Калькулятор онлайн.
Решение арифметической прогрессии.
Дано: a n , d, n
Найти: a 1

Эта математическая программа находит \(a_1\) арифметической прогрессии, исходя из заданных пользователем чисел \(a_n, d \) и \(n \).
Числа \(a_n\) и \(d \) можно задать не только целые, но и дробные. Причём, дробное число можно ввести в виде десятичной дроби (\(2,5 \)) и в виде обыкновенной дроби (\(-5\frac{2}{7} \)).

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел

Числа \(a_n\) и \(d \) можно задать не только целые, но и дробные.
Число \(n \) может быть только целым положительным.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5 или так 2,5

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод:
Результат: \(-\frac{2}{3} \)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод:
Результат: \(-1\frac{2}{3} \)

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Числовая последовательность

В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например, дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных номеров в специальных картотеках.

В сберегательном банке по номеру лицевого счёта вкладчика можно легко найти этот счёт и посмотреть, какой вклад на нём лежит. Пусть на счёте № 1 лежит вклад а1 рублей, на счёте № 2 лежит вклад а2 рублей и т. д. Получается числовая последовательность
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
где N - число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число a n .

В математике также изучаются бесконечные числовые последовательности:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Число a 1 называют первым членом последовательности , число a 2 - вторым членом последовательности , число a 3 - третьим членом последовательности и т. д.
Число a n называют n-м (энным) членом последовательности , а натуральное число n - его номером .

Например, в последовательности квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... а 1 = 1 - первый член последовательности; а n = n 2 является n-м членом последовательности; a n+1 = (n + 1) 2 является (n + 1)-м (эн плюс первым) членом последовательности. Часто последовательность можно задать формулой её n-го члена. Например, формулой \(a_n=\frac{1}{n}, \; n \in \mathbb{N} \) задана последовательность \(1, \; \frac{1}{2} , \; \frac{1}{3} , \; \frac{1}{4} , \dots,\frac{1}{n} , \dots \)

Арифметическая прогрессия

Продолжительность года приблизительно равна 365 суткам. Более точное значение равно \(365\frac{1}{4} \) суток, поэтому каждые четыре года накапливается погрешность, равная одним суткам.

Для учёта этой погрешности к каждому четвёртому году добавляются сутки, и удлинённый год называют високосным.

Например, в третьем тысячелетии високосными годами являются годы 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом 4. Такие последовательности называют арифметическими прогрессиями .

Определение.
Числовая последовательность a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... называется арифметической прогрессией , если для всех натуральных n выполняется равенство
\(a_{n+1} = a_n+d, \)
где d - некоторое число.

Из этой формулы следует, что a n+1 - a n = d. Число d называют разностью арифметической прогрессии .

По определению арифметической прогрессии имеем:
\(a_{n+1}=a_n+d, \quad a_{n-1}=a_n-d, \)
откуда
\(a_n= \frac{a_{n-1} +a_{n+1}}{2} \), где \(n>1 \)

Таким образом, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «арифметическая» прогрессия.

Отметим, что если a 1 и d заданы, то остальные члены арифметической прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле a n+1 = a n + d. Таким способом нетрудно вычислить несколько первых членов прогрессии, однако, например, для a 100 уже потребуется много вычислений. Обычно для этого используется формула n-го члена. По определению арифметической прогрессии
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
и т.д.
Вообще,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
так как n-й член арифметической прогрессии получается из первого члена прибавлением (n-1) раз числа d.
Эту формулу называют формулой n-го члена арифметической прогрессии .

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.
Запишем эту сумму двумя способами:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Сложим почленно эти равенства:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
В этой сумме 100 слагаемых
Следовательно, 2S = 101 * 100, откуда S = 101 * 50 = 5050.

