Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Должно быть повествовательным предложением , и противопоставляются повелительным, вопросительным и любым другим предложениям, оценка истинности или ложности которых невозможна.

Высказывание и суждение

Одно и то же суждение может быть выражено в разных языках и в разных знаковых формах в пределах одного языка. Когда суждение рассматривается в связи с какой-то конкретной формой его языкового выражения, оно называется высказыванием. Термин «суждение» употребляют, когда отвлекаются от того, какова именно его знаковая форма .

Виды высказываний

Логические высказывания принято подразделять на составные (или сложные) и элементарные. Составные логические высказывания - высказывания, содержащие логические постоянные. Составные высказывания строятся на основе других высказываний. Логическое значение сложного высказывания определяется логическим значением входящих в его состав высказываний и теми логическими постоянными, с помощью которых оно построено .

Элементарные логические высказывания - это высказывания не относящиеся к составным. Примером элементарного высказывания может служить 5 < 7 {\displaystyle 5<7} . Примером составного логического высказывания может служить если 5 < 7 {\displaystyle 5<7} , то 5 {\displaystyle 5} - чётное число .

Логические постоянные

Логическая постоянная (логическая константа , логическая операция ) - название термина, сохраняющего одно и то же значение во всех высказываниях и не зависящего от конкретного содержания высказывания. Логические постоянные используются для соединения простых высказываний в сложные. Логические постоянные делятся на кванторы и логические союзы (связки). Слова: не; неверно, что; и; или; если…, то; тогда и только тогда, когда; либо…, либо; несовместно; ни…, ни; не…, но; но и их ближайшие синонимы являются логическими связками, слова для всех…имеет место, что; для некоторых…имеет место, что и их ближайшие синонимы являются кванторами. Логические постоянные служат как для выражения мыслей в повседневных рассуждениях, так и в научных доказательствах .

• ∀ {\displaystyle \forall } - логические постоянные все , для всех…имеет место, что (квантор общности);
• ∃ {\displaystyle \exists } - логические постоянные существует такой, что… , для некоторых…имеет место, что (квантор существования);
• ∧ {\displaystyle \land } , & {\displaystyle \And } - союз и (конъюнкция);
• ∨ {\displaystyle \vee } - союз или , когда он выступает в соединительно-разделительном значении (дизъюнкция);
• ∨ ˙ {\displaystyle {\dot {\vee }}} , ∨ ∨ {\displaystyle \vee \vee } - союз или , когда он выступает в строго-разделительном исключающем значении (дизъюнкция);
• → {\displaystyle \rightarrow } , ⊃ {\displaystyle \supset } - союз если…, то (импликация);
• ¬ {\displaystyle \neg } - слова не , неверно (отрицание).

Логические союзы являются частью языка логики высказываний , кванторы были дополнительно введены в язык логики предикатов , который является расширением языка логики высказываний .

Логическое подлежащее и логическое сказуемое

Логическое подлежащее - то, о чём говорится в предложении (высказывании) , то, к чему относятся содержащиеся в предложениях утверждения или отрицания. Логическое сказуемое - содержащаяся в предложении (высказывании) информация о логическом подлежащем.

Роль логических подлежащих играют простые и сложные имена, роль логических сказуемых - предикаторы (или предикаты ). К последним относятся свойства и отношения . Предикаторы выполняют роль предметно-истинностного отображения, давая предметам определённого класса оценку «истина» или «ложь». При этом свойства являются одноместными предикаторами, характеризуя один отдельный предмет, а отношения - многоместными, характеризуя пару, тройку и т. д. предметов . Само высказывание в случае с многоместным предикатором содержит несколько логических подлежащих.

Формы высказываний

Форма высказывания требует дополнения, относится ли утверждение или отрицание в суждении ко всем или не ко всем предметам того класса, который представляет данное общее имя. Функцию таких указателей выполняют явно выраженные или подразумеваемые

Основным (неопределяемым) понятием математической логики является понятие «простого высказывания».

Под высказыванием обычно понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».

Приведем примеры высказываний:

1) Новгород стоит на Волхове.

2) Париж – столица Англии.

3) Карась не рыба.

4) Число 6 делится на 2 и на 3.

