Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Получим условия оптимальности, которым должна удов­летворять искомая управляющая последовательность. С этой це­лью интерпретируем сформулированную выше задачу как задачу математического программирования.

Представим критерий (4.2) как некоторую функцию искомого управления

Здесь под и и £ понимаются последовательности , , записанные для определенности в виде расширенных век­торов с размерностями (N+l)m и (N+l)r соответственно. Зависимость функции конеч­ного состояния J от и и неявная и проявляется через уравнение (4.1). Формально, задача оптимизации состоит в отыскании среди допустимых такого вектора и, который обращает в минимум кри­терий . А это - обычная задача математического программиро­вания. Необходимое условие оптимальности в такой задаче сводится к выполнению условия неотрицательности производной в искомой точке и по любому допустимому направлению , т. е.

Здесь и в дальнейшем запись используется для обозначения градиента скалярной функции J(и) по векторному аргумен­ту и, вычисленного в точке и = а. Под градиентом , как из­вестно, понимается вектор (столбец), составленный из первых частных производных функции / по всем аргументам вектора и. В данном случае можно представить следующим образом:

где через в свою очередь обозначен градиент функции J по отдельному вектору .

Поясним теперь термин допустимое направление. Под допусти­мым направлением понимается такой вектор, который, будучи добавленным к вектору и, не приведет к нарушению исходных ог­раничений по управлению ни при какой сколь угодно малой вели­чине модуля самого вектора бы. Другими словами, считается допустимым, если выполняется условие , где под U по­жимается совокупность всех допустимых множеств , а является достаточно малым неотрицательным числом. Отметим также, что выписывая те или иные частные производные, будем, естественно, полагать, не оговаривая специально, что они существуют.

С представленным здесь условием оптимальности работать трудно в виду того, что в нем используется расширенный вектор управления и, как правило, имеющий очень большую размерность. Преобразуем это условие к более простому виду. С этой целью среди множества допустимых векторов рассмотрим лишь те, ко­торые имеют ненулевые компоненты только в один единственный i -й момент. Другими словами, потребуем для всех , а при . Тогда условие оптимальности принимает более простой вид, а именно,

для всех допустимых т. е. удовлетворяющих условию

Так как соотношение (4.4) справедливо для любого момента , товместо одного условия оптимальности получаем це­лую совокупность условий оптимальности вида (4.4). Преимуще­ства этих условий заключаются в том, что в каждом из них участ­вует лишь один вектор управления размерности т.

Физический смысл каждого из условий (4.4) заключается в том, что вариация терминального критерия (4.2) за счет вариации уп­равления в i -й момент, вычисленная относительно оптимального управления, есть величина неотрицательная.

Условия оптимальности (4.4) в явном виде пока не связаны с исходной математической моделью. Установим эту связь. С этой целью раскроем производные , связав последние с уравнением (4.1). Сначала покажем, каким образом может быть вы­числена производная при любом управлении и и любом воз­мущении . Для этого продифференцируем функцию J = F(x N + l) по вектору с учетом связи (4.1). Можно записать следующую цепочку соотношений:

Здесь через обозначены матрицы частных производных функции по своим аргументам и соответст­венно. Причем эти матрицы сформированы по следующему прави­лу: каждый столбец матрицы представляет собой градиент соот­ветствующей компоненты вектор-функции по вектор-аргументу. Вводя формально обозначения

получаем более компактное выражение для производной

Введем теперь в рассмотрение также формально следующую скалярную функцию:

которая представляет собой по сути скалярное произведение век­тора , определяемого в соответствии с рекуррентным соотноше­нием (4.5), и вектора , являющегося правой частью исходного уравнения (4.1). Функция Н i определяемая согласно (4.7), назы­вается гамильтонианом. Подчеркнём, что в общем случае гамиль­тониан является случайной функцией, так как зависит от возму­щения . Как увидим в дальнейшем, гамильтониан является удоб­ной конструкцией при формировании как условий оптимальности, так и реализации различных численных методов оптимизации. Начнем с условий оптимальности. Нетрудно установить, что част­ные производные гамильтониана по своим аргументам имеют сле­дующий вид:

