Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Параллельность прямых на письме обозначают так: AB || С E

Возможность существования таких прямых доказывается теоремой.

Теорема.

Через всякую точку, взятую вне данной прямой, можно провести параллельную этой прямой .

Пусть AB данная прямая и С какая-нибудь точка, взятая вне ее. Требуется доказать, что через С можно провести прямую, параллельную AB . Опустим на AB из точки С перпендикуляр С D и затем проведем С E ^ С D , что возможно. Прямая CE параллельна AB .

Для доказательства допустим противное, т.е., что CE пересекается с AB в некоторой точке M . Тогда из точки M к прямой С D мы имели бы два различных перпендикуляра M D и MС , что невозможно. Значит, CE не может пересечься с AB , т.е. С E параллельна AB .

Следствие.

Два перпендикуляра (С E и DB ) к одной прямой (С D ) параллельны.

Аксиома параллельных линий.

Через одну и ту же точку нельзя провести двух различных прямых, параллельных одной и той же прямой.

Так, если прямая С D , проведенная через точку С параллельна прямой AB , то всякая другая прямая С E , проведенная через ту же точку С , не может быть параллельна AB , т.е. она при продолжении пересечется с AB .

Доказательство этой не вполне очевидной истины оказывается невозможным. Ее принимают без доказательства, как необходимое допущение (postulatum).

Следствия.

1. Если прямая (С E ) пересекается с одной из параллельных (СВ ), то она пересекается и с другой (AB ), потому что в противном случае через одну и ту же точку С проходили бы две различные прямые, параллельные AB , что невозможно.

2. Если каждая из двух прямых (A и B ) параллельны одной и той же третьей прямой (С ) , то они параллельны между собой.

Действительно, если предположить, что A и B пересекаются в некоторой точке M , то тогда через эту точку проходили бы две различные прямые, параллельные С , что невозможно.

Теорема .

Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой параллельной .

Пусть AB || С D и EF ^ AB .Требуется доказать, что EF ^ С D .

Перпендикуляр E F , пересекаясь с AB , непременно пересечет и С D . Пусть точка пересечения будет H .

Предположим теперь, что С D не перпендикулярна к EH . Тогда какая-нибудь другая прямая, например HK , будет перпендикулярна к EH и, следовательно через одну и ту же точку H будут проходить две прямые параллельные AB : одна С D , по условию, а другая HK по доказанному раньше. Так как это невозможно, то нельзя допустить, что СВ была не перпендикулярна к EH .

Страница 1 из 2

Вопрос 1. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Ответ. Теорема 4.1. Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Доказательство. Пусть прямые a и b параллельны прямой c. Допустим, что a и b не параллельны (рис. 69). Тогда они не пересекаются в некоторой точке C. Значит, через точку C проходят две прямые, параллельные прямой c. Но это невозможно, так как через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Теорема доказана.

Вопрос 2. Объясните, какие углы называются внутренними односторонними. Какие углы называются внутренними накрест лежащими?
Ответ. Пары углов, которые образуются при пересечении прямых AB и CD секущей AC, имеют специальные названия.
Если точки B и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренними односторонними (рис. 71, а).
Если точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренними накрест лежащими (рис. 71, б).

Рис. 71

Вопрос 3. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна 180°.
Ответ. Секущая AC образует с прямыми AB и CD две пары внутренних односторонних и две пары внутренних накрест лежащих углов. Внутренние накрест лежащие углы одной пары, например угол 1 и угол 2, являются смежными внутренним накрест лежащим углам другой пары: угол 3 и угол 4 (рис. 72).

Рис. 72

Поэтому если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны.
Пара внутренних накрест лежащих углов, например угол 1 и угол 2, и пара внутренних односторонних углов, например угол 2 и угол 3, имеют один угол общий – угол 2, а два других угла смежные: угол 1 и угол 3.
Поэтому если внутренние накрест лежащие углы равны, то сумма внутренних углов равна 180°. И обратно: если сумма внутренних накрест лежащих углов равна 180°, то внутренние накрест лежащие углы равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 4. Докажите признак параллельности прямых.
Ответ. Теорема 4.2 (признак параллельности прямых). Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть прямые a и b образуют с секущей AB равные внутренние накрест лежащие углы (рис. 73, а). Допустим, прямые a и b не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке C (рис. 73, б).