5) Если юноша окончил среднюю школу, то он получает аттестат зрелости.

Высказывания 1), 4), 5) истинны, а 2) и 3) – ложны.

Очевидно, предложение «Да здравствуют наши спортсмены!» не является высказыванием.

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным. Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1) и 2).

Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если …, то …», «тогда и только тогда», принято называть сложными или составными. Так, высказывание 3) получается из простого высказывания «Карась – рыба» с помощью отрицания «не», высказывание 4) образовано из элементарных высказываний «Число 6 делится на 2», «Число 6 делится на 3», соединенных союзом «и». Высказывание 5) получается из простых высказываний «Юноша окончил среднюю школу», «Юноша получает аттестат зрелости» с помощью грамматической связки «если …,
то …». Аналогично сложные высказывания могут быть получены из простых высказываний с помощью грамматических связок «или», «тогда и только тогда».

В алгебре логики все высказывания рассматриваются только с точки зрения их логического значения, а от их житейского содержания отвлекаются. Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

В дальнейшем будем элементарные высказывания обозначать буквами латинского алфавита: a,b,c,…,x,y,z,…; истинное значение – буквой И или цифрой 1, а ложное значение – буквой Л или цифрой 0.

Если высказывание а истинно, то будем писать а=1 , если же ложно, то а=0 .

Логические высказывания принято подразделять на два вида: элементарные логические высказывания исоставные логические высказывания.

Составное логическое высказывание - это высказывание, образованное из других высказываний с помощью логических связок.

Логическая связка - это любая логическая операция над высказыванием. Например, употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если… , то», «тогда и только тогда» являются логическими связками.

Элементарные логические высказывания - это высказывания не относящиеся к составным.

Примеры: «Иванов - футболист» - элементарные логические высказывания. «Иванов - футболист и шахматист» - составное логическое высказывание, состоящие из двух элементарных высказываний, связанных между собой при помощи связки «и».

46. Элементы алгебры логики

Алгебра логики – это раздел математической логики, значения всех элементов (функций и аргументов) которой определены в двухэлементном множестве: 0 и 1. Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями.

Высказывание – это любое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждение о его истинности или ложности. При этом считается, что высказывание удовлетворяет закону исключенного третьего, то есть каждое высказывание или истинно, или ложно и не может быть одновременно и истинным и ложным.

Высказывания:

– “Сейчас идет снег” – это утверждение может быть истинным или ложным;

– “Вашингтон – столица США” – истинное утверждение;

– “Частное от деления 10 на 2 равно 3” – ложное утверждение.

В алгебре логики все высказывания обозначают буквами а, b, с ит. д. Содержание высказываний учитывается только при введении их буквенных обозначений, и в дальнейшем над ними можно производить любые действия, предусмотренные данной алгеброй. Причем если над исходными элементами алгебры выполнены некоторые разрешенные в алгебре логики операции, то результаты операций также будут элементами этой алгебры.

Простейшими операциями в алгебре логики являются операции логического сложения (иначе: операция ИЛИ (OR),операция дизъюнкции) и логического умножения (иначе: операция И (AND), операция конъюнкции). Для обозначения операции логического сложения используют символы + или V, а логического умножения – символы или Правила выполнения операций в алгебре логики определяются рядом аксиом, теорем и следствий. В частности, для алгебры логики применимы законы:

1. Сочетательный:

47. (a + b) + с = а + (b + с ),

48. (а b) с = а (b с ).

2. Переместительный:

49. (а + b) = (b + a),

50. (а b) = (b а).

3. Распределительный:

51. а (b + с) = а b + (a с),

52. (а + b) с = а с + b с.

Справедливы соотношения, в частности:

53. а + а = аа + b = b, если а ≤ b,

54. а а = аа b = а , если a ≤ b,

a + a b = aa b = b, если а ≥ b ,

а + b = а, если а ≥ b.

Наименьшим элементом алгебры логики является 0, наибольшим элементом – 1. В алгебре логики также вводится еще одна операция – отрицания (операция НЕ (NOT) , инверсия), обозначаемая чертой над элементом.

