Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

ОПР 1. Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, расстояния от которых до некоторой точки, называемой фокусом, и до некоторой прямой, называемой директрисой, равны.

Для вывода уравнения параболы введем на плоскости прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус перпендикулярно директрисе, и будем считать ее положительным направлением направление от директрисы к фокусу. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Выведем уравнение параболы в выбранной системе координат.

Пусть М (х ; у ) – произвольная точка плоскости.

Обозначим через r расстояние от точки М до фокуса F, пусть r = FM,

через d – расстояние от точки до директрисы, а через р расстояние от фокуса до директрисы.

Величину р называют параметром параболы, его геометрический смысл раскрыт далее.

Точка М будет лежать на данной параболе в том и только в том случае, когда r = d .

В этом случае имеем

Уравнение

y 2 = 2 p x

называется каноническим уравнением параболы .

Свойства параболы

1. Парабола проходит через начало координат, т.к. координаты начала координат удовлетворяют уравнению параболы.

2. Парабола симметрична относительно оси ОХ, т.к. точки с координатами (x , y ) и (x , − y ) удовлетворяют уравнению параболы.

3. Если р > 0, то ветви параболы направлены вправо и парабола находится в правой полуплоскости.

4. Точка О называется вершиной параболы, ось симметрии (ось Ох ) - осью параболы.

Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

Что такое парабола и как она выглядит

Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

Каноническое уравнение параболы

На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

Каноническое уравнение имеет вид:

y 2 = 2 * p * x,

где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре оно запишется иначе:

y = a x 2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x 2).

Свойства и график квадратичной функции

Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

Формулы нахождения вершины:

• x 0 = -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Пример.

Имеется функция у = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

Для такой линии:

• х = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x 2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0; 0).

Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 — по оси ординат.

Как строить параболу по квадратному уравнению

Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

1. Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
2. Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

D = (b 2 — 4 * a * c).

Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

• D ˃ 0, то х 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D = 0, то х 1, 2 = -b / (2 * a);
• D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

Получаем алгоритм построения параболы:

• определить направление ветвей;
• найти координаты вершины;
• найти пересечение с осью ординат;
• найти пересечение с осью абсцисс.

Пример 1.

Дана функция у = х 2 — 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

1. а = 1, следовательно, ветви направлены вверх;
2. координаты экстремума: х = — (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. с осью ординат пересекается в значении у = 4;
4. найдем дискриминант: D = 25 - 16 = 9;
5. ищем корни:

• Х 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• Х 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (1, 0).

Пример 2.

Для функции у = 3 * х 2 — 2 * х — 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

1. а = 3, следовательно, ветви направлены вверх;
2. координаты экстремума: х = — (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. с осью у будет пересекаться в значении у = -1;
4. найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:

• Х 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• Х 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

Эксцентриситет (константа) = 1.

Заключение

Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.

Определение производной. Средняя линия. Исследование функции на монотонность. Работы: Закрепление изученного материала. Вычислить приближенно с помощью дифференциала. Наименьшие значения функций. Производная и ее применение в алгебре, геометрии. Рассматриваемая функция. Задача. Неравенство. Признаки возрастания и убывания функции. Точка. Определение. Нахождение дифференциала. Доказательство неравенств.

««Интеграл» 11 класс» - Как ты поверженный лежал числом обычным на странице. Интеграл в литературе. Определенный интеграл, ты мне ночами начал сниться. Составьте фразу. Какое счастие познал я в выборе первообразной. Замятин Евгений Иванович (1884-1937). Найти первообразные для функций. Эпиграф. Роман «Мы» (1920 год). Замен и подстановок ряд привел к решению задачи. Иллюстрация к роману «Мы». Интеграл. Группа «Интеграл». Урок алгебры и начал анализа.

«Применение логарифмов» - Со времен древнегреческого астронома Гиппарха (II в. до н.э.) используется понятие «звездная величина». Как, видим, логарифмы вторгаются в область психологии. Из таблицы найдем звездную величину Капеллы (m1 = +0,2т) и Денеба (m2 = +1,3т). Единица громкости. Звёзды, шум и логарифмы. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и производстве труда. Тема: «ЛОГАРИФМЫ В АСТРОНОМИИ». Непером (1550 - 1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552 - 1632).