Рис. 73

Секущая AB разбивает плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка C. Построим треугольник BAC 1 , равный треугольнику ABC, с вершиной C 1 в другой полуплоскости. По условию внутренние накрест лежащие углы при параллельных a, b и секущей AB равны. Так как соответствующие углы треугольников ABC и BAC 1 с вершинами A и B равны, то они совпадают с внутренними накрест лежащими углами. Значит, прямая AC 1 совпадает с прямой a, а прямая BC 1 совпадает с прямой b. Получается, что через точки C и C 1 проходят две различные прямые a и b. А это невозможно. Значит, прямые a и b параллельны.
Если у прямых a и b и секущей AB сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то, как мы знаем, внутренние накрест лежащие углы равны. Значит, по доказанному выше, прямые a и b параллельны. Теорема доказана.

Вопрос 5. Объясните, какие углы называются соответственными. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то соответственные углы тоже равны, и наоборот.

Ответ. Если у пары внутренних накрест лежащих углов один угол заменить вертикальным ему, то получится пара углов, которые называются соответственными углами данных прямых с секущей. Что и требовалось объяснить.
Из равенства внутренних накрест лежащих углов следует равенство соответственных углов, и наоборот. Допустим, у нас есть две параллельные прямые (так как по условию внутренние накрест лежащие углы равны) и секущая, которые образуют углы 1, 2, 3. Углы 1 и 2 равны как внутренние накрест лежащие. А углы 2 и 3 равны как вертикальные. Получаем: \(\angle\)1 = \(\angle\)2 и \(\angle\)2 = \(\angle\)3. По свойству транзитивности знака равенства следует, что \(\angle\)1 = \(\angle\)3. Аналогично доказывается и обратное утверждение.
Отсюда получается признак параллельности прямых по соответственным углам. Именно: прямые параллельны, если соответственные углы равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 6. Докажите, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую. Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку, не лежащую на этой прямой?

Ответ. Задача (8). Даны прямая AB и точка C, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку C можно провести прямую, параллельную прямой AB.
Решение. Прямая AC разбивает плоскость на две полуплоскости (рис. 75). Точка B лежит в одной из них. Отложим от полупрямой CA в другую полуплоскость угол ACD, равный углу CAB. Тогда прямые AB и CD будут параллельны. В самом деле, для этих прямых и секущей AC углы BAC и DCA внутренние накрест лежащие. А так как они равны, то прямые AB и CD параллельны. Что и требовалось доказать.
Сопоставляя утверждение задачи 8 и аксиомы IX (основного свойства параллельных прямых), приходим к важному выводу: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну.

Вопрос 7. Докажите, что если две прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Ответ. Теорема 4.3 (обратная теореме 4.2). Если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Доказательство. Пусть a и b – параллельные прямые и c – прямая, пересекающая их в точках A и B. Проведём через точку A прямую a 1 так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей c с прямыми a 1 и b, были равны (рис. 76).
По признаку параллельности прямых прямые a 1 и b параллельны. А так как через точку A проходит только одна прямая, параллельная прямой b, то прямая a совпадает с прямой a 1 .
Значит, внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей с
параллельными прямыми a и b, равны. Теорема доказана.

Вопрос 8. Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Ответ. Из теоремы 4.2 следует, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
Предположим, что две какие-либо прямые перпендикулярны третьей прямой. Значит, эти прямые пересекаются с третьей прямой под углом, равным 90°.
Из свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, следует, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Вопрос 9. Докажите, что сумма углов треугольника равна 180°.

Ответ. Теорема 4.4. Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по по разные стороны от прямой BC (рис. 78).
Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и C равна углу ABD.
А сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD и секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.

Вопрос 10. Докажите, что у любого треугольника по крайней мере два угла острые.
Ответ. Действительно, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих двух углов уже не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°. Что и требовалось доказать.

соответственные углы : 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

внутренние накрест лежащие углы : 3 и 5, 4 и 6;

внешние накрест лежащие углы : 1 и 7, 2 и 8;

внутренние односторонние углы : 3 и 6, 4 и 5;

внешние односторонние углы : 1 и 8, 2 и 7.

Так, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но по доказанному ∠ 4 = ∠ 6.

Следовательно, ∠ 2 =∠ 8.

