Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Квадратным трехчленом называют трехчлен вида a*x 2 +b*x+c, где a,b,c некоторые произвольные вещественные (действительные) числа, а x – переменная. Причем число а не должно равняться нулю.

Числа a,b,c называются коэффициентами. Число а – называется старшим коэффициентом, число b коэффициентом при х, а число с называют свободным членом.

Корнем квадратного трехчлена a*x 2 +b*x+c называют любое значение переменной х, такое, что квадратный трехчлен a*x 2 +b*x+c обращается в нуль.

Для того, чтобы найти корни квадратного трехчлена необходимо решить квадратное уравнение вида a*x 2 +b*x+c=0.

Как найти корни квадратного трехчлена

Для решения можно использовать один из известных способов.

• 1 способ.

Нахождение корней квадратного трехчлена по формуле.

1. Найти значение дискриминанта по формуле D =b 2 -4*a*c.

2. В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:

Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два корня.

x = -b±√D / 2*a

Если D < 0, то квадратный трехчлен имеет один корень.

Если дискриминант отрицателен, то квадратный трехчлен не имеет корней.

• 2 способ.

Нахождение корней квадратного трехчлена выделением полного квадрата. Рассмотрим на примере приведенного квадратного трехчлена. Приведенное квадратное уравнение, уравнение у которого на старший коэффициент равен единице.

Найдем корни квадратного трехчлена x 2 +2*x-3. Для этого решим следующее квадратное уравнение: x 2 +2*x-3=0;

Преобразуем это уравнение:

В левой части уравнения стоит многочлен x 2 +2*x, для того чтобы представить его в виде квадрата суммы нам необходимо чтобы там был еще один коэффицент равный 1. Добавим и вычтем из этого выражения 1, получим:

(x 2 +2*x+1) -1=3

То, что в скобках можно представить в виде квадрата двучлена

Данное уравнение распадается на два случая либо x+1=2 , либо х+1=-2.

В первом случае получаем ответ х=1, а во втором, х=-3.

Ответ: х=1, х=-3.

В результате преобразований нам необходимо получить в левой части квадрат двучлена, а в правой части некоторое число. В правой части не должна содержаться переменная.

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.

Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида .

За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.

Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

Многочлен – алгебраическая конструкция, представляющая собой сумму либо разность элементов. Множество готовых формул касается двучленов, впрочем вывести новые для конструкций больше высокого порядка не составляет большого труда. Дозволено, скажем, построить трехчлен в квадрат .

Инструкция

1. Многочлен является основным представлением для решения алгебраических уравнений и представления степенной, разумной и прочих функций. К этой структуре относится особенно распространенное в школьном курсе предмета квадрат ное уравнение.

2. Зачастую по мере облегчения массивного выражения появляется надобность построить трехчлен в квадрат . Для этого нет готовой формулы, впрочем есть несколько способов. Скажем, представить квадрат трехчлен а в виде произведения 2-х идентичных выражений.

3. Разглядите пример: возведите в квадрат трехчлен 3 х? + 4 х – 8.

4. Измените запись (3 х? + 4 х – 8)? на (3 х? + 4 х – 8) (3 х? + 4 х – 8) и воспользуйтесь правилом умножения многочленов, которое состоит в последовательном вычислении произведений. Вначале умножьте первое составляющее первой скобки на всякое слагаемое 2-й, после этого так же поступите со вторым и, наконец, с третьим:(3 х? + 4 х – 8) (3 х? + 4 х – 8) = 3 х? (3 х? + 4 х – 8) + 4 х (3 х? + 4 х – 8) – 8 (3 х? + 4 х – 8) = 9 х^4 + 12 х? – 24 х? + 12 х? + 16 х? – 32 х – 24 х? – 32 х + 64 = 9 х^4 + 24 х? – 32 х? – 64 х + 64.

5. К тому же итогу дозволено придти, если запомнить, что в итоге перемножения 2-х трехчлен ов остается сумма из шести элементов, три из которых являются квадрат ами всякого слагаемого, а три остальных – их всевозможными попарными произведениями в удвоенной форме. Эта элементарная формула элементарно выглядит так:(a + b + c)? = a? + b? + c? + 2 a b + 2 a c + 2 b c.