С учетом этого исходные уравнения движения (4.1), а также соотношения (4.5), определяющие вектор , могут быть приведе­ны к следующей канонической форме:

Уравнение для вектора принято называть сопряженным по отношению к исходному уравнению для вектора . Поэтому и сам вектор , удовлетворяющий системе (4.8), будем называть сопря­женным вектором. Для его определения при известном управлении необходимо, как это следует из системы (4.8), определить сначала траекторию движения в прямом времени при заданном начальном условии. И только после этого в обратном времени найти сопря­женный вектор с учетом найденной траектории и граничного усло­вия, накладываемого на вектор .Необходимо также иметь в виду, что в силу наличия случайного возмущения в правых частях уравнений системы (4.8) сопряженный вектор в общем случае также является случайным.

Если теперь вернуться к выражению (4.6), то с использовани­ем понятия гамильтониана его можно записать в виде

Учитывая, что, как правило, операции дифференцирования и ма­тематического ожидания перестановочны, а, следовательно, имеет место равенство

необходимые условия оптимальности (4.4) окончательно представить в виде следующей системы неравенств:

которые должны выполняться для всех допустимых .

Таким образом, необходимые условия оптимальности в задаче программирования управления системой (4.1) с целью достижения минимума критерия (4.2) заключаются в выполнении системы не­равенств (4.10), которые должны быть раскрыты с учетом исход­ной системы уравнений (4.1) и сопряженной системы уравнений (4.5) или, что то же самое, системы (4.8).

В общем случае непосредственное использование этих условий для решения задачи программирования оптимального управления затруднительно. Это связано с неконструктивностью самих усло­вий (4.10), которая проявляется в том, что трудно вообще исполь­зовать систему неравенств для отыскания оптимального решения. Трудности усугубляются, с одной стороны, наличием в этих нера­венствах операции математического ожидания (статистического осреднения по всем случайным факторам) и, с другой стороны, не­обходимостью для каждой конкретной реализации решать крае­вую задачу для системы уравнений (4.1) и (4.5). Оптимальное уп­равление при этом должно в каждой реализации привести к вы­полнению как краевого условия «слева» в начальный момент для системы (4.1), так и краевого условия «справа» в конечный мо­мент для системы (4.5).

Следует еще раз подчеркнуть, что соотношение (4.6) справед­ливо для любого фиксированного (не обязательно оптимального) управления. Поэтому оно может быть успешно использовано при получении оптимального управления с помощью численных мето­дов оптимизации, так как позволяет при фиксированном управле­нии с помощью одного просчета сначала по уравнению (4.1), а за­тем по уравнению (4.6) определить сразу все компоненты , вектора градиента в конкретной реализации. Использование соотношения (4.6) совместно с (4.1) и (4.5) для вычисления составляющих градиента в дальнейшем ради кратно­сти будем называть методом сопряженных систем.

Обсудим теперь наиболее распространенные частные случаи, когда необходимые условия оптимальности могут быть приведены к более конструктивной форме.

1. Ограничения на управление отсутствуют. В этом случае лю­бые векторы определяют допустимые направления, в том числе и векторы с одинаковыми модулями, но имеющие противополож­ные знаки. А это значит, что условия (4.10) могут быть выполне­ны лишь в виде строгих равенств

Следует отметить, что к этому случаю приходим также, когда ог­раничения на управления хотя и существуют, но выполняются ав­томатически.

Решение задачи программирования при этом сводится к ис­пользованию условия (4.11) на каждом шаге управления с целью выявления структуры управления и последующего решения систе­мы (4.8) с найденной структурой.

