Возрастающая или убывающая числовые последовательности называются монотонными
.
Вида y
= f
(x
), x
О N
,
где N
– множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y
= f
(n
)
или y
1 , y
2 ,…, y n
,…. Значения y
1 , y
2 , y
3 ,…
называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.
Например, для функции y
= n
2 можно записать:
y
1 = 1 2 = 1;
y
2 = 2 2 = 4;
y
3 = 3 2 = 9;…y n = n
2 ;…
Способы задания последовательностей.
Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.
1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n
-го члена:
y n
= f
(n
).
Пример. y n
= 2n –
1 –
последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …
2. Описательный
способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.
Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….
Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.
3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n
-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere
– возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n
-й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.
Пример 1. y
1 = 3; y n = y n
–1 + 4, если n
= 2, 3, 4,….
Здесь y
1 = 3; y
2 = 3 + 4 = 7; y
3 = 7 + 4 = 11; ….
Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y n
= 4n –
1.
Пример 2. y
1 = 1; y
2 = 1; y n
= y n
–2 + y n
–1 , если n
= 3, 4,….
Здесь: y
1 = 1; y
2 = 1; y
3 = 1 + 1 = 2; y
4 = 1 + 2 = 3; y
5 = 2 + 3 = 5; y
6 = 3 + 5 = 8;
Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n
-е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .
На первый взгляд, формула для n
-го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n
.
Свойства числовых последовательностей.
Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.
Определение.
Последовательность {y n
}
называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:
y
1 y 2 y 3 y n y n +1
Определение.Последовательность {y n
}
называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:
y
1 > y
2 > y
3 > … > y n
> y n
+1 > …
.
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.
Пример 1. y
1 = 1; y n
= n
2 – возрастающая последовательность.
Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
Пример. При каком значении x
числа 3x
+ 2, 5x
– 4 и 11x
+ 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?
Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению
5x
– 4 = ((3x
+ 2) + (11x
+ 12))/2.
Решение этого уравнения дает x
= –5,5.
При этом значении x
заданные выражения 3x
+ 2, 5x
– 4 и 11x
+ 12 принимают, соответственно, значения –14,5,
–31,5, –48,5.
Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.
Геометрическая прогрессия.
Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q
, называют геометрической прогрессией, а число q
– знаменателем геометрической прогрессии.
Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {b n
}, заданная рекуррентно соотношениями
b
1 = b
, b n
= b n
–1 q
(n
= 2, 3, 4…).
(b
и q –
заданные числа, b
≠ 0, q
≠ 0).
Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b
= 2, q
= 3.
Пример 2. 2, –2, 2, –2, … –
геометрическая прогрессия b
= 2, q
= –1.
Пример 3. 8, 8, 8, 8, … –
геометрическая прогрессия b
= 8, q
= 1.
Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b
1 > 0, q
> 1, и убывающей, если b
1 > 0, 0 q
Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.
b
1 2 , b
2 2 , b
3 2 , …, b n
2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b
1 2 , а знаменатель – q
2 .
Формула n-
го члена геометрической прогрессии имеет вид
b n
= b
1 q n–
1 .
Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.
Пусть дана конечная геометрическая прогрессия
b
1 , b
2 , b
3 , …, b n
пусть S n –
сумма ее членов, т.е.
S n
= b
1 + b
2 + b
3 + … + b n
.
Принимается, что q
№ 1. Для определения S n
применяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения S n q
.
S n q
= (b
1 + b
2 + b
3 + … + b n
–1 + b n
)q
= b
2 + b
3 + b
4 + …+ b n
+ b n q
= S n
+ b n q
– b
1 .
Таким образом, S n q
= S n
+ b n q – b
1 и, следовательно,
Это формула суммы n членов геометрической прогрессии
для случая, когда q
≠ 1.
При q
= 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S n
= a
1 n
.
Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как
b n = b n-
1 q;
b n = b n+
1 /q,
следовательно, b n
2= b n–
1 b n+
1 и верна следующаятеорема(характеристическое свойство геометрической прогрессии):
числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.
Предел последовательности.
Пусть есть последовательность {c n
} = {1/n
}.
Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a
и b
есть число
В противном случае последовательность называется расходящейся.
Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0
у гармонической последовательности {c n
} =
{1/n
}. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность
Существует ли такое N
, что для всех n ≥
N
выполняется неравенство 1/N ? Если взять в качестве N
любое натуральное число, превышающее
1/ε
, то для всех n ≥ N
выполняется неравенство 1/n ≤
1/N ε ,
что и требовалось доказать.
Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.
Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Теорема 3. Если последовательность {a n
}
имеет предел A
, то последовательности {ca n
}, {a n
+ с}
и {| a n
|}
имеют пределы cA
, A
+ c
, |A
| соответственно (здесь c
– произвольное число).
Теорема 4. Если последовательности {a n
}
и {b n
} имеют пределы, равные A
и B
pa n
+ qb n
} имеет предел pA
+ qB
.
Теорема 5. Если последовательности {a n
} и {b n
}имеют пределы, равные A
и B
соответственно, то последовательность {a n b n
} имеет предел AB.
Теорема 6. Если последовательности {a n
}
и {b n
} имеют пределы, равные A
и B
соответственно, и, кроме того, b n ≠
0 и B ≠
0, то последовательность {a n / b n
} имеет предел A/B
.
Анна Чугайнова
Рассмотрим некоторое множество (класс) множеств , каждое из которых содержит по одному элементу. Любое натуральное число – это характеристика класса равносильных конечных множеств, тогда поставим в соответствие этому классу натуральное число «единица» и обозначим его символом «1». Выберем из данного класса любое «единичное» множество, пусть , и добавим в это множество еще один элемент, получим новое множество . Если образовать класс конечных множеств, равносильных множеству , то новому классу поставим в соответствие натуральное число «два» и обозначим его символом «2». Дальнейшее продолжение этого бесконечного процесса образования новых конечных множеств и соответствующих им классов приводит к образованию двух бесконечных последовательностей:
(а) бесконечной последовательности множеств (1); каждое из этих множеств служит представителем соответствующего класса;
(b) бесконечной последовательности натуральных чисел 1;2;3;…r
…(2), каждое из этих чисел являются характеристикой соответствующего класса.
Сравнение последовательностей (1) и (2) приводит к следующим выводам:
1). В (1) есть начальный элемент и в (2) есть начальный элемент 1;
2). В (1) за каждым множеством непосредственно следует единственное множество, в котором на один элемент больше, чем в множестве предыдущего класса, поэтому в (2) за каждым натуральным числом непосредственно следует только одно натуральное число, большее предыдущего на единицу.
3). В (1) каждый класс, кроме начального, непосредственно следует только за одним классом, поэтому в (2) каждое натуральное число, кроме единицы, непосредственно следует только за одним натуральным числом.
4). В (1) каждое множество данного класса является либо подмножеством любого множества следующего за ним класса, либо равносильно подмножеству любого множества следующего за ним класса, поэтому в (2) натуральные числа расположены так, что каждое из них меньше любого, следующего за ним: 1<2<3<…..<n
<n+
1<… (3).
Опираясь нам основные положения метода математической индукции, можно утверждать, что (2) – это последовательность натуральных чисел.
3. Использование последовательности натуральных чисел для определения численности конечного множества.
Определить численность конечного множества – это значит сосчитать количество элементов в этом множестве, для такого подсчета используется понятие отрезка .
Опр. 4.
Отрезком последовательности (2) называется множество первых натуральных чисел последовательности (2), не превосходящих числа «n
».
Пример
. .
Для определение численности, например, множества приведем последовательность его элементов во взаимно однозначное соответствие с элементами отрезка :
. Так как , то множеству К
можно поставить в соответствие число «6», это число называют числом элементов множества K: n(K)=6,
говорят, что число «6» выражает численность множества К.
Опр
. 5. Счетом
элементов множества называется процесс приведения во взаимно однозначное соответствие элементов множества К
с элементами отрезка натурального ряда .
При пересчете элементов конечного множества натурального ряда чисел выясняется не только количество элементов множества, но и определяется порядок расположения элементов в множестве. В первом случае натуральное число «n» показывает, сколько элементов содержит множество, «n» - называется количественным
числом. Во втором случае натуральное число «n» представляет собой порядковый номер некоторого элемента множества, оно называется порядковым числом.
4. Операция сложения чисел в множестве N
.
В множестве N натуральных чисел, кроме отношений равенства и неравенства, вводятся ряд операций. Каждую из операций можно ввести теорию на основе теории множеств.
