Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

: Расширить свои знания в области доказательства неравенств. Познакомиться с неравенством Коши. Научиться применять изученные методы к доказательству неравенств.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №655

Приморского района Санкт-Петербурга

«Доказательство неравенств. Неравенство Коши»

2014г.

Ли Нина Юрьевна

8в класс

Аннотация…………………………………………………………………………………….3

Введение …………………………………………………………………………………….. 4

Историческая справка………………………………………………………………………..4

Неравенство Коши……………………………………………………………………………5

Доказательство неравенств…………………………………………………………………..7

Выводы исследования………………………………………………………………………..10

Список литературы……………………………………………………………………………11

Ли Нина

г. Санкт-Петербург, ГБОУ СОШ №655, 8 класс

«Доказательство неравенств. Неравенство Коши».

руководитель: Мороз Юлия Владимировна, учитель математики

Цель научной работы: Расширить свои знания в области доказательства неравенств. Познакомиться с неравенством Коши. Научиться применять изученные методы к доказательству неравенств.

ВВЕДЕНИЕ

«…основные результаты математики чаще выражаются не равенствами, а неравенствами».

Э. Беккенбах

Решением неравенств мы занимаемся на протяжении всего школьного курса. Неравенства можно решать графическим и аналитическим способом. Чтобы решить любое неравенство существует определенный алгоритм действий, поэтому данная задача является, скорее механическим действием, который не требует творческого подхода.

Напротив, доказательство неравенств требует неформального, вариативного подхода. Поэтому доказательство неравенств является наиболее интересным.

Однако, в школьном курсе математики доказательству неравенств уделяется очень мало внимания. Доказательство неравенств сводится к одному приему- оценке разности частей неравенства. Между тем, на математических олимпиадах часто встречаются задачи на доказательство неравенств с применением других способов и приемов (использование опорных неравенств, метод оценивания). На олимпиадах для школьников по математике также часто предлагаются неравенства, доказательство которых лучше выявляет способности и возможности учащихся, степень их интеллектуального развития. Кроме того, многие задачи повышенной сложности (из различных разделов математики) эффективно решаются с помощью неравенств.

Актуальность темы «Доказательство неравенств» бесспорна, так как неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни астрономия, ни химия. Теория вероятности, математическая статистика, финансовая математика, экономика – все эти взаимосвязанные и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях, постоянно используют неравенства.

Доказательства неравенств помогают развить навык осмысления и применения приемов доказательства неравенств; умение применять их при выполнении различных задач; умение анализировать, обобщать и делать выводы; логически излагать мысли; творчески относится к делу.

Целью данной работа является расширение знаний в области методов и приемов доказательства неравенств.

Для достижения данной цели исследования мы поставили перед собой задачи:

• сбор информации из различных источников о приемах и методах доказательства неравенств;
• познакомится с неравенством Коши;
• Научится применять опорные неравенства к доказательству более сложных неравенств.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятием «равенство» возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства пользовались еще древние греки. Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа π.

В 1557 г., когда Роберт Рекорд впервые ввел знак равенства, он мотивировал свое нововведение следующем образом: никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем два параллельных отрезка. Исходя из знака равенства Рекорда, другой английский ученый Гарриот ввел употребляемые и поныне знаки неравенства, обосновывая нововведение следующим образом: если две величины не равны, то отрезки, фигурирующие в знаке равенства, уже не параллельны, а пересекаются. Пересечение может иметь место справа (>) или слева (

Несмотря на то что знаки неравенства были предложены через 74 года после предложенного Рекордом знака равенства, они вошли в употребление намного раньше последнего. Одна из причин этого явления коренится в том, что типографии применяли в то время для знаков неравенства уже имевшуюся у них латинскую букву V, тогда как наборного знака равенства (=) у них не было, а изготовлять его тогда - было нелегко.

Знаки ≤ и ≥ ввел французский математик П. Буге.