По определению

Функция в алгебре логики – выражение, содержащее элементы алгебры логики а, b, с и др., связанные операциями, определенными в этой алгебре. Примеры логических функций:

и т. д. Эти соотношения используются для синтеза логических функций и вычислительных схем.

Источник усталости — не в теле, а в уме. Ты можешь гораздо больше, чем думаешь.

Надеяться только на себя - отличный способ перестать разочаровываться в людях и жить с отличным настроением.

Жизнь дарит нам море шансов, но, чаще всего, нам просто лень плавать.

Все люди двуличны. Первая личность добрая, искренняя, отзывчивая. Вторая появляется, когда злоупотребляют первой.

Ад? К сожалению, его не существует. Есть только Рай и… Земля.

Самое важное в общении - услышать то, что не было сказано. Питер Друкер

Что ложью началось, то ложью и должно было кончиться; это закон природы. Фёдор Достоевский

Слова, как ключи. Правильно подобрав, можно открыть любую душу и закрыть любой рот.

Уважать или не уважать человека - ваш выбор. Относиться уважительно - ваше воспитание.

Правило воздушного шара: выбрасывать все лишнее, чтобы набрать высоту.

Мы не ошибаемся в людях, мы просто спешим видеть их такими, какими хочется нам, чтобы они были.

Нельзя потерять то, чего нет. Нельзя разрушить то, что не построено. Можно лишь развеять иллюзию того, что кажется реальным.

Для достижения полной гармонии в жизни нужно поменять местами всего две вещи: в 7 утра должно хотеться есть, а в час ночи — спать.

Музыка – это жизнь. Пока она звучит, ничто не умирает навсегда. Музыкант, исполняя музыку, живет воспоминаниями так, словно это реальные события.

Я никогда не обману того, кто мне искренне доверяет. Но и не буду доказывать правду тому, кто мне не верит.

Если вы не делаете ошибок, значит, вы решаете слишком простые задачи. И это большая ошибка.

В жизни нет ничего случайного, а все, что происходит с нами, происходит в нужное время и в правильном месте.

Если я буду совершать именно те поступки, которых ждут от меня люди, я попаду к ним в рабство.

Время - удивительное явление. Его так мало, когда опаздываешь и так много, когда ждешь.

О чем вы думаете - то и чувствуете. Что чувствуете - то и излучаете. Что излучаете - то и получаете.

Нет лучшего способа отомстить, чем стереть из памяти. Януш Леон Вишневский

Относись ко всем с добром и уважением, даже к тем, кто с тобой груб. Не потому, что они достойные люди, а потому, что ты - достойный человек. (Конфуций)

Семья — это и есть то, ради чего стоит просыпаться каждый день, дышать каждую секунду, и молить Бога каждое мгновенье, чтоб он их оберегал и защищал.

Всегда найдутся люди, которые причинят тебе боль. Нужно продолжать верить людям, просто быть чуть осторожнее.

Умирает любовь от усталости, а хоронит её забвение.

Иначе расставленные слова обретают другой смысл, иначе расставленные мысли производят другое впечатление.

Ведущий войну с другими не заключил мира с самим собой.

Доверяя безоговорочно человеку, ты в итоге получаешь одно из двух: или человека на всю жизнь, или урок на всю жизнь.

Не подходите к человеку ближе, чем он позволяет, и не подпускайте человека ближе, чем он этого заслуживает.

Чтобы открыть новые части света, нужно иметь смелость потерять из виду старые берега.

Не ждите чуда, чудите сами. И бегите, бегите от пессимистов, скептиков, нытиков, отодвигайте их. Они рушат ожидание и веру в чудеса жизни.

В жизни нужно стремиться обгонять не других, а самого себя.

В характере человека есть три золотых качества: терпение, чувство меры и умение молчать. Иногда в жизни они помогают больше, чем ум, талант и красота.

Научитесь никому, ничего не рассказывать. Вот тогда все будет хорошо.

Бриллиант упавший в грязь, всё равно остаётся бриллиантом, а пыль поднявшаяся до небес, так и остаётся пылью.

Сохраняйте душевный свет. Вопреки всему, не смотря ни на что. Это свет, по которому вас найдут такие же светлые души.

