Зависимость между синусом косинусом тангенсом. Основные тригонометрические тождества. Объяснение нового материала

Земной поверхности. На суше равнины занимают около 20% площади, наиболее обширные из них приурочены и .Все равнины характеризуются малыми колебаниями высот и незначительными уклонами (склоны достигают 5°). По абсолютной высоте различают следующие равнины: низменности - абсолютная высота их от 0 до 200 м (Амазонская);

возвышенности - от 200 до 500 м над уровнем океана (Среднерусская);
нагорные, или плоскогорья - свыше 500 м над уровнем океана ();
равнины, лежащие ниже уровня океана, называются депрессиями (Прикаспийская).

По общему характеру поверхности равнины бывают горизонтальные, выпуклые, вогнутые, плоские, холмистые.

По происхождению равнин различают следующие типы:

морские аккумулятивные (см. ). Такова, например, низменность с ее осадочным чехлом из морских молодых напластований;
материковые аккумулятивные . Они образовались следующим образом: у подножия гор отлагаются выносимые с них потоками воды продукты разрушения . Такие равнины имеют небольшой наклон к уровню моря. К ним чаще всего относят краевые низменности;
речные аккумулятивные . Они образуются вследствие отложения и накопления рыхлых пород, принесенных ();
абразионные равнины (см. Абразия). Они возникли в результате разрушения берегов деятельностью моря. Эти равнины возникают тем быстрее, чем слабее горные породы и чаще волнения, ;
структурные равнины . Они имеют очень сложное происхождение. В далеком прошлом они были горными странами. В течение миллионов лет горы разрушались внешними силами, иногда до стадии почти равнин (пенепленов), затем в результате возникли трещины, разломы, по которым излилась на поверхность ; она, как броня, прикрыла прежние неровности рельефа, ее же собственная поверхность сохранилась ровной или ступенчатой в результате излияния траппов. Это и есть структурные равнины.

Поверхность равнин, получающих достаточное увлажнение, расчленена долинами рек, испещрена сложными системами балок и .

Изучение происхождения равнин и современных форм их поверхности имеет очень важное хозяйственное значение, так как равнины густо заселены и освоены человеком. На них располагается множество населенных пунктов, густая сеть путей сообщения, большие и угодья. Поэтому именно с равнинами приходится иметь дело при освоении новых территорий, проектировании строительства населенных пунктов, путей сообщения, промышленных предприятий. В результате хозяйственной деятельности человека рельеф равнин может существенно меняться: засыпаются овраги, сооружаются насыпи, при добыче открытым способом образуются карьеры, а около шахт вырастают созданные человеком холмы из пустой породы - терриконы.

На изменение рельефа равнин океана влияют:

, извержения , разломы земной коры. Создаваемые ими неровности преобразуются внешними процессами. Осадочные породы, оседая на дно, выравнивают его. Больше всего накапливается у подножия материкового склона. В центральных же частях океана этот процесс происходит медленно: за тысячу лет создается слой в 1 мм;
природные течения, которые размывают и переносят рыхлые породы, иногда образуют подводные дюны.

Наиболее крупные равнины на Земле

Какие бывают равнины?

Крупные равнины мира - объект изучения специалистов. Равнинные местности по-настоящему восхищают своей красотой и величием. Это подтверждают все, кто видел подобного рода местности не только на карте.

Мало кто знает о том, где расположены самые крупные равнины мира, и какие из равнин являются самыми обширными. Равнина - тип рельефа местности, для которого характерно небольшое колебание высоты. Все равнины делятся на низменности, плоскогорья и возвышенности. Низменности располагаются на расстоянии до 200 метров над основным уровнем моря. Возвышенности располагаются на расстоянии свыше 500 метров над основным уровнем моря. Все, что находится между этими уровнями, является плоскогорьем.

Амазонская низменность и равнина Гоби

Преподаватели географии знают о том, что самая большая и величественная равнина в мире - Амазонская низменность. Ее площадь составляет более 5 миллионов квадратных километров. Равнина поднимается на 10-100 метров над основным уровнем моря. Амазонская низменность располагается в Южной Америке и простирается от Атлантического океана до самой полноводной реки в мире - Амазонки. Практически вся площадь равнины занята влажными экваториальными лесами. Второй по протяженности является равнина Гоби, которая носит название одноименной пустыни.

Равнина Гоби расположена в Центральной Азии. Она является плоскогорьем и зажата со всех сторон горными хребтами. На территории Гоби есть и каменистые поверхности, и поверхности, на которых растут растения, которые можно встретить только в этом уголке земного шара. Здешний климат достаточно суров, так как равнина находится на высоте примерно 1000 метров над основным уровнем моря. Очень большие по своей протяженности равнины находятся на территории пустыни Сахара. Сахара - самая большая пустыня на земле. Ее площадь насчитывает около 8 миллионов квадратных километров, что вполне сопоставимо с таким континентом, как Австралия. Вся территория Сахары представляет из себя равнины, которые пересекают сухие русла рек.

