Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций с точностью до двух знаков после запятой (до 0,01).
.

Решение : Мы не знаем , НА СКОЛЬКО отрезков разбивать отрезок интегрирования, чтобы получить два верных знака после запятой. Иными словами, мы не знаем значение .

Существует специальная формула, позволяющая определить количество отрезков разбиения, чтобы гарантированно достигнуть требуемой точности, но практике она часто трудноприменима. Поэтому выгодно использовать упрощенный подход.

Сначала отрезок интегрирования разбивается на несколько больших отрезков, как правило, на 2-3-4-5. Разобьем отрезок интегрирования, например, на 5 частей:

Шаг тоже известен:

Тут возникает еще один вопрос, до какого разряда округлять результаты ? Общая рекомендация такова:к требуемой точности нужно прибавить 2-3 разряда. В данном случае необходимая точность 0,01. Согласно рекомендации, после запятой для верности оставим пять знаков (можно было и четыре):

В результате:

После первичного результата количество отрезков удваивают . В данном случае необходимо провести разбиение на 10 отрезков.

Для формула трапеций приобретает следующий вид:

Вычислим шаг разбиения:

Результаты расчётов сведём в таблицу:

В результате:

Теперь рассчитаем, на сколько улучшился результат:

Здесь используем знак модуля, поскольку нас интересует абсолютная разность .

больше , чем требуемая точность:

Поэтому необходимо ещё раз удвоить количество отрезков разбиения до , и вычислить уже :

Снова оцениваем погрешность:

Полученная оценка погрешности меньше , чем требуемая точность:

Всё что осталось сделать, округлить последний (наиболее точный) результат до двух знаков после запятой и записать:

Ответ: с точностью до 0,01

Пример решения задачи 2.5 для одного интеграла см. в приложении 2.

Желательно проверить результаты расчетов значений определенных интегралов в математическом пакете Mathcad.

Приложение 1

Образец титульного листа

Приложение 1

Пример выполнения задания №2

Задача 2.1

Задача 2.2

Задача 2.3

Задача 2.4

Задача 2.5. (для одного интеграла)

Проверка результатов расчетов в Mathcad:

Формулы к задачам

Задача 2.1.

Задача 2.2.

Задача 2.3.

Задача 2.4.

Задача 2.5.

Аналогично выполнить расчет для второго интеграла согласно варианту задания.

Примечание: при расчете значений аргумента x используется абсолютная ссылка на ячейки. Обозначается абсолютная ссылка с помощью символа “$” на строку или столбец, или на строку и столбец одновременно, например, $B$12).

Абсолютная ссылка дает возможность ссылаться на одну и ту же ячейку при копировании формулы (в отличие от относительной ссылки). Таким образом, мы можем в первой строке сослаться на конкретную ячейку, скопировать ее и протянуть до конца списка. Весь список будет ссылаться на ту ячейку, в которой действует абсолютная ссылка. Соответственно при изменении этой ячейки меняется весь столбец или строка.

Упражнения.

5.1 Вычислить по квадратурной формуле прямоугольников при n = 3 интеграл и сравнить с точным значением интеграла:

а) , I = 1; б) , I = ln 2;

в) , I = ; г) , I = 0,75.

5.2 Вычислить по квадратурной формуле прямоугольников при n = 5 интеграл и оценить погрешность интегрирования:

5.3 Определить число узлов n , которое нужно использовать для вычисления интеграла с помощью формулы прямоугольников с точностью до 0,01:

а) ; б) ; в) ; г) .

5.4 Вычислить по квадратурной формуле прямоугольников интеграл с точностью до 0,01:

Рассмотрим определенный интеграл I (6) и изобразим график подынтегральной функции (рис. 17). Разобьем отрезок интегрирования на n равных отрезков точками , где (рис. 17).

Рисунок 17

f(х 1)

f(х 2)

f(х i )

f(х n -1)

f(х n )

f(х 0)

f(х i - 1)

f(х n- 2)

x 0

x 1

x 2

x i- 1

x i

x n-1

x n

x n- 2

а

b

х

у

О

Длина каждого отрезка разбиения . При этом очевидно, что для точек разбиения будет справедливо соотношение:

причем x 0 = a и x n = b .