««Функции» алгебра» - Вычислить. Составим таблицу. Исследование функций и построение их графиков. Понятие об интеграле. Функция F называется первообразной для функции f. Площадь криволинейной трапеции. Функция есть первообразная для функции. Вычислим площадь S криволинейной трапеции. «Интеграл от a до b эф от икс дэ икс». Метод интервалов. Найдем точки пересечения графика с Ох (у = 0). Правила дифференцирования. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

«Примеры логарифмических неравенств» - Готовимся к ЕГЭ! Какие из функций являются возрастающими, а какие убывающими? Итог урока. Найдите верное решение. Возрастающая. Алгебра 11 класс. Задание: решить логарифмические неравенства, предложенные в заданиях ЕГЭ-2010 г. Удачи на ЕГЭ! Кластер для заполнения в течение урока: Цели урока: Найти область определения функции. Между числами m и n поставить знак > или <.(m, n > 0). Графики логарифмических функций.

«Геометрический смысл производной функции» - Значение производной функции. Алгоритм составления уравнения касательной. Геометрический смысл производной. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнения касательной. Составь пару. Секущая. Словарь урока. У меня всё получилось. Правильная математическая идея. Результаты вычисления. Предельное положение секущей. Определение. Найдите угловой коэффициент. Напишите уравнение касательной к графику функции.

Логарифм - довольно обширная тема в курсе алгебры для учеников старших классов средне образовательной школы, поэтому знать только ее определение, математическую формулу и уметь чертить график - недостаточно. На протяжении всей истории логарифмической формулы математики со всего мира вывели большое количество зависимостей и теорем, знание которых поможет ученикам в дальнейшей работе с этой функцией.

Презентация «Свойства логарифмов» дает обширное понятие этого определения, а также позволяет ознакомиться со всеми наиболее важными следствиями этой функции.

Первая часть презентации кратко дает понятие логарифма, а также демонстрирует построение графика на ее основе. После этого идет определение, которое необходимо выучить, что подтверждает значок восклицательного знака в углу красной рамки.

После восстановления знаний по ранее изученной теме, школьникам предлагается ознакомиться с тремя тождественными уравнениями, которые может легко доказать любой ученик, имеющий оперировать такими понятиями, как степень числа и основание степени.

Третья часть урока - теоретическая. Здесь ученикам демонстрируются три теоремы, которые основаны на различных математических действиях с логарифмами, в том числе и при работе с дробями. Каждая теорема выделена синей рамкой, ниже которой идет математическое доказательство.

После теоретической части презентации ученики получают возможность применить свои новые знания на практике, благодаря рассмотрению решения одного примера.

Завершает презентацию еще одна теорема, а также три примера решения задач, основанных на свойствах логарифмов. Последняя, предложенная в уроке, теорема не требует умения доказывать ее в обычном школьном курсе алгебры - ученику достаточно заучить, понимать и уметь применять ее при решении тематических примеров.

В отличии от обычного курса алгебры, который предлагает школьный учебник, презентация «Свойства логарифмов» имеет совершенно другую, более удобную и эффективную структуру, позволяющую доносить до ученика требуемые знания максимально быстро и легко. Презентация разбавляет теоретическую часть практическими примерами, которые переключают внимание школьника на другое занятие, тем самым, не загружая его мозг и давай возможность отдохнуть от перемены умственной деятельности.

Быстрому пониманию решений предложенных примеров способствует интересная концепция подачи информации, которую очень трудно встретить в обычном учебнике по алгебре 11-го класса. В задачах, предложенных к рассмотрению в презентации, наиболее важные данные выделены красным цветом или обведены рамкой. Такая методика позволяет не только быстрее усваивать наиболее важную информацию, но и обучает учащегося самостоятельному поиску нужного материала из всего контекста.

Раздел современной алгебры «свойства логарифмов» является одним из важнейших во всем курсе, так как он дает фундамент для дальнейшего, углубленного изучения математики, необходимого для сотен современных профессий, касающихся самых разных сфер жизни человека. Именно по этой причине не стоит проходить мимо этой темы, а, если ученик, по какой-то причине, пропустил ее обучение в школе, то презентация «свойства логарифмов» поможет ему наверстать упущенное в полной мере, благодаря легкому и доступному изложению материала в уроке.

Презентация «свойства логарифмов» разработана с таким учетом, что работать с ней будет комфортно и ученикам и учителям: вся информация имеет законченный вид на отдельно взятой странице, поэтому урок можно не только показывать с помощью различных современных устройств, но и просто распечатать, если школа не располагает другими возможностями.