Конспект урока взаимно обратные функции. Обратная функция презентация к уроку по алгебре (10 класс) на тему. На уроке мне интересно было …………………

Цели урока:

Образовательные:

Развивающие:

Воспитательные:

Просмотр содержимого документа
«Методическая разработка урока "Взаимно-обратные функции"»

Урок в 10 классе по теме «Взаимно-обратные функции»

(по программе Алимова Ш.А.)

Тип урока : комбинированный.

Цели урока:

Образовательные:

Повторить и обобщить знания обучающихся по теме «Функция», изученные в 9 классе.

Познакомиться со взаимно обратными функциями, изучить условия существования обратной функции и ее свойства, научиться строить графики обратных функций.

Развивающие:

Развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, их интеллектуальные качества: способность к «видению» проблемы.

Формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли, исследовать, анализировать, сравнивать, делать выводы.

Развивать интерес учащихся к самостоятельному творчеству.

Развивать пространственное воображение учащихся.

Воспитательные:

Воспитывать умение работать с имеющейся информацией в необычной ситуации.

Воспитывать аккуратность и добросовестность.

Осуществлять эстетическое воспитание.

Оборудование:

мультимедийный проектор;
приложение к уроку: (Презентация.) – на электронном носителе;

Средства обучения: компьютеры, программа Excel, медиапроектор, слайдовая презентация.

Демонстрации: графики функций, построенные в одной системе координат.

Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, диалог, работа с текстом слайда, исследовательская работа в в тетради.

Методы: наглядный, словесный, графический, исследовательский.

Этапы урока:

Постановка цели урока и мотивация учебной деятельности. 2 мин

Повторение пройденного материала по теме «Функции и их графики». 10 мин

Этап объяснения нового материала. 10 мин

Операционно-исполнительная часть. Этап закрепления. 10 мин

Контроль знаний (рабочий лист с тестом на бумажном носителе) 5 мин

Задание на дом. 1 мин

Рефлексивно-оценочный этап. 2 мин

Ход урока.

1. Вступительное слово учителя. Установочная беседа. Психологический настрой учащихся.

Сегодняшний урок у вас не совсем обычный: учитель математики Елена Семеновна из Платошинской средней школы, гости – учителя математики и методисты вашей школы и управления образования Пермского района.

На уроке мы с вами должны повторить и обобщить знания обучающихся по теме «Функция», изученные в 9 классе, познакомиться со взаимно обратными функциями, изучить условия существования обратной функции и ее свойства, научиться строить графики обратных функций. Пожелаем друг другу успехов и плодотворной работы.

2. Повторение пройденного материала по теме «Функции и их графики». Презентация.

Слайды 2-10. Фронтальная работа с классом.

3. Изучение нового материала. Обучающая беседа с элементами исследования и демонстрацией (слайды 11-24)

Пример зависимости. Каждому значению функции соответствует одно значение аргумента.

Для таких функций можно выразить обратную зависимость значений аргумента от значений функции.

Задание.

Найдите область определения и область значений взаимно-обратных функций.

4. Закрепление знаний.

5. Контроль знаний.

6. Задание на дом: изучить стр. 46-50, решить № 132, № 133, № 134

7. Рефлексивно-оценочный этап.

На уроке я научился(лась)………………………….

На уроке мне интересно было …………………....

Трудно было ………………………………………….

Знания, полученные на уроке, я могу использовать …………………………………………

Цели урока:

Образовательная:

формировать знания по новой теме в соответствии с программным материалом;
изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной;

Развивающая:

развивать навыки самоконтроля, предметную речь;
овладеть понятием обратная функция и усвоить методы нахождения обратной функции;

Воспитательная: формировать коммуникативную компетентность.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, интерактивная доска SMART Board, раздаточный материал (самостоятельная работа) для работы в группе.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Цель – подготовка учащихся к работе на уроке:

Определение отсутствующих,

Настрой учащихся на работу, организация внимания;

Сообщение темы и цели урока.

2. Актуализация опорных знаний учащихся. Фронтальный опрос.

Цель - установить правильность и осознанность изученного теоретического материала, повторение пройденного материала.<Приложение 1 >

Для учащихся на интерактивной доске демонстрируется график функции. Учителем формулируется задание – рассмотреть график функции и перечислить изученные свойства функции. Учащиеся перечисляют свойства функции в соответствии со схемой исследования. Учитель справа от графика функции маркером на интерактивной доске записывает названные свойства.