Соединим отрезками точки графика функции с координатами . В результате получим ломанную, которая является графиком кусочно-линейной функции (рис. 17). На каждом из отрезков разбиения функция задается формулой

В точках она принимает те же значения, что и функция :

т.е. функция осуществляет кусочно-линейную интерполяцию функции на отрезке (рис 17).

Вычислим интеграл:

Этот результат имеет простой геометрический смысл: фигура, ограниченная снизу отрезком оси Ох , сверху отрезком функции (13), с боков вертикальными прямыми и , представляет собой трапецию с основаниями длины и и высотой h , площадь которой определяется формулой (14) (рис. 17).

Интеграл от функции по всему отрезку является суммой интегралов (14):

Квадратурная формула

дает приближенное значение интеграла I :

где – остаточный член (специальное обозначение). В квадратурной формуле (16), которая называется квадратурной формулой трапеций , узлами являются точки , весовые множители все, кроме двух при и , одинаковы и равны , а весовые коэффициенты при и равны . С точностью до формула (16) выражает площадь криволинейной трапеции, соответствующую интегралу I , через сумму площадей трапеций (14) (рис. 17).

Формула (7) или (7ʹ) для величины строилась как интегральная сумма. При выводе формулы (15) для понятие интегральной суммы не использовалось, но ее так же можно рассматривать как интегральную сумму. Следовательно, если функция интегрируема на , то в силу определения определенного интеграла

т.е. условия сходимости квадратурной формулы трапеций (16) в этом случае выполняются.

Предельные соотношения (17) доказывают принципиальную возможность вычисления определенного интеграла от произвольной интегрируемой функции методом трапеции с любой точностью ε за счет выбора числа n точек разбиения отрезка и соответствующего шага h .

Рассмотрим основной вопрос, связанный с организацией реального вычислительного процесса: каким нужно взять n , чтобы добиться при вычислении определенного интеграла (6) требуемой точности ε . Для этого необходимо провести оценку остаточного члена (погрешности) . В связи с этим подынтегральная функция должна быть не только интегрируема, но и дважды непрерывно дифференцируема на отрезке . Если выполняются все описанные выше условия, то для остаточного члена имеет место следующая оценка

где М – положительное число удовлетворяющее условию (11).

При заданной точности ε условие (18) позволяет определить число узлов n , которое нужно использовать при вычислении определенного интеграла (6). Для этого достаточно использовать соотношение

Пример 1. Вычислить по квадратурной формуле трапеций при n = 3 интеграл

Сравнить с точным значением интеграла.

Решение.

Так как n = 3, то шаг

И учитывая, что и :

Значит по формуле (15) имеем

Следовательно, .

Сравним полученное приближенное значение с точным значением интеграла

Ответ: , .

Пример 2. Определить число узлов n , которое нужно использовать для вычисления интеграла с помощью формулу трапеций

с точностью до 0,01.

Решение.

Для определения n , воспользуемся соотношение (19)

По условию задачи и ε = 0,01. Учитывая, что подынтегральная функция и ее первая и вторая производные соответственно равны и , то на отрезке интегрирования справедливо = . Значит М = 1. В результате получим соотношение

Из которого определим n :

а , то возьмем n = 6.

Следовательно, чтобы достичь точности ε = 0,01, необходимо взять 7 узлов.

Ответ: n = 6.

Пример 3. Вычислить по квадратурной формуле трапеций интеграл

с точностью до 0,01.

Решение.

Определим сначала число узлов n , которое необходимо использовать для вычисления интеграла. По условию задачи , ε = 0,01 и . Так как

и для выполняется

то М = 2. Подставляя значения a , b , ε и М в формулу (12) получим соотношение:

Из которого найдем n .

а , то возьмем n = 5.

Так как n = 5, то шаг

Найдем значения , используя соотношение

И учитывая, что , а b :

Теперь вычислим значения подынтегральной функции в точках , :

Значит по формуле (15) имеем

Следовательно, .

Ответ: с точностью до 0,01.

Метод трапеций является одним из методов численного интегрирования. Он позволяет вычислять определенные интегралы с заранее заданной степенью точности.

Сначала опишем суть метода трапеций и выведем формулу трапеций. Далее запишем оценку абсолютной погрешности метода и подробно разберем решение характерных примеров. В заключении сравним метод трапеций с методом прямоугольников.

Навигация по странице.

Суть метода трапеций.