3. Соответственные углы 2 и 6 одинаковы, поскольку ∠ 2 = ∠ 4, а ∠ 4 = ∠ 6. Также убедимся в равенстве других соответственных углов.

4. Сумма внутренних односторонних углов 3 и 6 будет 2d, потому что сумма смежных углов 3 и 4 равна 2d = 180 0 , а ∠ 4 можно заменить идентичным ему ∠ 6. Также убедимся, что сумма углов 4 и 5 равна 2d.

5. Сумма внешних односторонних углов будет 2d, потому что эти углы равны соответственно внутренним односторонним углам , как углы вертикальные .

Из выше доказанного обоснования получаем обратные теоремы.

Когда при пересечении двух прямых произвольной третьей прямой получим, что:

1. Внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

или 2. Внешние накрест лежащие углы одинаковые;

или 3. Соответственные углы одинаковые;

или 4. Сумма внутренних односторонних углов равна 2d = 180 0 ;

или 5. Сумма внешних односторонних равна 2d = 180 0 ,

то первые две прямые параллельны.

Признаки параллельности двух прямых

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей:

накрест лежащие углы равны, или

соответственные углы равны, или

сумма односторонних углов равна 180°, то

прямые параллельны (рис.1).

Доказательство. Ограничимся доказательством случая 1.

Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что а || b.

Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 - внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 - внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.

Следствие 1 . Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны (рис.2).

Замечание. Способ, которым мы только что доказали случай 1 теоремы 1, называется методом доказательства от противного или приведением к нелепости. Первое название этот способ получил потому, что в начале рассуждения делается предположение, противное (противоположное) тому, что требуется доказать. Приведением к нелепости он называется вследствие того, что, рассуждая на основании сделанного предположения, мы приходим к нелепому выводу (к абсурду). Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное вначале допущение и принять то, которое требовалось доказать.

Задача 1. Построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М.

Решение. Проводим через точку М прямую р перпендикулярно прямой а (рис. 3).

Затем проводим через точку М прямую b перпендикулярно прямой р. Прямая b параллельна прямой а согласно следствию из теоремы 1.

Из рассмотренной задачи следует важный вывод:
через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести прямую, параллельную данной .

Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем.

Аксиома параллельных прямых. Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы.

1) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую (рис.4).

2) Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (рис.5).

Справедлива и следующая теорема.

Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:

накрест лежащие углы равны;

соответственные углы равны;

сумма односторонних углов равна 180°.

Следствие 2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой (см. рис.2).

Замечание. Теорема 2 называется обратной теореме 1. Заключение теоремы 1 является условием теоремы 2. А условие теоремы 1 является заключением теоремы 2. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна.

Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.

Пример 1. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что разность двух внутренних односторонних углов равна 30°. Найти эти углы.

Решение. Пусть условию отвечает рисунок 6.

Определение 1

Прямую $с$ называют секущей для прямых $а$ и $b$, если она пересекает их в двух точках.

Рассмотрим две прямые $a$ и $b$ и секущую прямую $с$.

При их пересечении возникают углы, которые обозначим цифрами от $1$ до $8$.

У каждого из этих углов есть название, которое часто приходиться употреблять в математике:

• пары углов $3$ и $5$, $4$ и $6$ называются накрест лежащими ;
• пары углов $1$ и $5$, $4$ и $8$, $2$ и $6$, $3$ и $7$ называют соответственными ;
• пары углов $4$ и $5$, $5$ и $6$ называют односторонними .

Признаки параллельности прямых

Теорема 1

Равенство пары накрест лежащих углов для прямых $a$ и $b$ и секущей $с$ говорит о том, что прямые $a$ и $b$ – параллельны:

Доказательство .

Пусть накрест лежащие углы для прямых $а$ и $b$ и секущей $с$ равны: $∠1=∠2$.

Покажем, что $a \parallel b$.

При условии, что углы $1$ и $2$ будут прямыми, получим, что прямые $а$ и $b$ будут перпендикулярными относительно прямой $АВ$, а значит – параллельными.

При условии, что углы $1$ и $2$ не являются прямыми, проведем из точки $О$ – середины отрезка $АВ$, перпендикуляр $ОН$ к прямой $а$.

