]). Авторы объясняют появление этого названия тем, что одним из краеугольных камней излагаемой теории является неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим и его обобщения. Добавим также, что первоначальной базой для ГП послужили некоторые геометрические задачи и методы их решения. Именно геометрия с древнейших времен занималась, в частности, решением задач на отыскание фигур, обладающих определенными экстремальными свойствами. Для решения таких задач часто использовалось геометрическое неравенство Коши и его обобщения. Одной из самых известных задач этого класса является, так называемая, задача Дидоны .

Задача Дидоны

Задача Дидоны , или классическая изопериметрическая задача, формулируется следующим образом: среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь .

Эту задачу связывают с именем Дидоны - основательницы города Карфаген и его первой царицы. Согласно легенде, финикийская царевна Дидона (Элисса), спасаясь от преследований своего брата, царя Тира, отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище. Ей приглянулось место на побережье нынешнего Тунисского залива. Дидона вступила в переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она совсем немного - столько, сколько можно окружить бычьей шкурой . Дидоне удалось уговорить Ярба. Сделка состоялась, и тогда хитроумная Дидона изрезала шкуру быка, которую ей предоставили местные жители, на узкие полоски, связала их и окружила территорию, на которой основала крепость, а вблизи от нее - город Карфаген.

Если учесть, что Дидона выбирала участок, примыкающий к берегу моря, то задачу, стоящую перед Дидоной, можно сформулировать так: какой формы должна быть кривая длины , чтобы площадь фигуры, ограниченная этой кривой и заданной линией , была наибольшей. В предположении, что - прямая линия, решением задачи является полуокружность длины .

Неравенство Коши

Решение частного случая задачи Дидоны, когда требуется определить, какой из прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь , было известно еще математикам Древней Греции. Более того, эта геометрическая задача считается самой древней задачей на экстремум . Решение этой задачи приведено в VI книге "Начал" Евклида, где доказывается, что если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше площади прямоугольника.

Решение задачи Дидоны для прямоугольников и некоторых других частных случаев этой задачи легко получить с помощью неравенства Коши , которое устанавливает, что среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического:

Равенство достигается только при .

Доказательство неравенства Коши в общем виде занимает много места, поэтому здесь мы приведем доказательство этого неравенства только при :

Покажем теперь на примерах, как неравенство Коши может быть использовано для решения оптимизационных геометрических задач.

Пример 1 (задача Дидоны для прямоугольников) . Найдем длины сторон прямоугольника с периметром , имеющего наибольшую площадь .

Обозначим длины сторон прямоугольника через и , а его площадь - через . Тогда математическая модель задачи примет вид:

при ограничениях:

Воспользуемся неравенством Коши при :

Неравенство (2) обращается в равенство при . Таким образом, прямоугольником наибольшей площади, имеющим заданный периметр , является квадрат, длина стороны которого равна .

Пример 2 (обратная задача Дидоны для прямоугольников) . Найдем длины сторон прямоугольника с площадью , имеющего наименьший периметр .

Используем обозначения, введенные в примере 1. Тогда математическая модель задачи примет вид:

при ограничениях:

Из неравенства (1) вытекает, что

Следовательно, . Это неравенство обращается в равенство при . Таким образом, прямоугольником наименьшего периметра, имеющим заданную площадь , является квадрат, длина стороны которого равна .

Пример 3 (задача Дидоны для параллелепипедов) . Площадь поверхности параллелепипеда равна . Определим, при каких длинах сторон его объем будет максимальным .

Обозначим длины сторон параллелепипеда через , и , а его объем - через . Тогда математическая модель задачи примет вид:

при ограничениях:

Воспользуемся неравенством Коши при для чисел , и :

Неравенство (4) обращается в равенство при , откуда следует: . Из (3) имеем: . При этом максимальный объем

Таким образом, параллелепипед максимального объема с площадью поверхности имеет форму куба со стороной . Аналогично можно показать, что параллелепипед объема c минимальной площадью поверхности имеет форму куба.