НЕРАВЕНСТВО КОШИ

Применяемые для доказательства неравенств идеи почти столь же разнообразны, как и сами неравенства. В конкретных ситуациях общие методы часто приводят к некрасивым решениям. Но неочевидное комбинирование нескольких «базовых» неравенств удается лишь немногим. И, кроме того, ничто не мешает нам в каждом конкретном случае поискать более удобное, лучшее решение, нежели полученное общим методом. По этой причине доказательства неравенств нередко относят к области искусства. И как во всяком искусстве здесь есть свои технические приемы, набор которых весьма широк и овладеть всеми очень сложно.

Одним из таких «базовых» неравенств является неравенство Коши, указывающее на соотношение двух средних величин – среднего арифметического и среднего геометрического. Среднее арифметическое изучается в школьном курсе пятого класса и выглядит таким образом Среднее геометрическое впервые появляется в курсе геометрии восьмого класса - . В прямоугольном треугольнике таким свойством обладают три отрезка: два катета и перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу.

Между этими двумя этими величинами существует удивительное соотношение, которое исследовали ученые. О. Коши, французский математик, пришел к выводу о том, что среднее арифметическое n неотрицательных чисел всегда не меньше среднего геометрического этих чисел.

Наряду с неравенством Коши полезно знать следствия из него:

Равенство достигается при a = b.

Неравенства верны, если выполняются условия a > 0, b > 0.

Алгебраическое доказательство этого не равенства довольно простое:

(а – в)² ≥ 0;

Применим формулу «квадрат разности»:

а² - 2ав + в² ≥0;

Прибавим к обеим частям неравенства 4ав :

а² + 2ав + в² ≥4ав;

Применим формулу «квадрат суммы»:

(а + в)² ≥4ав;

Разделим обе части неравенства на 4 :

Так как а и в – положительные по условию, то извлечём из обеих частей неравенства квадратный корень:

Получили искомое выражение.

Рассмотрим геометрическое доказательство:

Дано: ABCD – прямоугольный, AD = a, AB = b, AK – биссектриса угла ВАD.

Доказать:

Доказательство:

1. АК – биссектриса, следовательно, ВАL = LAD. LAD и BLA – внутренние накрест лежащие углы при параллельных ВС и AD и секущей AL, то есть BLA = LAD.
2. В = 90°, следовательно, BAL = LAD = 45°, но BLA = LAD, значит, ∆ АВL – равнобедренный, BL = AB = b.
3. ∆AKD – равнобедренный, так как KD ┴ AD, DAL = 45°, значит AD = KD = a.

Очевидно, что , равенство достигается при

a = b , то есть ABCD – квадрат.

заменим в неравенстве а² на m , b² на n , получим

Или ,

то есть среднее геометрическое не больше среднего арифметического.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ

Метод синтеза.

Это метод, основанный на получении (синтезировании) неравенства (которое требуется обосновать) из опорных (базисных) неравенств и методов их установления.

Решим задачу, используя метод синтеза

Задача 1. Докажите, что для любых неотрицательных a, b, c справедливо неравенство

Решение. Запишем три неравенства, устанавливающие зависимость между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел

Перемножим почленно полученные неравенства, так как их левая и правая части неотрицательны

Задача 2. Применим неравенство Коши к доказательству этого неравенства:

Метод использования тождеств .

Суть метода состоит в том, что данное неравенство путём равносильных преобразований приводится к очевидному тождеству.

Рассмотрим решение задачи этим методом.

Задача. Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство .

Решение. Выделим в левой части неравенства полный квадрат

При любых действительных a и b это выражение неотрицательно, значит и данное неравенство выполнимо, то есть .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная исследовательская работа была направлена на решение следующих задач:

• сбор информации и изучение различных методов и приемов доказательства неравенств;
• знакомство с замечательным неравенством Коши, его доказательство алгебраическим и геометрическим способом;
• применение полученных знаний для доказательства неравенств;
• знакомство с методом синтеза и использования тождеств в решении поставленных задач.

