1 . Сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника больше суммы его двух противоположных сторон.

2 . Если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника

а) равны, то диагонали четырёхугольника перпендикулярны;

б) перпендикулярны, то диагонали четырёхугольника равны.

3 . Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на её средней линии.

4 . Стороны параллелограмма равны и . Тогда четырёхугольник, образованный пересечениями биссектрис углов паралле­лограмма, является прямоугольником, диагонали которого равны .

5 . Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.

6 . На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD взяты точки М и N так, что прямые МС и NC делят параллелограмм на три равновеликие части. Найдите MN, если BD=d.

7 . Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключённый внутри трапеции, разбивается ее диагоналями на три части. Тогда отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой.

8 . Через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями и проведена прямая, параллельная основаниям. Отрезок этой прямой, заключенный между боковыми сторонами трапеции, равен .

9 . Трапеция разделена прямой, параллельной её основаниям, равным и , на две равновеликие трапеции. Тогда отрезок этой прямой, заключённый между боковыми сторонами, равен .

10 . Если выполняется одно из следующих условий, то четыре точки А, В, С и D лежат на одной окружности.

а) CAD=CBD = 90°.

б) точки А и В лежат по одну сторону от прямой CD и угол CAD равен углу CBD.

в) прямые АС и BD пересекаются в точке О и О А ОС=ОВ OD.

11 . Прямая, соединяющая точку Р пересечения диагоналей четырехугольника ABCD с точкой Q пересечения прямых АВ и CD, делит сторону AD пополам. Тогда она делит пополам и сторону ВС.

12 . Каждая сторона выпуклого четырёхугольника поделена на три равные части. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены отрезками. Тогда эти отрезки делят друг друга на три равные части.

13 . Две прямые делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Тогда между этими прямыми заключена треть площади четырёхугольника.

14 . Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то отрезок, соединяющий точки, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон четырёхугольника, проходит через точку пересечения диагоналей.

15 . Если суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, то в такой четырёхугольник можно вписать окружность.

16. Свойства вписанного четырёхугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R. Его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Р. Тогда

а) медиана треугольника АРВ перпендикулярна стороне CD;

б) ломаная АОС делит четырёхугольник ABCD на две равновеликие фигуры;

в) АВ 2 +CD 2 =4R 2 ;

г) АР 2 +ВР 2 +СР 2 +DP 2 = 4R 2 и АВ 2 +ВС 2 +CD 2 +AD 2 =8R 2 ;

д) расстояние от центра окружности до стороны четырёхугольника вдвое меньше противоположной стороны.

е) если перпендикуляры, опущенные на сторону AD из вершин В и С, пересекают диагонали АС и BD в точках Е и F, то BCFE - ромб;

ж) четырёхугольник, вершины которого - проекции точки Р на стороны четырёхугольника ABCD, - и вписанный, и описанный;

з) четырёхугольник, образованный касательными к описанной окружности четырёхугольника ABCD, проведёнными в его вершинах, можно вписать в окружность.

17 . Если a, b, c, d - последовательные стороны четырёхугольника, S - его площадь, то , причем равенство имеет место только для вписанного четырёхугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

18 . Формула Брахмагупты. Если стороны вписанного четырехугольника равны a, b, с и d, то его площадь S может быть вычислена по формуле ,

где - полупериметр четырехугольника.

19 . Если четырёхугольник со сторонами а , b, с, d можно вписать и около него можно описать окружность, то его площадь равна .

20 . Точка Р расположена внутри квадрата ABCD, причем угол PAB равен углу РВА и равен 15°. Тогда треугольник DPC - равносторонний.

21 . Если для вписанного четырёхугольника ABCD выполнено равенство CD=AD+ВС, то биссектрисы его углов А и В пересекаются на стороне CD.

22 . Продолжения противоположных сторон АВ и CD вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке М, а сторон AD и ВС - в точке N. Тогда

а) биссектрисы углов AMD и DNC взаимно перпендикулярны;

б) прямые МQ и NQ пересекают стороны четырёхугольника в вер­шинах ромба;

в) точка пересечения Q этих биссектрис лежит на отрезке, соеди­няющем середины диагоналей четырёхугольника ABCD.