Пример 4 (задача Дидоны для треугольников) . Найдем длины сторон треугольника с периметром , имеющего наибольшую площадь .

Обозначим длины сторон треугольника через , и . Площадь треугольника вычислим по формуле Герона. Математическая модель задачи примет вид

при ограничениях:

Воспользуемся неравенством Коши при для чисел , , :

Отсюда следует

Из (5) получим

Неравенство (13) обращается в равенство при , т. е. при условии . Из (6) получим

Таким образом, треугольником с периметром , имеющим наибольшую площадь , является равносторонний треугольник со стороной .

При решении более сложных задач применяется также геометрическое неравенство или обобщенное неравенство Коши , которое непосредственно связано с двойственностью в ГП (см. лекцию 4):

(8)

Используя неравенство (8), можно доказать две теоремы, которые широко применяются для оценивания нелинейных функций.

Теорема 1 Решением экстремальной задачи

при ограничениях

является вектор с компонентами

Замечательное неравенство Коши.

Это знаменитое неравенство принадлежит французскому математику О.Коши, которое было опубликовано в 1821 году. В то время его доказательство занимало несколько страниц сложных выкладок и было основано на методе математической индукции. С тех пор появилось несколько десятков различных доказательств этого неравенства.

Теорема. Для неотрицательных чисел
справедливо неравенство Коши

Равенство достигается тогда и только тогда, когда
.

Доказательство. Пусть числа - положительны и
. Это число называется средним геометрическим положительных чисел , при
(если n=1, то
).

Возведём обе части равенства в n – ную степень. Получим

Умножим числитель и знаменатель этого равенства на

, n = 2, 3, 4, 5,…

Применим неравенство Бернулли (
), заменив в нём q на
. Получим

Таким образом

Если n = 2, то
;

Если n = 3, то
;

Если n = 4, то
;

……………………………..

Сложим эти неравенства почленно, получим:

Перенесём влево, разделим неравенство на n .

, где

Таким образом
.

Равенство достигается, когда все а равны.

Это неравенство справедливо и для неотрицательных чисел.

Существуют и другие варианты записи неравенства Коши:

Возведём обе части неравенства Коши в n - ную степень

Получим:

Рассмотрим задачи на применение неравенства Коши.

Задача № 1. Произведение положительных чисел
. Доказать, что

Решение. Применим неравенство Коши:

;

Задача №2. Решить уравнение:

Решение. При х = 2 правая часть уравнения равна 2, а при
будет меньше 2, поскольку каждое слагаемое меньше 1. Итак, правая часть не превосходит 2. Левую часть представим в виде

(х>1)

Применим неравенство Коши для слагаемых
и
.

(х > 1)

Таким образом правая часть уравнения не превосходит 2, а левая часть не меньше 2. Равенство достигается если обе части равны двум, то есть

Значит при х = 2.

Ответ: х = 2

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

С помощью неравенства Коши можно находить наибольшее и наименьшее значения функции без использования производной. Для этого потребуются утверждения, вытекающие непосредственно из неравенства Коши:

Задача № 1. Найти наименьшее значение функции
,
.

Решение. Представим функцию
в виде суммы слагаемых

.

Найдем произведение этих слагаемых

.

Это означает, что своё наименьшее значение сумма слагаемых принимает при
, то есть при
.

.

Ответ: у = 4 – наименьшее значение функции, которое достигается при х = 1 .

Задача № 2. Найти наибольшее значение функции
на отрезке
.

Решение. Возведём функцию в квадрат, получим:

, разделим обе части на 4:

.

Представим произведение в виде произведения

.

Найдём сумму этих множителей

,

то есть сумма принимает постоянные значения. Следовательно, функция
, а значит и функция достигает наибольшего значения при
.

Найдём значения функции в этих точках

Следовательно, наибольшее значение функции равно
при
.