В процессе решения задач мы достигли поставленной цели нашей исследовательской работы –нахождение оптимально эффективного метода доказательства неравенств.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алгебра. 8 класс: учеб. для учащихся общеобр. учрежд./ Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, И.Е.Феоктистов.-13-е изд.- М.:Мнемозина,2013.-384с.

1. Алгебра. 8 класс. Дидактические материалы. Методические рекомендации/ И.Е.Феоктистов.-3-е изд.,стер.-М.:Мнемозина,2013.-173 с.

1. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 10-е изд., стер. – М.: Мнемозина,2008. – 215с., С 185-200.

1. Берколайко С.Т. Использование неравенства Коши при решении задач.- М.: Квант, 1975.- №4.

Учебное заведение: МОУ Лицей№1 г.Комсомольск-на-Амуре

Руководитель: Будлянская Наталья Леонидовна

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)

Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть равна 0) с использованием тождеств.

Пример 1 . Доказать что для любого хϵR

Доказательство. 1 способ .

2 способ .

для квадратичной функции

что означает её положительность при любом действительном х .

Пример 2 . Доказать, что для любых x и y

Доказательство.

Пример 3 . Доказать, что

Доказательство.

Пример 4 . Доказать, что для любых a и b

Доказательство.

2. Метод от противного

Вот хороший пример применения данного метода.

Доказать, что для a, b ϵ R.

Доказательство.

Предположим, что.

Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно.

Ч.Т.Д.

Пример 5 . Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство

Доказательство. Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В и С, так как будем иметь следующее отношения:

, что является обоснованием исходного неравенства.

Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С , для которых выполняется неравенство

, что невозможно ни при каких действительных А,В и С . Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.

Использование свойств квадратного трехчлена

Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если

и.

Пример 6 . Доказать, что

Доказательство.

Пусть, a=2, 2>0

=>

Пример 7 . Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство

Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:

, а>0, D

D= => P(x)>0 и

верно при любых действительных значениях х и у.

Пример 8 . Доказать, что

для любых действительных значениях х и у.

Доказательство. Пусть ,

Это означает, что для любых действительных у и неравенство

выполняется при любых действительных х и у.

Метод введения новых переменных или метод подстановки

Пример 9 . Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z

Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для,

.

Получаем исследуемое неравенство

Использование свойств функций.

Пример 10 . Докажем неравенство

для любых а и b.

Доказательство. Рассмотрим 2 случая:

• Если а=b,то верно

причем равенство достигается только при а=b=0.

2)Если

, на R =>

()* ()>0, что доказывает неравенство

Пример 11 . Докажем, что для любых

Доказательство.

на R.

Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>

Применение метода математической индукции

Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел.

Пример 12 . Доказать, что для любого nϵN

• Проверим истинность утверждения при

- (верно)

2) Предположим верность утверждения при

(k>1)

3) Докажем истинность утверждения при n=k+1.

Сравним и: ,

Имеем:

Вывод: утверждение верно для любого nϵN.

Использование замечательных неравенств

• Теорема о средних (неравенство Коши)

• Неравенство Коши – Буняковского

• Неравенство Бернулли

Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.

Применение теоремы о средних (неравенства Коши)

Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического

, где

Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда

Рассмотрим частные случаи этой теоремы:

• Пусть n=2, тогда

• Пусть n=2, a>0, тогда

• Пусть n=3, тогда

Пример 13 . Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство

Доказательство.

Неравенство Коши - Буняковского

Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение

Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим

Пример 14.

Доказательство. Запишем исследуемое неравенство в следующем виде:

Это заведомо истинное неравенство, так как является частным случаем неравенства Коши – Буняковского.

Пример 15. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство

Доказательство. Достаточно записать данное неравенство в виде

и сослаться на неравенство Коши – Буняковского.

Неравенство Бернулли

Неравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных значений n выполняется неравенство

Неравенство может применяться для выражений вида

Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли.

Пример 16 .

Доказательство. Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения

Получим требуемое неравенство.