2. Случайные возмущения отсутствуют, , . Этот случай соответствует управлению детерминальной системой. Формально операция математического ожидания всюду опускает­ся и необходимые условия оптимальности (4.40) принимают вид

где гамильтониан и векторы , являются детерминирован­ными и определяются с помощью следующих соотношений:

Все трудности решения задачи с использованием условий опти­мальности, обсуждаемые раньше при рассмотрении стохастической системы, сохраняются и здесь. Упрощение состоит лишь в том, что, как уже указывалось, операция математического ожидания отсут­ствует ввиду отсутствия самих случайных факторов.

3. Множество допустимых управлений выпукло и гамильто­ниан является выпуклой по функцией. Прежде всего отме­тим, что каждое из условий (4.10) в общем случае может быть ин­терпретировано как необходимое условие минимума математиче­ского ожидания гамильтониана по вектору управления . Далее можно показать, что в случае выпуклости гамильтониана по выпуклой будет и функция . А известно , что в случае выпуклости минимизируемой функции на выпуклом множе­стве минимум является единственным и поэтому необходимые ус­ловия оптимальности будут одновременно и достаточными. Учиты­вая это, каждое условие системы (4.10) в рассматриваемом слу­чае оказывается эквивалентно условию достижения на оптималь­ном управлении математическим ожиданием гамильтониана своего минимального по управлению значения. Иными сло­вами, вместо (4.10) можно записать

где через , обозначено любое допустимое управление , a через - искомое оптимальное управление.

Естественно, возможны комбинации обсуждаемых частных слу­чаев и соответственно условий оптимальности. Так, например, в детерминированном случае, т. е. при отсутствии возмущений

() , и при выпуклости гамильтониана по необходимые условия оптимальности принимают вид

ОПТИМАЛЬНОСТИ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Условия, обеспечивающие оптимальность данного решения задачи вариационного исчисления в выбранном классе кривых сравнения.
О. д. у. слабого минимума (см. ): для того чтобы доставляла слабый функционалу

(1) при граничных условиях. y. (x 0) = y 0 ,y(x 1) = y 1 , достаточно, чтобы выполнялись следующие условия.

1) Кривая должна быть экстремалью, т. е. удовлетворять Эйлера уравнению

2) Вдоль кривой , включая ее концы, должно выполняться усиленное Лежандра условие

Fy"y" ( х, у, y" ) > 0.

3) Кривая должна удовлетворять усиленному Якоби условию, требующему, чтобы уравнения Якоби

(2) с начальными условиями

h(x 0)=0, h"(x 0) = 1

Функция Вейерштрасса, а и( х, у ) - наклон поля. экстремалей, окружающего

На самой экстремали условие (3) принимает

Условие (4) является необходимым для сильного минимума; оно наз. необходимым условием Вейерштрасса. Таким образом, в отличие от достаточных условий слабого минимума, к-рые требуют выполнения нек-рых усиленных необходимых условий в точках самой экстремали, в достаточных условиях сильного минимума требуется выполнение необходимого условия Вейерштрасса в нек-рой окрестности экстремали. В общем случае нельзя ослабить формулировку достаточных условий сильного минимума, заменив требование выполнения условия Вейерштрасса в окрестности экстремали на усиленное условие Вейерштрасса (условие (4) со знаком строгого неравенства) в точках экстремали (см. ).

Для неклассических вариационных задач, рассматриваемых в оптимального управления математической теории, существует несколько подходов к установлению О. д. у. абсолютного экстремума.

Пусть поставлена задача оптимального управления, в к-рой требуется определить минимум функционала

при условиях

где U - заданное замкнутое множество р-мерного пространства.

При использовании метода динамического программирования О. д. у. формулируются следующим образом. Для того чтобы управление u(t).было оптимальным управлением в задаче (5)-(8), достаточно, чтобы:

1) существовала такая S(x), к-рая имеет непрерывные частные производные при всех х, за исключением, быть может, нек-рого кусочно гладкого множества размерности меньше п, равна нулю в конечной точке х 1 , S (x 1 )=0, и удовлетворяет уравнению Беллмана

2) u(t)=v (x(t)), при , где v(х) - синтезирующая функция, определяемая из уравнения Беллмана:

В действительности при использовании метода динамич. программирования получается более сильный результат: О. д. у. для множества различных управлений, переводящих фазовую точку из произвольного начального состояния в заданное конечное состояние x 1 .