Рассмотрим теперь произвольную арифметическую прогрессию
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Пусть S n - сумма n первых членов этой прогрессии:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Тогда сумма n первых членов арифметической прогрессии равна
\(S_n = n \cdot \frac{a_1+a_n}{2} \)

Так как \(a_n=a_1+(n-1)d \), то заменив в этой формуле a n получим еще одну формулу для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии :
\(S_n = n \cdot \frac{2a_1+(n-1)d}{2} \)

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

• расширение и углубление представлений учащихся о задачах, решаемых с использованием арифметической прогрессии; организация поисковой деятельности учащихся при выводе формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии;
• развитие умений самостоятельно приобретать новые знания, использовать для достижения поставленной задачи уже полученные знания;
• выработка желания и потребности обобщать полученные факты, развитие самостоятельности.

Задачи:

• обобщить и систематизировать имеющиеся знания по теме “Арифметическая прогрессия”;
• вывести формулы для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии;
• научить применять полученные формулы при решении различных задач;
• обратить внимание учащихся на порядок действий при нахождении значения числового выражения.

Оборудование:

• карточки с заданиями для работы в группах и парах;
• оценочный лист;
• презентация “Арифметическая прогрессия”.

I. Актуализация опорных знаний.

1. Самостоятельная работа в парах.

1-й вариант:

Дайте определение арифметической прогрессии. Запишите рекуррентную формулу, с помощью которой задается арифметическая прогрессия. Приветите пример арифметической прогрессии и укажите её разность.

2-й вариант:

Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии. Найдите 100-й член арифметической прогрессии {a n }: 2, 5, 8 …
В это время два ученика на обратной стороне доски готовят ответы на эти же вопросы.
Учащиеся оценивают работу партнера, сверяя с доской. (Листочки с ответами сдают).

2. Игровой момент.

Задание 1.

Учитель. Я задумала некоторую арифметическую прогрессию. Задайте мне только два вопроса, чтобы после ответов вы быстро смогли бы назвать 7-й член этой прогрессии. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Вопросы учащихся.

1. Чему равен шестой член прогрессии и чему равна разность?
2. Чему равен восьмой член прогрессии и чему равна разность?

Если вопросов больше не последует, то учитель может стимулировать их – “запрет” на d (разность), то есть не разрешается спрашивать чему равна разность. Можно задать вопросы: чему равен 6-й член прогрессии и чему равен 8-й член прогрессии?

Задание 2.

На доске записано 20 чисел: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Учитель стоит спиной к доске. Ученики называют номер числа, а учитель мгновенно называет само число. Объясните, как мне это удается?

Учитель помнит формулу n-го члена a n = 3n – 2 и, подставляя задаваемые значения n, находит соответствующие значения a n .

II. Постановка учебной задачи.

Предлагаю решить старинную задачу, относящуюся ко II-му тысячелетию до нашей эры, найденную в египетских папирусах.

Задача: “Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность между каждым человеком и его соседом равняется 1/8 меры”.

• Как эта задача связана с темой арифметическая прогрессия? (Каждый следующий получает на 1/8 меры больше, значит разность d=1/8, 10 человек, значит n=10.)
• А что, по-вашему мнению, означает число 10 мер? (Сумма всех членов прогрессии.)
• Что ещё необходимо знать, чтобы было легко и просто разделить ячмень согласно условию задачи? (Первый член прогрессии.)

Задача урока – получение зависимости суммы членов прогрессии от их числа, первого члена и разности, и проверка того, верно ли в древности решали поставленную задачу.

Прежде чем сделать вывод формулы, посмотрим, как решали задачу древние египтяне.

А решали её следующим образом:

1) 10 мер: 10 = 1 мера – средняя доля;
2) 1 мера ∙ = 2 меры – удвоенная средняя доля.
Удвоенная средняя доля – это сумма долей 5-го и 6-го человек.
3) 2 меры – 1/8 меры = 1 7/8 меры – удвоенная доля пятого человека.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – доля пятого; и так далее можно найти долю каждого предыдущего и последующего человека.

Получим последовательность:

III. Решение поставленной задачи.

1. Работа в группах

I-я группа: Найти сумму 20 последовательных натуральных чисел: S 20 =(20+1)∙10 =210.

В общем виде

II-я группа: Найти сумму натуральных чисел от 1 до 100 (Легенда о маленьком Гауссе).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Вывод:

III-я группа: Найти сумму натуральных чисел от 1 до 21.