Пример 17 . Доказать, что для любых n ϵ N

Доказательство.

по теореме Бернулли, что и требовалось.

Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. "А, такой-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.

Ваша цель: знать методы доказательства неравенств и уметь их применять.

Практическая часть

Понятие доказательства неравенства . Некоторые неравенства обращаются в верное числовое неравенство при всех допустимых значениях переменных или на некотором заданном множестве значений переменных. Например, неравенства а 2 ³0, (а –b ) 2 ³ 0, a 2 + b 2 + c 2 " ³ 0 верны при любых действительных значениях переменных, а неравенство ³ 0 – при любых действительных неотрицательных значениях а. Иногда возникает задача доказательства неравенства.

Доказать неравенство – значит показать, что данное неравенство обращается в верное числовое неравенство при всех допустимых значениях переменных или на заданном множестве значений этих переменных.

Методы доказательства неравенств. Заметим, что общего метода доказательства неравенств не существует. Однако некоторые из них можно указать.

1. Метод оценки знака разности между левой и правой частями неравенства. Составляется разность левой и правой частей неравенства и устанавливается, положительна или отрицательна эта разность при рассматриваемых значениях переменных (для нестрогих неравенств надо установить, неотрицательна или неположительна эта разность).

Пример 1. Для любых действительных чисел а и b имеет место неравенство

a 2 +b 2 ³ 2ab. (1)

Доказательство. Составим разность левой и правой частей неравенства:

a 2 +b 2 – 2ab = a 2 – 2ab + b 2 = (a – b ) 2 .

Так как квадрат любого действительного числа есть число неотрицательное, то (a – b ) 2 ³ 0, а, значит, a 2 +b 2 ³ 2ab для любых действительных чисел а и b. Равенство в (1) имеет место в том и только в том случае, когда а = b.

Пример 2. Доказать, что если а ³ 0 и b ³ 0, то ³ , т.е. среднее арифметическое неотрицательных действительных чисел а и b не меньше их среднего геометрического.

Доказательство. Если а ³ 0 и b ³ 0, то

³ 0. Значит, ³ .

2. Дедуктивный метод доказательства неравенств. Сущность этого метода заключается в следующем: с помощью ряда преобразований выводят требуемое неравенство из некоторых известных (опорных) неравенств. В качестве опорных могут использоваться, например, неравенства: а 2 ³ 0 при любом a Î R ; (a – b ) 2 ³ 0 при любых а и b Î R ; (а 2 + b 2) ³ 2ab при любых a, b Î R ; ³ при а ³ 0, b ³ 0.

Пример 3. Доказать, что для любых действительных чисел а и b имеет место неравенство

а 2 + b 2 + с 2 ³ ab + bc + ac.

Доказательство. Из верных неравенств (a – b ) 2 ³ 0, (b – c ) 2 ³ 0 и (c – a ) 2 ³ 0 следует, что а 2 + b 2 ³ 2ab , b 2 + c 2 ³ 2bc , c 2 + a 2 ³ 2ac. Сложив почленно все три неравенства и разделив обе части нового на 2, получим требуемое неравенство.

Исходное неравенство можно доказать и первым методом. В самом деле, а 2 + b 2 + с 2 – ab – bc – ac = 0,5(2а 2 + 2b 2 + 2с 2 – 2ab – 2bc – 2ac ) = = 0,5((a – b ) 2 + (a – c ) 2 + (b – c ) 2)³ 0.

Разность между а 2 + b 2 + с 2 и ab + bc + ac больше или равна нулю, а это значит, что а 2 + b 2 + с 2 ³ ab + bc + ac (равенство справедливо тогда и только тогда, когда а = b = с).

3. Метод оценок при доказательстве неравенств.

Пример 4. Доказать неравенство

+ + + … + >

Доказательство. Легко заметить, что левая часть неравенства содержит 100 слагаемых, каждое из которых не меньше. В таком случае говорят, что левую часть неравенства можно оценить снизу следующим образом:

+ + + … + > = 100 = .