23 . Теорема Птолемея. Сумма произведений двух пар противопо­ложных сторон вписанного четырёхугольника равна произведению его диагоналей.

24 . Теорема Ньютона. Во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на одной прямой.

25 . Теорема Монжа. Прямые, проведённые через середины сторон вписанного четырёхугольника перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в одной точке.

27 . Четыре круга, построенных на сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах, покрывают весь четырёхугольник.

29 . Два противоположных угла выпуклого четырёхугольника - тупые. Тогда диагональ, соединяющая вершины этих углов, меньше другой диагонали.

30. Центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма вне его, сами образуют квадрат.

Повторение теории и решение задач
Четырёхугольники

На этом уроке мы повторим и обобщим все полученные знания при изучении главы «Четырехугольники». Вспомним определения, свойства и признаки таких фигур, как параллелограмм, трапеция, прямоугольник, ромб, квадрат. Отдельно выделим специфические свойства этих фигур и их частные случаи (равнобедренная трапеция, прямоугольная трапеция). Затем повторим теорему Фалеса и решим несколько примеров, которые демонстрируют применение всех изученных фактов к указанным фигурам.

Тема: Четырехугольники

Урок: Повторение теории и решение задач

Ранее мы уже познакомились с такими видами четырехугольников, как параллелограмм и трапеция, и их частными случаями - прямоугольником, ромбом и квадратом. Мы изучили их основные свойства и признаки. Сегодня мы повторим и обобщим все полученные нами знания по этой теме.

Повторим основной теоретический материал.

Трапеция - это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны (см. Рис. 1).

Рис. 1. Трапеция

Выделяют два отдельных типа трапеций: равнобедренную и прямоугольную.

Равнобедренная трапеция - это трапеция, в которой боковые стороны равны (см. Рис. 2).

Рис. 2. Равнобедренная трапеция

Прямоугольная трапеция - это трапеция, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию (см. Рис. 3).

Рис. 3. Прямоугольная трапеция

Отдельно стоит вспомнить такой важный элемент трапеции, как ее средняя линия.

Средняя линия трапеции - это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (см. Рис. 4).

Рис. 4. Средняя линия трапеции

Основные свойства средней линии трапеции :

1. - параллельна основаниям трапеции;

2. - равна их полусумме.

Параллелограмм - четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 5).

Рис. 5. Параллелограмм

Основные свойства параллелограмма :

Чтобы иметь возможность при решении задач пользоваться указанными свойствами, нам необходимо понимать, является ли указанный четырехугольник параллелограммом или нет. Для этого необходимо знать признаки параллелограмма.

Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны (см. Рис. 6), то этот четырехугольник - параллелограмм. параллелограмм.

Рис. 6. Первый признак параллелограмма

Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны (см. Рис. 7), то этот четырехугольник - параллелограмм. параллелограмм.

Рис. 7. Второй признак параллелограмма

Теорема. Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам (см. Рис. 8), то этот четырехугольник - параллелограмм. параллелограмм.

Рис. 8. Третий признак параллелограмма

Теперь повторим частные случаи параллелограмма.

Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые (см. Рис. 9).

Рис. 9. Прямоугольник

Замечание. Очевидным эквивалентным определением прямоугольника (иногда его именуют признаком прямоугольника) можно назвать следующее. Прямоугольник - это параллелограмм с одним углом . Это утверждение практически очевидно, и мы оставим его без доказательства, пользуясь далее как определением.

Т.к. прямоугольник, как это видно из определения, является частным случаем параллелограмма, то ему присущи все ранее описанные свойства параллелограмма, однако у него имеются и свои специфические свойства, которые мы сейчас рассмотрим.

Теорема. Свойство прямоугольника . Диагонали прямоугольника равны (см. Рис. 10).

