1.3 6 линейные неравенства с одной переменной. Урок: «Решение неравенств с одной переменной
Предложения 2х+7>10-х, х 2 +7х<2, (х+2)(2х-3)> 0 называют неравенствами с одной переменной.
В общем виде это понятие определяют так:
Определение .Пусть f(х) и q(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство вида f(х) < q(х) или f(х) > q(х) называется неравенством с одной переменной. Множество Х называется областью его определения.
Значение переменной х из множества X, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением.Решить неравенство - это значит найти множество его решений.
Так, решением неравенства 2х +7>10-х , х Î R является число х=5, так как 2×5+7>10-5- истинное числовое неравенство. А множество его решений - это промежуток (1, ¥), который находят, выполняя преобразование неравенства: 2х+7>10-х Þ 3х> Þ х>1.
В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.
Определение. Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.
Например , неравенства 2х+7>10 и 2х>3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток
Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогичны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используется свойства истинных числовых неравенств.
Теорема 3 . Пусть неравенство f(х) > q(х) задано на множестве Х и h(х) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f(х) > q(х) и f(х)+ h(х) > q(х)+ h(х) равносильны на множестве X.
Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:
1) Если к обеим частям неравенства f(х) > q(х) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(х)+ d > q(х)+ d, равносильное исходному.
2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
Теорема 4. Пусть неравенство f(х) > q(х) задано на множестве Х и h(х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества Х выражение h(х) принимает положительные значения. Тогда неравенства f(х)× h(х) > q(х)× h(х) равносильны на множестве X.
Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > q(х)умножить на одно и то же положительное число d, то получим неравенство f(х)× d > q(х)× d , равносильное данному.
Теорема 5 . Пусть неравенство f(х) > q(х) задано на множестве Х и h(х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества Х выражение h(х) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(х) > q(х) b f(х)× h(х) < q(х)× h(х) равносильны на множестве X.
Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > q(х) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(х)× d < q(х) × d, равносильное данному.
Решим неравенство 5х - 5 < 2х - 16,х Î R ,и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.
х и областью определения Х . Тогда неравенство вида f (x ) > g (x ) или f (x ) < g (x ) называется неравенством с одной переменной . Множество Х называется областью его определения.Значение переменной х из множества Х , при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Решить неравенство - это значит найти множество его решений.
В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.
Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.
Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогичны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.
Теорема 1. Пусть неравенство f (x ) > g (x ) задано на множестве Х и h (x ) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f (x ) > g (x ) и f (x ) + h (x ) > g (x ) + h (x ) равносильны на множестве Х .
Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используют при решении неравенств:
1) Если к обеим частям неравенства f (x ) > g (x ) прибавить одно и то же число d , то получим неравенство f (x ) + d > g (x ) + d , равносильное исходному.
2) Если какое-либо слагаемое ( или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
Теорема 2. Пусть неравенство f (x ) > g (x ) задано на множестве Х и h (x х из множества Х выражение h (x ) принимает положительные значения. Тогда неравенства f (x ) > g (x ) и f (x ) × h (x ) > g (x ) × h (x ) равносильны на множествеХ .
Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f (x ) > g (x ) умножить на одно и то же положительное число d , то получим неравенство f (x ) × d > g (x ) × d , равносильное данному.
Теорема 3. Пусть неравенство f (x ) > g (x ) задано на множестве Х и h (x ) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества Х выражение h (x ) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f (x ) > g (x ) и f (x ) × h (x ) < g (x ) × h (x ) равносильны на множестве Х .
Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f (x ) > g (x ) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f (x ) × d < g (x ) × d , равносильное данному.
Задача. Является ли число х = 5 решением неравенства 2х + 7 > 10 - х, х Î R ? Найти множество решений этого неравенства.
Решение.
Число х
= 5 является решением неравенства
2х
+ 7 > 10 - х
, так как 2×5 + 7 > 10 - 5 - истинное числовое неравенство. А множество его решений - это промежуток (1; ¥), который находят, выполняя преобразование неравенства 2х
+ 7 > 10 - х
Þ
3х
> 3 Þ х
> 1.
Задача. Решить неравенство 5х - 5 < 2х + 16 и обосновать все преобразования, которые будут выполняться в процессе решения.
Решение.
Преобразования | Обоснование преобразований |
1. Перенесем выражение 2х в левую часть, а число -5 в правую, поменяв их знаки на противоположные: 5х - 2х < 16 + 5. | Воспользовались следствием 2 из теоремы 3, получили неравенство, равносильное исходному. |
2. Приведем подобные члены в левой и правой частях неравенства: 3х < 21. | Выполнили тождественные преобразования выражений в левой и правой частях неравенства - они не нарушили равносильности неравенств: данного и исходного. |
3. Разделим обе части неравенства на 3: х < 7. | Воспользовались следствием из теоремы 4, получили неравенство, равносильное исходному. |
УРОК: «РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»
Предмет:
Алгебра
Тема:
Решение неравенств с одной переменной
Цели урока:
Образовательные:
организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению таких понятий как решение неравенств с одной переменной, равносильное неравенство, решить неравенство; проверить умение учащихся применять полученные знания и навыки на прошлых уроках для решения поставленных задач на данном уроке.