Поставим перед собой следующую задачу: пусть нам требуется приближенно вычислить определенный интеграл , где подынтегральная функция y=f(x) непрерывна на отрезке .

Разобьем отрезок на n равных интервалов длины h точками . В этом случае шаг разбиения находим как и узлы определяем из равенства .

Рассмотрим подынтегральную функцию на элементарных отрезках .

Возможны четыре случая (на рисунке показаны простейшие из них, к которым все сводится при бесконечном увеличении n ):

На каждом отрезке заменим функцию y=f(x) отрезком прямой, проходящей через точки с координатами и . Изобразим их на рисунке синими линиями:

В качестве приближенного значения интеграла возьмем выражение , то есть, примем .

Давайте выясним, что означает в геометрическом смысле записанное приближенное равенство. Это позволит понять, почему рассматриваемый метод численного интегрирования называется методом трапеций.

Мы знаем, что площадь трапеции находится как произведение полу суммы оснований на высоту. Следовательно, в первом случае площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади трапеции с основаниями и высотой h , в последнем случае определенный интеграл приближенно равен площади трапеции с основаниями и высотой h , взятой со знаком минус. Во втором и третьем случаях приближенное значение определенного интеграла равно разности площадей красной и синей областей, изображенных на рисунке ниже.

Таким образом, мы подошли к сути метода трапеций , которая состоит в представлении определенного интеграла в виде суммы интегралов вида на каждом элементарном отрезке и в последующей приближенной замене .

Формула метода трапеций.

Как видите, требуемая точность достигнута.

Немного о погрешностях.

Теоретически приближенное значение определенного интеграла, вычисленное по методу трапеций, стремиться к истинному значению при . Однако следует учитывать тот факт, что промежуточные вычисления в своем большинстве проводятся приближенно, и при больших n начинает накапливаться вычислительная погрешность.

Взглянем на оценки абсолютных погрешностей метода трапеций и метода средних прямоугольников .

Можно ожидать вдвое меньшую погрешность для заданного n при использовании метода прямоугольников при одинаковом объеме вычислительной работы, то есть, использование этого метода как бы предпочтительнее. Это так и есть, когда известны значения функции в средних точках элементарных отрезков. Но иногда интегрируемые функции задаются не аналитически, а в виде множества значений в узлах. В этом случае мы не сможем применить формулу средних прямоугольников, но сможем воспользоваться методом трапеций.

Методы правых и левых прямоугольников уступают методу трапеций в точности результата для заданного числа разбиений отрезка интегрирования.

Как вычислить определенный интеграл
по формуле трапеций и методом Симпсона?

Численные методы – достаточно большой раздел высшей математики и серьезные учебники по данной теме насчитывают сотни страниц. На практике, в контрольных работах традиционно предлагаются для решения некоторые задачи по численным методам, и одной из распространенных задач является – приближенное вычисление определенных интегралов . В этой статье я рассмотрю два метода приближенного вычисления определенного интеграла – метод трапеций и метод Симпсона .

Что нужно знать, чтобы освоить данные методы? Прозвучит забавно, но можно вообще не уметь брать интегралы. И даже вообще не понимать, что такое интегралы. Из технических средств потребуется микрокалькулятор. Да-да, нас ждут рутинные школьные расчёты. А еще лучше – закачайте мой калькулятор-полуавтомат для метода трапеций и метода Симпсона . Калькулятор написан в Экселе и позволит в десятки раз уменьшить время решения и оформления задач. Для экселевских чайников прилагается видеомануал! К слову, первая видеозапись с моим голосом.

Сначала зададимся вопросом, а зачем вообще нужны приближенные вычисления? Вроде бы можно найти первообразную функции и использовать формулу Ньютона-Лейбница, вычислив точное значение определенного интеграла. В качестве ответа на вопрос сразу рассмотрим демонстрационный пример с рисунком.

