Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Цели: обобщение и закрепление пройденного материала: повторить понятие многочлена, правило умножения многочлена на многочлен и закрепить это правило в ходе выполнения тестовой работы, закрепить навыки решения уравнений и задач с помощью уравнений.

Оборудование: плакат «Кто смолоду делает и думает сам, тот и становится потом надёжнее, крепче, умнее» (В. Шукшин). Кодоскоп, магнитная доска, кроссворд, карточки-тесты.

План урока.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Устные упражнения (разгадывание кроссворда).
4. Решение упражнений по теме.
5. Тест по теме: « Многочлены и действия над ними» (4 варианта).
6. Итоги урока.
7. Домашнее задание.

Ход урока

I. Организационный момент

Учащиеся класса делятся на группы по 4-5 человек, выбирается старший в группе.

II. Проверка домашнего задания .

Домашнее задание учащиеся готовят на карточке дома. Каждый ученик проверяет свою работу через кодоскоп. Учитель предлагает оценить домашнюю работу самому ученику и поставит оценку в ведомости, сообщая критерий оценки: «5» ─ задание выполнено верно и самостоятельно; «4» ─ задание выполнено верно и полностью, но с помощью родителей или одноклассников; «3» ─ во всех остальных случаях, если задание выполнено. Если задание не выполнено, можно поставить прочерк.

III. Устные упражнения.

1) Для повторения теоретических вопросов учащимся предлагается кроссворд. Кроссворд решают группой устно, и ответы дают учащиеся из разных групп. Выставляем оценки: «5» ─ 7 верных слов, «4» ─ 5,6 верных слов, «3» ─ 4 верных слова.

Вопросы для кроссворда: (см. Приложение 1 )

1. Свойство умножения, используемое при умножении одночлена на многочлен;
2. способ разложения многочлена на множители;
3. равенство, верное при любых значениях переменной;
4. выражение, представляющее собой сумму одночленов;
5. слагаемые, имеющие одну и ту же буквенную часть;
6. значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство;
7. числовой множитель у одночленов.

2) Выполните действия:

3. Если длину прямоугольника уменьшить на 4 см, а ширину его увеличить на 7 см, то получится квадрат, площадь которого будет на 100 см 2 больше площади прямоугольника. Определить сторону квадрата. (Cторона квадрата равна 24 см).

Учащиеся решают задания в группах, обсуждая, помогая друг другу. Когда группы выполнили задание, осуществляется проверка по решениям, записанным на доске. После проверки выставляются оценки: за данную работу учащиеся получают две оценки: самооценка и оценка группы. Критерий оценки: «5» ─ всё решил верно, и помогал товарищам, «4» ─ допустил ошибки при решении, но исправил их с помощью товарищей, «3» ─ интересовался решением и всё решил с помощью одноклассников.

V. Тестовая работа.

I вариант

1. Представьте в стандартном виде многочлен 3а – 5а∙а – 5 + 2а 2 – 5а +3.

3. Найдите разность многочленов 2х 2 – х + 2 и ─ 3х 2 ─2х + 1.

5. Представьте в виде многочлена выражение: 2 – (3а – 1)(а + 5).

II вариант

1. Представьте в стандартном виде многочлен 5х 2 – 5 + 4х ─ 3х∙х + 2 – 2х.

3. Найдите разность многочленов 4у 2 – 2у + 3 и - 2у 2 + 3у +2.

5. Решите уравнение: ─3х 2 + 5х = 0.

1) х = 3) х = 0 и х = ─

2) х = 0 и х = 4) х = 0

6. Представьте в виде произведения: 5а 3 – 3а 2 – 10а + 6.

III вариант

1. Найдите значение многочлена ─ 6а 2 – 5аb + b 2 – (─3а 2 – 5аb + b 2) при а = ─ , b=─3.

1)

2. Упростите выражение: ─8х – (5х – (3х – 7)).