6. Примените ее к вашему примеру:(3 х? + 4 х – 8)? = (3 х? + 4 х + (-8))? =(3 х?)? + (4 х)? + (-8)? + 2 (3 х?) (4 х) + 2 (3 х?) (-8) + 2 (4 х) (-8) = 9 х^4 + 16 х? + 64 + 24 х? – 48 х? – 64 х = 9 х^4 + 24 х? – 32 х? – 64 х + 64.

7. Как видите, результат получился тот же, а манипуляций понадобилось поменьше. Это исключительно главно, когда одночлены сами по себе являются трудными конструкциями. Данный метод применим для трехчлен а всякий степени и всякого числа переменных.

При решении арифметических и алгебраических задач изредка требуется построить дробь в квадрат . Проще каждого это сделать, когда дробь десятичная – довольно обыкновенного калькулятора. Впрочем если дробь обычная либо смешанная, то при возведении такого числа в квадрат могут появиться некоторые затруднения.

Вам понадобится

• калькулятор, компьютер, приложение Excel.

Инструкция

1. Дабы построить десятичную дробь в квадрат , возьмите инженерный калькулятор, наберите на нем возводимую в квадрат дробь и нажмите на клавишу возведения во вторую степень. На большинстве калькуляторов эта кнопка обозначена как «х?». На стандартном калькуляторе Windows функция возведения в квадрат выглядит как «x^2». Скажем, квадрат десятичной дроби 3,14 будет равен: 3,14? = 9,8596.

2. Дабы построить в квадрат десятичную дробь на обыкновенном (бухгалтерском) калькуляторе, умножьте это число само на себя. Кстати, в некоторых моделях калькуляторов предусмотрена вероятность возведения числа в квадрат даже при отсутствии особой кнопки. Следственно заблаговременно ознакомьтесь с инструкцией к определенному калькулятору. Изредка примеры «хитроумного» возведения в степень приведены на задней крышке либо на коробке калькулятора. Скажем, на многих калькуляторах для возведения числа в квадрат довольно нажать кнопки «х» и «=».

3. Для возведения в квадрат обычной дроби (состоящей из числителя и знаменателя), возведите в квадрат по отдельности числитель и знаменатель этой дроби. То есть воспользуйтесь дальнейшим правилом:(ч / з)? = ч? / з?, где ч – числитель дроби, з – знаменатель дроби.Пример: (3/4)? = 3?/4? = 9/16.

4. Если возводимая в квадрат дробь – смешанная (состоит из целой части и обычной дроби), то заблаговременно приведите ее к обычному виду. То есть примените следующую формулу:(ц ч/з)? = ((ц*з+ч) / з)? = (ц*з+ч)? / з?, где ц – целая часть смешанной дроби.Пример: (3 2/5)? = ((3*5+2) / 5)? = (3*5+2)? / 5? = 17? / 5? = 289/25 = 11 14/25.

5. Если возводить в квадрат обычные (не десятичные) дроби доводится непрерывно, то воспользуйтесь программой MS Excel. Для этого введите в одну из клеток таблицы следующую формулу: =СТЕПЕНЬ(A2;2) где А2 – адрес ячейки, в которую будет вводиться возводимая в квадрат дробь .Дабы осведомить программе, что с вводимым числом нужно обращаться как с обычной дробь ю (т.е. не преобразовывать ее в десятичный вид), наберите перед дробь ю цифру «0» и знак «пробел». То есть для ввода, скажем, дроби 2/3 необходимо ввести: «0 2/3» (и нажать Enter). При этом в строке ввода отобразится десятичное представление введенной дроби. Значение и представление дроби непринужденно в клетке сохранится в начальном виде. Помимо того, при применении математических функций, доводами которых являются обычные дроби, итог также будет представлен в виде обычной дроби. Следственно квадрат дроби 2/3 будет представлен как 4/9.

Математические головоломки изредка увлекают так, что хочется обучиться создавать их, а не только решать. Вероятно, самым увлекательным для новичков является создание магического квадрата, тот, что представляет собой квадрат с размерами сторон nxn, в тот, что вписаны настоящие числа от 1 до n2 так, что сумма чисел по горизонталям, вертикалям и диагоналям квадрата является идентичной и равняется одному числу.