Рис. 10. Свойство прямоугольника

Теорема. Признак прямоугольника . Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм - прямоугольник (см. Рис. 11).

Рис. 11. Признак прямоугольника

Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны (см. Рис. 12).

Рис. 12. Ромб

Замечание. Для определения ромба достаточно указывать даже более короткое утверждение, что это параллелограмм, у которого равны две смежные стороны .

Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма, т.к. является его частным случаем, но имеет и свое специфическое свойство.

Теорема. Свойство ромба . Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам (см. Рис. 13).

Рис. 13. Свойство ромба

Квадрат - 1) прямоугольник, у которого стороны равны; 2) ромб, у которого углы прямые (см. Рис. 14). Указанные определения эквивалентны и применяются в любой удобной форме.

Рис. 14. Квадрат

Квадрату присущи свойства тех фигур, частным случаем которых он является (параллелограмм, прямоугольник, ромб). Перечислим их.

Основные свойства квадрата (см. Рис. 15):

1. Все углы прямые.

2. Диагонали равны.

3. Диагонали перпендикулярны.

4. Точка пересечения делит диагонали пополам.

5. Диагонали делят углы квадрата пополам.

Рис. 15. Свойства квадрата

Теперь, когда мы перечислили и вспомнили основные свойства основных изученных четырехугольников, мы можем закрепить эти знания на примере решения задач.

Пример 1. (Обобщенная задача на трапецию и параллелограмм). Дана трапеция или параллелограмм (см. Рис. 16). биссектрисы углов при боковой стороне трапеции (параллелограмма). Найти угол между биссектрисами .

Решение. Это пример задачи, демонстрирующий схожесть некоторых свойств параллелограмма и трапеции, в нем не важно, какая конкретно из этих двух фигур задана. Изобразим рисунок.

Рис. 16

Биссектрисы, они делят соответствующие углы пополам, обозначим их и .

По свойству трапеции (параллелограмма) .

Рассмотрим : .

Вспомним формулировку теоремы Фалеса.

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, которые пересекают стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (см. Рис. 17).

Рис. 17. Теорема Фалеса

Рассмотрим задачу на трапецию с применением теоремы Фалеса.

Пример 2. Боковая сторона трапеции разделена на три равные части, и из точек деления проведены к другой стороне отрезки, параллельные основаниям. Найдите длину этих отрезков, если основания трапеции равны 2 м и 5 м.

Решение. Изобразим Рис. 18 со всеми элементами, которые пригодятся нам в процессе решения. Известно, что . Найти длины .

Рис. 18

Для того, чтобы воспользоваться теоремой Фалеса относительно угла , проведем прямые .

Сначала рассмотрим параллелограмм , в нем по свойству .

Вернемся к проведенным параллельным прямым, по теореме Фалеса: . . Поскольку отрезок разделен на три равные части, то .

Теперь, если внимательно посмотреть на параллелограммы, образованные пересечениями линий с проведенными нами прямыми , можно легко определить длины отрезков : , .

Пример 3. Основания трапеции относятся как 2:3. Средняя линия равна 5 м. Найдите основания.

Решение. Изобразим Рис. 19 и укажем, что нам дано: . Найти и .

Рис. 19

Поскольку известно, что , то выразим основания трапеции через условные части : . Запишем свойство средней линии трапеции:

Пример 4. Через данную точку внутри угла проведите прямую, отрезок которой, заключенный внутри этого угла, делился бы данной точкой пополам.

Решение. Внутри угла с вершиной дана точка . Изобразим это на Рис. 20 со всеми элементами, которые понадобятся нам для решения задачи.

Рис. 20

Отложим отрезок из точки через точку так, чтобы , затем проведем отрезки , получим точки пересечения со сторонами угла и соответственно. Соединим эти точки прямой, она и будет искомой. Докажем это.

Построенная фигура является параллелограммом, т.к. по построению имеет параллельные противоположные стороны, отрезки являются диагоналями параллелограмма, следовательно, по его свойству точкой пересечения () делятся пополам и , что и требовалось по условию задачи.