Задача № 3. При каких значениях х функция достигает наибольшего значения?

Решение. Запишем функцию
в виде

Найдем сумму этих 5 сомножителей

Применим неравенство Коши для n = 5

Следовательно, функция достигает наибольшего значения равного
, если

Ответ: при
функция достигает наибольшее значение.

Задача № 4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
.

Решение. Найдём область определения функции
.

1)
- наименьшее значение, так как
.

2) Применим неравенство Коши для n = 2 для слагаемых
и
.

, то есть функция имеет наибольшее значение , оно достигается, если

Действительно,
.

Ответ:

.

Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными.

Метод анализа .

Это метод, основанный на анализе исследуемого неравенства, причём таком анализе, с помощью которого «обратимыми» рассуждениями строят цепочку переходов от доказываемого неравенства (через ряд промежуточных) к некоторому очевидному (благодаря ранее полученным результатам) неравенству.

Рассмотрим решение задачи методом анализа.

Задача № 1. Доказать, что для любых действительных чисел a , b , c , d таких, что
и
, выполнимо неравенство
.

Решение. Рассмотрим цепочку переходов от одного неравенства к другому, ему равносильному, учитывая, что и по условию.

Возведём обе части в квадрат, так как они неотрицательны:

Подставим значения c ² и d ² из условия .

Получили очевидное неравенство.

Метод синтеза.

Это метод, основанный на получении (синтезировании) неравенства (которое требуется обосновать) из опорных (базисных) неравенств и методов их установления.

Решим задачу, используя метод синтеза.

Задача № 2. Докажите, что для любых неотрицательных a , b , c справедливо неравенство

Решение. Запишем три неравенства, устанавливающие зависимость между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел

;
;

Перемножим почленно полученные неравенства, так как их левая и правая части неотрицательны

Метод от противного.

Суть метода состоит в том, что предполагается выполнение всех условий задачи, а вот само неравенство не выполнено. После чего проводится цепочка равносильных преобразований и выявляется гипотеза, устанавливающая противоречия о выполнении данного неравенства.

Рассмотрим задачу № 1, решённую методом анализа. Решим её методом от противного. . Свойства числовых неравенств . Неравенства одинакового смысла. Неравенства противоположного смысла. Среднее арифметическое. Среднее геометрическое Неравенство Коши ... положительного числа. Стандартный вид положительного ...

1. Введение

2. Множества в Евклидовом пространстве

Основные метрические понятия

а) Угол между векторами

б) Неравенство треугольника

3. Комплексные пространства со скалярным произведением

Скалярное произведение (Основные метрические понятия)

а) Неравенство Коши–Буняковского

б) Неравенство треугольника

Введение

Коши Огюстен Луи (1789-1857) - знаменитый французский математик. Доказал ряд замечательных теорем в области анализа, теории функций комплексного переменного, теории дифференциальных уравнений и т. д. Большая заслуга Коши - разработка курса анализа, в котором, в частности, он предложил ставшие классическими определения предела, непрерывности функции и т. п.

Решительный шаг к созданию прочного фундамента анализа был сделан в 20-е годы прошлого века французским математиком О. Коши (1789-1857), предложившим точные определения пределов функции и последовательности и на их основе доказавшим многие фундаментальные теоремы анализа. Несколько раньше (1821 г.) определения предела и непрерывности, целый ряд других замечательных результатов (в том числе знаменитый пример функции, непрерывной на промежутке, но не имеющей производной ни в одной его точке) получил чешский математик Б. Больцано (1781 -1848), но его работы стали известны много позднее.

Определение предела функции по Коши формулируется так: «Число А называется пределом функции f (х) при х, стремящемся к а (т.е. ), если для любого числа можно подобрать такое число >0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< | x-а |< ».

Опираясь на это определение, уже нетрудно дать определение непрерывности в точке: функция f непрерывна в точке x0 если limf(x)=f(x0)

Формулировка определения предела последовательности такова: «Число А является пределом последовательности если для любого существует номер N, такой, что при всех n>N верно неравенство | ».