Инструкция

1. Раньше чем составлять свой квадрат, усвойте, что магических квадратов второго порядка не бывает. Волшебный квадрат третьего порядка существует реально только один, остальные производные от него получаются с подмогой поворота либо отражения основного квадрата по оси симметрии. Чем огромнее порядок, тем огромнее существует допустимых волшебных квадратов этого порядка.

2. Изучите основы построения. Правила построения различных магических квадратов подразделяются на три группы по порядку квадрата, а именно он может быть нечетным, равным удвоенному либо учетверенному нечетному числу. Всеобщей методологии для построения всех квадратов в текущее время не существует, правда обширно распространены различные схемы.

3. Воспользуйтесь компьютерной программой. Скачайте надобное приложение и введите желаемые значения квадрата (2-3), программа сама генерирует надобные цифровые комбинации.

4. Постройте квадрат независимо. Возьмите матрицу n x n , внутри которой произведите построение ступенчатого ромба. В нем заполните все квадратики слева и вверх по каждым диагоналям последовательностью нечетных чисел.

5. Определите значение центральной ячейки О. В углах магического квадрата расположите такие числа: верхняя правая ячейка – О-1, нижняя левая – О+1, правая внизу – О-n, а левая вверху – О+n. Пустые ячейки в угловых треугольниках заполните, применяя довольно примитивные правила: в строках по направлению слева направо числа возрастают на n + 1, а в столбиках по направлению сверху вниз числа возрастают на n-1.

6. Найти все квадраты с порядком равным n получается только для n\le 4, следственно увлекательны отдельные процедуры для построения магических квадратов с n > 4. Проще каждого рассчитать проектирование такого квадрата нечетного порядка. Воспользуйтесь особой формулой, куда требуется примитивно поставить нужные данные для приобретения желаемого итога. Скажем, константа квадрата, построенного по схеме с рис. 1, вычисляется по формуле: S = 6a1 +105b, где a1 – 1-й член прогрессии, b – разность прогрессии.

7. Для квадрата, изображенного на рис. 2, формула: S = 6*1 + 105*2 = 216

8. Помимо этого, существуют алгорифмы для построения пандиагональных квадратов и совершенных магических квадратов. Воспользуйтесь особыми программами построения этих моделей.

Обратите внимание!
Волшебные, либо магические, квадраты привлекали математиков с самых древних времен, но изложения всех допустимых квадратов нет и по сей день. Самый легкой волшебный квадрат согласно старинной китайской легенде был изображен на спине крупный священной черепахи.

«Уравнением» в математике именуется запись, содержащую некоторые математические либо алгебраические действия и непременно включающую в себя знак равенства. Впрочем почаще этим представлением обозначают не тождество в совокупности, а только его левую часть. Следственно задача возведения уравнения в квадрат скорее каждого полагает использование этой операции только к одночлену либо многочлену в левой части равенства.

Инструкция

1. Умножьте уравнение на само себя – это и есть операция возведения во вторую степень, то есть в квадрат . Если начальное выражение содержит переменные в какой-нибудь степени, то показатель степени следует увеличить в два раза. Скажем, (4*x?)? = (4*x?)*(4*x?) = 16*x?. Если присутствующие в уравнении численные показатели умножить в уме не представляется допустимым, то используйте калькулятор, онлайн-вычислитель либо сделайте это на бумаге, «в столбик».

2. Если начальное выражение содержит несколько складываемых либо вычитаемых переменных с численными показателями (то есть является многочленом), то придется осуществлять операцию умножения по соответствующим правилам. Это обозначает, что следует перемножить весь член уравнения -множимого на весь член уравнения -множителя, а после этого упростить полученное выражение. Тот факт, что в вашем случае оба уравнения идентичны, ничего не меняет в этом правиле. Скажем, если построить в квадрат требуется уравнение x?+4-3*x, то всю операцию дозволено записать в таком виде: (x?+4-3*x)? = (x?+4-3*x)*(x?+4-3*x) = x?+4*x?-3*x? + 4*x?+16-12*x – 3*x?-12*x+9*x?. Полученное выражение следует упростить и, если это допустимо, расположить степенные члены в порядке убывания показателя степени: x?+4*x?-3*x? + 4*x?+16-12*x – 3*x?-12*x+9*x? = x? – 6*x? + 25*x? – 24*x + 16.