Решение: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Вывод:

IV-я группа: Найти сумму натуральных чисел от 1 до 101.

Вывод:

Этот метод решения рассмотренных задач называется “Метод Гаусса”.

2. Каждая группа представляет решение задачи на доске.

3. Обобщение предложенных решений для произвольной арифметической прогрессии:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n .

Найдем эту сумму рассуждая аналогично:

4. Решили мы поставленную задачу? (Да.)

IV. Первичное осмысление и применение полученных формул при решении задач.

1. Проверка решения старинной задачи по формуле.

2. Применение формулы при решении различных задач.

3. Упражнения на формирование умения применения формулы при решении задач.

А) №613

Дано: (а n) – арифметическая прогрессия;

(а n): 1, 2, 3, …, 1500

Найти: S 1500

Решение: , а 1 = 1, а 1500 = 1500,

Б) Дано: (а n) – арифметическая прогрессия;
(а n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Найти: n
Решение:

V. Самостоятельная работа с взаимопроверкой.

Денис поступил на работу курьером. В первый месяц его зарплата составила 200 рублей, в каждый последующий она повышалась на 30 рублей. Сколько всего он заработал за год?

Дано: (а n) – арифметическая прогрессия;
а 1 = 200, d=30, n=12
Найти: S 12
Решение:

Ответ: 4380 рублей получил Денис за год.

VI. Инструктаж по домашнему заданию.

1. п. 4.3 – выучить вывод формулы .
2. №№ 585, 623 .
3. Составить задачу, которая решалась бы с использованием формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.

VII. Подведение итогов урока.

1. Оценочный лист

2. Продолжи предложения

• Сегодня на уроке я узнал …
• Изученные формулы …
• Я считаю что …

3. Сможешь ли ты найти сумму чисел от 1 до 500? Каким методом будешь решать эту задачу?

Список литературы.

1. Алгебра, 9-й класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. Под ред. Г.В. Дорофеева. М.: “Просвещение”, 2009.

Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии)

В которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии .

Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле

Свойства арифметической прогрессии

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии

Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией. По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.

Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей

В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства

Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.

2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.

3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k -го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы

4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k -го номера. Для этого используйте формулу

На этом теоретический материал заканчивается и переходим к решению распространенных на практике задач.

Пример 1. Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;...

Решение:

Согласно условию имеем

Определим шаг прогрессии

По известной формуле находим сороковой член прогрессии

Пример2. Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

Распишем заданные элементы прогрессии по формулам

От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии

Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии

Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии

Не применяя сложных вычислений ми нашли все искомые величины.

Пример 3. Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых.

Решение:

Запишем формулу сотого элемента прогрессии

и найдем первый

На основе первого находим 50 член прогрессии

Находим сумму части прогрессии

и сумму первых 100

Сумма прогрессии равна 250.

Пример 4.

Найти число членов арифметической прогрессии, если:

а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Решение:

Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их

Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме

Выполняем упрощения

и решаем квадратное уравнение

Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.

Пример 5.

Решить уравнение

1+3+5+...+х=307.

Решение: Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии

И. В. Яковлев | Материалы по математике | MathUs.ru

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия это специального вида последовательность. Поэтому прежде чем давать определение арифметической (а затем и геометрической) прогрессии, нам нужно вкратце обсудить важное понятие числовой последовательности.

Последовательность

Вообразите устройство, на экране которого высвечиваются одно за другим некоторые числа. Скажем, 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Такой набор чисел как раз и является примером последовательности.

Определение. Числовая последовательность это множество чисел, в котором каждому числу можно присвоить уникальный номер (то есть поставить в соответствие единственное натуральное число)1 . Число с номером n называется n-м членом последовательности.

Так, в приведённом выше примере первый номер имеет число 2 это первый член последовательности, который можно обозначить a1 ; номер пять имеет число 6 это пятый член последовательности, который можно обозначить a5 . Вообще, n-й член последовательности обозначается an (или bn , cn и т. д.).