В более общем случае, когда рассматривается неавтономная система, т. е. подинтегральная функция и вектор-функция правых частей зависят еще и от времени t, функция Sдолжна зависеть от tи к левой части уравнения (9) следует добавить слагаемое . Имеется (см. ), в к-ром удалось снять весьма стеснительное и не выполняющееся в большинство задач, но обычно предполагаемое условие непрерывной дифференцируемости функции S(х).для всех х.

О. д. у. могут быть построены на основе принципа максимума Понтрягина. Если в нек-рой области Gфазового пространства осуществлен регулярный синтез, то все траектории, полученные с помощью принципа максимума при построении регулярного синтеза, являются оптимальными в области G.

Определение регулярного синтеза хотя и является довольно громоздким, но по существу не накладывает особых ограничений на задачу (5)-(8).

Существует другой подход к установлению О. д. у. (см. ). Пусть j(x) - функция, непрерывная вместе со своими частными производными при всех допустимых х, принадлежащих заданной области G, и

Для того чтобы пара , доставляла абсолютный минимум в задаче (5) - (8), достаточно существование такой функции j(x), что

Допускаются соответствующие изменения приведенной формулировки О. д. у. для более общих случаев неавтономной системы, задач с функционалами типа Майера и Больца (см. Больца задача ), а также для скользящих оптимальных режимов (см. ).

Исследовались вариационные задачи с функционалами в виде кратных интегралов и дифференциальными связями в форме уравнений с частными производными, в к-рых рассматриваются функции нескольких переменных (см. ).

Лит. : Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.- Л., 1950; Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; Беллман Р., Динамическое , пер. с англ., М., 1960; Болтянский В. Г., Математические методы оптимального управления, М., 1966; Кротов В. Ф., "Автоматика и телемеханика", 1962, т. 23, № 12, с. 1571-83; 1963, т. 24, № 5, с. 581-98; Бутковский А. Г., Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами, М., 1965. И. Б. Вапнярский.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ОПТИМАЛЬНОСТИ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ" в других словарях:

В теории оптимизации условия Каруша Куна Таккера (англ. Karush Kuhn Tucker conditions, KKT) необходимые условия решения задачи нелинейного программирования. Чтобы решение было оптимальным, должны быть выполнены некоторые… … Википедия

Решение задачи оптимального управления математической теории, в к рой управляющее воздействие u=u(t).формируется в виде функции времени (тем самым предполагается, что по ходу процесса никакой информации, кроме заданной в самом начале, в систему… … Математическая энциклопедия

В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Кротов. Вадим Фёдорович Кротов Дата рождения: 14 февраля 1932(1932 02 14) (80 лет) Место рождения … Википедия

Численные методы раздел вычислительной математики, посвященный методам отыскания экстремальных значений функционалов. Численные методы В. и. принято разделять на два больших класса: непрямые и прямые методы. Непрямые методы основаны на… … Математическая энциклопедия

С ядро (произносится цэ ядро) принцип оптимальности в теории кооперативных игр, представляющий собой множество эффективных распределений выигрыша, устойчивых к отклонениям любой коалиции игроков, то есть множество векторов, таких, что: и… … Википедия

С ядро принцип оптимальности в теории кооперативных игр, представляющий собой множество эффективных распределений выигрыша, устойчивых к отклонениям любой коалиции игроков, то есть множество векторов, таких, что: и для любой коалиции выполнено … Википедия

Минимальное значение, достигаемое функционалом J(у)на кривой, такое, что (1) для всех кривых сравнения у(х), удовлетворяющих условию e близости нулевого порядка: (2) на всем промежутке . Предполагается, что кривые удовлетворяют… … Математическая энциклопедия