Ответ. Искомая прямая - .

Пример 5. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр прямоугольника равен 56 см. Найдите стороны прямоугольника.

Решение. Изобразим Рис. 21.

Рис. 21

Опустим из точки пересечения диагоналей перпендикуляры на стороны, длины которых и будут расстояниями от точки пересечения диагоналей до сторон прямоугольника. Обозначим отрезок , тогда по условию . Поскольку получаем, что . Подставим это в формулу периметра прямоугольника:

Сегодня мы повторили и закрепили знания по теме «четырехугольники». На следующем уроке мы поговорим о симметрии в четырехугольниках.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. - М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. - М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

1. Problems.ru ().
2. Oldskola1.narod.ru ().
3. Pedsovet.su ().

Домашнее задание

1. Стр. 55-59: № 49-58 (по одному любому пункту). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. - М.: Просвещение, 2011.
2. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Определить углы ромба.
3. В прямоугольном треугольнике прямой угол разделён пополам; из точки пересечения биссектрисы и гипотенузы проведены прямые, параллельные катетам. Доказать, что четырёхугольник, образованный этими прямыми и катетами, есть квадрат.
4. Боковая сторона трапеции разделена на 4 равные части, и через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям трапеции. Найти длины отрезков этих параллельных прямых, заключённых между боковыми сторонами трапеции, если основания трапеции равны 23 см и 15 см.
5. Построить квадрат по диагонали.

Решение варианта №245. Ларин

1. В школе уроки начинаются в 8:30, каждый урок длится 45 минут, все перемены кроме одной, длятся 10 минут, а перемена между вторым и третьим уроком - 20 минут. Сейчас на часах 13:00.
   Через сколько минут прозвенит ближайший звонок с урока?

   Решение

   Задание 1. Вариант 245 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

2. На графике, изображенном на рисунке, представлено изменение биржевой стоимости акций газодобывающей компании в первые две недели ноября. 2 ноября бизнесмен приобрел 10 акций этой компании. Шесть из них он продал 6 ноября, а 13 ноября - остальные 4.
   Сколько рублей потерял бизнесмен в результате этих операций?

   Решение

   Задание 2. Вариант 245 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

3. Две противоположные стороны параллелограмма разделены на три равные части. Площадь заштрихованной части равна 7 см2.
   Найдите площадь параллелограмма. Ответ дайте в см2.

   Решение

   Задание 3. Вариант 245 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

4. Найдите вероятность того, что произведение трех последних цифр случайно выбранного телефонного номера четно.

   Решение

   Задание 4. Вариант 245 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

5. Решите уравнение.
   Если уравнение имеет больше одного корня, то в ответе запишите произведение корней.

   Решение

   Задание 5. Вариант 245 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

6. Два угла треугольника равны 63° и 27°.
   Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины третьего угла. Ответ дайте в градусах.

   Решение

   Задание 6. Вариант 245 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

7. На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (-4;20).
   Найдите количество точек экстремума функции f(x) , принадлежащих отрезку

   Решение

   Задание 7. Вариант 245 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

8. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми АС1 и ВЕ.

   Решение

   Задание 8. Вариант 245 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

9. Найдите значение выражения

   Решение

   Задание 9. Вариант 245 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

10. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой h(t)=-5t 2 +18t , где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска.
    Сколько секунд камень находится на высоте не менее 9 метров?

    Решение

    Задание 10. Вариант 245 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

11. Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 12 рабочих, а во второй - 21 рабочий. Через 10 дней после начала работы в первую бригаду перешли 12 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно.
    Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.