О. Л. Коши внес также большой вклад в развитие математического анализа. О. Л. Коши хорошо известен каждому человеку, изучавшему математический анализ своими результатами в области математического анализа.

Множества в Евклидовом Пространстве

Основные метрические понятия

п.1 Угол между векторами. Угол между парой векторов x и y мы будем называть тот угол (в пределах от 0 до 1800), косинус которого равен отношению .

Чтобы это определение можно было применить в общем евклидовом пространстве, необходимо доказать, что указанное отношение по абсолютной величине не превосходит единицы, каковы бы ни были векторы x и y.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим векторы , где – вещественное число. В силу аксиомы о положительно определенной форме скалярного произведения векторов при любом

Используя формулу

,

мы можем написать это неравенство в виде

В левой части неравенства стоит квадратный трехчлен относительно с постоянными коэффициентами. Трехчлен этот не может иметь различных вещественных корней, так как тогда он не мог бы сохранять знака для всех значений . Поэтому дискриминант этого трехчлена не может быть положительным. Следовательно,

,

откуда,извлекая квадратный корень, получаем

, (1)

что и требовалось.

Неравенство (1) называют неравенством Коши–Буняковского.

а) В пространстве V3 неравенство Коши–Буняковского, очевидно, вытекает из самого определения скалярного произведения как произведение длин векторов и косинуса угла между ними.

б) В пространстве Rn неравенство Коши–Буняковского имеет вид

;

оно справедливо для любой пары векторов и или, что-то же самое, для любых двух систем вещественных чисел и .

в) В пространстве R2(a,b) неравенство Коши–Буняковского имеет вид

.

Рассмотрим более подробно неравенство Коши в пространстве Rn. Для начала дадим определение n–мерного евклидового пространства Rn

Def. n–мерное точечное пространство, в котором расстояние между точками определено по данной формуле , называется n–мерным евклидовым пространством и обозначается Rn .*. Составим вспомогательную функцию от вещественной переменной x, сводящуюся к квадратному трехчлену.

Неравенство Коши-Буняковского

В предыдущем пункте у нас остался пробел. Мы определили угол между векторами и формулой

Для того чтобы можно было определить из этого равенства, нужно доказать, что

или, что то же самое, что

Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского.

Итак, для того чтобы иметь право определить угол между двумя векторами формулой (5), мы должны доказать неравенство Коши-Буняковского 2.5.

Чтобы доказать его, рассмотрим вектор, где -- произвольное действительное число. Согласно аксиоме 4 скалярного произведения

т.е. для любого

Мы видим, что стоящий слева квадратный относительно трехчлен принимает лишь неотрицательные значения. Следовательно, дискриминант уравнения

не может быть положительным, т.е.

что и требовалось доказать.

Приведем пример неравенства, являющегося следствием неравенства Коши-Буняковского.

Для любых векторов и в евклидовом пространстве имеет место неравенство

Доказательство.

так как (в силу неравенства Коши-Буняковского) , то

т.е. , что и требовалось доказать. (См. также 3, стр.)

Использование векторного неравенства Коши-Буняковского при решении задач по алгебре

В рассматриваемых ниже примерах используется векторное неравенство Коши - Буняковского и его следствие

| · | || · || , (I)

· || · || , (II)

Заметим, что знак «=» достигается а) в неравенстве (I), если векторы и коллинеарны; б) в неравенстве (II), если векторы и сонаправлены.

Пусть векторы и и v имеют координаты: (х1, у1, z1), (x2, y2, z2). Тогда неравенства (I) и (II) примут вид:

Из неравенств(I) и (II) в том случае, когда имеет место знак «=», следует, что = , где 0, что эквивалентно системе

Перейдем теперь к решению примеров

Пример 1. Решить систему уравнений.