3. Формулы возведения в квадрат некоторых особенно зачастую встречающихся выражений отличнее запомнить назубок. В школе их обыкновенно включают в список, называемый «формулами сокращенного умножения». В него относят, в частности, формулы возведения во вторую степень суммы 2-х переменных (x+y)? = x?+2*x*y+y?, их разности (x-y)? = x?-2*x*y+y?, суммы 3 слагаемых (x+y+z)? = x?+y?+z?+2*x*y+2*y*z+2*x*z и разности 3 слагаемых (x-y-z)? = x?+y?+z?-2*x*y+2*x*y-2*z.

Видео по теме

Способ выделения квадрата двучлена используется при облегчении массивных выражений, а также для решения квадратных уравнений. На практике его обыкновенно комбинируют с другими приемами, включая разложение на множители, группировку и пр.

Инструкция

1. Способ выделения полного квадрата двучлена основан на применении 2-х формул сокращенного умножения многочленов. Эти формулы являются частными случаями Бинома Ньютона для 2-й степени и разрешают упростить желанное выражение так, дабы дозволено было провести дальнейшее сокращение либо разложение на множители:(m + n)² = m² + 2·m·n + n²;(m – n)² = m² – 2·m·n + n².

2. Согласно этому способу из начального многочлена требуется выделить квадраты 2-х одночленов и сумму/разность их двойного произведения. Использование этого способа имеет толк, если старшая степень слагаемых не поменьше 2. Представим, дано задание разложить на множители с понижением степени следующее выражение:4·y^4 + z^4

3. Для решения задачи надобно воспользоваться способом выделения полного квадрата. Выходит, выражение состоит из 2-х одночленов с переменными четной степени. Следственно, дозволено обозначить всякий из них через m и n:m = 2·y²; n = z².

4. Сейчас надобно привести начальное выражение к виду (m + n)². В нем теснее присутствуют квадраты этих слагаемых, но не хватает двойного произведения. Надобно добавить его неестественно, а потом вычесть:(2·y²)² + 2·2·y²·z² + (z²)² – 2·2·y² ·z² = (2·y² + z²)² – 4·y²·z².

5. В получившемся выражении дозволено увидеть формулу разности квадратов:(2·y² + z²)² – (2·y·z)² = (2·y² + z² – 2·y·z)· (2·y² + z² + 2·y·z).

6. Выходит, способ состоит из 2-х этапов: выделение одночленов полного квадрата m и n, прибавление и вычитание их двойного произведения. Способ выделения полного квадрата двучлена может использоваться не только самосильно, но и в комбинации с другими способами: вынесения за скобки всеобщего множителя, замена переменной, группировки слагаемых и пр.

7. Пример 2.Выделите полный квадрат в выражении:4·y² + 2·y·z + z².Решение.4·y² + 2·y·z + z² = = (2·y)² + 2·2·y·z + (z) ² – 2·y·z = (2·y + z)² – 2·y·z.

8. Способ используется при нахождении корней квадратного уравнения. Левая часть уравнения представляет собой трехчлен вида a·y? + b·y + c, где a, b и c – какие-то числа, причем a ? 0. a·y? + b·y + c = a·(y? + (b/a)·y) + c = a·(y? + 2·(b/(2·a))·y) + c = a·(y? + 2·(b/(2·a))·y + b?/(4·a?)) + c – b?/(4·a) = a·(y + b/(2·a)) ? – (b? – 4·a·c)/(4·a).

9. Эти расчеты приводят к представлению дискриминанта, тот, что равен (b? – 4·a·c)/(4·a), а корни уравнения равны:y_1,2 = ±(b/(2 a)) ± ? ((b? – 4·a·c)/(4·a)).

Есть несколько способов решения квадратного уравнения, особенно общеизвестный – выделить из трехчлена квадрат двучлена. Данный метод приводит к вычислению дискриминанта и обеспечивает одновременный поиск обоих корней.