Вычислить определенный интеграл

Всё было бы хорошо, но в данном примере интеграл не берётся – перед вами неберущийся, так называемый интегральный логарифм . А существует ли вообще этот интеграл? Изобразим на чертеже график подынтегральной функции :

Всё нормально. Подынтегральная функция непрерывна на отрезке и определенный интеграл численно равен заштрихованной площади. Да вот только одна загвоздка – интеграл не берётся. И в подобных случаях на помощь как раз приходят численные методы. При этом задача встречается в двух формулировках:

1) Вычислить определенный интеграл приближенно, округляя результат до определённого знака после запятой . Например, до двух знаков после запятой, до трёх знаков после запятой и т.д. Предположим, получился приближенный ответ 5,347. На самом деле он может быть не совсем верным (в действительности, скажем, более точный ответ 5,343). Нашазадача состоит лишь в том , чтобы округлить результат до трёх знаков после запятой.

2) Вычислить определенный интеграл приближенно, с определённой точностью . Например, вычислить определённый интеграл приближенно с точностью до 0,001. Что это значит? Это значит, мы должны отыскать такое приближенное значение, которое по модулю (в ту или другую сторону) отличается от истины не более чем на 0,001.

Существуют несколько основных методов приближенного вычисления определенного интеграла, который встречается в задачах:

Отрезок интегрирования разбивается на несколько частей и строится ступенчатая фигура, которая по площади близка к искомой площади:

Не судите строго за чертежи, точность не идеальна – они лишь помогают понять суть методов.

Идея аналогична. Отрезок интегрирования разбивается на несколько промежуточных отрезков, и график подынтегральной функции приближается ломаной линией:

Таким образом, наша площадь (синяя штриховка) приближается суммой площадей трапеций (красный цвет). Отсюда и название метода. Легко заметить, что метод трапеций даёт значительно лучшее приближение, чем метод прямоугольников (при одинаковом количестве отрезков разбиения). И, естественно, чем больше более мелких промежуточных отрезков мы рассмотрим, тем будет выше точность. Метод трапеций время от времени встречается в практических заданиях, и в данной статье будет разобрано несколько примеров.

Метод Симпсона (метод парабол) . Это более совершенный способ – график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболками. Сколько промежуточных отрезков – столько и маленьких парабол. Если взять те же три отрезка, то метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций.

Чертеж строить не вижу смысла, поскольку визуально приближение будет накладываться на график функции (ломаная линия предыдущего пункта – и то практически совпала).

Задача на вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона – самая популярное задание на практике. И методу парабол будет уделено значительное внимание.

Как вычислить определенный интеграл методом трапеций?

Сначала формула в общем виде. Возможно, она будет не всем и не сразу понятна… да Карлссон с вами – практические примеры всё прояснят! Спокойствие. Только спокойствие.

Рассмотрим определенный интеграл , где – функция, непрерывная на отрезке . Проведём разбиение отрезка на равных отрезков:
. При этом, очевидно: (нижний предел интегрирования) и (верхний предел интегрирования). Точки также называют узлами .

Тогда определенный интеграл можно вычислить приближенно по формуле трапеций :
, где:
шаг ;
– значения подынтегральной функции в точках .

Пример 1

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций. Результаты округлить до трёх знаков после запятой.

а) Разбив отрезок интегрирования на 3 части.
б) Разбив отрезок интегрирования на 5 частей.

Решение:
а) Специально для чайников я привязал первый пункт к чертежу, который наглядно демонстрировал принцип метода. Если будет трудно, посматривайте на чертёж по ходу комментариев, вот его кусок:

По условию отрезок интегрирования нужно разделить на 3 части, то есть .
Вычислим длину каждого отрезка разбиения: . Параметр , напоминаю, также называют шагом .

Сколько будет точек (узлов разбиения)? Их будет на одну больше , чем количество отрезков:

Ну а общая формула трапеций сокращается до приятных размеров:

Для расчетов можно использовать обычный микрокалькулятор:

Обратите внимание, что, в соответствии с условием задачи, все вычисления следует округлять до 3-го знака после запятой .

Окончательно:

С геометрической точки зрения мы вычислили сумму площадей трёх трапеций (см. рис. выше) .

б) Разобьём отрезок интегрирования на 5 равных частей, то есть . Зачем это нужно? Чтобы Фобос-Грунт не падал в океан – увеличивая количество отрезков, мы увеличиваем точность вычислений.

Если , то формула трапеций принимает следующий вид:

Найдем шаг разбиения:
, то есть, длина каждого промежуточного отрезка равна 0,6.

При чистовом оформлении задачи все вычисления удобно оформлять расчетной таблицей:

В первой строке записываем «счётчик»

Как формируется вторая строка, думаю, всем видно – сначала записываем нижний предел интегрирования , остальные значения получаем, последовательно приплюсовывая шаг .