Людям не всегда нужны советы. Иногда им нужна рука, которая поддержит. Ухо, которое выслушает и сердце, которое поймет.

Выживает не самый сильный и не самый умный, а тот, кто лучше всех приспосабливается к изменениям.

Если о тебе идут слухи, Ты — личность. Запомни: никогда не обсуждают и не завидуют плохому. Завидуют лучшим, обсуждают лучших.

Дайте человеку цель, ради которой стоит жить, и он сможет выжить в любой ситуации.

Никогда не критикуй поступки другого человека если не знаешь, почему он их совершил. Возможно, при тех же обстоятельствах ты поступил бы так же.

Совесть мучает обычно тех, кто не виноват. Эрих Мария Ремарк

Умейте говорить «спасибо» тому, что осталось за спиной. Оно непременно научило нас чему-то важному.

Молчишь, а тебя уже не правильно поняли.

Общество часто прощает преступника. Но не мечтателя. Оскар Уайльд

В нашем ненадёжном мире нет ничего более трудно достижимого и хрупкого, чем доверие.

Прошлое всегда с нами, оно ждет, чтобы перевернуть настоящее.

Конец лжи ещё не означает начала правды. Фредерик Бегбедер

Обижаться и негодовать, это все равно, что выпить яд в надежде, что он убьет твоих врагов.

Самое страшное – это не «снова не получается». Самое страшное – это «я больше не хочу пробовать».

Свою жизнь надо устраивать до тех пор, пока жизнь не начнёт устраивать тебя.

Никто в мире не пойдет тебе навстречу. Если тебе что-то нужно — бери сам, всегда делай только то, что решил.

Ты поешь песню не для того, чтобы добраться до последней ноты. Радость доставляет само пение. То же самое касается жизни. Радость в том — чтобы жить.

Величайший изъян жизни - вечная её незавершённость из-за нашей привычки откладывать со дня на день. Кто каждый вечер заканчивает дело своей жизни, тому время не нужно.

Кто в верности не клялся никогда, тот никогда её и не нарушит. Август фон Платен

Тому, кто способен укротить свое сердце, покорится весь мир. Пауло Коэльо

Сделайте вашу работу наполненной жизнью, а не жизнь наполненной работой.

Наши поступки могут вознести нас до небес и швырнуть в глубочайшую пропасть. Мы - дети наших деяний. Виктор Гюго.

Если ты хочешь добиться цели, нужно каждый день хотя бы немножко к ней продвинуться.

Когда видишь орла, видишь образец Совершенства – так почаще же смотри в небо.

Хотеть перемен - это первый шаг. Но второй - это добиваться их!

Между хорошим обедом и жизнью только та разница, что сладкое подают в конце.

Иногда человек, которого ты не замечаешь, становится тем, кто нужен тебе больше всего.

Прошлое уже не исправить, но ты можешь напрячься и изменить будущее.

Сильный человек - это не тот, у кого все хорошо, а тот, у кого все хорошо, НЕСМОТРЯ НИ НА ЧТО!

Запомни правило. Относись к женщине как к человеку. Затем как к принцессе. Затем как к греческой богине, а затем снова как к человеку.

Когда терять нечего, можно рискнуть всем…

Я слышу и забываю. Я вижу и запоминаю. Я делаю и понимаю. Конфуций

Можно и подождать, если есть чего ждать.

Не надо думать, какой жизнь была или будет. Нет никакого прошлого, и будущего не будет. Всё происходит здесь и сейчас.

Речь идет не о том, чтобы предвидеть будущее, а о том, чтобы творить его.

Будь с теми, кто делает тебя счастливым.

Нужно делать невозможное. Нужно тяжело работать. И если у тебя получается, ты позитивен, у тебя появляется лучик надежды.

Любовь живёт только тогда, когда есть уважение друг к другу и свобода. Желание обладать другим как вещью-абсурд.

Посмотри, о чем ты думаешь сейчас, это и станет твоим будущим. Думай о хорошем, о любви, успехе, удаче, изобилии и радости. И насладись этим в будущем.

Единственный способ выжить - постоянно ставить перед собой новые задачи.

Чем меньше в голове ожиданий, тем больше в жизни сюрпризов.

Кто не понял своего прошлого, вынужден пережить его снова.