Инструкция

1. Алгебраическое уравнение 2-й степени именуется квадратным. Классическая форма левой стороны этого уравнения представляет собой многочлен a x? + b x + c. Дабы вывести формулу для решения, нужно выделить из трехчлена квадрат двучлена. Это дозволено осуществить двумя методами. Перенесите вольный член с в правую сторону со знаком минус:a x? + b x = -c.

2. Умножьте обе стороны уравнения на 4 а:4 a? x? + 4 a b x = -4 a c.

3. Прибавьте выражение b?:4 a? x? + 4 a b x + b? = -4 a c + b?.

4. Видимо, что слева получилась развернутая форма квадрата двучлена, состоящего из слагаемых 2 a x и b. Сверните данный трехчлен в полный квадрат:(2 a x + b)? = b? – 4 a c ? 2 a x + b = ±?(b? – 4 a c)

5. Откуда:x1,2 = (-b ± ?(b? – 4 a c))/2 a.Разность, стоящая под знаком корня, именуется дискриминантом, а формула является общеизвестной для решения сходственных уравнений.

6. 2-й метод подразумевает выделение из одночлена первой степени удвоенного произведения элементов. Т.е. нужно определить из слагаемого вида b x, какие множители могут быть использованы для полного квадрата. Данный способ отменнее разглядеть на примере:x? + 4 x + 13 = 0

7. Посмотрите на одночлен 4 x. Видимо, что его дозволено представить в виде 2 (2 x), т.е. удвоенного произведения х и 2. Следственно, выделять надобно квадрат суммы (х + 2). Для полноты картины не хватает слагаемого 4, которое дозволено взять из свободного члена:x? + 4 x + 4 – 9 ? (x + 2)? = 9

8. Извлеките квадратный корень:x + 2 = ±3 ? x1 = 1; x2 = -5.

9. Способ выделения квадрата двучлена обширно используется для облегчения массивных алгебраических выражений наравне с другими методами: группировка, замена переменной, вынесение всеобщего множителя за скобку и т.д. Полный квадрат является одной из формул сокращенного умножения и частным случаем Бинома Ньютона.

При решении арифметических и алгебраических задач иногда требуется возвести дробь в квадрат . Проще всего это сделать, когда дробь десятичная – достаточно обычного калькулятора. Однако если дробь обыкновенная или смешанная, то при возведении такого числа в квадрат могут возникнуть некоторые затруднения.

Вам понадобится

• калькулятор, компьютер, приложение Excel.

Инструкция

Чтобы возвести десятичную дробь в квадрат , возьмите инженерный , наберите на нем возводимую в квадрат дробь и нажмите на клавишу возведения во вторую степень. На большинстве калькуляторов эта кнопка обозначена как «х²». На стандартном калькуляторе Windows функция возведения в квадрат выглядит как «x^2». Например, квадрат десятичной дроби 3,14 будет равен: 3,14² = 9,8596.

Чтобы возвести в квадрат десятичную дробь на обычном (бухгалтерском) калькуляторе, умножьте это число само на себя. Кстати, в некоторых моделях калькуляторов предусмотрена возможность возведения числа в квадрат даже при отсутствии специальной кнопки. Поэтому предварительно ознакомьтесь с инструкцией к конкретному калькулятору. Иногда «хитрого» возведения в степень приведены на задней крышке или на калькулятора. Например, на многих калькуляторах для возведения числа в квадрат достаточно нажать кнопки «х» и «=».

Для возведения в квадрат обыкновенной дроби (состоящей из числителя и знаменателя), возведите в квадрат по отдельности числитель и знаменатель этой дроби. То есть воспользуйтесь следующим правилом:(ч / з)² = ч² / з², где ч – числитель дроби, з – знаменатель дроби.Пример: (3/4)² = 3²/4² = 9/16.

Если возводимая в квадрат дробь – смешанная (состоит из целой части и обыкновенной дроби), то предварительно приведите ее к обыкновенному виду. То есть примените следующую формулу:(ц ч/з)² = ((ц*з+ч) / з)² = (ц*з+ч)² / з², где ц – целая часть смешанной дроби.Пример: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.