Решение. На первый взгляд может показаться, что данная система имеет бесконечное множество решений (три переменных и два уравнения). Однако такое мнение ошибочно. Как будет показано далее, система (1)-(2) имеет единственное решение.

Рассмотрим векторы: и. Тогда

Так как и, то

Учитывая (3) и (4), имеем: и*е= и * е

Следовательно, на основании (3) x=y=z , а с учетом (1) получаем, что х=у=z=

Ответ: (1/3, 1/3, 1/3).

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. Эта система, аналогично предыдущей, на первый взгляд кажется неопределенной, но, в отличие от предыдущей, она не имеет решений.

Положим (x2, y2, z2) и (1; 2; 2). Тогда очевидно, что || = 1, || = и || · || = . Из (6) следует, что · =. Получается · > || · ||, что невозможно. Следовательно, система (5) - (6) решений не имеет.

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение. Нетрудно убедиться, что данная система не имеет решений, в которых хотя бы одно переменное было, равно нулю. Поэтому, разделив обе части уравнения (1) на х2у2z2 , мы получаем систему, равносильную данной.

Рассмотрим векторы (,), (x, 2y, z).

Тогда · = 12. Из (1,a) и (2) следует, что || = 4 и || = 3. Таким образом,

· = || · ||. (4)

Из (4) на основании (III) следует, что

откуда y2 = и z2 =. Тогда из уравнения (2) имеем:

откуда х = ± . При этом y = ± и z = ± .

Из полученных значений х, у и z составим восемь троек чисел:

Каждая из приведенных троек является решением уравнений (1) и (2) данной системы. Далее нужно установить, какая из них является решением уравнения (3).

Проверкой убеждаемся, что только две тройки и удовлетворяют уравнению (3) и потому являются решениями данной системы.

Покажем теперь применение неравенств (I) и (II) при доказательстве неравенств.

Пример 4. Доказать, что для произвольных чисел а, b и с справедливо неравенство:

a2b2 + b2c2 + a2c2 abc(a + b + c). (1)

Решение. Введем векторы: (ab, bc, ca) и (ас, аb, bс). Для них имеем:

· = а2bс + аb2c + abс2 = abc(a + b + c), (2)

· = а2b2 + b2c + a2с2. (3)

Из (2) и (3) на основании (II) следует (1).

Пример 5. Доказать, что если а, b, с и d - неотрицательные числа, то имеет место неравенство

Решение. Введем векторы (,) и (,). Тогда

Пример 6. Доказать, что если

Решение. Введем векторы: (х, у) и (1, 1). Тогда

Калинин Сергей Иванович,доктор педагогических наук, заведующий кафедрой математического анализа и методики обучения математике ФГБОУ ВПО Вятскийгосударственныйгуманитарныйуниверситет»,г. Киров[email protected]

Неравенство Коши: новое индуктивное доказательство и некоторые применения к решению задач

Аннотация. В статье рассматривается новое доказательство обобщенного неравенства Коши для арифметикогеометрических средних положительных чисел, использующее метод прямой и обратной индукции. Приводятся примеры применения простого и обобщенного неравенств Коши при решении задач повышенного уровня сложности школьного курса математики.Ключевые слова: средние арифметическое и геометрическое, неравенство Коши, задачи повышенного уровня сложности школьного курса математики.

Напомним читателю упоминаемое в заголовке неравенство для средних арифметического и геометрического положительных чисел. Это есть неравенство

в котором равенство достигается тогда и только тогда, когда. Данное неравенство было открыто великим французским математиком Огюстеном Луи Коши в 1821г. и потому по праву носит его имя. В образовательной математике неравенство Коши хорошо известно, оно регулярно обсуждается на страницах научнометодических и научнопопулярныхизданий, с его помощью эффективно решаются многие задачи на доказательство алгебраических и тригонометрических неравенств, геометрических соотношений, на решение уравнений и их систем, на нахождение наибольшего и наименьшего значений переменных величин, атакже геометрических экстремумов.Наряду с неравенством 1 в тематике средних величин часто рассматривается и так называемое обобщенное, или весовоенеравенство Коши

