Симметрия в пространстве и ее применение. Презентация к уроку по геометрии (11 класс) на тему: Симметрия в пространстве. V. Самостоятельная работа проверочного характера

На данном уроке будет изучена операция умножения многочлена на одночлен, являющаяся основой для изучения умножения многочленов. Вспомним распределительный закон умножения и сформулируем правило умножения любого многочлена на одночлен. Также вспомним некоторые свойства степеней. Кроме того, будут сформулированы типовые ошибки при выполнении различных примеров.

Тема: Многочлены. Арифметические операции над одночленами

Урок: Умножение многочлена на одночлен. Типовые задачи

Операция умножения многочлена на одночлен является основой для рассмотрения операции умножения многочлена на многочлен и нужно сначала научиться умножать многочлен на одночлен, чтобы разобраться в умножении многочленов.

Основой данной операции является распределительный закон умножения. Напомним его:

По существу, мы видим правило умножения многочлена, в данном случае двучлена, на одночлен и это правило можно сформулировать так: чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен. Сложить алгебраически полученные произведения, после чего произвести над многочленом необходимые действия - а именно привести его к стандартному виду.

Рассмотрим пример:

Комментарий: данный пример решается, точно следуя правилу: каждый член многочлена умножается на одночлен. Для того, чтобы хорошо понять и усвоить распределительный закон, в данном примере члены многочлена были заменены на х и у соответственно, а одночлен на с, после этого выполнено элементарное действие в соответствии с распределительным законом и выполнена подстановка исходных значений. Следует быть внимательными со знаками и правильно выполнить умножение на минус единицу.

Рассмотрим пример умножения трехчлена на одночлен и убедимся, что оно ничем не отличается от такой же операции с двучленом:

Перейдем к решению примеров:

Комментарий: данный пример решается согласно распределительному закону и аналогично предыдущему примеру - каждый член многочлена умножается на одночлен, полученный многочлен уже записан в стандартном виде, поэтому упростить его нельзя.

Пример 2 - выполнить действия и получить многочлен в стандартном виде:

Комментарий: для решения данного примера сначала произведем умножение для первого и второго двучленов согласно распределительному закону, после этого приведем полученный многочлен к стандартному виду - приведем подобные члены.

Теперь сформулируем основные задачи, связанные с операцией умножения многочлена на одночлен, и приведем примеры их решения.

Задача1 - упростить выражение:

Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему, а именно вначале производится умножение многочленов на соответствующие одночлены, после этого приведение подобных.

Задача 2 - упростить и вычислить:

Пример 1:;

Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему, с тем лишь дополнением, что после приведения подобных членов нужно вместо переменной подставить ее конкретное значение и вычислить значение многочлена. Напомним, чтобы легко умножить десятичную дробь на десять, нужно переместить запятую на один разряд вправо.

>>Математика: Умножение многочлена на одночлен

Умножение многочлена на одночлен

Вы, наверное, заметили, что до сих пор глава 4 строилась по тому же плану, что и глава 3. В обеих главах сначала вводились основные понятия: в главе 3 это были одночлен, стандартный вид одночлена, коэффициент одночлена; в главе 4 - многочлен , стандартный вид многочлена. Затем в главе 3 мы рассматривали сложение и вычитание одночленов; аналогично, в главе 4 - сложение и вычитание многочленов.

Что было в главе 3 дальше? Дальше мы говорили об умножении одночленов. Значит, по аналогии, о чем нам следует поговорить теперь? Об умножении многочленов. Но здесь придется действовать не спеша: сначала (в этом параграфе) рассмотрим умножение многочлена на одночлен (или одночлена на многочлен, это все равно), а потом (в следующем параграфе) - умножение любых многочленов. Когда вы в младших классах учились перемножать числа, вы ведь тоже действовали постепенно: сначала учились умножать многозначное число на однозначное и только потом умножали многозначное число на многозначное.

(a + b)с =ас + bс.

Пример 1. Выполнить умножение 2а 2 - Заb) (-5а).

Решение. Введем новые переменные:

х = 2а 2 , у= Заb, z = - 5а.