Если в квадрат (не ) дроби приходится постоянно, то воспользуйтесь программой MS Excel. Для этого введите в одну из таблицы следующую формулу: =СТЕПЕНЬ(A2;2) где А2 – адрес ячейки, в которую будет вводиться возводимая в квадрат дробь .Чтобы сообщить программе, что с вводимым числом необходимо обращаться как дробь ю (т.е. не преобразовывать ее в десятичный вид), наберите перед дробь ю цифру «0» и знак «пробел». То есть для ввода, например, дроби 2/3 нужно ввести: «0 2/3» (и нажать Enter). При этом в строке ввода отобразится десятичное представление введенной дроби. Значение и представление дроби непосредственно в сохранится в исходном виде. Кроме того, при использовании математических функций, аргументами которых обыкновенные дроби, результат также будет представлен в виде обыкновенной дроби. Следовательно квадрат дроби 2/3 будет представлен как 4/9.

Рассмотрим теперь возведение в квадрат двучлена и, применяясь к арифметической точке зрения, будем говорить о квадрате суммы, т. е. (a + b)² и о квадрате разности двух чисел, т. е. (a – b)².

Так как (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

то найдем: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², т. е.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Этот результат полезно запомнить и в виде вышеописанного равенства и словами: квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс произведение двойки на первое число и на второе число, плюс квадрат второго числа.

Зная этот результат, мы можем сразу написать, напр.:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

Разберем второй из этих примеров. Нам требуется возвести в квадрат сумму двух чисел: первое число есть 3ab, второе 1. Должно получиться: 1) квадрат первого числа, т. е. (3ab)², что равно 9a²b²; 2) произведение двойки на первое число и на второе, т. е. 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) квадрат 2-го числа, т. е. 1² = 1 – все эти три члена должно сложить между собою.

Совершенно также получим формулу для возведения в квадрат разности двух чисел, т. е. для (a – b)²:

(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².

(a – b)² = a² – 2ab + b² ,

т. е. квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус произведение двойки на первое число и на второе, плюс квадрат второго числа .

Зная этот результат, мы можем сразу выполнять возведение в квадрат двучленов, представляющих с точки зрения арифметики разность двух чисел.

(m – n)² = m² – 2mn + n²
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 – a) 2 = a 2n-2 – 2a n + a 2 и т. п.

Поясним 2-ой пример. Здесь мы имеем в скобках разность двух чисел: первое число 5ab 3 и второе число 3a 2 b. В результате должно получиться: 1) квадрат первого числа, т. е. (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6 , 2) произведение двойки на 1-ое и на 2-ое число, т. е. 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 и 3) квадрат второго числа, т. е. (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2 ; первый и третий члены надо взять с плюсом, а 2-ой с минусом, получим 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2 . В пояснение 4-го примера заметим лишь, что 1) (a n-1)2 = a 2n-2 … надо показателя степени умножить на 2 и 2) произведение двойки на 1-ое число и на 2-ое = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .

Если встать на точку зрения алгебры, то оба равенства: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² и 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² выражают одно и тоже, а именно: квадрат двучлена равен квадрату первого члена, плюс произведение числа (+2) на первый член и на второй, плюс квадрат второго члена. Это ясно, потому что наши равенства можно переписать в виде:

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²

В некоторых случаях так именно и удобно толковать полученные равенства:

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

Здесь возводится в квадрат двучлен, первый член которого = –4a и второй = –3b. Далее мы получим (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² и окончательно:

(–4a – 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

Возможно было бы также получить и запомнить формулу для возведения в квадрат трехчлена, четырехчлена и вообще любого многочлена. Однако, мы этого делать не будем, ибо применять эти формулы приходится редко, а если понадобится какой-либо многочлен (кроме двучлена) возвести в квадрат, то станем сводить дело к умножению. Например:

31. Применим полученные 3 равенства, а именно:

(a + b) (a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²

к арифметике.

Пусть надо 41 ∙ 39. Тогда мы можем это представить в виде (40 + 1) (40 – 1) и свести дело к первому равенству – получим 40² – 1 или 1600 – 1 = 1599. Благодаря этому, легко выполнять в уме умножения вроде 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 и т. д.

Пусть надо 41 ∙ 41; это все равно, что 41² или (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Также 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Если надо 37 ∙ 37, то это равно (40 – 3)² = 1600 – 240 + 9 = 1369. Подобные умножения (или возведение в квадрат двузначных чисел) легко выполнять, при некотором навыке, в уме.