Свойства функции:

По окончании исследования учитель сообщает, что сегодня на уроке они познакомятся еще с одним свойством функции – обратимостью. Для осмысленного изучения нового материала учитель предлагает ребятам познакомиться с основными вопросами, на которые учащиеся должны дать ответ по окончании урока. Вопросы записаны на обыкновенной доске и в виде раздаточного материала есть у каждого ученика (раздается до урока)

Какая функция называется обратимой?
Любая ли функция обратима?
Какая функция называется обратной данной?
Как связаны область определения и множество значений функции и обратной ей функции?
Если функция задана аналитически, как задать формулой обратную функцию?
Если функция задана графически, как построить график обратной ей функции?

3. Объяснение нового материала.

Цель - формировать знания по новой теме в соответствии с программным материалом; изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной; развивать предметную речь.

Учитель проводит изложение материала в соответствии с материалом параграфа. На интерактивной доске учитель проводит сравнение графиков двух функций, у которых области определения и множества значений одинаковы, но одна из функций монотонна, а другая нет, тем самым подводит учащихся под понятия обратимой функции.

Затем учитель формулирует определение обратимой функции и проводит доказательство теоремы об обратимой функции, используя график монотонной функции на интерактивной доске.

Определение 1: Функцию y=f(x), x X называют обратимой , если любое свое значение она принимает только в одной точке множества X.

Теорема: Если функция y=f(x) монотонна на множестве X , то она обратима.

Доказательство:

Пусть функция y=f(x) возрастает на Х и пусть х 1 ≠х 2 - две точки множества Х .
Для определенности пусть х 1 < х 2 .
Тогда из того, что х 1 < х 2 следует, что f(х 1) < f(х 2) .
Таким образом, разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, т.е. функция обратима.

(По ходу доказательства теоремы учитель маркером делает все необходимые пояснения на чертеже)

Перед тем как сформулировать определение обратной функции учитель просит учащихся определить, какая из предложенных функций обратима? На интерактивной доске показаны графики функций и записаны несколько аналитически заданных функций:

Б)

Г) y = 2x + 5

Д) y = -x 2 + 7

Учитель вводит определение обратной функции.

Определение 2: Пусть обратимая функция y=f(x) определена на множестве Х и Е(f)=Y . Поставим в соответствие каждому y из Y то единственное значение х , при котором f(x)=y. Тогда получим функцию, которая определена на Y , а Х – область значений функции

Эту функцию обозначают x=f -1 (y) и называют обратной по отношению к функции y=f(x) .

Учащимся предлагается сделать вывод о связи между областью определения и множеством значений обратных функций.

Для рассмотрения вопроса о способах нахождения функции обратной данной, учитель привлек двух учащихся. Ребята накануне получили задание у учителя самостоятельно разобрать аналитический и графический способы нахождения функции обратной данной. Учитель выступил в роли консультанта при подготовке учащихся к уроку.

Сообщение первого ученика.

Замечание: монотонность функции, является достаточным условием существования обратной функции. Но оно не является необходимым условием.

Учащийся привел примеры различных ситуаций, когда функция не монотонна, но обратима, когда функция не монотонна и не обратима, когда монотонна и обратима

Затем ученик знакомит учащихся со способом нахождения обратной функции, заданной аналитически.

Алгоритм нахождения

Убедиться, что функция монотонна.
Выразить переменную х через у.
Переобозначить переменные. Вместо х=f -1 (y) пишут y=f -1 (x)

Затем решает два примера на нахождение функции обратной данной.

Пример 1: Показать, что для функции y=5x-3 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Решение. Линейная функция y=5x-3 определена на R, возрастает на R и область ее значений есть R. Значит, обратная функция существует на R. Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение y=5x-3 относительно х; получим Это и есть искомая обратная функция. Она определена и возрастает на R.

Пример 2: Показать, что для функции y=x 2 , х≤0 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Функция непрерывна, монотонна в своей области определения, следовательно, она обратима. Проанализировав области определения и множества значений функции, делается соответствующий вывод об аналитическом выражении для обратной функции.

Второй ученик выступает с сообщением о графическом способе нахождения обратной функции. В ходе своего объяснения ученик использует возможности интерактивной доски.

Чтобы получить график функции y=f -1 (x), обратной по отношению к функции y=f(x), надо график функции y=f(x)преобразовать симметрично относительно прямой y=x.

Во время объяснения на интерактивной доске выполняется следующее задание:

Построить в одной системе координат график функции и график обратной ей функции. Запишите аналитическое выражение обратной функции.

4. Первичное закрепление нового материала.

Цель – установить правильность и осознанность понимания изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления материала, провести их коррекцию.