4. Выполните умножение: ─3х∙(─ 2х 2 + х – 3)

6. Представьте в виде произведения: 3х 3 – 2х 2 – 6х + 4.

1) (х 2 + 2)(3х + 2) 3) (х 2 + 2)(3х – 2)

2) (х 2 – 2)(3х + 2) 4) (х 2 – 2)(3х – 2)

7. Представьте в виде произведения выражение: а(х – у) ─2b(у – х)

1) (х – у)(а ─ 2b) 3) (х – у)(а + 2b)

2) (у – х)(а ─ 2b) 4) (у – х)(а + 2)

IV вариант

1. Найдите значение многочлена ─ 8а 2 – 2ах – х 2 – (─4а 2 – 2ах – х 2) при а= ─, х= ─ 2 .

2. Упростите выражение: ─ 5а – (2а – (3а – 5)).

4. Выполните умножение: ─4а ∙ (─5а 2 + 2а – 1).

6. Представьте в виде многочлена: (3х – 2)(─x 2 + х – 4).

1) ─3х 3 + 5х 2 – 10х – 8 3) ─3х 3 + 3х 2 – 14х + 8

2) ─3х 3 + 3х 2 – 12х 4) ─3х 3 + 5х 2 – 14х + 8

7. Представьте в виде произведения выражение: 2с(b – а) – d(а – b)

1) (а – b)(2с – d) 3) (b – а)(2с – d) 2) (b – а)(2с + d) 4) (а – b)(2с + d)

№ задания № варианта

VI. Итоги урока

В ходе урока каждый учащийся получает несколько оценок. Учащийся сам оценивает свои знания, сравнивая их со знаниями других. Оценка группы более эффективна, так как эта оценка обсуждается всеми членами группы. Ребята указывают на недостатки и недочёты в работе членов группы. Все оценки заносятся в рабочую карту старшим по группе.

Учитель выставляет итоговую оценку, сообщая её всему классу.

VII. Домашнее задание:

1. Выполните действия:

а) (а 2 + 3аb─b 2)(2а – b);
б) (х 2 + 2ху – 5у 2)(2х 2 – 3у).

2. Решите уравнение:

а) (3х – 1)(2х + 7) ─ (х + 1)(6х – 5) = 16;
б) (х – 4)(2х2 – 3х + 5) + (х2 – 5х + 4)(1 – 2х) = 20.

3. Если одну сторону квадрата уменьшить на 1,2 м, а другую на 1,5 м, то площадь полученного прямоугольника будет на 14,4 м 2 меньше площади данного квадрата. Определить сторону квадрата.

- многочленами . В этой статье мы изложим все начальные и необходимые сведения о многочленах. К ним, во-первых, относится определение многочлена с сопутствующими определениями членов многочлена, в частности, свободного члена и подобных членов. Во-вторых, остановимся на многочленах стандартного вида, дадим соответствующее определение и приведем их примеры. Наконец, введем определение степени многочлена, разберемся, как ее найти, и скажем про коэффициенты членов многочлена.

Навигация по странице.

Многочлен и его члены – определения и примеры

В 7 классе многочлены изучаются сразу после одночленов, это и понятно, так как определение многочлена дается через одночлены. Дадим это определение, объясняющее что такое многочлен.

Определение.

Многочлен – это сумма одночленов; одночлен считается частным случаем многочлена.

Записанное определение позволяет привести сколько угодно примеров многочленов. Любой из одночленов 5 , 0 , −1 , x , 5·a·b 3 , x 2 ·0,6·x·(−2)·y 12 , и т.п. является многочленом. Также по определению 1+x , a 2 +b 2 и - это многочлены.

Для удобства описания многочленов вводится определение члена многочлена.

Определение.

Члены многочлена – это составляющие многочлен одночлены.

Например, многочлен 3·x 4 −2·x·y+3−y 3 состоит из четырех членов: 3·x 4 , −2·x·y , 3 и −y 3 . Одночлен считается многочленом, состоящим из одного члена.

Определение.