- (род. 21 октября 1926, Новосибирск) российский математик. Заведующий кафедрой теоретической кибернетики математико механического факультета Санкт Петербургского государственного университета, член корреспондент Российской Академии Наук, академик… … Википедия

Владимир Андреевич Якубович (род. 21 октября 1926, Новосибирск) российский математик. Заведующий кафедрой теоретической кибернетики математико механического факультета Санкт Петербургского государственного университета, член корреспондент… … Википедия

Условия, обеспечивающие оптимальность данного решения задачи вариационного исчисления в выбранном классе кривых сравнения.
О. д. у. слабого минимума (см. ): для того чтобы кривая доставляла слабый минимум функционалу

(1) при граничных условиях. y. (x 0) = y 0 ,y(x 1) = y 1 , достаточно, чтобы выполнялись следующие условия.

1) Кривая должна быть экстремалью, т. е. удовлетворять Эйлера уравнению

2) Вдоль кривой , включая ее концы, должно выполняться усиленное Лежандра условие

Fy"y" ( х, у, y" ) > 0.

3) Кривая должна удовлетворять усиленному Якоби условию, требующему, чтобы решение уравнения Якоби

(2) с начальными условиями

h(x 0)=0, h"(x 0) = 1

не обращалось в нуль в точках замкнутого справа интервала

Коэффициенты уравнения Якоби (2), представляющего собой линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка, вычисляются вдоль экстремали и представляют известные функции от х.

Для сильного минимума достаточно, чтобы дополнительно, помимо перечисленных выше, выполнялось следующее условие.

4) Существует окрестность кривой , в каждой точке (x, у).к-рой при любом у" выполняется неравенство

Функция Вейерштрасса, а и( х, у ) - наклон поля. экстремалей, окружающего

На самой экстремали условие (3) принимает вид

Условие (4) является необходимым для сильного минимума; оно наз. необходимым условием Вейерштрасса. Таким образом, в отличие от достаточных условий слабого минимума, к-рые требуют выполнения нек-рых усиленных необходимых условий в точках самой экстремали, в достаточных условиях сильного минимума требуется выполнение необходимого условия Вейерштрасса в нек-рой окрестности экстремали. В общем случае нельзя ослабить формулировку достаточных условий сильного минимума, заменив требование выполнения условия Вейерштрасса в окрестности экстремали на усиленное условие Вейерштрасса (условие (4) со знаком строгого неравенства) в точках экстремали (см. ).

Для неклассических вариационных задач, рассматриваемых в оптимального управления математической теории, существует несколько подходов к установлению О. д. у. абсолютного экстремума.

Пусть поставлена задача оптимального управления, в к-рой требуется определить минимум функционала

при условиях

где U - заданное замкнутое множество р-мерного пространства.

При использовании метода динамического программирования О. д. у. формулируются следующим образом. Для того чтобы управление u(t).было оптимальным управлением в задаче (5)-(8), достаточно, чтобы:

1) существовала такая непрерывная функция S(x), к-рая имеет непрерывные частные производные при всех х, за исключением, быть может, нек-рого кусочно гладкого множества размерности меньше п, равна нулю в конечной точке х 1 , S (x 1 )=0, и удовлетворяет уравнению Беллмана

2) u(t)=v (x(t)), при , где v(х) - синтезирующая функция, определяемая из уравнения Беллмана:

В действительности при использовании метода динамич. программирования получается более сильный результат: О. д. у. для множества различных управлений, переводящих фазовую точку из произвольного начального состояния в заданное конечное состояние x 1 .

В более общем случае, когда рассматривается неавтономная система, т. е. подинтегральная функция и вектор-функция правых частей зависят еще и от времени t, функция Sдолжна зависеть от tи к левой части уравнения (9) следует добавить слагаемое . Имеется доказательство (см. ), в к-ром удалось снять весьма стеснительное и не выполняющееся в большинство задач, но обычно предполагаемое условие непрерывной дифференцируемости функции S(х).для всех х.