Очень удобна ситуация, когда n-й член последовательности можно задать некоторой формулой. Например, формула an = 2n 3 задаёт последовательность: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Формула an = (1)n задаёт последовательность: 1; 1; 1; 1; : : :

Не всякое множество чисел является последовательностью. Так, отрезок не последовательность; в нём содержится ¾слишком много¿ чисел, чтобы их можно было перенумеровать. Множество R всех действительных чисел также не является последовательностью. Эти факты доказываются в курсе математического анализа.

Арифметическая прогрессия: основные определения

Вот теперь мы готовы дать определение арифметической прогрессии.

Определение. Арифметическая прогрессия это последовательность, каждый член которой (начиная со второго) равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа (называемого разностью арифметической прогрессии).

Например, последовательность 2; 5; 8; 11; : : : является арифметической прогрессией с первым членом 2 и разностью 3. Последовательность 7; 2; 3; 8; : : : является арифметической прогрессией с первым членом 7 и разностью 5. Последовательность 3; 3; 3; : : : является арифметической прогрессией с разностью, равной нулю.

Эквивалентное определение: последовательность an называется арифметической прогрессией, если разность an+1 an есть величина постоянная (не зависящая от n).

Арифметическая прогрессия называется возрастающей, если её разность положительна, и убывающей, если её разность отрицательна.

1 А вот более лаконичное определение: последовательность есть функция, определённая на множестве натуральных чисел. Например, последовательность действительных чисел есть функция f: N ! R.

По умолчанию последовательности считаются бесконечными, то есть содержащими бесконечное множество чисел. Но никто не мешает рассматривать и конечные последовательности; собственно, любой конечный набор чисел можно назвать конечной последовательностью. Например, конечная последовательность 1; 2; 3; 4; 5 состоит из пяти чисел.

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Легко понять, что арифметическая прогрессия полностью определяется двумя числами: первым членом и разностью. Поэтому возникает вопрос: как, зная первый член и разность, найти произвольный член арифметической прогрессии?

Получить искомую формулу n-го члена арифметической прогрессии нетрудно. Пусть an

Задача 1. В арифметической прогрессии 2; 5; 8; 11; : : : найти формулу n-го члена и вычислить сотый член.

Решение. Согласно формуле (1 ) имеем:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Свойство и признак арифметической прогрессии

Свойство арифметической прогрессии. В арифметической прогрессии an для любого

Иначе говоря, каждый член арифметической прогрессии (начиная со второго) является средним арифметическим соседних членов.

что и требовалось.

Более общим образом, для арифметической прогрессии an справедливо равенство

a n = a n k+ a n+k

при любом n > 2 и любом натуральном k < n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Оказывается, формула (2 ) служит не только необходимым, но и достаточным условием того, что последовательность является арифметической прогрессией.

Признак арифметической прогрессии. Если для всех n > 2 выполнено равенство (2 ), то последовательность an является арифметической прогрессией.

Доказательство. Перепишем формулу (2 ) следующим образом:

a na n 1= a n+1a n:

Отсюда видно, что разность an+1 an не зависит от n, а это как раз и означает, что последовательность an есть арифметическая прогрессия.

Свойство и признак арифметической прогрессии можно сформулировать в виде одного утверждения; мы для удобства сделаем это для трёх чисел (именно такая ситуация часто встречается в задачах).

Характеризация арифметической прогрессии. Три числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда 2b = a + c.

Задача 2. (МГУ, экономич. ф-т, 2007) Три числа 8x, 3 x2 и 4 в указанном порядке образуют убывающую арифметическую прогрессию. Найдите x и укажите разность этой прогрессии.

Решение. По свойству арифметической прогрессии имеем:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Если x = 1, то получается убывающая прогрессия 8, 2, 4 с разностью 6. Если x = 5, то получается возрастающая прогрессия 40, 22, 4; этот случай не годится.

Ответ: x = 1, разность равна 6.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Легенда гласит, что однажды учитель велел детям найти сумму чисел от 1 до 100 и сел спокойно читать газету. Однако не прошло и нескольких минут, как один мальчик сказал, что решил задачу. Это был 9-летний Карл Фридрих Гаусс, впоследствии один из величайших математиков в истории.

