислить сумму ряда:
а)

Вычисления: При общем член ряда стремящемся к нулю

данный ряд сходится. Преобразуем общий член таким образом, чтобы иметь сумму простейших дробей

Далее заданный ряд, согласно формулам расписания, записываем через сумму двух рядов

После записи в явном виде большинство членов ряда в результате суммирования станут равны нулю. Останется вычислить сумму трех слагаемых.

Сумма числового ряда равна -1/30 .
б)
Вычисления: Поскольку граница общего члена ряда равна нулю,

то ряд сходится. Для нахождения суммы ряда разложим общий член на дроби простейшего типа.

При разложении использовали метод неопределенных коэффициентов. Записываем сумму ряда из найденного расписание

Следующим шагом выделяем слагаемые, не вносящие никакого вклада в конечную сумму и остальные оставшиеся

Сумма ряда равна 4,5 .

Пример 1.25 Вычислить сумму рядов:
а)


Поскольку она равна нулю то ряд сходится. Можем найти сумму ряда. Для этого по схеме предыдущих примеров раскладываем общий член ряда через простейшие дроби

Это позволяет записать ряд через сумму простых рядов и, выделив в нем слагаемые, упростив при этом суммирование.

В этом случае останется одно слагаемое которое равен единице.
б)
Вычисления: Находим границу общего члена ряда

и убеждаемся что ряд сходится. Далее общий член числового ряда методом неопределенных коэффициентов раскладываем на дроби простейшего типа.

Через такие же дроби расписываем сумму ряда

Записываем ряды в явном виде и упрощаем к сумме 3 слагаемых

Сумма ряда равна 1/4.
На этом ознакомление со схемами суммирования рядов завершено. Здесь еще не рассмотрены ряды, которые сводятся к сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии, содержащие факториалы, степенные зависимости и подобные. Однако и приведенный материал будет полезен для студентов на контрольных и тестах.