Многочлены, которые состоят из двух и трех членов, имеют специальные названия – двучлен и трехчлен соответственно.

Так x+y – это двучлен, а 2·x 3 ·q−q·x·x+7·b – трехчлен.

В школе наиболее часто приходится работать с линейным двучленом a·x+b , где a и b – некоторые числа, а x – переменная, а также с квадратным трехчленом a·x 2 +b·x+c , где a , b и c – некоторые числа, а x – переменная. Вот примеры линейных двучленов: x+1 , x·7,2−4 , а вот примеры квадратных трехчленов: x 2 +3·x−5 и .

Многочлены в своей записи могут иметь подобные слагаемые . Например, в многочлене 1+5·x−3+y+2·x подобными слагаемыми являются 1 и −3 , а также 5·x и 2·x . Они имеют свое особое название – подобные члены многочлена.

Определение.

Подобными членами многочлена называются подобные слагаемые в многочлене.

В предыдущем примере 1 и −3 , как и пара 5·x и 2·x , являются подобными членами многочлена. В многочленах, имеющих подобные члены, можно для упрощения их вида выполнять приведение подобных членов .

Многочлен стандартного вида

Для многочленов, как и для одночленов, существует так называемый стандартный вид. Озвучим соответствующее определение.

Исходя из данного определения, можно привести примеры многочленов стандартного вида. Так многочлены 3·x 2 −x·y+1 и записаны в стандартном виде. А выражения 5+3·x 2 −x 2 +2·x·z и x+x·y 3 ·x·z 2 +3·z не являются многочленами стандартного вида, так как в первом из них содержатся подобные члены 3·x 2 и −x 2 , а во втором – одночлен x·y 3 ·x·z 2 , вид которого отличен от стандартного.

Заметим, что при необходимости всегда можно привести многочлен к стандартному виду .

К многочленам стандартного вида относится еще одно понятие – понятие свободного члена многочлена.

Определение.

Свободным членом многочлена называют член многочлена стандартного вида без буквенной части.

Иными словами, если в записи многочлена стандартного вида есть число, то его называют свободным членом. Например, 5 – это свободный член многочлена x 2 ·z+5 , а многочлен 7·a+4·a·b+b 3 не имеет свободного члена.

Степень многочлена – как ее найти?

Еще одним важным сопутствующим определением является определение степени многочлена. Сначала определим степень многочлена стандартного вида, это определение базируется на степенях одночленов , находящихся в его составе.

Определение.

Степень многочлена стандартного вида – это наибольшая из степеней входящих в его запись одночленов.

Приведем примеры. Степень многочлена 5·x 3 −4 равна 3 , так как входящие в его состав одночлены 5·x 3 и −4 имеют степени 3 и 0 соответственно, наибольшее из этих чисел есть 3 , оно и является степенью многочлена по определению. А степень многочлена 4·x 2 ·y 3 −5·x 4 ·y+6·x равна наибольшему из чисел 2+3=5 , 4+1=5 и 1 , то есть, 5 .

Теперь выясним, как найти степень многочлена произвольного вида.

Определение.

Степенью многочлена произвольного вида называют степень соответствующего ему многочлена стандартного вида.

Итак, если многочлен записан не в стандартном виде, и требуется найти его степень, то нужно привести исходный многочлен к стандартному виду, и найти степень полученного многочлена – она и будет искомой. Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите степень многочлена 3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 .

Решение.

Сначала нужно представить многочлен в стандартном виде:
3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 = =(3·a 12 −2·a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2 .

В полученный многочлен стандартного вида входят два одночлена −2·a 2 ·b 2 ·c 2 и y 2 ·z 2 . Найдем их степени: 2+2+2=6 и 2+2=4 . Очевидно, наибольшая из этих степеней равна 6 , она по определению является степенью многочлена стандартного вида −2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2 , а значит, и степенью исходного многочлена. , 3·x и 7 многочлена 2·x−0,5·x·y+3·x+7 .