Восточно-африканское плоскогорье

Самая крупная равнина Африканского континента- восточно африканское плоскогорье. Его протяженность составляет более 17000 километров в длину. Большую протяженность имеет и Западно-Сибирская низменность. Она представляет из себя бывший бассейн Северного Ледовитого океана. На территории равнины есть очень много озер, болот. Это обусловлено в первую очередь ее происхождением, а также тем, что она расположена на расстоянии 10-12 метров над основным уровнем моря. Примечательно то, что здесь расположены все самые известные месторождения нефти и газа в России. Восточно-Европейскую равнину еще называют "Русской". Она располагается вблизи Уральских гор. На ее территории также расположены богатейшие месторождения полезных ископаемых.

Самое крупное месторождение - Курская магнитная аномалия. На каждом континенте можно найти свои равнины, которые для данного материка будут самыми крупными. Все они заслуживают определенного внимания со стороны ученых исследователей. Некоторые из них привлекают своей красотой тысячи туристов, которые желают своими глазами увидеть хоть малую часть величественной равнины. Именно поэтому через некоторые плоскогорья очень популярно прокладывать туристические маршруты.

Самые крупные равнины мира вызывают восторг и восхищение. Тем, кто любит путешествовать, можно посоветовать выбрать туристический маршрут, проходящий через одну из этих равнин.

Сейчас многие специалисты изучают самые большие равнины в мире. Эти равнины восхищают своей необыкновенной красотой. Не многие знают о том, где расположены самые большие равнины на Земле. А назвать самые большие равнины России не сможет каждый россиянин.

Равнина является таким типом рельефа местности, для которого чаще всего характерные небольшие колебания высоты. Равнины можно подразделить на низменности, возвышенности и плоскогорья. Равнина-низменность находится на расстоянии до 200 метров над уровнем моря. Возвышенности находятся на расстоянии большее 500 метров над уровнем моря, а равнины, которые находятся между двумя этими расстояниями, будут называться плоскогорьем.

Самая большая по площади равнина – это Амазонская низменность. Она имеет площадь более 5 миллионов квадратных километров и расположена эта равнина на 10-100 метров над уровнем моря. Амазонская низменность находится в Южной Америке и тянется от Атлантического океана до самой большой реки Амазонки. На всей площади этой самой большой равнины в мире растут влажные экваториальные леса.

Вторая по протяженности самая большая равнина на Земле – это Гоби. Пустыня Гоби расположена в Центральной Азии и является плоскогорьем, так как со всех ее сторон присутствуют горные хребты. На территории этой равнины есть и каменистые поверхности, а также поверхности, где растут растения. Эти растения можно встретить только здесь. А все потому, что пустыня имеет суровый климат. Эта равнина расположена на высоте около 1000 метров над уровнем моря.

Еще одной самой большой равниной в мире является пустыня Сахара. Пустыня имеет площадь 8 миллионов квадратных километров и на ее территории имеются несколько равнин. Эта пустыня может занять территорию всего материка Австралия. Равнины на территории пустыни пересекаются руслами рек. В Африке самой большой равниной является восточноафриканское плоскогорье. Оно имеет протяженность 17 000 километров в длину.

Самой большой равниной в России считается Западносибирская низменность. Это бывший бассейн Северного Ледовитого океана, поэтому на ее территории большое количество рек и озер. Равнина находится на уровне 10-12 метров. Стоит отметить, что на этой равнине находятся все самые известные месторождения нефти и газа, которые существуют в России. Самые большие равнины России список можно продолжать. Еще одной равниной является Восточно-Европейская, которая также имеет название “Русская”. Равнина расположена недалеко от Уральских гор. На своей территории она также имеет самые богатые месторождения полезных ископаемых. Самым крупным из них является Курская магнитная аномалия.

Практически на всех континентах существуют самые большие равнины. Они все заслуживают внимания исследователей. Многие из них привлекают своей красотой туристов, которые сами хотят увидеть величественные равнины мира. Поэтому через многие известные равнины прокладывают туристические маршруты.

Тема: Тригонометрические формулы (25 часов)
Урок 6 – 7: Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.
Цель: изучить зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Для достижения поставленной цели необходимо:

Знать:

формулировки определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса); знаки тригонометрических функций по четвертям; множество значений тригонометрических функций; основные формулы тригонометрии.

Понимать:

что пользоваться основным тригонометрическим тождеством можно только для одного и того же аргумента; алгоритм вычисления одной тригонометрической функции через другую.

Применить:

простыми дробями

Анализ:

анализировать ошибки в логике рассуждения.

Синтез:

предложить свой способ решения примеров; составить кроссворд, используя полученные знания.

Оценка:

знаний и умений по данной теме для использования в других разделах алгебры.