Воспитательные:
развивать интерес к математике путем использования в практике ИКТ; воспитывать познавательные потребности учащихся; формировать такие личные качества как ответственность, настойчивость в достижении цели, самостоятельность.
Ход урока
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания (Актуализация опорных знаний)
1. Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков: а) (1;8) и (5;10); б) (-4;4) и [-6;6]; в) (5;+∞) и [-∞;4]
Ответ: а) (1;5); б) (-4;4); в) пересечений нет
2. Запишите промежутки, изображенные на рисунке:
2) 
3) 
Ответ: 1) (2; 6); б) (-1;7]; в) .
Пример3 , решим неравенство 3(х-1)<-4+3х.
Раскроем скобки в левой части неравенства: 3х-3<-4+3х.
Перенесем с противоположными знаками слагаемое 3х из правой части в левую, а слагаемое -3 из левой части в правую и приведем подобные члены: 3х-3х<-4+3,
Как видим, данное числовое неравенство не является верным ни при каких значениях х. Значит, наше неравенство с одной переменной не имеет решения.
Тренажер
Решите неравенство и отметьте его решение:
f) 7x-2,4<0,4;
h) 6b-1<12-7b;
i) 16x-44>x+1;
k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);
l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.
Ответ: a) (-8; +∞); b) [-1,5; +∞); c) (5; +∞); d) (-∞; 3); e) (-∞; -0,25); f) (-∞; 0,4); g) [-5; +∞); h) (-∞; 1); i) (3; +∞); j) ; l) (2; +∞).
IV. Выводы
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считаются равносильными. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный. В остальных случаях он остается прежний.
V. Итоговое тестирование
1) Решением неравенства с одной переменной называется…
а) значение переменной, которое обращает его в верное неравенство;
б) значение переменной, которое обращает его в верное числовое
неравенство;
в) переменная, которая обращает его в верное числовое неравенство.
2) Какие из чисел являются решением неравенства 8+5у>21+6у:
а) 2 и 5 б) -1 и 8 в) -12 и 1 г) -15 и -30 ?
3) Укажите множество решений неравенства 4(х+1)>20:
а) (- ∞; 4); б) (4; +∞); в) и луч , ∪ ; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
С одной переменной: что такое равносильные неравенства; какие преобразования неравенств являются равносильными, а какие - нет. Эти вопросы мы обсуждали в курсе алгебры, начиная с 8-го класса, да и в настоящем учебнике о них уже шла речь, например, при решении показательных и логарифмических неравенств. Мы снова возвращаемся к этим вопросам потому, что завершая изучение школьного курса алгебры, целесообразно как бы заново переосмыслить общие идеи и методы.
1. Равносильность неравенств
Напомним, что решением неравенства а(х) > п(х) называют всякое значение переменной х, которое обращает заданное неравенство с переменной в верное числовое неравенство. Иногда используют термин частное решение. Множество всех частных решений неравенства называют общим решением, но чаще употребляют термин решение. Таким образом, термин решение используют в трех смыслах: и как общее решение, и как частное решение, и как процесс, но обычно по смыслу бывает ясно, о чем идет речь.
Определение 1. Два неравенства с одной переменной f(x)>g(x)и p(х)> h(x) называют равносильными, если их решения (т.е. множества частных решений) совпадают.
Вы, конечно, понимаете, что использование в определении знака > непринципиально. Можно и в этом определении, и во всех утверждениях, имеющихся в данном параграфе, использовать любой другой знак неравенства, как строгого, так и нестрогого.
Определение 2. Если решение неравенства
содержится в решении неравенства
то неравенство (2) называют следствием неравенства (1)
Например, неравенство х 2 >9 является следствием неравенства 2х>6. В самом деле, преобразовав первое неравенство к виду х 2 -9 >0и далее к виду (х-3)(х+3) >0 и применив метод интервалов (рис. 245), получаем, что решением неравенства служит объединение двух открытых лучей: 
Решение второго неравенства 2х>6 имеет вид х>3, т.е. представляет собой открытый луч Решение второго неравенства является частью решения первого неравенства, а потому первое неравенство - следствие второго.
Любопытно, что ситуация изменится радикальным образом, если в обоих неравенствах изменить знак неравенства. Неравенство 2х < 6 будет следствием неравенства x 2 < 9. В самом деле, решением первого неравенства служит открытый луч . Преобразовав второе неравенство к виду х r - 9 <0 и далее к виду (х-3)(х+3) <06 применив метод интервалов (см. рис. 245), получаем, что решением неравенства служит интервал (-3, 3). Решение второго неравенства является частью решения первого неравенства, а потому первое неравенство - следствие второго.