Идея маленького Гаусса была такова. Пусть

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Запишем данную сумму в обратном порядке:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

и сложим две этих формулы:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Каждое слагаемое в скобках равно 101, а всего таких слагаемых 100. Поэтому

2S = 101 100 = 10100;

Мы используем эту идею для вывода формулы суммы

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Полезная модификация формулы (3 ) получается, если в неё подставить формулу n-го члена an = a1 + (n 1)d:

Задача 3. Найти сумму всех положительных трёхзначных чисел, делящихся на 13.

Решение. Трёхзначные числа, кратные 13, образуют арифметическую прогрессию с первым членом 104 и разностью 13; n-й член этой прогрессии имеет вид:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Давайте выясним, сколько членов содержит наша прогрессия. Для этого решим неравенство:

an 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13 ; n 6 69:

Итак, в нашей прогрессии 69 членов. По формуле (4 ) находим искомую сумму:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Кто-то к слову «прогрессия» относится настороженно, как к очень сложному термину из разделов высшей математики. А между тем самая простая арифметическая прогрессия - работа счётчика такси (где они ещё остались). И понять суть (а в математике нет ничего важнее, чем «понять суть») арифметической последовательности не так сложно, разобрав несколько элементарных понятий.

Математическая числовая последовательность

Числовой последовательностью принято именовать какой-либо ряд чисел, каждое из которых имеет свой номер.

а 1 - первый член последовательности;

а 2 - второй член последовательности;

а 7 - седьмой член последовательности;

а n - n-ный член последовательности;

Однако не любой произвольный набор цифр и чисел интересует нас. Наше внимание сосредоточим на числовой последовательности, у которой значение n-ного члена связано с его порядковым номером зависимостью, которую можно чётко сформулировать математически. Иными словами: численное значение n-ного номера является какой-либо функцией от n.

a - значение члена числовой последовательности;

n - его порядковый номер;

f(n) - функция, где порядковый номер в числовой последовательности n является аргументом.

Определение

Арифметической прогрессией принято именовать числовую последовательность, в которой каждый последующий член больше (меньше) предыдущего на одно и то же число. Формула n-ного члена арифметической последовательности выглядит следующим образом:

a n - значение текущего члена арифметической прогрессии;

a n+1 - формула следующего числа;

d - разность (определённое число).

Нетрудно определить, что если разность положительна (d>0), то каждый последующий член рассматриваемого ряда будет больше предыдущего и такая арифметическая прогрессия будет возрастающей.

На представленном ниже графике нетрудно проследить, почему числовая последовательность получила название «возрастающая».

В случаях, когда разность отрицательная (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Значение заданного члена

Иногда бывает необходимо определить значение какого-либо произвольного члена a n арифметической прогрессии. Можно сделать это путём расчёта последовательно значений всех членов арифметической прогрессии, начиная с первого до искомого. Однако такой путь не всегда приемлем, если, например, необходимо отыскать значение пятитысячного или восьмимиллионного члена. Традиционный расчёт сильно затянется по времени. Однако конкретная арифметическая прогрессия может быть исследована с помощью определённых формул. Существует и формула n-ного члена: значение любого члена арифметической прогрессии может быть определено как сумма первого члена прогрессии с разностью прогрессии, умноженной на номер искомого члена, уменьшенный на единицу.

Формула универсальна для возрастающей и убывающей прогрессии.

Пример расчёта значения заданного члена

Решим следующую задачу на нахождение значения n-ного члена арифметической прогрессии.

Условие: имеется арифметическая прогрессия с параметрами:

Первый член последовательности равен 3;

Разность числового ряда равняется 1,2.

Задание: необходимо отыскать значение 214 члена

Решение: для определения значения заданного члена воспользуемся формулой:

а(n) = а1 + d(n-1)

Подставив в выражение данные из условия задачи имеем:

а(214) = а1 + d(n-1)

а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Ответ: 214-ый член последовательности раве 258,6.

Преимущества такого способа расчёта очевидны - всё решение занимает не более 2 строчек.