Оборудование: макет тригонометрической окружности, раздаточный справочный материал с формулами и таблицами значений тригонометрических функций, компьютер, мультимедийный проектор, презентация, листы с заданиями для самостоятельной работы.Ход урока:

Организационный момент.

Приветствие. Сообщение цели урока и плана работы на уроке.

Актуализация знаний и умений.

Учащимся раздаются карты урока и даются пояснения как с ними работать. На экран выводятся вопросы; учащиеся записывают ответы в тетрадь; преподаватель выводит на экран правильный ответ. После окончания опроса учащиеся выставляют баллы в карту урока для Задания № 1.

В какой четверти находится угол в 1 радиан и чему он примерно равен? (В I четверти, 1 рад. 57,3 0).

Какое слово пропущено в определение функции синус? Синусом угла  называется............ точки единичной окружности. (Ордината)

Какое слово пропущено в определении функции косинус? Косинусом угла  называется............ точки единичной окружности (Абсцисса).

Какие значения может принимать синус?

()

Объяснение нового материала.

зобразим единичную окружность с центром в точке О. Пусть при повороте радиуса ОА, равного R, на угол  получен радиус ОВ (рис. 5). Тогда по определению

где

– абсцисса точки В,

– ее ордината. Отсюда следует, что Точка В принадлежит окружности. Поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению

Воспользовавшись тем, что получим

(1). Мы получили равенство справедливое при любых значениях входящих в него букв. Как называются такие равенства? Правильно – тождества. Равенство (1) называется основным тригонометрическим тождеством. В равенстве (1)  может принимать любые значения. Самостоятельно завершите запись:
1.
Проверьте правильность вашей записи. Выставите себе баллы в карту урока для Задания № 2. Продолжаем. Мы вывели основное тригонометрическое тождество, а для чего оно нам нужно? Правильно – для нахождения по одному известному нам значению синуса значение косинуса и наоборот. Вот теперь мы с вами всегда сможем пользоваться основным тригонометрическим тождеством, но главное – для одного и того же аргумента. Учащимся в тетради предлагается самостоятельно выразить из основного тригонометрического тождества синус через косинус и косинус через синус. Для проверки к доске вызываются два ученика. Одному предлагается выразить синус через косинус, второму – косинус через синус. На экран выводится верный ответ:

Учащиеся проверяют свои ответы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 3. В этих формулах от чего зависит знак перед корнем? (От того, в какой четверти расположен угол тригонометрической функции, которую мы определяем).
Пример 1 . Вычислить

если

Определим четверть, в которой находится угол

. Четверть – III. Вспомним, что синус в третьей четверти отрицательный, т. е. в формуле (2) перед корнем нужно поставить знак « – »: Пример 2. Вычислить

если

Определяем четверть, в которой находится угол  . Четверть – IV, косинус в четвертой четверти положителен. Поэтому в формуле (3) перед корнем нужен знак « + »:
Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом . По определению тангенса и котангенса

Перемножая эти равенства, получаем:

Из равенства (4) можно выразить

через

и наоборот:

Равенства (4) – (6) верны при всех значениях, при которых

имеют смысл, т. е. при

Выведем теперь формулы, выражающие соотношения между тангенсом и косинусом, а также котангенсом и синусом одного и того же аргумента. Разделив обе части равенства (1) на

, получим:

т.е.

Если обе части равенства (1) разделить на

, то будем иметь:

т.е.

Рассмотрим примеры использования выведенных формул для нахождения значений тригонометрических функций по известному значению одной из них.
Пример 1. Найдем если известно, что

Решение:

Для отыскания котангенса угла  удобно воспользоваться формулой (6):

Ответ:
Пример2. Известно, что

. Найдем все остальные тригонометрические функции. Решение:

(7).

. По условию задачи угол  является углом 1 четверти, поэтому его косинус положителен. Значит

Ответ:

Установленные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента позволяют упрощать тригонометрические выражения.
Пример 3. Упростим выражение:

Решение: Воспользуемся формулами:

. Получим:

Закрепление.

А сейчас на экране представлены рубрики самооценки по данной теме. Отметьте, на какой уровень вы бы хотели сегодня выйти.

Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, но с помощью наводящих вопросов (карточка – инструкция).

Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, используя указания преподавателя.

Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, без наводящих вопросов и указаний.

Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, не заглядывая в тетрадь.

Какой бы уровень вы не выбрали, сначала внимательно просмотрите все задания, которые я вам раздала, а затем выполните задание, соответствующее выбранному вами уровню (перед вами лежат задания четырех вариантов, номер варианта соответствует уровням самооценки.)

1 вариант

Инструкция:

4 вариант

А теперь, ребята, давайте проверим ответы. На экран выводятся правильные ответы, и учащиеся проверяют свои работы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 4. По карте урока оцените себя. Подсчитайте свои баллы и выставите их в карту.

Домашнее задание.

Записать все выведенные формулы в справочник. По учебнику №459 (3, 5), №460 (1)