где, –взвешенные среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел

соответственно, а

–числа, называемые весами. В 2 равенство снова достигается только при условии.Ясно, что неравенство 1 получается из 2 при совпадении всех весов.В учебном пособии по спецкурсу 1] мы рассмотрели не один десяток доказательств неравенств 1–2, использующих принципиально различные подходы. В частности, в § 2 главы 3 цитируемого пособия приводится индуктивное доказательство неравенства 1, приписываемое самому Коши. Подчеркнем, что доказательство Коши основывается на методе прямой и обратной индукции подругому, индукции вверх и вниз 2, с. 13–14], или ветвящейся» индукции 3, глава 9 И. С. Рубанова, с. 105]. Его суть состоит в том, что после установления базы индукции для переходом от к неравенство 1 доказывается для всехn, являющихся степенями двойки что соответствует прямой индукции. Затем показывается, что справедливость неравенства 1 для nчисел, влечет его выполнение и для n–1 чисел обратная индукция. В настоящей заметке мы описанную технику Коши при установлении 1 хотим реализовать иначе. Выполним это, нацеливаясь одновременно на обоснование неравенства 2, обобщающего 1.Сначала установим базу индукции, т. е. покажем, что справедливо неравенство

в котором равенство достигается тогда и только тогда, когда.Для доказательства 3 применим неравенство Иенсена 4, с. 58]

для вогнутой выпуклой вверх функции, полагая

Будем иметь:,

равенство в последнем соотношении достигается только при условии логарифмическая функция не есть линейная функция. Отсюда следует неравенство 3 вместе с обоснованием условий достижения в нем равенства. База индукции установлена.Предположим теперь, что неравенство 2 справедливо для, т. е.

при этом равенство в 4 достигается тогда и только тогда, когда. Покажем, что неравенство 2 будет иметь место и для, при этом равенство в нем будет достигаться только, если. Имеем:

в цепочке преобразований сначала мы дважды применили оценку снизу на основании индуктивного предположения, а затем еще одну аналогичную оценку –на основании базы индукции. Нетрудно видеть, что равенство в соотношении будет достигаться толькотогда, когда, и, т.е. при условии. Нужное показано.С учетом базы реализованная прямая индукция позволяет заключить, что неравенство 2 справедливо для всех n, являющихся степенями двойки. Реализуем обратную индукцию.Предположим, что неравенство 2 справедливо для некоторого. Покажем, что оно будет выполняться и при. Действительно, в неравенстве положим. Будем иметь:

Отсюда следует, что

Легко видеть, что равенство в последнем неравенстве будет иметь место только при совпадении всех чисел. Неравенство 2 полностью обосновано.Замечание. Предлагаем читателю реализовать подход Коши к доказательству неравенства 1 в отношении обобщенного неравенства 2.Рассмотрим несколько применений неравенств 1–(2).Задача 15]. Докажите неравенство, . Решение. Данное неравенство можно доказать как с помощью простого неравенства Коши1, так и обобщенного 2, потому рассмотрим два способа решения задачи.Iспособ.

В цепочке соотношений трижды применялось неравенство Коши 1 для двух положительных чисел. IIспособ.. Здесь применяется неравенство Коши 2 к величинам с весами 1, 3, 4. Второе решение задачи –экономичнее.Задача 26]. Докажите неравенство (N) .Решение. По обобщенному неравенству Коши можно записать:

В произведенной оценке знак неравенства строгий, так как числа являются различными. Отсюда следует доказываемое неравенство.Задача 37]. Докажите, что.Решение. В силу неравенства Коши 1, имеем оценку:

Задача 4.Для треугольника со сторонами докажите неравенство

где p–полупериметр треугольника.