Учащиеся делятся на пары. Им раздаются листы с заданиями, в которых они и выполняют работу в парах. Время на выполнение работы ограничено (5-7 мин). Одна пара учащихся работает на компьютере, проектор на это время выключается и остальным ребятам не видно, как работают учащиеся на компьютере.

По окончании времени (предполагается, что с работой справилось большинство учащихся) на интерактивной доске (вновь включается проектор) показывается работа учащихся, где и выясняется в ходе проверки правильность выполнения задания в паре. При необходимости учителем проводится коррекционная, разъясняющая работа.

Самостоятельная работа в парах <Приложение 2 >

5. Итог урока. По вопросам, которые были заданы перед началом лекции. Объявление оценок за урок.

Домашнее задание §10. №№ 10.6(а,в) 10.8-10.9(б) 10.12 (б)

Алгебра и начала анализа. 10 класс В 2-х частях для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) /А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова и др.; под ред. А.Г.Мордковича, М: Мнемозина, 2007 год

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Обратная функция

Повторим Если каждому значению х из некоторого множества действительных чисел поставлено в соответствие по определенному правилу f число у, то, говорят, что на этом множестве задана функция. D(f) – область определения функции; х – независимая переменная или аргумент; у – зависимая переменная; множество всех значений y=f(x) , x ϵ Х называют областью значений функции и обозначают E(f) .

Задача Пусть дана функция y=f(x) Найти значение функции в точке х=х 0 Например: Найти значение функции у=5х+7 в точке х=7. у(7)=5∙7+7 Ответ: у(7)=42 =35+7=42 Прямая Задача Пусть дана функция y=f(x) Найти значение аргумента в точке у=у 0 Например: Дана функция у=5х+7. Найти значе - ние аргумента при котором у=22. 22=5х+7 5х=22-7 5 x=15 х=15:5 x =3 Ответ: у(3)=22 Обратная

Задача Пусть дан закон изменения скорости движения от времени Найти закон изменения времени от скорости. Решение: 0 – gt = gt = – 0 t= Обратимая функция Обратная функция к

Если функция принимает каждое свое значение у только при одном значении x , то эту функцию называют обратимой. Пусть обратимая функция. Тогда каждому из множества значений функции соответствует одно определенное число из области определения, такое, что Это соответствие определяет функцию от, которую обозначим. Поменяем местами и: Функцию называют обратной к функции. Обозначают.

Пример Найти функцию, обратную функции Решение: Ответ:

y x 5 0 D(y)= (; 5) E(y)= (; 0) y 0 5 x D(y)= (; 0) E(y)= (; 5)

Свойства обратных функций: Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции Монотонная функция является обратимой: а) если функция возрастает, то обратная к ней функция также возрастает; б) если функция убывает, то обратная к ней функция также убывает.

Пример Показать, что для функции существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение. Решение: Функция возрастает на R . Значит, обратная функция существует на R . Решим уравнение относительно. Получим, Поменяв местами и получим: Это и есть искомая обратная функция.

Пример Дана функция Доказать, что для нее существует обратная функция, записать аналитическое выражение обратной функции в виде и построить график обратной функции.

Решение: Функция возрастает на промежутке значит, она имеет обратную функцию. Из уравнения находим: или. Промежутку принадлежат лишь значения функции.

Поменяв местами и получим График этой функции получается из графика функции с помощью симметрии относительно прямой.

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

Вариант 2

Проведите исследование функции и постройте ее график:

III. Изучение нового материала

По аналитическому виду функции для любого значения аргумента легко найти соответствующее значение функции у. Часто возникает обратная задача: известно значение у и необходимо найти значение аргумента x , при котором оно достигается.

Пример 1

Найдем значение аргумента х, если значение функции равно: а) 2; б) 7/6; в) 1.

Из аналитического вида функции выразим переменную х и получим: 4 xy - 2у = 3 x + 1 или х(4у - 3) = 2у + 1, откуда . Теперь легко решить задачу:

Функцию называют обратной по отношению к функции . Так как принято аргумент функции обозначать буквой х, а значение функции - буквой у, то обратную функцию записывают в виде

Дадим необходимые для изучения темы понятия.

Определение 1. Функцию у = f (x ), х ∈ Х называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке х множества X (другими словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции). В противном случае функцию называют необратимой.

Пример 2

Функция каждое свое значение принимает только в одной точке х и является обратимой (график а). Функция имеет такие значения у (например, у = 2), которые достигаются в двух различных точках x , и является необратимой (график б).

При рассмотрении темы полезна следующая теорема.

Теорема 1. Если функция у = f (х), х ∈ X монотонна на множестве X, то она обратима.