Опр
.6
. Суммой двух данных натуральных чисел
называется натуральное число , где .
5) , - свойство монотонности суммы (при сложении неравных чисел получаем неравные числа того же смысла).
Последовательность
- это набор элементов некоторого множества. Бесконечная последовательность
- последовательность, которая задается функцией с областью определения N
. В том случае, когда эта функция числовая, то бесконечной числовой последовательностью
. Далее будем рассматривать числовые последовательности. Значение f
(n
), которое соответствует натуральному числу n
, называется n
-м членом последовательности. Иногда вместо f
(n
) используются обозначения a
n
, x
n
.
Примеры числовой последовательности:
f
(n
) = 3n
+ 2, откуда f
(1) = 5, f
(2) = 8,..., f
(100) = 302,... ;
f
(n
) = 1 + (-1) n
, откуда f
(1) = 0, f
(2) = 2,... или, в общем случае, f
(2k
- 1) = 0, f
(2k
) = 2 (k
∈ N
).
Как функцию числовую последовательность можно задавать различными способами. Формула, которая задает числовую последовательность, называется формулой n
-го (или общего) члена. С ее помощью можно получить значение любого элемента последовательности, подставив в формулу ее номер. Например: a
n
= 2 n
.
Существует еще один способ задания числовой последовательности - рекуррентный. Он выражает любой член последовательности через предыдущие. Например: a
n
= 2(a
n
-1 + 3), a
1 = 2. Тогда a
2 = 10, a
3 = 26,...
Если последовательность имеет конечное количество членов, она называется конечной. Например, конечной является последовательность трехзначных чисел: 100, 101, ... , 999. Она состоит из 900 элементов.
Последовательность называется возрастающей
, если для любого n
∈ N
выполняется неравенство a
n
a n
+1 .
Последовательность называется спадающей
, если для любого n
∈ N
выполняется неравенство a
n
> a
n
+1 .
Возрастающие и спадающие последовательности называются монотонными
.
Например, последовательность заданная формулой a
n
= n
/(n
+ 1), является монотонной, возрастающей, т.к. разница a
n
+1 - a
n
= (n
+ 1)/(n
+ 2) - n
/(n
+ 1) = 1/(n
+ 1)(n
+ 2) > 0. То есть a
n
a n
+1 . Последовательность с общим членом a
n
= 1 + (-1) n
не является монотонной, т.к. a
1 a 2 , а a
2 > a
3 .
Последовательность называется ограниченной сверху
M
∈ R
, что a
n
≤ M
.
Последовательность называется ограниченной снизу
, если существует такое число m
∈ R
, что a
n
≥ m
.
Например, последовательность a
n
= n
ограничена снизу, но не ограничена сверху. Последовательность a
n
= (-1) n
n
не ограничена ни сверху, ни снизу.
Последовательность называется ограниченной
, если она одновременно ограничена и сверху, и снизу.
Число a
называется границей последовательности (a
n
), если для любого ε > 0 существует натуральное число N
, такое, что для всех n
> N
выполняется неравенство |a
n
- a
| limn
→∞
a
n
= a
или a
n
→ a
.
Последовательность, которая имеет границу, называется сходящейся
. Последовательность, которая не имеет границу, называется расходящейся
.
Если lim
n
→∞
a
n
= 0, то последовательность (a
n
) называется бесконечно малой.
Свойства пределов числовой последовательности:
1. Если lim
n
→∞
a
n
= a
и lim
n
→∞
b
n
= b
, то lim
n
→∞
(a
n
+ b
n
) = a
+ b
;
2. Если lim
n
→∞
a
n
= a
и lim
n
→∞
b
n
= b
, то lim
n
→∞
(a
n
b
n
) = a
b
;
3. Если lim
n
→∞
a
n
= a
и lim
n
→∞
b
n
= b
≠ 0, то lim
n
→∞
(a
n
/b
n
) = a
/b
;
4. lim
n
→∞
c
a
n
= c
lim
n
→∞
a
n
, где c
∈ R
;
5. Если lim
n
→∞
a
n
= lim
n
→∞
b
n
= a
и a
n
≤ c
n
≤ b
n
, то lim
n
→∞
c
n
= a
.
6. Если lim
n
→∞
a
n
= a
, lim
n
→∞
b
n
= b
и a
n
b n
при n
∈ N
, то a
≤ b
.