В каждом человеке - солнце. Только дайте ему светить. Сократ

Я все равно ни о чем не жалею — хотя бы потому, что это бессмысленно.

Я не люблю одиночество. Просто не завожу лишних знакомств, чтобы в людях лишний раз не разочаровываться.

Не обещай, если не уверен, что выполнишь обещанное, ведь боль, которую ты причинишь другому, рано или поздно к тебе воротится.

Те, кто преуспел в этом мире, приходят и находят такие обстоятельства, которые им нужны. Если же они не могут их найти, тогда они создают их сами.

Никогда не поздно поставить новую цель или обрести новую мечту.

Не всегда прощения просит тот, кто виноват. Чаще всего это делает тот, кто дорожит отношениями…

Цените тех, которые умеют видеть в Вас три вещи печаль, скрывающуюся за улыбкой, любовь, скрывающуюся за гневом, и причину Вашего молчания.

Любая проблема перестает быть проблемой при правильном отношении.

Никто ничего не может сказать про вас. Что бы люди ни говорили, они говорят про самих себя.

Всегда выбирайте самый трудный путь — на нём Вы не встретите конкурентов.

Это неважно, что медленно ты идешь… главное - не останавливайся.

Если вы решили действовать — закройте двери для сомнений. Фридрих Ницше

Люди чаще всего употребляют слово «ничего» для того, чтобы скрыть за ним очень важное «нечто».

Меланхоликом становишься, когда размышляешь о жизни, а циником - когда видишь, что делает из нее большинство людей. Ремарк

Не стоит забывать, что должность — от слова «долг», работа — от слова «раб», а увольнение — от слова «воля».

Я друзей не выбираю.Это занятие нудное и бесполезное. Мне гораздо интереснее выбирать овощи на рынке. Друзья- это подарки судьбы.

производная форма осуществления толкования, “сообщающе определяющее показывание”. Будучи производным, высказывание модифицирует толкование. Подручное средство становится предметом высказывания, “с-чем” имения дела становится “о-чем” высказывания, в подручности открывается наличность, которая заслоняет подручность. Если в толковании структура отсыланий охватывает всю мировую целостность, то в высказывании оно ограничено тем наличным, что непосредственно дается увидеть.