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Урок на тему: "Понятие и определение многочлена. Стандартный вид многочлена"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 7 класса
Электронное учебное пособие по учебнику Ю.Н. Макарычева
Электронное учебное пособие по учебнику Ш.А. Алимова

Ребята, вы уже изучали одночлены в теме: Стандартный вид одночлена. Определения. Примеры. Давайте повторим основные определения.

Одночлен – выражение, состоящие из произведения чисел и переменных. Переменные могут быть возведены в натуральную степень. Одночлен не содержит ни каких других действий, кроме умножения.

Стандартный вид одночлена – такой вид, когда на первом месте стоит коэффициент (числовой множитель), а за ним степени различных переменных.

Подобные одночлены – это либо одинаковые одночлены, либо одночлены, которые отличаются друг от друга на коэффициент.

Понятие многочлена

Многочлен, как и одночлен, - это обобщенное название математических выражений определенного вида. Мы уже сталкивались с такими обобщениями ранее. Например, "сумма", "произведение", "возведение в степень". Когда мы слышим "разность чисел", нам и в голову не придет мысль об умножении или делении. Также и многочлен - это выражение строго определенного вида.

Определение многочлена

Многочлен - это сумма одночленов.

Одночлены, входящие в состав многочлена, называются членами многочлена . Если слагаемых два, то мы имеем дело с двучленом, еcли три, то с трехчленом. Если слагаемых больше говорят - многочлен.

Примеры многочленов.

1) 2аb + 4сd (двучлен);

2) 4аb + 3сd + 4x (трехчлен);

3) 4а 2 b 4 + 4с 8 d 9 + 2xу 3 ;

3с 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xу - 5xy 2 .

Посмотрим внимательно на последние выражение. По определению, многочлен это - сумма одночленов, но в последнем примере мы не только складываем, но и вычитаем одночлены.
Чтобы внести ясность рассмотрим небольшой пример.

Запишем выражение а + b - с (договоримся, что а ≥ 0, b ≥ 0 и с ≥0 ) и ответим на вопрос: это сумма или разность? Сложно сказать.
Действительно, если переписать выражение, как а + b + (-с) , мы получим сумму двух положительных и одного отрицательного слагаемых.
Если посмотреть на наш пример, то мы имеем дело именно с суммой одночленов с коэффициентами: 3, - 2, 7, -5. В математике есть термин "алгебраическая сумма". Таким образом, в определении многочлена имеется в виду "алгебраическая сумма".

А вот запись вида 3а: b + 7с многочленом не является потому, что 3а: b не является одночленом.
Не является многочленом и запись вида 3b + 2а * (с 2 + d), так как 2а * (с 2 + d) - не одночлен. Если раскрыть скобки, то полученное выражение будет являться многочленом.
3b + 2а * (с 2 + d) = 3b + 2ас 2 + 2аd.

Степенью многочлена является наивысшая степень его членов.
Многочлен а 3 b 2 +а 4 имеет пятую степень, так как степень одночлена а 3 b 2 равна 2 + 3= 5, а степень одночлена а 4 равна 4.

Стандартный вид многочлена

Многочлен, не имеющий подобных членов и записанный в порядке убывания степеней членов многочлена, является многочленом стандартного вида.

Многочлен приводят к стандартному виду, что бы убрать излишнюю громоздкость написания и упростить дальнейшие действия с ним.

Действительно, зачем к примеру писать длинное выражение 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2а 2 + а 2 + 4 + 4, когда его можно записать короче 9b 2 + 3а 2 + 8 .

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, надо:
1. привести все его члены к стандартному виду,
2. сложить подобные (одинаковые или с разным числовым коэффициентом) члены. Данная процедура часто называется приведением подобных .

Пример.
Привести многочлен аba + 2у 2 х 4 х + у 2 х 3 х 2 + 4 + 10а 2 b + 10 к стандартному виду.

Решение.