На прямой $b$ отложим отрезок $BH_1=AH$ и проведем отрезок $OH_1$. Получаем два равных треугольника $ОНА$ и $ОH_1В$ по двум сторонам и углу между ними ($∠1=∠2$, $АО=ВО$, $BH_1=AH$), поэтому $∠3=∠4$ и $∠5=∠6$. Т.к. $∠3=∠4$, то точка $H_1$ лежит на луче $ОН$, таким образом точки $Н$, $О$ и $H_1$ принадлежат одной прямой. Т.к. $∠5=∠6$, то $∠6=90^{\circ}$. Таким образом, прямые $а$ и $b$ являются перпендикулярными относительно прямой $HH_1$ являются параллельными. Теорема доказана.

Теорема 2

Равенство пары соответственных углов для прямых $a$ и $b$ и секущей $с$ говорит о том, что прямые $a$ и $b$ – параллельны:

если $∠1=∠2$, то $a \parallel b$.

Доказательство .

Пусть соответственные углы для прямых $а$ и $b$ и секущей $с$ равны: $∠1=∠2$. Углы $2$ и $3$ являются вертикальными, поэтому $∠2=∠3$. Значит $∠1=∠3$. Т.к. углы $1$ и $3$ – накрест лежащие, то прямые $а$ и $b$ являются параллельными. Теорема доказана.

Теорема 3

Если сумма двух односторонних углов для прямых $a$ и $b$ и секущей $с$ равна $180^{\circ}C$, то прямые $a$ и $b$ – параллельны:

если $∠1+∠4=180^{\circ}$, то $a \parallel b$.

Доказательство .

Пусть односторонние углы для прямых $а$ и $b$ и секущей $с$ в сумме дают $180^{\circ}$, например

$∠1+∠4=180^{\circ}$.

Углы $3$ и $4$ являются смежными, поэтому

$∠3+∠4=180^{\circ}$.

Из полученных равенств видно, что накрест лежащие углы $∠1=∠3$, из чего следует, что прямые $а$ и $b$ являются параллельными.

Теорема доказана.

Из рассмотренных признаков вытекает параллельность прямых.

Примеры решения задач

Пример 1

Точка пересечения делит отрезки $АВ$ и $CD$ пополам. Доказать, что $AC \parallel BD$.

Дано : $AO=OB$, $CO=OD$.

Доказать : $AC \parallel BD$.

Доказательство .

Из условия задачи $AO=OB$, $CO=OD$ и равенства вертикальных углов $∠1=∠2$ согласно I-му признаку равенства треугольников следует, что $\bigtriangleup COA=\bigtriangleup DOB$. Таким образом, $∠3=∠4$.

Углы $3$ и $4$ – накрест лежащие при двух прямых $AC$ и $BD$ и секущей $AB$. Тогда согласно I-му признаку параллельности прямых $AC \parallel BD$. Утверждение доказано.

Пример 2

Дан угол $∠2=45^{\circ}$, а $∠7$ в $3$ раза больше данного угла. Доказать, что $a \parallel b$.

Дано : $∠2=45^{\circ}$, $∠7=3∠2$.

Доказать : $a \parallel b$.

Доказательство :

1. Найдем значение угла $7$:

$∠7=3 \cdot 45^{\circ}=135^{\circ}$.

1. Вертикальные углы $∠5=∠7=135^{\circ}$, $∠2=∠4=45^{\circ}$.
2. Найдем сумму внутренних углов $∠5+∠4=135^{\circ}+45^{\circ}=180^{\circ}$.

Согласно III-му признаку параллельности прямых $a \parallel b$. Утверждение доказано.

Пример 3

Дано : $\bigtriangleup ABC=\bigtriangleup ADB$.

Доказать : $AC \parallel BD$, $AD \parallel BC$.

Доказательство :

У рассматриваемых рисунков сторона $АВ$ – общая.

Т.к. треугольники $АВС$ и $ADB$ равны, то $AD=CB$, $AC=BD$, а также соответствующие углы равны $∠1=∠2$, $∠3=∠4$, $∠5=∠6$.

Пара углов $3$ и $4$ – накрест лежащие для прямых $АС$ и $BD$ и соответствующей секущей $АВ$, поэтому согласно I-му признаку параллельности прямых $AC \parallel BD$.

Пара углов $5$ и $6$ – накрест лежащие для прямых $AD$ и $BC$ и соответствующей секущей $АВ$, поэтому согласно I-му признаку параллельности прямых $AD \parallel BC$.