О. д. у. могут быть построены на основе принципа максимума Понтрягина. Если в нек-рой области Gфазового пространства осуществлен регулярный синтез, то все траектории, полученные с помощью принципа максимума при построении регулярного синтеза, являются оптимальными в области G.

Определение регулярного синтеза хотя и является довольно громоздким, но по существу не накладывает особых ограничений на задачу (5)-(8).

Существует другой подход к установлению О. д. у. (см. ). Пусть j(x) - функция, непрерывная вместе со своими частными производными при всех допустимых х, принадлежащих заданной области G, и

Для того чтобы пара , доставляла абсолютный минимум в задаче (5) - (8), достаточно существование такой функции j(x), что

Допускаются соответствующие изменения приведенной формулировки О. д. у. для более общих случаев неавтономной системы, задач с функционалами типа Майера и Больца (см. Больца задача ), а также для скользящих оптимальных режимов (см. ).

Исследовались вариационные задачи с функционалами в виде кратных интегралов и дифференциальными связями в форме уравнений с частными производными, в к-рых рассматриваются функции нескольких переменных (см. ).

Лит. : Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.- Л., 1950; Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; Беллман Р., Динамическое программирование, пер. с англ., М., 1960; Болтянский В. Г., Математические методы оптимального управления, М., 1966; Кротов В. Ф., "Автоматика и телемеханика", 1962, т. 23, № 12, с. 1571-83; 1963, т. 24, № 5, с. 581-98; Бутковский А. Г., Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами, М., 1965. И. Б. Вапнярский.

• - условия правильности утверждения А, без выполнения к-рых утверждение Азаведомо не может быть верным, и, соответственно, при выполнении.к-рых утверждение Азаведомо верно...

  Математическая энциклопедия

• - формальные описания различных представлений об оптимальном. Обычно О. п. отражают те или иные черты интуитивного понимания устойчивости, выгодности и справедливости...

  Математическая энциклопедия

• - условия, устанавливающие зависимость истинностик...

  Словарь логики

• - См.: необходимые и достаточные условия...

  Экономический словарь

• - применения принципов поглощения наказаний и сложения наказаний регламентированы в ч. 2 и 3 ст. 69 УК РФ. Однако в законе не урегулирован вопрос назначения наказания по совокупности преступлений, в которую входят...

  Словарь-справочник уголовного права

• - в математике, см. Необходимые и достаточные условия...

• Естествознание. Энциклопедический словарь

• - наиболее существенный признак оценок, определяющих условия достижения цели какой-либо деятельности...

  Строительный словарь

• - English: Work conditions Совокупность значений параметров электрооборудования, характеризующих его работу в чанный момент и при заданных условиях эксплуатации Источник: Термины и определения в электроэнергетике...

  Строительный словарь

• - критерий, согласно которому функционирование системы признается наилучшим из всех возможных вариантов...

  Словарь бизнес терминов

• - признак, по которому функционирование системы признается наилучшим из возможных вариантов...

  Большой бухгалтерский словарь

• - см. Необходимые и достаточные условия...
• - признак, на основании которого производится сравнительная оценка возможных решений и выбор наилучшего. Содержание К. о. объективно обусловлено многими факторами: характером общественного строя,...

  Большая Советская энциклопедия

• - Необходимыми условиями правильности утверждения А называются такие условия, без соблюдения которых утверждение А заведомо не может быть верным, а достаточными условиями правильности утверждения А...

  Большая Советская энциклопедия

• - количественный или порядковый показатель, выражающий предельную меру экономического эффекта принимаемого решения для сравнительной оценки возможных решений и выбора наилучшего...

  Большой энциклопедический словарь

• - в математике...

  Большой энциклопедический словарь

"ОПТИМАЛЬНОСТИ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ" в книгах

83. Классификация экономикоматематических методов по признакам оптимальности