а 2 b + 2 х 5 у 2 + х 5 у 2 + 10а 2 b + 14= 11а 2 b + 3 х 5 у 2 + 14.

Определим степени одночленов, входящих в состав выражения, и расставим их в порядке убывания.
11а 2 b имеет третью степень, 3 х 5 у 2 имеет седьмую степень, 14 – нулевую степень.
Значит, на первое место мы поставим 3 х 5 у 2 (7 степень), на второе - 12а 2 b (3 степень) и на третье - 14 (нулевая степень).
В итоге получим многочлен стандартного вида 3х 5 у 2 + 11а 2 b + 14.

Примеры для самостоятельного решения

Привести к стандартному виду многочлены.

1) 4b 3 аa - 5х 2 у + 6ас - 2b 3 а 2 - 56 + ас + х 2 у + 50 * (2 а 2 b 3 - 4х 2 у + 7ас - 6);

2) 6а 5 b + 3х 2 у + 45 + х 2 у + аb - 40 * (6а 5 b + 4ху + аb + 5);

3) 4ах 2 + 5bс - 6а - 24bс + хаx 4 x (5ах 6 - 19bс - 6а);

4) 7аbс 2 + 5асbс + 7аb 2 - 6bаb + 2саbс (14аbс 2 + аb 2).

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.

Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида .

За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.

Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

На этом уроке мы продолжим изучать математические конструкции, которые будут использоваться для решения различных задач, в частности уравнений и неравенств. Мы уже поговорили об одночленах и знаем, что сумма одночленов - это многочлен. Теперь мы поговорим о свойствах многочленов, о том, как приводить их к стандартному виду и выполнять с ними различные арифметические действия.

На прошлом уроке мы ввели новую конструкцию: многочлен - сумма одночленов.

Например,

Зачем нужны многочлены

Мобильный телефон - очень удобное и полезное устройство. С его помощью можно не только звонить и писать СМС, но и сидеть в интернете, социальных сетях, играть в разные игры. В общем, скучным и бесполезным его точно не назовёшь.

А видели ли вы, как производят телефоны? Большой завод, на котором штампуются разные непонятные микросхемы, пластмассовые детали, затем всё это соединяется. В целом и общем - рутинное, однотипное занятие, не всегда даже понятно, зачем та или иная деталь нужна, как она помогает телефону выполнять свои функции.

И это касается не только телефонов. Почти любой полезный результат, который мы наблюдаем, скрывает за собой много рутинной работы. Фигуристы, чтобы показать минут красивой программы, ежедневно по несколько десятков раз выполняют одни и те же упражнения и т. д.

В математике всё то же самое. Мы знаем, что с помощью уравнений можно решить большое количество прикладных задач. Значит, научиться решать уравнения полезно. Но для того чтобы научиться их решать, нужно уметь преобразовывать выражения. А для этого, в частности, нужно уметь работать с разными выражениями, например многочленами.

Терминология

Мы говорим: «многоэтажный дом», потому что в нём «много этажей». Аналогично многочлен - это «много членов».

Например, членами многочлена являются и .

В данном примере два одночлена, в таких случаях многочлен называют двучленом . Если их три - то трехчленом (например, ).

Обратите внимание, что, когда мы называли члены многочлена, мы назвали именно , а не . Поскольку многочлен - это СУММА одночленов, то знак минус относится к числовому коэффициенту одночлена: .

Для наглядности можно воспользоваться эквивалентной записью этого же многочлена:

Для удобства классификации одночлены («сумма одного члена») также относят к многочленам. И в этом нет ничего странного. Например, в кафе столик для официанта занят независимо от того, сидит за ним 1 человек или 10. Или заказ для таксиста: не важно, сколько поедут человек: 1, 2, 3 или 4.

Таким образом, для описания структуры многочленов можно использовать следующую иллюстрацию:

Рис. 1. Структура многочленов

В зависимости от задачи число 3 можно представлять различными способами:

Но работать с числами, которые записаны по-разному, неудобно. Поэтому запись в десятичной системе счисления принято считать стандартной (для такой записи есть алгоритмы выполнения арифметических операций, можно сравнивать числа друг с другом и т. д.).