Отличное определение

Неполное определение ↓

ВЫСКАЗЫВАНИЕ

термин современной логики, употребляемый обычно в смысле предложения (определенного языка – естественного или искусственного), рассматриваемого в связи с теми или иными оценками его истинности (истинно, ложно) или модальности (вероятно, возможно, невозможно, необходимо и др.). Примерами В. могут быть: "Математика – наука", "Москва большой город и столица СССР", "5 > 3". Одно В. может быть частью другого; В., включающие в себя др. В., наз. сложными. Всякое В. выражает нек-рую мысль, к-рая является его содержанием и называется смыслом В., а его истинность или ложность – истинностным значением [или значением истинности, см. Истинность, Значение (в математической логике и семантике)]. При таком понимании понятие "В." относится к логической семантике. Предложение как синтаксическое образование, рассматриваемое только по форме, независимо от смысла и оценок истинности или модальности, наз. часто грамматическим предложением. В., принадлежащие различным языкам и даже одному и тому же языку, могут выражать одну и ту же мысль. Если предложения, имеющие одинаковый смысл, но различающиеся как синтаксические образования, рассматриваются как одно и то же В., то их часто называют суждениями. Следует, однако, иметь в виду, что слова "В.", "предложение", "суждение" употребляются иногда просто как синонимы или за ними закрепляются значения, отличные от приведенных выше. С различением понятий "В.", "предложения" и "суждения" (подобного проведенному выше) в современной логической и философской литературе связан ряд дискуссий, особенно между представителями современного номинализма и их противниками. Различают утвердительное и неутвердительное употребление В. Высказывание употреблено утвердительно, если целью его употребления является выражение истинной мысли. Выражая свои мысли, люди обычно претендуют на их истинность. Но В. может употребляться просто как синтаксич. выражение. Так бывает, напр., во время диктанта; диктуемые В. не теряют своего осмысл. характера, но диктующий вовсе не утверждает (а пишущие не воспринимают) их как истинные. Такое употребление В. является неутвердительным. При построении логич. исчисления бывает целесообразно отличить В. как предложение, к-рое может быть истинным или ложным, от утверждения истинности В. На это впервые обратил внимание Фреге, к-рый предложил ставить перед утверждаемым В. знак |–. Если U есть к.-л. В., то |– U означает утверждение его истинности. Одним из способов употребления В. является их к о с в е н н о е употребление. Оно имеет целью не утверждение истины, а лишь передачу мысли, содержащейся в В. Именно так, напр., употребляется В. "орбиты планет имеют форму окружности" в составе сложного В.: "Кеплер считал, что орбиты планет имеют форму окружности". Утверждая это сложное В., мы вовсе не хотим сказать, будто истинно, что орбиты планет имеют указанную форму, а лишь сообщаем, какую мысль высказал Кеплер; сама же эта мысль может быть как истинной, так и ложной (последнее на самом деле и имеет место). От различных видов употребления В. следует отличать их у п о м и н а н и е (цитирование). Упоминание В. имеет целью сообщить его точный текст (и только через посредство этого сообщения выразить содержащуюся в нем мысль). Поэтому упоминаемые В. (к-рые обычно входят в состав других В.) выделяются с помощью тех или иных средств, напр. с помощью кавычек. Косвенное употребление В. не встречается в наиболее употребительных логич. исчислениях, т.к. его допущение приводит к значит. трудностям (см. Экстенциональные и неэкстенциональные языки). В математич. логике упоминание В., как правило, производится с помощью спец. знаков, обозначающих В. (обычно буквы к.-л. алфавита, см. Знаки). Косвенное употребление языковых выражений первым подверг изучению Фреге; он же разъяснил логич. роль кавычек и знаков для В. В естеств. языках оценка В. с т. зр. истинности часто зависит от того, кто, когда и где применил это В. Выражением этой зависимости являются включаемые в В. слова-индикаторы: "я", "ты", "теперь", "там" и т.д.; значение этих слов бывает различным в зависимости от ситуации. При построении искусств. языков – интерпретированных исчислений матем. логики или языков-посредников при переводе с одного естественного языка на другой (см. Формализованные языки, Лингвистика математическая) – отвлекаются от зависимости оценки В. от указанных обстоятельств, т.е. исключают из рассмотрения прагматику языка (см. также Семиотика), что позволяет сделать более точным понятие "В.". При построении наиболее элементарного логического исчисления – двузначного исчисления высказываний (см. Исчисления высказываний) – исходят только из расчленения В. на составляющие В. Те В., к-рые не подвергаются дальнейшему членению на составляющие В., наз. элементарными. Из них с помощью логич. союзов ("и", "или", "если... то" и др.) составляются сложные В. При построении исчисления предикатов (см. Исчисления предикатов) исходят из более глубокого расчленения В. на отдельные термины (и др. языковые образования). В основу анализа В. (в т. ч. элементарных) математич. логика кладет понятие предиката, или логич. функции, т.е. функции, к-рая каждому предмету рассматриваемой области предметов относит либо истину, либо ложь. Логич. функции – это то, что в логич. исчислении обычно соответствует понятиям содержательного человеческого мышления (см. Понятие). Напр., логич. функция, к-рая каждому из чисел 1 и 2 относит истину, а каждому из чисел 3, 4, 5, ... – ложь, соответствует понятию "быть меньше 3" (область предметов – целые положит. числа). Выражения, представляющие в языке логич. функции, сами по себе не истинны и не ложны, т.е. не являются В. Такие выражения содержат переменные (см. Переменная) и превращаются в В. при подстановке вместо них имен предметов из данной области (см. Имя). Таково, напр., выражение "х Лит.: Жегалкин И. И., О технике вычислений предложений в символической логике, "Матем. сб.", 1927, т. 34, вып. 1, с. 9–26; его же, Арифметизация символической логики, там же 1928, т. 35, вып. 3–4, с. 311–69; Гильберт Д. и Аккерман В., Основы теоретической логики, пер. с нем., ред., вступ. ст. и комментарии С. А. Яновской, М., 1947; Тapский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948, с. 31–106; Новиков П. С., Элементы математической логики, М., 1959, гл. 1–2; Frege G., Funktion und Begriff, Jena, 1891; его же, ?ber Sinn und Bedeutung, "Z. Philos, und philosophische Kritik", Lpz., 1892, Bd 100, H. l, S. 25–50; его же, Grundgesetze der Arithmetik, begriffschriftlich abgeleitet, Bd l, Jena, 1893, S. 5–10; Stegm?ller W., Das Wahrheitsproblem und die Idee der Semantik, W., 1957; Сhurсh A., Introduction to mathematical logic, v. 1, Princeton, 1956 (см. Introduction). Б. Бирюков. Москва.