По какому принципу заполняется нижняя строка, тоже, думаю, практически все поняли. Например, если , то . Что называется, считай, не ленись.

В результате:

Ну что же, уточнение, и серьёзное, действительно есть! Если для 3 отрезков разбиения приближённое значение составило, то для 5 отрезков . Таким образом, с большой долей уверенности можно утверждать, что, по крайне мере .

Пример 2

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций с точностью до двух знаков после запятой (до 0,01).

Решение: Почти та же задача, но немного в другой формулировке. Принципиальное отличие от Примера 1 состоит в том, что мы не знаем , НА СКОЛЬКО отрезков разбивать отрезок интегрирования, чтобы получить два верных знака после запятой. Иными словами, мы не знаем значение .

Существует специальная формула, позволяющая определить количество отрезков разбиения, чтобы гарантированно достигнуть требуемой точности, но практике она часто трудноприменима. Поэтому выгодно использовать упрощенный подход.

Сначала отрезок интегрирования разбивается на несколько больших отрезков, как правило, на 2-3-4-5. Разобьем отрезок интегрирования, например, на те же 5 частей. Формула уже знакома:

И шаг, естественно, тоже известен:

Но возникает еще один вопрос, до какого разряда округлять результаты ? В условии же ничего не сказано о том, сколько оставлять знаков после запятой. Общая рекомендация такова: к требуемой точности нужно прибавить 2-3 разряда . В данном случае необходимая точность 0,01. Согласно рекомендации, после запятой для верности оставим пять знаков (можно было и четыре):

В результате:
, обозначим приближение через .

После первичного результата количество отрезков удваивают . В данном случае необходимо провести разбиение на 10 отрезков. И когда количество отрезков растёт, то в голову приходит светлая мысль, что тыкать пальцами в микрокалькулятор уже как-то надоело. Поэтому еще раз предлагаю закачать и использовать мой калькулятор-полуавтомат (ссылка в начале урока).

Для формула трапеций приобретает следующий вид:

В бумажной версии запись можно спокойно перенести на следующую строчку.

Вычислим шаг разбиения:

Результаты расчётов сведём в таблицу:


При чистовом оформлении в тетрадь длинную таблицу выгодно превратить в двухэтажную.

В результате:

Теперь вычислим расхождение между приближениями:

Здесь используем знак модуля, поскольку нас интересует абсолютная разность , а не какой результат больше, а какой – меньше.

Что касается дальнейших действий, то лично мне на практике встречалось 2 пути решения:

1) Первый способ – это «сравнение в лоб». Поскольку полученная оценка погрешности больше , чем требуемая точность:, то необходимо ещё раз удвоить количество отрезков разбиения до и вычислить уже . С помощью экселевского калькулятора готовый результат можно получить в считанные секунды: . Теперь снова оцениваем погрешность: . Полученная оценка меньше , чем требуемая точность: , следовательно, вычисления закончены. Осталось округлить последний (наиболее точный) результат до двух знаков после запятой и дать ответ.

2) Другой, более эффективный способ основан на применении так называемого правила Рунге , согласно которому мы ошибаемся в оценке определённого интеграла на самом деле не более чем на . В нашей задаче: , таким образом, надобность в вычислении отпадает. Однако за скорость решения в данном случае пришлось расплатиться точностью: . Тем не менее, такой результат приемлем, поскольку наш «лимит на ошибку» как раз и составляет одну сотую.

Что выбрать? Ориентируйтесь на вашу методичку или предпочтения преподавателя.

Ответ: с точностью до 0,01 ( при использовании правила Рунге) .

Пример 3

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций с точностью до 0,001.

Перед вами опять неберущийся интеграл (почти интегральный косинус). В образце решения на первом шаге проведено разбиение на 4 отрезка, то есть . Полное решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.

Как вычислить определенный интеграл по формуле Симпсона?

Если вы искали на данной страничке только метод Симпсона, то настоятельно рекомендую сначала прочитать начало урока и просмотреть хотя бы первый пример. По той причине, что многие идеи и технические приемы будут схожими с методом трапеций.