Решение. Используя неравенство Коши для взвешенных среднего арифметического и среднего геометрического величин cвесами 1, 2, 3, 1, 2, 3, имеем оценку:

В котором знак неравенства –строгий, ибо не выполняется условие. Задача 58]. Докажите, что среди всех треугольников данной площади наименьший периметр имеет правильный треугольник. Решение. Пусть –стороны треугольника, p–его полупериметр. По формуле Герона площадь Sтреугольника выразится так: . Оценим Sсверху, применив неравенство Коши для чисел:

Таким образом, откуда. В последнем неравенстве равенство возможно лишь при условии, т. е. при. Это говорит о том, что наименьший периметр будет у правильного треугольника. Задача 6. Решите уравнение.Решение. Область определения неизвестного данного уравнения есть промежуток. На этом промежутке правую часть уравнения оценим снизу, используя неравенство Коши 1: .

Заметим, равенство в произведенной оценке достигается только, если, или. Легко видеть, что, причем равенство в этом соотношении достигается только при. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень.Замечание. В приведенном решении оценку можно получить посредством применения обобщенного неравенства Коши:

Задача 7.Решите систему уравнений Решение. По простому неравенству Коши из первого уравнения системы имеем оценку, следовательно, первое уравнение эквивалентно условию, или. Отсюда, в силу второго уравнения системы, получаем уравнение относительно: . Оно имеет два решения, значит, соответствующие значения для будут, . Проверкой убеждаемся, что данная система имеет единственное решение.Задача 8. Решите уравнение.Решение. Рассматриваемое уравнение задано на множестве. Перепишем его в виде.

Левую часть последнего уравнения оценим снизу, используя неравенство Коши 2 для взвешенных среднего арифметического и среднего геометрического степеней и с весами и: =1.

Следовательно, данное уравнение равносильно уравнению

Так как, то все сводится к решению уравнения.

Из последнего находим, что. Найденные значения лежат в области допустимых значений уравнения, значит, это искомые корни. Рассмотрим уравнение, навеянное задачей 8.Задача 9 .Решите уравнение.Решение. Данное уравнение схоже с предыдущим. Очевидно, оно также определено на множестве. Запишем его в равносильной форме

Левую часть последнего уравнения оценим снизу, применяя неравенство 2. Для этого положим, . Имеем:

В произведенной оценке равенство достигается лишь при условии

которое в силу равенства эквивалентно условию. Отсюда находим искомые корни.Ссылки на источники1.Калинин С. И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана: учебноепособие по спецкурсу. –Киров: Издво ВГГУ, 2002. –368 с.2.Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. –М.: Мир, 1965. –276 с.3.Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. –Киров: Издво АСА», 1994. –272с.4.Ижболдин О., Курляндчик Л. Неравенство Иенсена // Квант. –1990. –№ 4. –С.57–62.5.Галицкий М.Задачи по алгебре для 8–9 классов // Математика: Еженедельное приложение к газете Первое сентября». –1998. –№ 6. –С. 7–10. 6.Вересова Е. Е. и др.Практикум по решению математических задач. –М.: Просвещение,1979. 7.Квант. –1985. –№ 11. –С. 25.8.Курляндчик Л. Д.Приближение к экстремуму //Квант. –1981. –№ 1.–С. 21–25.

9.Калинин С.И.Два родственных» уравнения // Математика в школе. –2002. –№ 6. –С. 70–71.

Kalinin Sergey, Doctor of Education, Chief of mathematical analysis and methods of teaching mathematics chair in Vyatka State University of Humanities, [email protected]

Inequality Cauchy: a new inductive proof and some applications to solving problemsAbstract. The article is devoted to a new proof of the generalized Cauchy inequality for arithmetical and geometrical mean of positive numbers, using the method of forward and backward induction. We give examples of simple and generalized Cauchy inequalities to solve problems of high levels of school mathematics.Keywords: arithmetic and geometric averages, the Cauchy inequality, the problem of high levels of schoolmathematics.