Тогда данное произведение перепишется в виде (х + у)z, что по распределительному закону равно хr + уz. Теперь вернемся к старым переменным:

хz + уz - 2а 2 (- 5а) + (- Заb) (- 5а).
Нам остается лишь найти произведения одночленов. Получим:

- 10a 3 + 15a 2 b

Приведем краткую запись решения (так мы и будем записывать в дальнейшем, не вводя новых переменных):

(2а 2 - Заb) (- 5а) = 2а 2 (- 5а) + (- Заb) (- 5а) = -10а 3 +15а 2 b.

Теперь мы можем сформулировать соответствующее правило умножения многочлена на одночлен.

Это же правило действует и при умножении одночлена на многочлен:

- 5а(2а 2 - Заb) = (- 5а) 2а 2 + (- 5а) (- Заb) = 10а 3 + 15а 2 b

(мы взяли пример 1, но поменяли местами множители).

Пример 2. Представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена, если:

a) p1(x, y) - 2х 2 у + 4а:;

б) р 2 (х, у) = х 2 + Зу 2 .

Р е ш е н и е.

а) Заметим, что 2х 2 у = 2х ху, а 4а: = 2х 2. Значит,

2x 2 y + 4х = xу 2х + 2 2x = (ху + 2) 2x

б) В примере а) нам удалось в составе каждого члена много члена p 1 (х, у) = 2х 2 у + 4а: выделить одинаковую часть (одинаковый множитель) 2х. Здесь же такой общей части нет. Значит, многочлен р 2 (х, у) = х 2 + Зу 2 нельзя представить в виде произведения многочлена и одночлена.

На самом деле и многочлен р 2 (х, у) можно представить в виде произведения, например, так:

x 2 + 3y 2 = (2x 2 + 6y 2) 0,5
или так:

x 2 + 3y 2 = (x 2 + 3y 2) 1
- произведение числа на многочлен, но это искусственное преобразование и без большой необходимости не используется.

Кстати, требование представить заданный многочлен в виде произведения одночлена и многочлена встречается в математике довольно часто, поэтому указанной процедуре присвоено специальное название: вынесение общего множителя за скобки.

Задание вынести общий множитель за скобки может быть корректным (как в примере 2а), а может быть и не совсем корректным (как в примере 26). В следующей главе мы специально рассмотрим этот вопрос.

В заключение параграфа решим задачи, которые покажут, как на практике для работы с математическими моделями реальных ситуаций приходится и составлять алгебраическую сумму многочленов, и умножать многочлен на одночлен. Так что эти операции мы изучаем не зря.

Пример 3. Пункты А, В и С расположены на шоссе так, как показано на рисунке 3. Расстояние между А и В равно 16 км. Из В по направлению к С вышел пешеход. Через 2 ч после этого из А по направлению к С выехал велосипедист, скорость которого на 6 км/ч больше скорости пешехода. Через 4 ч после своего выезда велосипедист догнал пешехода в пункте С. Чему равно расстояние от В до С?

Решение.
Первый этап. Составление математической модели. Пусть х км/ч - скорость пешехода, тогда (x + 6) км/ч - скорость велосипедиста.

Расстояние от А до С велосипедист проехал за 4 ч, значит, это расстояние выражается формулой 4 (x + 6) км; иными словами, АС = 4 (х + 6).

Расстояние от В до С пешеход прошел за 6 ч (ведь до выезда велосипедиста он уже был в пути 2 ч), следовательно, это расстояние выражается формулой 6x км; иными словами, ВС = 6x

А теперь обратите внимание на рисунок 3: АС - ВС = АВ, т. е. АС - ВС = 16. Это - основа для составления математической модели задачи. Напомним, что АС = 4 (x + 6), ВС = 6x:; следовательно,

4 (х + 6) -6x = 16.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Тема: Многочлены. Арифметические операции над одночленами

Урок: Умножение многочлена на одночлен. Типовые задачи

Основой данной операции является распределительный закон умножения. Напомним его:

Рассмотрим пример:

Перейдем к решению примеров:

Пример 2 - выполнить действия и получить многочлен в стандартном виде:

Задача1 - упростить выражение:

Задача 2 - упростить и вычислить:

Пример 1:;

Цели урока :

Познакомить учащихся с понятием симметрия в пространстве.

Рассмотреть понятие симметрия, используя содержательные связи математики, физики, химии и биологии.