Сумма заданного числа членов

Очень часто в заданном арифметическом ряду требуется определить сумму значений некоторого его отрезка. Для этого также нет необходимости вычислять значения каждого члена и затем суммировать. Такой способ применим, если число членов, сумму которых необходимо найти, невелико. В остальных случаях удобнее воспользоваться следующей формулой.

Сумма членов арифметической прогрессии от 1 до n равна сумме первого и n-ного членов, помноженной на номер члена n и делённой надвое. Если в формуле значение n-ного члена заменить на выражение из предыдущего пункта статьи, получим:

Пример расчёта

Для примера решим задачу со следующими условиями:

Первый член последовательности равен нулю;

Разность равняется 0,5.

В задаче требуется определить сумму членов ряда с 56-го по 101.

Решение. Воспользуемся формулой определения суммы прогрессии:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Вначале определим сумму значений 101 члена прогрессии, подставив в формулу данные их условия нашей задачи:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Очевидно, для того, чтобы узнать сумму членов прогрессии с 56-го по 101-й, необходимо от S 101 отнять S 55 .

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Таким образом сумма арифметической прогрессии для данного примера:

s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Пример практического применения арифметической прогрессии

В конце статьи вернёмся к примеру арифметической последовательности, приведённому в первом абзаце - таксометр (счётчик автомобиля такси). Рассмотрим такой пример.

Посадка в такси (в которую входит 3 км пробега) стоит 50 рублей. Каждый последующий километр оплачивается из расчёта 22 руб./км. Расстояние поездки 30 км. Рассчитать стоимость поездки.

1. Отбросим первые 3 км, цена которых включена в стоимость посадки.

30 - 3 = 27 км.

2. Дальнейший расчет - не что иное как разбор арифметического числового ряда.

Номер члена - число км пробега (минус первые три).

Значение члена - сумма.

Первый член в данной задаче будет равен a 1 = 50 р.

Разность прогрессии d = 22 р.

интересующее нас число - значение (27+1)-ого члена арифметической прогрессии - показания счётчика в конце 27-го километра - 27,999… = 28 км.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

На формулах, описывающих те или иные числовые последовательности, построены расчёты календарных данных на сколь угодно длительный период. В астрономии в геометрической зависимости от расстояния небесного тела до светила находится длина орбиты. Кроме того, различные числовые ряды с успехом применяются в статистике и других прикладных разделах математики.

Другой вид числовой последовательности - геометрическая

Геометрическая прогрессия характеризуется большими, по сравнению с арифметической, темпами изменения. Не случайно в политике, социологии, медицине зачастую, чтобы показать большую скорость распространения того или иного явления, например заболевания при эпидемии, говорят, что процесс развивается в геометрической прогрессии.

N-ный член геометрического числового ряда отличается от предыдущего тем, что он умножается на какое-либо постоянное число - знаменатель, например первый член равен 1, знаменатель соответственно равен 2, тогда:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - значение текущего члена геометрической прогрессии;

b n+1 - формула следующего члена геометрической прогрессии;

q - знаменатель геометрической прогрессии (постоянное число).

Если график арифметической прогрессии представляет собой прямую, то геометрическая рисует несколько иную картину:

Как и в случае с арифметической, геометрическая прогрессия имеет формулу значения произвольного члена. Какой-либо n-ный член геометрической прогрессии равен произведению первого члена на знаменатель прогрессии в степени n уменьшенного на единицу:

Пример. Имеем геометрическую прогрессию с первым членом равным 3 и знаменателем прогрессии, равным 1,5. Найдём 5-й член прогрессии

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Сумма заданного числа членов рассчитывается так же с помощью специальной формулы. Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна разности произведения n- ного члена прогрессии на его знаменатель и первого члена прогрессии, делённой на уменьшенный на единицу знаменатель:

Если b n заменить пользуясь рассмотренной выше формулой, значение суммы n первых членов рассматриваемого числового ряда примет вид:

Пример. Геометрическая прогрессия начинается с первого члена, равного 1. Знаменатель задан равным 3. Найдём сумму первых восьми членов.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280