), которое выражает некоторый смысл и является либо истинным , либо ложным , но не тем и другим сразу. Как правило, высказывания носят дескриптивный, или описательный характер, и их основной задачей является описание определённой действительности. Тем самым высказывание оказывается либо истинным либо ложным; иногда допускается, что оно способно принимать некоторые «неопределённые» значения истинности, промежуточные между полной истиной и полной ложью. Понимаемое таким образом высказывание противопоставляется обычно повелительным, вопросительным, бессмысленным и вообще любым другим предложениям (например, оценки, нормы, временные утверждения, меняющие своё значение истинности с течением времени), оценка истинности или ложности которых невозможна. Наряду с оценкой истинности, высказывание также рассматривается в связи с теми или иными модальностями («вероятно», «возможно», «невозможно», «необходимо» и другими). В современной логике высказывания формализуются и применяются, главным образом, при применении логических исчислений в какой-либо конкретной области объектов.

По определению, любое высказывание имеет грамматические и логические аспекты. Грамматический аспект высказывания выражается повествовательным предложением (простым или сложным), а логический - его смыслом и истинностным значением. Высказывание, включающее в себя другие высказывания, называется сложным (составным); не включающее в себя таковых - простым (неделимым). Всякое высказывание выражает некоторую мысль , являющуюся его содержанием и называемой смыслом высказывания . Та или иная истинностная оценка высказывания называется его истинностным значением . Объект, к которому относится высказывание, называется предметом высказывания .

В связи с языковой практикой выделяют способы употребления высказываний. Подразумевается, что высказывание употребляется утвердительно, если целью его употребления является выражение истинной мысли. Утвердительное употребление высказывания - это их наиболее частое употребление, так как выражая свои мысли, люди обычно претендуют на их истинность. Но высказывание может употребляться просто как синтаксическое выражение. В том случае, когда истинность содержания высказывания однозначно не утверждается, подразумевается неутвердительное употребление высказывания. Одним из способов неутвердительного употребления высказываний является их косвенное употребление. Оно имеет целью не утверждение истинности мысли, а лишь передачу её содержания. От различных видов употребления высказываний следует отличать их цитирование, которое имеет целью сообщить точный текст высказывания (и только через посредство этого сообщения выразить содержащуюся в нём мысль). Поэтому цитируемые высказывания (которые обычно входят в состав других высказываний) выделяются с помощью тех или иных знаковых средств (например с помощью кавычек). Косвенное употребление высказываний практически не встречается в наиболее употребительных логических исчислениях, так как его допущение приводит к значительным трудностям в формализации.

В естественных языках оценка высказываний с точки зрения истинности часто зависит от того, кто, когда и в каком контексте применил то или иное высказывание. Выражением этой зависимости являются включаемые в высказывания слова-индикаторы: «я», «ты», «теперь», «там» и так далее; значение этих слов бывает различным в зависимости от ситуации. При построении искусственных языков - интерпретированных исчислений математической логики или языков-посредников при переводе с одного естественного языка на другой (см. ) - отвлекаются от зависимости оценки высказывания от указанных обстоятельств, то есть исключают из рассмотрения прагматику языка (см. ), что позволяет сделать понятие «высказывание» более точным.