Рассмотреть следующие виды симметрии: центральная, осевая, зеркальная, поворотная, винтовая.

Повышать у учащихся мотивацию изучения математики.

Развивающие:

1. Содействовать развитию познавательной активности.

2. Содействовать развитию воображения.

3. Содействовать развитию коммуникативных умений, умения работать в команде.

Воспитательные:

Содействовать развитию эстетического восприятия учащихся.

Содействовать расширению кругозора у учащихся.

Вид урока : изучение нового материала.

За 2 недели до проведения этого урока учитель должен разделить класс на команды. Каждая команда готовит сообщение по одной из следующих тем: «Симметрия», «Симметрия у растений», «Симметрия у животных», «Симметрия у человека», «Симметрия в химии». Разделение на команды происходит с учетом наличия интереса учащихся к тем или иным предметам. Интерес определяется учителем на основе личных наблюдений и бесед с учащимися.

Каждая команда получает ориентировочный план, в соответствии с которым необходимо подготовить сообщение по предложенной теме. Те пункты, которые указаны в плане, обязательно должны быть освещены.

Например, команда, которая готовит рассказ о симметрии у растений, получает следующий план:

1) вертикальная симметрия;

поворотная симметрия;

винтовая симметрия.

На первой неделе подготовки учащиеся сами ищут необходимую литературу и отбирают материал. В результате у каждого участника команды должен появиться конспект. Если у команды возникают затруднения с поиском материала, то учитель предлагает учащимся список литературы. Кроме того, учитель проводит консультации для тех команд, которые самостоятельно не справляются с подготовкой к уроку.

Можно предложить учащимся разделить обязанности внутри команды. Тогда кто-то из учащихся будет отвечать за поиск и подбор материала, кто-то - за изготовление (поиск) наглядных пособий, кто-то - за изложение материала на уроке, кто-то - за разработку и создание презентации. Однако все учащиеся должны знать материал, с которым работает их команда, и иметь конспект. После выступления каждой команды учитель может задать каждому ее участнику небольшой вопрос по изложенному материалу.

Команды выступают по очереди. Во время выступления команды все остальные учащиеся слушают и заполняют следующую таблицу:

Ход урока :

1. Создание учебной доминанты:

Учащимся предлагается следующее задание: заполните свободные части рисунков числами и фигурами, учитывая вид симметрии.

2. Вводное слово учителя:

Среди бесконечного многообразия форм живой и неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образцы, чей вид неизменно привлекает наше внимание. К числу таких образцов относятся некоторые кристаллы и микробы, многие животные и растения. Мы постоянно любуемся прелестью каждого отдельного цветка, мотылька или раковины и всегда пытаемся проникнуть в тайну красоты. Нас удивляет и архитектура пчелиных сот, и расположение семян на шляпке подсолнечника, и винтообразное расположение листьев на стебле растения.

Внимательное наблюдение обнаруживает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все ее виды - от простейших до самых сложных.

Симметрия (от греческого symmetria - "соразмерность") - соразмерность, полное соответствие в расположении частей целого относительно средней линии, центра; строгая правильность в расположении, размещении чего-либо.

3. Каждая команда выступает со своим докладом.

4. Заключительное слово учителя:

По справедливому замечанию Г.Вейля, у истоков симметрии лежит математика. Вместе с тем симметрия воспринимается нами как элемент красоты вообще и красоты природы в частности. Сегодня мы рассмотрели симметрию с точки зрения математики, биологии, физики и химии. Кроме этого, симметрия широко используется в искусстве, в частности, в архитектуре.

5. Домашнее задание: найти и сделать копии (ксерокопии, фотографии и др.) изображений, раскрывающих тему «Симметрия в архитектуре нашего города». (Можно будет устроить выставку, используя полученные работы).

6. Теперь каждый из вас напишет небольшой синквейн (белый стих), посвященный теме нашего урока. Правила написания синквейна: в первой строке пишется тема (существительное), во второй строке: описание темы двумя прилагательными, в третьей строке: описание действий (три глагола), в четвертой строке: фраза из 4 слов, выражающих отношение к теме, пятая строка: слово, которое раскрывает суть темы, отмеченной в первой строке.

Пособия: таблицы и наглядные пособия по биологии, химии, физике; презентации в Power Point.