Пример 3

Вернемся к предыдущему примеру. Функция убывает (монотонна) и обратима на всей области определения. Функция немонотонна и необратима. Однако эта функция возрастает на промежутках (-∞; -1] и . Поэтому на таких промежутках функция обратима. Например, функция обратима на отрезке x ∈ [-1; 1].

Определение 2. Пусть у = f (х), х ∈ Х - обратимая функция и E (f ) = Y . Поставим в соответствие каждому Y то единственное значение х, при котором f (x ) = у (т. е. единственный корень уравнения f (x ) = у относительно переменной х). Тогда получим функцию, которая определена на множестве Y (множество X - ее область значений). Эту функцию обозначают х – f -1 (y ), y ∈ Y и называют обратной по отношению к функции у = f (х), х ∈ X. На рисунке показаны функция у = f (х) и обратная функция x = f -1 (y ).

Прямая и обратная функции имеют одинаковую монотонность.

Теорема 2. Если функция у = f (х) возрастает (убывает) на множестве X, а У - ее область значений, то обратная функция x = f -1 (y ) возрастает (убывает) на множестве Y .

Пример 4

Функция убывает на множестве и имеет множество значений Обратная функция также убывает на множестве и имеет множество значений Очевидно, что графики функций и совпадают, так как эти функции приводят к одной и той же зависимости между переменными х и у: 4ху - 3х - 2у - 1 = 0.

Для нас привычно, что аргумент функции обозначают буквой х, значение функции - буквой у. Поэтому обратную функцию будем записывать в виде у = f -1 (x ) (см. пример 1).

Теорема 3. Графики функции у = f (х) и обратной функции у = f -1 симметричны относительной прямой у = х.

Пример 5

Для функции у = 2х - 4 найдем обратную функцию: у + 4 = 2х, откуда х = 1/2у + 2. Введем переобозначения х ↔ у и запишем обратную функцию в виде у = 1/2х + 2. Таким образом, для функции f (х) = 2х – 4 обратная функция f -1 (x ) = 1/2х + 2. Построим графики этих функций. Видно, что графики симметричны относительной прямой у = х.

Функция f -1 (x ) = 1/2х + 2 обратная по отношению к функции f (х) = 2х - 4. Но и функция f (х) = 2х - 4 является обратной по отношению к функции f -1 (x ) = 1/2х + 2. Поэтому функции f (х) и f -1 (х) корректнее называть взаимообратными. При этом выполнены равенства: f -1 (f (х)) = х и f (f -1 (x ) = x .

IV. Контрольные вопросы

1. Обратимые и необратимые функции.

2. Обратимость монотонной функции.

3. Определение обратной функции.

4. Монотонность прямой и обратной функций.

5. Графики прямой и обратной функций.

V. Задание на уроке

§ 3, № 1 (а, б); 2 (в, г); 3 (а, г); 4 (в, г); 5 (а, в).

VI. Задание на дом

§ 3, № 1 (в, г); 2 (а, б); 3 (б, в); 4 (а, б); 5 (б, г).

VII. Подведение итогов урока

Взаимно обратные функции и их графики

(обобщающее повторение по пройденному материалу)

Какой из графиков соответствует графику функции у=х 3 имеет ли он обратную?

Какой из графиков соответствует графику функции имеет ли он обратную?

Какой из графиков соответствует графику

функции имеет ли он обратную

Какой график соответствует функции?

1 группа: ответ а) объясняют почему

Какой функции соответствует график? 1 . у = х 3 2 . 3 . у = х 4 4 . у = х -2 5 . 6 . у = х -1

на графике функции

D(y)=(-:0) U(0;+)

Укажите область определения данной

на графике функции

Укажите область значений данной на графике функции

Е (y)=(- ; 2) U(2 ;+)

Найти функцию, обратную данной у = g ( x )

Если функция (2) обратна к функции (1), то такие функции называют взаимно-обратными.

Найти область определения и множество значений для данных функций.

D (у)= (- ∞ ;2) ∪ (2;+ ∞)
Е(у)=(- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)

D (у)= (- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)

2. Е(у)= (-∞;2)∪(2;+∞)

Область определения обратной функции g(x) совпадает с множеством значений исходной функции f ( x ), а множество значений обратной функции g(x) совпадает с областью определения исходной функции f(x) :

D( g(x) ) = E( f(x )), E( g(x )) = D( f(x )).

Монотонная функция является обратимой:

если функция f (x) возрастает, то обратная к ней функция g (x) также возрастает;
Если функция f (x) убывает, то обратная к ней функция g (x) также убывает.