И снова, начнём с общей формулы
Рассмотрим определенный интеграл , где – функция, непрерывная на отрезке . Проведём разбиение отрезка на чётное количество равных отрезков. Чётное количество отрезков обозначают через .

На практике отрезков может быть:
два :
четыре :
восемь :
десять :
двадцать :
Другие варианты не припоминаю.

Внимание! Число понимается как ЕДИНОЕ ЧИСЛО. То есть, НЕЛЬЗЯ сокращать, например, на два, получая . Запись лишь обозначает , что количество отрезков чётно . И ни о каких сокращениях речи не идёт

Итак, наше разбиение имеет следующий вид:

Термины аналогичны терминам метода трапеций:
Точки называют узлами .

Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла имеет следующий вид:
, где:
– длина каждого из маленьких отрезков или шаг ;
– значения подынтегральной функции в точках .

Детализируя это нагромождение, разберу формулу подробнее:
– сумма первого и последнего значения подынтегральной функции;
– сумма членов с чётными индексами умножается на 2;
– сумма членов с нечётными индексами умножается на 4.

Пример 4

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001. Разбиение начать с двух отрезков

Интеграл, кстати, опять неберущийся.

Решение: Сразу обращаю внимание на тип задания – необходимо вычислить определенный интеграл с определенной точностью . Что это значит, уже комментировалось в начале статьи, а также на конкретных примерах предыдущего параграфа. Как и для метода трапеций, существует формула, которая сразу позволит определить нужное количество отрезков (значение «эн») чтобы гарантированно достичь требуемой точности. Правда, придётся находить четвертую производную и решать экстремальную задачу. Кто понял, о чём я, и оценил объем работы, тот улыбнулся. Однако здесь не до смеха, находить четвертую производную от такой подынтегральной функции будет уже не мегаботан, а клинический психопат. Поэтому на практике практически всегда используется упрощенный метод оценки погрешности.

Начинаем решать. Если у нас два отрезка разбиения , то узлов будет на один больше : . И формула Симпсона принимает весьма компактный вид:

Вычислим шаг разбиения:

Заполним расчетную таблицу:

Еще раз комментирую, как заполняется таблица:

В верхнюю строку записываем «счётчик» индексов

Во второй строке сначала пишем нижний предел интегрирования , а затем последовательно приплюсовываем шаг .

В третью строку заносим значения подынтегральной функции. Например, если , то . Сколько оставлять знаков после запятой? Действительно, в условии опять об этом ничего не сказано. Принцип тот же, что и в методе трапеций, смотрим на требуемую точность: 0,001. И прибавляем дополнительно 2-3 разряда. То есть, округлять нужно до 5-6 знаков после запятой.

В результате:

Первичный результат получен. Теперь удваиваем количество отрезков до четырёх: . Формула Симпсона для данного разбиения принимает следующий вид:

Вычислим шаг разбиения:

Заполним расчетную таблицу:


Таким образом:

Найдём абсолютное значение разности между приближениями:

Правило Рунге для метода Симпсона очень вкусное. Если при использовании метода средних прямоугольников и метода трапеций нам даётся «поблажка» в одну треть, то сейчас – аж в одну пятнадцатую:
, и точность здесь уже не страдает:

Но для полноты картины я приведу и «простецкое» решение, где придётся сделать дополнительный шаг: так как больше требуемой точности: , то необходимо еще раз удвоить количество отрезков: .

Формула Симпсона растёт, как на дрожжах:

Вычислим шаг:

И снова заполним расчетную таблицу:

Таким образом:

Заметьте, что здесь вычисления желательно уже расписать более подробно, поскольку формула Симпсона достаточно громоздка, и если сразу бУхнуть:
, то выглядеть сиё бухло будет как халтура. А при более детальной записи у преподавателя сложится благостное впечатление, что вы добросовестно стирали клавиши микрокалькулятора в течение доброго часа. Детальные вычисления для «тяжелых» случаев присутствуют в моём калькуляторе.

Оцениваем погрешность:

Погрешность меньше требуемой точности: . Осталось взять наиболее точное приближение , округлить его до трёх знаков после запятой и записать:

Ответ : с точностью до 0,001

Пример 5

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,0001. Разбиение начать с двух отрезков

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока.

В заключительной части урока рассмотрим еще пару распространенных примеров

Пример 6

Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Вычисления проводить с точностью до третьего знака после запятой.