При построении наиболее элементарного логического исчисления - двузначного исчисления высказываний - исходят только из расчленения высказываний на составляющие высказывания. Те высказывания, которые не подвергаются дальнейшему членению на составляющие, называются элементарными. Из них с помощью логических союзов (обычно для этого выбирается пять общеизвестных грамматических связок: «не», «и», «или», «если…, то» и «если…, и только если») составляются сложные высказывания. При построении исчисления предикатов исходят из более глубокого расчленения высказываний на отдельные термины (и другие языковые образования). В основе анализа высказываний (в том числе элементарных) математической логики находится понятие предиката, или логической функции, то есть функции, которая каждому предмету рассматриваемой области предметов относит либо истину, либо ложь. Логические функции - это то, что в логическом исчислении обычно соответствует понятиям содержательного человеческого мышления. Например, логическая функция, которая каждому из чисел 1 и 2 относит истину, а каждому из чисел 3, 4, 5, … и так далее - ложь, соответствует понятию «быть меньше 3» (область предметов - целые положительные числа).

Выражения, представляющие в языке логические функции, сами по себе не истинны и не ложны, то есть не являются высказываниями. Такие выражения содержат переменные и превращаются в высказывания при подстановке вместо них имён предметов из данной области (см. ). Таково, например, выражение «x x верно, что x x, которое меньше 3», первое из них ложно, а второе истинно.

В логических исчислениях с высказываниями имеют дело главным образом при применении исчислений к конкретным областям науки. В формулах же самих исчислений фигурируют в основном так называемые переменные высказывания. Переменное высказывание не есть высказывание в подлинном смысле, так как вопрос об его истинности или ложности не имеет смысла; это - переменная для высказывания, то есть символ, на место которого можно подставлять конкретные высказывания (или их имена). Чтобы подчеркнуть отличие переменных высказываний от настоящих высказываний, последние часто называют постоянными высказываниями. Применение переменных высказываний служит для выражения всеобщности: оно позволяет формулировать законы исчисления для любых высказываний данного вида. В некоторых исчислениях вводятся также постоянные высказывания. При аксиоматическом построении логических исчислений (см. ) до тех пор, пока не дана интерпретация исчисления, понятия постоянного и переменного высказывания не имеют того содержания, которое указано выше, а рассматриваются просто как символы, вводимые специальными определениями. Однако эти определения подбираются так, чтобы при интерпретации исчисления формально определённые понятия совпали с содержательными понятиями о постоянном и переменном высказывании.

Ни одно исчисление не в состоянии отобразить все логические свойства разнообразных видов выражений, применяемых в естественных языках. Всякое логическое исчисление исходит из некоторых идеализированных представлений о формализуемом содержании. От высказывания, например, требуется, чтобы оно было либо истинным, либо ложным и притом обязательно одно из двух. Но существуют предложения, не удовлетворяющие непосредственно этому требованию. Они нуждаются в уточнении. Это прежде всего относится к выражениям, по форме являющимся грамматически правильными предложениями, но не имеющим смысла. Обычно в таких случаях бывает возможно так уточнить смысл терминов, чтобы рассматриваемое выражение стало истинным или ложным. В логических исчислениях и дедуктивных теориях понятие осмысленного выражения определяется обычно независимо от понятия истинного (или ложного) выражения, и истинностные значения, истина и ложь, относятся лишь к осмысленным выражениям, которые в таких случаях и называют высказываниями.

Следует отметить, что наряду с термином «высказывание» иногда употребляют также термины «предложение» и «суждение» - или как синонимы или за ними закрепляются различающие их значения. Различение указанных понятий относится к логической семантике (см. ), при этом в логической и философской литературе с ним связан ряд дискуссий. В целом, данные различения сводятся к следующему. Предложение как синтаксическое образование, рассматриваемое только по форме, независимо от смысла и оценок истинности или модальности, называют грамматическим предложением. Высказывание, принадлежащие различным языкам и даже одному и тому же языку, могут выражать одну и ту же мысль. Если предложения, имеющие одинаковый смысл, но различающиеся как синтаксические образования, рассматриваются как одно и то же высказывание, то их называют суждениями. Следует, однако, иметь в виду, что в современной логике (см. ) обычно пользуются термином «высказывание», тогда как термин «суждение» (см. ) использовался в традиционной логике (см. ). В целом, перечень разных видов высказываний, изучаемых логикой, показывает, что область понятия высказывания является гетерогенной и не имеет чётких границ.