4. Метод полной индукции. Сущность метода состоит в рассмотрении всех частных случаев, охватывающих условие задачи в целом.

Пример 5. Доказать, что если х > ïу ï, то х > у.

Доказательство. Возможны два случая:

а) у ³ 0; тогда ïу ï = у, а по условию х > ïу ï. Значит, х > у;

б) у < 0; тогда ïу ï > у и по условию х > ïу ï, значит, х > у.

Практическая часть

Задание 0. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы на все устные упражнения приведенные ниже. Затем свои ответы сверьте с ответами или краткими указания, помещенными в конце этого учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».

Устные упражнения

1. Сравните сумму квадратов двух неравных чисел и с их удвоенным произведением.

2. Докажите неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

3. Известно, что . Докажите, что .

4. Известно, что . Докажите, что .

Задание 1. Что больше:

а) 2 + 11 или 9; г) + или;

б) или + ; д) – или;

в) + или 2; е) + 2 или + ?

Задание 2. Докажите, что при любом действительном x имеет место неравенство:

а) 3(x + 1) + x – 4(2 + x ) < 0; г) 4x 2 + 1 ³ 4x ;

б) (x + 2)(x + 4) > (x + 1)(x + 5); д) ³ 2x;

в) (x – 2) 2 > x (x – 4); е) l + 2x 4 > x 2 + 2x 3 .

Задание 3. Докажите, что:

а) x 3 + 1 ³ x 2 + x, если x ³ –1;

б) x 3 + 1 £ x 2 + x, если x £ –1.

Задание 4. Докажите, что если a ³ 0, b ³ 0, с ³ 0, d ³ 0, то

(a 2 + b 2)(c 2 + d 2) ³ (ac + bd ) 2 .

Задание 5. Докажите неравенство, выделив полный квадрат:

а) x 2 – 2xy + 9y 2 ³ 0;

б) x 2 + y 2 + 2³2(x + y );

в) 10x 2 + 10xy + 5y 2 + 1 > 0;

г) x 2 – xy + y 2 ³ 0;

д) x 2 + y 2 + z 2 + 3³ 2(х + у + z );

e) (x + l)(x – 2y + l) + y 2 ³ 0.

Задание 6. Докажите, что:

а) x 2 + 2y 2 + 2xy + 6y + l0 > 0;

б) x 2 + y 2 – 2xy + 2x – 2у + 1 > 0;

в) 3x 2 + y 2 + 8x + 4y – 2xy + 22 ³ 0;

г) x 2 + 2xy + 3y 2 + 2x + 6y + 3 > 0.

Задание 7. Докажите, что если n ³ k ³ 1, то k (n – k + 1) ³ n.

Задание 8. Докажите, что если 4а + 2b = 1, то a 2 + b 2 ³ .

Определите значения а и b, при которых имеет место равенство.

Задание 9. Докажите неравенство:

а) х 3 + у 3 ³ х 2 у + ху 2 при x ³ 0 и y ³ 0;

б) х 4 + у 4 ³ х 3 у + ху 3 при любых x и у ;

в) х 5 + у 5 ³ х 4 у + ху 4 при x ³ 0 и y ³ 0;

г) х n + у n ³ х n -1 у + ху n -1 при x ³ 0 и y ³ 0.

МОУ Гришино -Слободская средняя общеобразовательная школа

Программа модуля

« Методы доказательства неравенств»

в рамках элективного курса

«За страницами учебника математики»

для учащихся 10-11 классов

Составил:

учитель математики

Панкова Е.Ю

Пояснительная записка

«Математику называют тавтологической наукой: другими словами, про математиков говорят, что они тратят время на доказательство того, что предметы равны самим себе. Это утверждение весьма неточно по двум причинам. Во-первых, математика, несмотря на свойственный ей научный язык, не является наукой; скорее ее можно назвать искусством. Во- вторых основные результаты математики чаще выражаются неравенствами, а не равенствами.»