Мы уже вводили стандартный вид для одночленов. Естественно ввести такой стандарт и для многочленов.

Многочлен можно записать разными способами:

Нужно выбрать такой способ записи, чтобы было удобно выполнять различные арифметические операции с многочленами.

Многочлен может содержать в себе подобные одночлены. На прошлом уроке мы уже научились складывать подобные одночлены, поэтому естественно, когда они встречаются в многочлене, их сложить, тем самым упростив многочлен:

Если в многочлене привести (т. е. сложить) все подобные одночлены, а также записать их в стандартном виде, то мы получим многочлен стандартного вида.

Многочлен, который состоит из одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных, называют многочленом стандартного вида .

Например,

Зачем тренировать технику?

На самом деле, ничего сложного в работе с многочленами (приведение к стандартному виду, арифметические операции с многочленами) нет.

Алгоритмы действий (которые мы в дальнейшем изучим и потренируемся применять) легко программируются, поэтому сегодня всю техническую работу можно поручить компьютеру.

Но мы отрабатываем навыки работы с различными выражениями, чтобы в дальнейшем применять их для решения, например, уравнений, которые возникают при работе над различными прикладными задачами.

Пример 1.

Выбрать среди многочленов те, которые записаны в стандартном виде:

В многочлене содержится одночлен , записанный не в стандартном виде;

- в многочлене содержится одночлен , записанный не в стандартном виде;

В многочлене не все одночлены подобного вида приведены (а именно );

В многочлене не все одночлены подобного вида приведены (а именно ).

Таким образом, многочленами стандартного вида являются:

Ответ: .

Пример 2.

Привести многочлены к стандартному виду:

Итак, мы ввели новый объект - многочлены. Научимся с ними работать, т. е. выполнять арифметические действия.

Степень многочлена

Числа похожи: в них по три цифры. А вот числа и различаются: в одном 5 цифр, в другом - 2. Т. е. числа можно классифицировать по количеству цифр, в них входящих.

Для многочленов, записанных в стандартном виде, можно ввести подобную классификацию - по степени старшего слагаемого. Для этого вводят понятие степени.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, из которых этот многочлен состоит.

Многочлены, которые тождественно равны 0, называют ноль-многочленами .

Например:

У таких многочленов степени нет.

Пример 1.

Определить степень многочленов:

Многочлен второй степени, т. к. степень одночлена - вторая, а - нулевая;

- многочлен шестой степени, поскольку степень одночлена - это сумма показателей всех переменных, которые в него входят: ;

Многочлен нулевой степени;

Нет степени.

Ответ: 2; 6; 0; нет степени.

Почему говорят именно о степени многочлена стандартного вида? - это многочлен первой степени, а - ?

Если бы в определении степени многочлена не было слова «стандартный», то ответ был бы . Но понятно, что оба этих многочлена эквивалентны, поэтому степень у них должна быть одинакова:

Поэтому говорят именно о степени многочлена стандартного вида (и это ещё один пример пользы введения стандартного вида многочлена).

Как раскрыть скобки, перед которыми стоит минус?

Вова, Володя, Владимир - разные записи одного и того же имени.

Это сокращённая запись выражения .

Тогда запись - сокращённая запись выражения .

Такое умножение мы можем выполнить, пользуясь распределительным законом:

Т. е. мы получим:

Так можно поступать при раскрытии любых скобок, перед которыми стоит знак минус. Кроме того, можно заметить и запомнить, что в таком случае нужно поменять знак перед каждым слагаемым.

Пример 3.

Упростить выражения:

Вспомним, что если перед скобками стоит знак «», то скобки просто можно опустить, а если знак «», то все слагаемые в скобках меняют свой знак на противоположный.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Запишем распределительный закон:

Пример 4.

Упростить выражения:

Используем распределительный закон.