    Решение

    Задание 11. Вариант 245 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

12. Найдите наибольшее значение функции

    Решение

    Задание 12. Вариант 245 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

13. а) Решите уравнение
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2;-2π]

    Решение

    Задание 13. Вариант 245 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

14. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 2, угол между боковым ребром и основанием равен arccos(1/√5). На ребрах SA и SD расположены точки Е и F так, что АЕ=2ES, DF=8SF. Через точки Е и F проведена плоскость a , параллельная АВ.
    А) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью a
    Б) Найдите расстояние от точки А до плоскости a

    Решение

    Задание 14. Вариант 245 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

15. Решите неравенство

    Решение

    Задание 15. Вариант 245 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

16. Биссектриса AD и высота ВЕ остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке О. Окружность радиуса R с центром в точке О проходит через вершину А, середину стороны АС и пересекает сторону АВ в точке К такой, что АК:КВ=1:3.
    А) Докажите, что AD делит площадь треугольника АВС в соотношении 1:2
    Б) Найдите длину стороны ВС, если радиус окружности R=√2

    Решение

    Задание 16. Вариант 245 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

17. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» - 4000 рублей в сутки.
    Какую наибольшую сумму денег сможет заработать на своем отеле предприниматель?

    Решение

    Задание 17. Вариант 245 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

18. При каких значениях параметра a уравнение имеет два корня, расстояние между которыми больше 24/5?

    Решение

    Задание 18. Вариант 245 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

19. На доске написано 19 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 11. Среднее арифметическое написанных на доске чисел равно 10. С этими числами произвели следующие действия: четные числа разделили на 2, а нечетные - умножили на 2. Пусть А - среднее арифметическое полученных чисел.
    А) Могли ли оказаться так, что А=17?
    Б) Могли ли оказаться так, что А=7?
    В) Найдите наибольшее возможное значение А.

    Решение

    Задание 19. Вариант 245 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

Решение варианта №245 ЕГЭ по математике. Ларин. Не пропусти!

Решение или ответы на вариант №245 ЕГЭ по математике с сайта Ларина?

Многие одинадцатиклассники, когда им задают домашнее задание решить вариант 245 с сайта Ларина, вместо того чтобы попробовать решить, просто ищут в интернете "ответы вариант 245 Ларин" или "Ларин 245 ответы" или "вариант 245 егэ ответы" и так из раза в раз. В итоге к ЕГЭ по математике 2019 подходят абсолютно не готовыми. Цель самоподготовки к егэ по математике 2019 не списывать дз, а пытаться, если не решить, то разобрать решение варианта 245 ларина. Собственно именно для этого мы выкладываем решения вариантов ларина, статграда, фипи и прочих. чтобы если у вас не получается решить например задачу 8 варианта 245, вы могли посмотреть, как ее решили мы и попытаться разобраться, а если не получилось спросить у нас на сайте в блоке комментирования вк. Таким образом, с каждым вариантом ларина преобретая дополнительные навыки и знания, для решения задач ЕГЭ по математике 2019. Именно поэтому мы не публикуем, просто ответы на вариант 245 Ларина, наша цель не дать вам списать, а помочь в самоподготовке к сдаче егэ по математике 2019.

Чем варианты ларина лучше вариантов статград или фипи?

Варианты егэ статграда и фипи с методической точки зрения, полноценные, но из за редкой публикации, польза от них сводится практически к нулю, только текущее тестирование готовности. Варианты Ларина публикуются каждую неделю и задания в них подбираются таким образом, чтобы в течении всего года по каждому типу задания егэ, прорешать как можно больше задач, требующих знания всех формул и теорем.

задание 13 егэ по математике.

В задании 13 егэ по математике 2019 может быть уравнение содержащее признаки сразу нескольких типов, например одновременно тригонометрическое и логарифмическое, тригонометрическое-показательное, тригонометрическое-иррациональное, так называемое смешанное. И чтобы успешно справится с таким уравнением на егэ по математике 2019, нужно не пропускать ни одного варианта с сайта ларина и пробовать решать в каждом 13 задание егэ по математике. В варианте 245 егэ Ларин, наверняка будет интересное 13 задание, которое заставит вас подумать, поискать пути решение, тем самым тренируя гибкость ума и нестандартное мышление. Нам очень нравятся именно варианты Ларина и мы всегда их используем для подготовки школьников к егэ по математике 2019.