Неравенства используются в практической работе математика постоянно. Они применяются для получения ряда интересных и важных экстремальных свойств «симметричных» фигур: квадрата, куба, равностороннего треугольника, а также для доказательства сходимости итерационных процессов и вычисления некоторых пределов. Важна роль неравенств и в различных вопросах естествознания и техники.

Задачи на доказательство неравенств самые трудные и интересные из традиционных. Доказательства неравенств требуют истинной изобретательности, творчества, которые делают математику тем захватывающим воображение предметом, каким она является.

Обучение доказательствам играет большую роль в развитии дедуктивно- математического мышления и общих мыслительных способностей учащихся. Как же научить школьников самостоятельно проводить доказательства неравенств? Ответ гласит: только путем рассмотрения многих приемов и методов доказательств и регулярного их применения.

Применяемые для доказательства неравенств идеи почти столь же разнообразны, как и сами неравенства. В конкретных ситуациях общие методы часто приводят к некрасивым решениям. Но неочевидное комбинирование нескольких «базовых» неравенств удается лишь немногим школьникам. И, кроме того, ничто не мешает ученику в каждом конкретном случае поискать лучшее решение, нежели полученное общим методом. По этой причине доказательства неравенств нередко относят к области искусства. И как во всяком искусстве здесь есть свои технические приемы, набор которых весьма широк и овладеть всеми очень сложно, но каждый учитель должен стремится к расширению имеющегося в его запасе математического инструмента.

Данный модуль рекомендуется для учащихся 10-11 классов. Здесь рассматриваются не все возможные методы доказательства неравенств (не затронуты метод замены переменной, доказательство неравенств с помощью производной, метод исследования и обобщения, прием упорядочения). Предложить рассмотреть остальные методы можно на втором этапе (например, в 11 классе), если данный модуль курса вызовет интерес у учащихся, а также ориентируясь на успехи усвоения первой части курса.

«За страницами учебника математики»

«Методы доказательства неравенств»

Урок1. Введение.

Доказательство неравенств -увлекательная и непростая тема элементарной математики. Отсутствие единого подхода к проблеме доказательства неравенств, приводит к поиску ряда приемов, пригодных для доказательства неравенств определенных видов. На данном элективном курсе будут рассматриваться следующие методы доказательства неравенств:

Повторение:

Провести доказательства некоторых свойств.

Классические неравенства:

1)
(неравенство Коши)

2)

3)

4)

Историческая справка:

Неравенство (1) называют в честь французского математика Огюста Коши. Число
называют средним арифметическим чисел a и b;

число
называют средним геометрическим чисел a и b. Таким образом, неравенство означает, что среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического.

Дополнительно:

Рассмотреть несколько математических софизмов с неравенствами.

Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

Софизмы – это ложные результаты, полученные с помощью рассуждений, которые только кажутся правильными, но обязательно содержат ту или иную ошибку.

Пример:

Четыре больше двенадцати

Урок2.Доказательство неравенств на основании определения.

Суть этого метода заключается в следующем: для того чтобы установить справедливость неравенства F(x,y,z)>S(x,y,z) составляют разность F(x,y,z)-S(x,y,z) и доказывают, что она положительна. Применяя этот метод, часто выделяют квадрат, куб суммы или разности, неполный квадрат суммы или разности. Это помогает определить знак разности.

Пример. Доказать неравенство (x+y)(x+y+2cosx)+2 2sin 2 x

Доказательство:

Рассмотрим разность (x+y)(x+y+2cosx)+2- 2sin 2 x =(x+y)(x+y+2cosx)+2cos 2 x=(x+y)(x+y+2cosx)+ cos 2 x +cos 2 x= (x+y) 2 +2(x+y)cosx+ cos 2 x +cos 2 x=((x+y)+cosx) 2 + cos 2 x 0.

Доказать неравенство:

1.ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) 6abc

3.

4.
>2x-20

5.

6.(a+b)(b+c)(c+a) 8abc

7.

Урок3.Метод математической индукции.

При доказательстве неравенств, в которые входят натуральные числа часто прибегают к методу математической индукции. Метод состоит в следующем:

1) проверяем истинность теоремы для n=1;

2)допускаем, что теорема верна для некоторого n=k, и исходя из этого допущения доказываем истинность теоремы для n=k+1;

3) на основании первых двух шагов и принципа математической индукции заключаем, что теорема верна для любого n.

Пример.

Доказать неравенство

Доказательство:

1) при n=2 неравенство верно:

2)Пусть неравенство верно для n=k т.е.
(*)

Докажем, что неравенство верно при n=k+1, т.е.
. Умножим обе части неравенства (*) на
получим 3)Из п1.и п.2 делаем вывод, что неравенство верно для любого n.

Задания для работы в классе и дома

Доказать неравенство:

1)

2)

3)

4)

5)

6)
.

Урок4. Применение классических неравенств.

Суть этого метода заключается в следующем: с помощью ряда преобразований выводят требуемое неравенство с помощью некоторых классических неравенств.

Пример.

Доказать неравенство:

Доказательство:

В качестве опорного неравенства используем
.

Приведем данное неравенство к следующему виду:

, тогда

Но =
, тогда

Доказать неравенство:

1)(p+2)(q+2)(p+q)16pq(для док-ва используется неравенство
)

2)
(для док-ва используется неравенство )

3) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc (для док-ва используется неравенство )

4)
(для док-ва используется неравенство ).

Урок5. Графический метод.

Доказательство неравенств графическим методом заключается в следующем: если доказываем неравенство f(x)>g(x)(f(x)

1) построить графики функций y=f(x) и y=g(x);

2)если график функции y=f(x) расположен выше (ниже) графика функции y=g(x), то доказываемое неравенство верно.

Пример.

Доказать неравенство:

cosx
,x0

Доказательство:

Построим в одной системе координат графики функций y=cosx и

Из графика видно, что при x0 график функции y=cosx лежит выше графика функции y= .

Задания для работы в классе и дома.

Доказать неравенство:

1)

3)ln(1+x)0

4)
.

5)

Урок6.Метод от противного

Суть этого метода заключается в следующем: пусть нужно доказать истинность неравенства F(x,y,z) S(x,y,z)(1). Предполагают противное, т. е что хотя бы для одного набора переменных справедливо неравенство F(x,y,z) S(x,y,z) (2). Используя свойства неравенств, выполняют преобразования неравенства (2). Если в результате этих преобразований получается ложное неравенство, то это означает, что предположение о справедливости неравенства (2) неверно, а потому верно неравенство (1).

Пример.

Доказать неравенство:

Доказательство:

Предположим противное, т. е .

Возведем обе части неравенства в квадрат, получим , откуда
и далее

. Но это противоречит неравенству Коши. Значит наше предположение неверно, т. е справедливо неравенство

Задания для работы в классе и дома.

Доказать неравенство:

Урок7. Прием рассмотрения неравенств относительно одной из переменных.

Суть метода заключается в рассмотрении неравенства и его решения относительно одной переменной.

Пример.

Доказать неравенство:

Пример.

Доказать неравенство:

Доказательство:

Задания для работы в классе и дома.

Доказать неравенство:

1)

2)

3)

Урок9. Урок- контроль знаний учащихся.

Работу на этом уроке можно организовать в парах или если большая численность класса в группах. В конце урока каждый учащийся должен быть оценен. Это и есть зачетная форма по данному курсу. По данной теме не рекомендуется проводить контрольную работу т.к. доказательство неравенств, как это уже говорилось в пояснительной записке, относят к области искусства. В начале учащимся предлагается самим определить метод доказательства предложенных неравенств. Если же у учащихся возникнут затруднения, то учитель сообщаем им рациональный метод, предупредив группу, что это, конечно же, повлияет на их оценку.

методы доказательство неравенств . Это метод доказательства неравенств с помощью введения вспомогательных функций...